1．向量的概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)數(shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量（如年齡、身高、長(zhǎng)度、面積、體積和質(zhì)量等），稱為數(shù)量．
注：
①本書(shū)所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無(wú)特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．
②看一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)要素．
③向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大?。?br>2．向量的表示法
(1)有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．
(2)向量的表示方法:
①字母表示法：如等.
(2)幾何表示法：以A為始點(diǎn)，B為終點(diǎn)作有向線段（注意始點(diǎn)一定要寫(xiě)在終點(diǎn)的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說(shuō)向量.
注：
①用字母表示向量便于向量運(yùn)算；
②用有向線段來(lái)表示向量，顯示了圖形的直觀性．應(yīng)該注意的是有向線段是向量的表示，不是說(shuō)向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個(gè)要素，用有向線段表示向量時(shí)，與它的始點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，即同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量．
3．向量的有關(guān)概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來(lái)表示向量的有向線段的長(zhǎng)度).
注：
①向量的模．
②向量不能比較大小，但是實(shí)數(shù)，可以比較大?。?br>(2)零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．
(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.
注：
①在畫(huà)單位向量時(shí)，長(zhǎng)度1可以根據(jù)需要任意設(shè)定；
②將一個(gè)向量除以它的模，得到的向量就是一個(gè)單位向量，并且它的方向與該向量相同．
4．相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.
注：
在平面內(nèi)，相等的向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們的方向相同且長(zhǎng)度相等．
4．向量的共線或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量).規(guī)定:與任一向量共線.
注：
①零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書(shū)寫(xiě)區(qū)別.
②平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.
③共線向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．
5．用共線（平行）向量或相等向量刻畫(huà)幾何關(guān)系
(1)利用向量的模相等可以證明線段相等，利用向量相等可以證明線段平行且相等.
(2)利用向量共線可以證明直線與直線平行，但需說(shuō)明向量所在的直線無(wú)公共點(diǎn).
(3)利用向量可以判斷圖形的形狀(如平行四邊形、等腰三角形等)、證明多點(diǎn)共線等.
【題型1 向量的基本概念】
【方法點(diǎn)撥】
根據(jù)向量的基本概念，進(jìn)行求解即可.
【例1】（2022秋·廣東珠?！じ咭黄谥校┙o出下列物理量：
①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時(shí)間．
其中不是向量的有（ ）
A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)
【變式1-1】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）以下選項(xiàng)中，都是向量的是（ ）
A．正弦線、海拔B．質(zhì)量、摩擦力
C．△ABC的三邊、體積D．余弦線、速度
【變式1-2】（2022秋·福建·高一階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量
B．零向量與任意向量都不平行
C．平行向量就是共線向量
D．長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量
【變式1-3】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．向量CD與向量DC長(zhǎng)度相等
B．單位向量都相等
C．向量的?？梢员容^大小
D．任一非零向量都可以平行移動(dòng)
【題型2 向量的幾何表示與向量的模】
【方法點(diǎn)撥】
第一步：已給定向量的起點(diǎn)、方向和長(zhǎng)度；
第二步：在坐標(biāo)紙上找準(zhǔn)方向、長(zhǎng)度；
第三步：畫(huà)出對(duì)應(yīng)的向量.
【例2】（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）一艘軍艦從基地A出發(fā)向東航行了200海里到達(dá)基地B，然后改變航線向東偏北60°航行了400海里到達(dá)C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達(dá)D島．
（1）試作出向量AB,BC,CD；
（2）求|AD|．
【變式2-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在如圖所示的坐標(biāo)紙中(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1)，用直尺和圓規(guī)畫(huà)出下列向量．
(1)OA=3，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏西45°方向；
(2)OB=22，點(diǎn)B在點(diǎn)O正南方向．
【變式2-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知飛機(jī)從A地按北偏東30°方向飛行2000km到達(dá)B地，再?gòu)腂地按南偏東30°方向飛行2000km到達(dá)C地，再?gòu)腃地按西南方向飛行10002km到達(dá)D地．畫(huà)圖表示向量AB,BC,CD，并指出向量AD的模和方向．
【變式2-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出下列向量，使它們的起點(diǎn)都是原點(diǎn)O，并求終點(diǎn)的坐標(biāo)
（1）a=2，a的方向與x軸正方向的夾角為60°，與y軸正方向的夾角為30°；
（2）a=4，a的方向與x軸正方向的夾角為30°，與y軸正方向的夾角為120°；
（3）a=42，a的方向與x軸、y軸正方向的夾角都是135°.
【題型3 向量相等或共線】
【方法點(diǎn)撥】
判斷兩向量是否共線的關(guān)鍵是看兩向量所在的直線是否平行或重合；判斷兩向量是否相等不僅要看兩向量
所在的直線是否平行或重合，還要看兩向量的模是否相等、方向是否相同.
【例3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中正確的是（ ）
A．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同
B．兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量
C．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量，其終點(diǎn)必相同
D．若AB與CD是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上
【變式3-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，等腰梯形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P，點(diǎn)E、F分別在兩腰AD、BC上，EF過(guò)點(diǎn)P，且EF//AB，則下列等式中成立的是（ ）
A．AD=BCB．AC=BD
C．PE=PFD．EP=PF
【變式3-2】（2022秋·全國(guó)·高一期末）如圖，在正△ABC中，D,E,F均為所在邊的中點(diǎn)，則以下向量和FC相等的是（ ）
A．EFB．BEC．DFD．ED
【變式3-3】（2022秋·湖北十堰·高一期中）在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則（ ）
A．AB與AC共線B．DE與CB共線
C．CD與AE相等D．AD與BD相等
【題型4 用向量關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì)】
【方法點(diǎn)撥】
(1)證明或判斷線段相等，只需證明或判斷相應(yīng)向量的長(zhǎng)度(模)相等.
(2)證明線段平行，先證明相應(yīng)的向量共線，再說(shuō)明線段不重合.
【例4】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AB的中點(diǎn).
(1)寫(xiě)出與向量FC共線的向量；
(2)求證：BE=FD.
【變式4-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是平面四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：EF=HG．
【變式4-2】（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，AB=DC且CN=MA，求證：DN=MB.
【變式4-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知在四邊形ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，又AB=DC.求證：CN=//MA.

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