1.向量的加法運算
(1)向量加法的定義及兩個重要法則
(2)多個向量相加
為了得到有限個向量的和,只需將這些向量依次首尾相接,那么以第一個向量的起點為起點,最后一個向量的終點為終點的向量,就是這些向量的和,如圖所示.
2.向量加法的運算律
(1)交換律:;
(2)結合律:.
3.向量的減法運算
(1)相反向量
我們規(guī)定,與向量長度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量,記作.零向量的相反向量仍是
零向量.
(2)向量減法的定義:
向量加上的相反向量,叫做與的差,即-=+(-).求兩個向量差的運算叫做向量的減法.
(3)向量減法的三角形法則
如圖,已知向量,,在平面內任取一點O,作=,=,則=-=-.即-可以
表示為從向量的終點指向向量的終點的向量,這是向量減法的幾何意義.

4.向量的數(shù)乘運算
(1)向量的數(shù)乘的定義
一般地,我們規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作,它的長度與
方向規(guī)定如下:
①;
②當>0時,的方向與的方向相同;當0,則直線AP一定通過△ABC的( )
A.外心B.內心C.重心D.垂心
【題型6 向量線性運算在三角形中的運用】
【方法點撥】
結合具體條件,利用向量的線性運算,進行轉化求解即可.
【例6】(2022春·北京大興·高三期末)“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的瑰寶,它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構成.現(xiàn)仿照趙爽弦圖,用四個三角形和一個小平行四邊形構成如下圖形,其中,E,F(xiàn),G,H分別是DF,AG,BH,CE的中點,若AG=xAB+yAD,則2x+y等于( )
A.25B.45C.1D.2
【變式6-1】(2022·全國·高三專題練習)2021年是中國共產黨建黨100周年,“紅星閃閃放光彩”,國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形,且與黃金分割有著緊密聯(lián)系,在如圖所示的五角星中,以A、B、C、D、E為頂點的多邊形為正五邊形,且AT=5+12TS,設ES-AP=λBQ,則λ=( )
A.5+12B.5-12C.-5+12D.1-52
【變式6-2】(2023·全國·高三專題練習)莊嚴美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形,且與黃金分割有著密切的聯(lián)系,在如圖所示的正五角星中,以A,B,C,D,E為頂點的多邊形為正五邊形,且PTAT=5-12.下列關系中正確的是( )
A.BP-TS=5+12RS
B.CQ+TP=5+12TS
C.ES-AP=5-12BQ
D.AT+BQ=5-12CR
【變式6-3】(2022秋·湖南·高一階段練習)如圖,在平行四邊形ABCD中,AC,BD相交于點O,點E在線段BD上,且EB=3DE,若AE=λAD+μACλ,μ∈R,則( )
A.λ=12μB.λ=2μC.λ=3μD.λ=13μ

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