1．向量的概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)數(shù)量：只有大小，沒有方向的量（如年齡、身高、長度、面積、體積和質(zhì)量等），稱為數(shù)量．
注：
①本書所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．
②看一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個要素．
③向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小．
2．向量的表示法
(1)有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度．
(2)向量的表示方法:
①字母表示法：如等.
(2)幾何表示法：以A為始點，B為終點作有向線段（注意始點一定要寫在終點的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量.
注：
①用字母表示向量便于向量運算；
②用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性．應(yīng)該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個要素，用有向線段表示向量時，與它的始點的位置無關(guān)，即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量．
3．向量的有關(guān)概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來表示向量的有向線段的長度).
注：
①向量的模．
②向量不能比較大小，但是實數(shù)，可以比較大小．
(2)零向量：長度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．
(3)單位向量：長度等于1個單位的向量.
注：
①在畫單位向量時，長度1可以根據(jù)需要任意設(shè)定；
②將一個向量除以它的模，得到的向量就是一個單位向量，并且它的方向與該向量相同．
4．相等向量:長度相等且方向相同的向量.
注：
在平面內(nèi)，相等的向量有無數(shù)多個，它們的方向相同且長度相等．
4．向量的共線或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量).規(guī)定:與任一向量共線.
注：
①零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書寫區(qū)別.
②平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.
③共線向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．
5．用共線（平行）向量或相等向量刻畫幾何關(guān)系
(1)利用向量的模相等可以證明線段相等，利用向量相等可以證明線段平行且相等.
(2)利用向量共線可以證明直線與直線平行，但需說明向量所在的直線無公共點.
(3)利用向量可以判斷圖形的形狀(如平行四邊形、等腰三角形等)、證明多點共線等.
【題型1 向量的基本概念】
【方法點撥】
根據(jù)向量的基本概念，進(jìn)行求解即可.
【例1】（2022秋·廣東珠?！じ咭黄谥校┙o出下列物理量：
①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時間．
其中不是向量的有（ ）
A．3個B．4個C．5個D．6個
【解題思路】既有方向，又有大小的量為向量
【解答過程】①質(zhì)量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨時間只有大小，沒有方向，故不是向量，其余均為向量，
故共有5個不是向量.
故選：C.
【變式1-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）以下選項中，都是向量的是（ ）
A．正弦線、海拔B．質(zhì)量、摩擦力
C．△ABC的三邊、體積D．余弦線、速度
【解題思路】根據(jù)向量的定義判斷．
【解答過程】表示三角函數(shù)值的正切線、余弦線、正弦線既有大小，又有方向，都是向量．
海拔、質(zhì)量、△ABC的三邊和體積均只有大小，沒有方向，不是向量．
速度既有大小又有方向，是向量，
故選：D．
【變式1-2】（2022秋·福建·高一階段練習(xí)）下列說法錯誤的是（ ）
A．長度為0的向量叫做零向量
B．零向量與任意向量都不平行
C．平行向量就是共線向量
D．長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量
【解題思路】由平面向量的相關(guān)概念判斷.
【解答過程】A. 規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，故正確；
B.規(guī)定零向量與任意向量都平行，故錯誤；
C.平行向量就是共線向量，故正確；
D.長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量，故正確；
故選：B.
【變式1-3】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一階段練習(xí)）下列說法錯誤的是（ ）
A．向量CD與向量DC長度相等
B．單位向量都相等
C．向量的模可以比較大小
D．任一非零向量都可以平行移動
【解題思路】A.由相反向量判斷；B.由單位向量判斷；C.由向量的長度是數(shù)量判斷；D.由相等向量判斷.
【解答過程】A.CD和DC長度相等，方向相反，故正確；
B.單位向量長度都為1，但方向不確定，故錯誤；
C.向量的長度可以比較大小，即模長可以比較大小，故正確；
D.向量只與長度和方向有關(guān)，與位置無關(guān)，故任一非零向量都可以平行移動，故正確.
故選：B.
【題型2 向量的幾何表示與向量的模】
【方法點撥】
第一步：已給定向量的起點、方向和長度；
第二步：在坐標(biāo)紙上找準(zhǔn)方向、長度；
第三步：畫出對應(yīng)的向量.
【例2】（2022秋·高一課時練習(xí)）一艘軍艦從基地A出發(fā)向東航行了200海里到達(dá)基地B，然后改變航線向東偏北60°航行了400海里到達(dá)C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達(dá)D島．
（1）試作出向量AB,BC,CD；
（2）求|AD|．
【解題思路】（1）根據(jù)題設(shè)以AB為正東方向，過A垂直于AB向上為正北方向，結(jié)合題設(shè)畫出向量即可.
