1．向量的加法運(yùn)算
(1)向量加法的定義及兩個(gè)重要法則
(2)多個(gè)向量相加
為了得到有限個(gè)向量的和，只需將這些向量依次首尾相接，那么以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量，就是這些向量的和，如圖所示.
2．向量加法的運(yùn)算律
(1)交換律：；
(2)結(jié)合律：.
3．向量的減法運(yùn)算
(1)相反向量
我們規(guī)定，與向量長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作.零向量的相反向量仍是
零向量.
(2)向量減法的定義：
向量加上的相反向量，叫做與的差，即-=+(-).求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.
(3)向量減法的三角形法則
如圖，已知向量,，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作=，=，則=-=-.即-可以
表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義.

4．向量的數(shù)乘運(yùn)算
(1)向量的數(shù)乘的定義
一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長(zhǎng)度與
方向規(guī)定如下：
①；
②當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)0，則直線AP一定通過(guò)△ABC的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【解題思路】取線段BC的中點(diǎn)E，則AB+AC=2AE．動(dòng)點(diǎn)P滿足：OP=OA+λ(AB+AC)，λ>0，則AP=2λAE．即可判斷出結(jié)論．
【解答過(guò)程】取線段BC的中點(diǎn)E，則AB+AC=2AE．
動(dòng)點(diǎn)P滿足：OP=OA+λ(AB+AC)，λ>0，
則OP-OA=2λAE
則AP=2λAE.
則直線AP一定通過(guò)△ABC的重心．
故選：C．
【題型6 向量線性運(yùn)算在三角形中的運(yùn)用】
【方法點(diǎn)撥】
結(jié)合具體條件，利用向量的線性運(yùn)算，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.
【例6】（2022春·北京大興·高三期末）“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)仿照趙爽弦圖，用四個(gè)三角形和一個(gè)小平行四邊形構(gòu)成如下圖形，其中，E，F(xiàn)，G，H分別是DF，AG，BH，CE的中點(diǎn)，若AG=xAB+yAD，則2x+y等于（ ）
A．25B．45C．1D．2
【解題思路】利用平面向量線性運(yùn)算法則以及平面向量基本定理，將AG用AB,BC表示出來(lái)，求出x，y的值，即可求解．
【解答過(guò)程】由題意可得AG=AB+BG=AB+12BH=AB+12BC+CH=AB+12BC+14CE，
因?yàn)镋FGH是平行四邊形，所以AG=-CE，所以AG=AB+12BC-14AG，所以AG=45AB+25BC，
因?yàn)锳G=xAB+yAD，所以x=45,y=25，
則2x+y=2×45+25=2．
故選:D.
【變式6-1】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，“紅星閃閃放光彩”，國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著緊密聯(lián)系，在如圖所示的五角星中，以A、B、C、D、E為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且AT=5+12TS，設(shè)ES-AP=λBQ，則λ=（ ）
A．5+12B．5-12C．-5+12D．1-52
【解題思路】根據(jù)五角星中長(zhǎng)度關(guān)系，結(jié)合向量加法運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可．
【解答過(guò)程】五角星中，ES=RC，AP=QC，
則ES-AP=RC-QC=RC+ CQ=RQ，
由于 AT=5+12TS?RQ=25+1QB=5-12QB=-5-12BQ=1-52BQ
則λ=1-52，
故選：D.
【變式6-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）莊嚴(yán)美麗的國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A，B，C，D，E為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且PTAT＝5-12.下列關(guān)系中正確的是（ ）
A．BP-TS=5+12RS
B．CQ+TP=5+12TS
C．ES-AP=5-12BQ
D．AT+BQ=5-12CR
【解題思路】利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，便可解決問(wèn)題．
【解答過(guò)程】解：在如圖所示的正五角星中，以A，B，C，D，E為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且PTAT=5-12．
在A中，BP-TS=TE-TS=SE=5+12RS，故A正確；
在B中，CQ+TP=PA+TP=TA=5+12ST，故B錯(cuò)誤；
在C中，ES-AP=RC-QC=RQ=5-12DR=5-12QB，故C錯(cuò)誤；
在D中，AT+BQ=SD+RD，5-12CR=RS=RD-SD，
若AT+BQ=5-12CR，則SD=0，不合題意，故D錯(cuò)誤．
故選：A．
【變式6-3】（2022秋·湖南·高一階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段BD上，且EB=3DE，若AE=λAD+μACλ,μ∈R，則（ ）
A．λ=12μB．λ=2μC．λ=3μD．λ=13μ
【解題思路】由平面向量的運(yùn)算法則求解
【解答過(guò)程】平行四邊形ABCD中，
因?yàn)镋B=3DE，
所以DE=12DO=12AO-AD，
又因?yàn)锳O=12AC，所以AE=AD+DE=AD+1212AC-AD=14AC+12AD，
又因?yàn)锳E=λAD+μAC，所以λ=12，μ=14，則λ=2μ，
故選：B.

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