（2）由題設(shè)知AB//CD，易知ABCD為平行四邊形，即可求|AD|.
【解答過程】（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，向量AB,BC,CD即為所求．
（2）根據(jù)題意，向量AB與CD方向相反，故向量AB//CD，又|AB|=|CD|，
∴在ABCD中，AB//CD,AB=CD，故ABCD為平行四邊形，
∴AD=BC，則|AD|=|BC|=400（海里）．
【變式2-1】（2022·高一課時練習(xí)）在如圖所示的坐標(biāo)紙中(每個小正方形的邊長均為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量．
(1)OA=3，點A在點O北偏西45°方向；
(2)OB=22，點B在點O正南方向．
【解題思路】(1)根據(jù)描述找出終點A即可；
(2)根據(jù)描述找出終點B即可.
【解答過程】(1)∵OA=3，點A在點O北偏西45°方向，∴以O(shè)為圓心，3為半徑作圓與圖中正方形對角線OP的交點即為A點：
(2)∵OB=22=22+22，點B在點O正南方向，∴以O(shè)為圓心，圖中OQ為半徑化圓，圓弧與OR的交點即為B點：
【變式2-2】（2022·高一課時練習(xí)）已知飛機(jī)從A地按北偏東30°方向飛行2000km到達(dá)B地，再從B地按南偏東30°方向飛行2000km到達(dá)C地，再從C地按西南方向飛行10002km到達(dá)D地．畫圖表示向量AB,BC,CD，并指出向量AD的模和方向．
【解題思路】根據(jù)方向角及飛行距離可作出向量AB,BC,CD，然后在三角形中求向量AD的模和方向．
【解答過程】以A為原點，正東方向為x軸正方向，正北方向為y軸正方向建立直角坐標(biāo)系．
由題意知B點在第一象限，C點在x軸正半軸上，D點在第四象限，
向量AB,BC,CD如圖所示，
由已知可得，
△ABC為正三角形，所以AC=2000km．
又∠ACD=45°，CD=10002km，
所以△ADC為等腰直角三角形，
所以AD=10002km，∠CAD=45°．
故向量AD的模為10002km，方向為東南方向．
【變式2-3】（2022·高一課時練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中畫出下列向量，使它們的起點都是原點O，并求終點的坐標(biāo)
（1）a=2，a的方向與x軸正方向的夾角為60°，與y軸正方向的夾角為30°；
（2）a=4，a的方向與x軸正方向的夾角為30°，與y軸正方向的夾角為120°；
（3）a=42，a的方向與x軸、y軸正方向的夾角都是135°.
【解題思路】利用向量的定義直接求解即可60°
【解答過程】如圖所示.
（1）終點坐標(biāo)為1,3
（2）終點坐標(biāo)為23,-2
（3）終點坐標(biāo)為-4,-4.
【題型3 向量相等或共線】
【方法點撥】
判斷兩向量是否共線的關(guān)鍵是看兩向量所在的直線是否平行或重合；判斷兩向量是否相等不僅要看兩向量
所在的直線是否平行或重合，還要看兩向量的模是否相等、方向是否相同.
【例3】（2022·高一課時練習(xí)）下列命題中正確的是（ ）
A．兩個有共同起點且相等的向量，其終點必相同
B．兩個有公共終點的向量，一定是共線向量
C．兩個有共同起點且共線的向量，其終點必相同
D．若AB與CD是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上
【解題思路】根據(jù)向量相等與共線的概念即可解決.
【解答過程】兩個相等的向量方向相同且長度相等，因此起點相同時終點必相同，故A正確；
兩個有公共終點的向量，可能方向不同，也可能模長不同，故B錯誤；
兩個有共同起點且共線的向量可能方向不同，也可能模長不同，終點未必相同，故C錯誤；
AB與CD是共線向量，也可能是AB平行于CD，故D錯誤.
故選：A.
【變式3-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，等腰梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點P，點E、F分別在兩腰AD、BC上，EF過點P，且EF//AB，則下列等式中成立的是（ ）
A．AD=BCB．AC=BD
C．PE=PFD．EP=PF
【解題思路】由梯形的幾何性質(zhì)可判斷AB選項；推導(dǎo)出P為EF的中點，可判斷CD選項.
【解答過程】在等腰梯形ABCD中，AD、BC不平行，AC、BD不平行，AB均錯；
因為AB//CD，則DPPB=CDAB=CPAP，則PBPD=PAPC，則PB+PDPD=PA+PCPC，
即BDPD=ACPC，即PDBD=PCAC，
∵EF//AC，則PEAB=PDBD=PCAC=PFAB，∴PE=PF，即P為EF的中點，
所以，EP=PF，C錯，D對.
故選：D.
【變式3-2】（2022秋·全國·高一期末）如圖，在正△ABC中，D,E,F均為所在邊的中點，則以下向量和FC相等的是（ ）
A．EFB．BEC．DFD．ED
【解題思路】根據(jù)相等向量的定義直接判斷即可.
【解答過程】∵EF,BE,DF與FC方向不同，∴EF,BE,DF與FC均不相等；
∵ED與FC方向相同，長度相等，∴ED=FC.
故選：D.
【變式3-3】（2022秋·湖北十堰·高一期中）在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是AB，AC的中點，則（ ）
A．AB與AC共線B．DE與CB共線
C．CD與AE相等D．AD與BD相等
【解題思路】根據(jù)向量共線概念即可求解結(jié)果．
【解答過程】因為AB與AC不平行，所以AB與AC不共線，A錯
因為D，E分別是AB，AC的中點，則DE與BC平行，故DE與CB共線，B正確；
因為CD與AE不平行，所以CD與AE不相等，C錯；
因為AD=DB=-BD，則D錯．
故選：B.
【題型4 用向量關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì)】
【方法點撥】
(1)證明或判斷線段相等，只需證明或判斷相應(yīng)向量的長度(模)相等.
(2)證明線段平行，先證明相應(yīng)的向量共線，再說明線段不重合.
【例4】（2022·高一課時練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AB的中點.
(1)寫出與向量FC共線的向量；
(2)求證：BE=FD.
【解題思路】1根據(jù)條件，可得四邊形AFCE為平行四邊形，即可寫出與向量FC共線的向量；
2根據(jù)題意可得出四邊形BFDE是平行四邊形，從而得出BE=FD，BE//FD，進(jìn)而得出結(jié)論.
【解答過程】（1）
解：因為在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AB的中點，CE//AF，CE=AF，
所以四邊形AFCE為平行四邊形，所以CF//AE.
所以與向量FC共線的向量為：CF，AE，EA.
（2）
證明：在平行四邊形ABCD中，AB//DC，AB=DC.
因為E，F(xiàn)分別是DC，AB的中點，
所以ED//BF且ED=BF，
所以四邊形BFDE是平行四邊形，
所以BE=FD，BE//FD，
故BE=FD.
【變式4-1】（2022·高一課時練習(xí)）已知點E，F(xiàn)，G，H分別是平面四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，求證：EF=HG．
【解題思路】連接AC，易得EF，HG分別為△ABC和△ADC的中位線，進(jìn)而可得EF//HG，且EF=HG，又向量EF與HG方向相同，從而得證.
【解答過程】證明：如圖，連接AC，
因為E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，所以EF為△ABC的中位線，
所以EF//AC，且EF=12AC，
同理，因為G，H分別是CD，DA的中點，所以HG//AC，且HG=12AC，
所以EF//HG，且EF=HG，
因為向量EF與HG方向相同，所以EF=HG.
【變式4-2】（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點，AB=DC且CN=MA，求證：DN=MB.
【解題思路】根據(jù)平行四邊形及向量相等的定理即可證明；
【解答過程】解：因為AB=DC，所以AB=DC且AB//DC，
所以四邊形ABCD是平行四邊形，
所以DA=CB且DA//CB.
又DA與CB的方向相同，所以CB=DA.
同理可證，四邊形CNAM是平行四邊形，所以CM=NA.
因為CB=DA，CM=NA，所以MB=DN，
又DN與MB的方向相同，所以DN=MB.
【變式4-3】（2022·高一課時練習(xí)）如圖，已知在四邊形ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點，又AB=DC.求證：CN=//MA.
【解題思路】根據(jù)相等向量的定義、中點的定義、平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理，可以證明出CN=//MA.
【解答過程】證明：由AB=DC可知AB=DC且AB//DC，
所以四邊形ABCD為平行四邊形，
從而AD=BC.
又M，N分別是BC，AD的中點，于是AN=MC.
所以AN=MC且AN//MC.
所以四邊形AMCN是平行四邊形.
從而CN=//MA.

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