通用的解題思路：
隱圓一般有如下呈現(xiàn)方式：（1）定點定長：當遇到同一個端點出發(fā)的等長線段時，通常以這個端點為圓心，等線段長為半徑構(gòu)造輔助圓；（2）定弦定角：當遇到動點對定點對定線段所張的角為定值時，通常把張角轉(zhuǎn)化為圓周角構(gòu)造輔助圓。當遇到直角時，通常以斜邊為直徑構(gòu)造輔助圓。（3）四點共圓：對角互補的四邊形的四個頂點共圓。隱圓常與線段最值結(jié)合考查。
類型1：定點定長
1．（2023?新城區(qū)校級三模）圓的定義：在同一平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的所有點所組成的圖形．
（1）已知：如圖1，，請利用圓規(guī)畫出過、．三點的圓．若，則 ．
如圖，中，，，．
（2）已知，如圖2．點為邊的中點，將沿方向平移2個單位長度，點、、的對應(yīng)點分別為點、、，求四邊形的面積和的大?。?br>（3）如圖3，將邊沿方向平移個單位至，是否存在這樣的，使得直線上有一點，滿足且此時四邊形的面積最大？若存在，求出四邊形面積的最大值及平移距離，若不存在，說明理由．
2．（2024?蘭州模擬）綜合與實踐
【問題情境】在數(shù)學綜合實踐課上，“希望小組”的同學們以三角形為背景，探究圖形變化過程中的幾何問題，如圖，在中，，，點為平面內(nèi)一點（點，，三點不共線），為的中線．
【初步嘗試】（1）如圖1，小林同學發(fā)現(xiàn)：延長至點，使得，連接．始終存在以下兩個結(jié)論，請你在①，②中挑選一個進行證明：
①；②；
【類比探究】（2）如圖2，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．小斌同學沿著小林同學的思考進一步探究后發(fā)現(xiàn)：，請你幫他證明；
【拓展延伸】（3）如圖3，在（2）的條件下，王老師提出新的探究方向：點在以點為圓心，為半徑的圓上運動，直線與直線相交于點，連接，在點的運動過程中存在最大值．若，請直接寫出的最大值．
3．（2022?番禺區(qū)二模）已知拋物線與軸交于點，兩點，，．其頂點的橫坐標為．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)點在拋物線第一象限的圖象上，垂足為，軸交直線于點，當面積等于4時，求點的坐標；
（3）在（2）的條件下，點是拋物線上的一點，點從點運動到達點，交直線于點，延長與線段的延長線交于點，點為，，三點構(gòu)成的三角形的外心，求點經(jīng)過的路線長．
4．（2021?紅谷灘區(qū)校級模擬）（1）學習心得：小剛同學在學習完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到有一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．
例如：如圖1，在中，，，是外一點，且，求的度數(shù)．若以點為圓心，為半徑作輔助圓，則點、必在上，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到 ．
（2）問題解決：
如圖，在四邊形中，，，求的度數(shù)．
（3）問題拓展：
拋物線與軸交于點，頂點為，對稱軸與軸交于點，點在拋物線上，直線交軸于點，連接．
①若含角的直線三角板如圖所示放置，其中，一個頂點與重合，直角頂點在上，另一頂點在上，求的坐標；
②若含角的直角三角板一個頂點與點重合，直角頂點在上，另一個頂點在上，點與點，點不重合，求點的坐標．
類型2：定弦定角
1．（2022?雁塔區(qū)校級三模）問題提出
（1）如圖①，已知為邊長為2的等邊三角形，則的面積為 ；
問題探究
（2）如圖②，在中，已知，，求的最大面積；
問題解決
（3）如圖③，某校學生禮堂的平面示意為矩形，其寬米，長米，為了能夠監(jiān)控到禮堂內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面上安裝一臺攝像頭進行觀測，并且要求能觀測到禮堂前端墻面區(qū)域，同時為了觀測效果達到最佳，還需要從點出發(fā)的觀測角，請你通過所學知識進行分析，在墻面區(qū)域上是否存在點滿足要求？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．
2．（2023?灞橋區(qū)校級模擬）問題提出：（1）如圖①，為等腰三角形，，，是上一點，且平分的面積，則線段的長度為 ．
問題探究：（2）如圖②，中，，，試分析和判斷的面積是否存在最大值，若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．
問題解決：（3）如圖③，2023年第九屆絲綢之路國際電影開幕式在西安曲江競技中心舉行，主辦方要在會場旁規(guī)劃一個四邊形花圃，滿足米，米，，，主辦方打算過的中點點（入口）修建一條徑直的通道（寬度忽略不計）其中點（出口）為四邊形邊上一點，通道把四邊形分成面積相等并且盡可能大的兩部分，分別規(guī)劃成不同品種的花圃以供影迷休閑觀賞．問是否存在滿足上述條件的通道？若存在，請求出點距出口的距離的長；若不存在，請說明理由．
3．（2023?柯城區(qū)校級一模）如圖，點與點的坐標分別是，，點是該直角坐標系內(nèi)的一個動點．
（1）使的點有 個；
（2）若點在軸上，且，求滿足條件的點的坐標；
（3）當點在軸上移動時，是否有最大值？若有，求點的坐標，并說明此時最大的理由；若沒有，也請說明理由．
類型3：四點共圓
1．（2022?中原區(qū)校級模擬）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
任務(wù)：
（1）填空：
①依據(jù)1指的是中點的定義及 ；
②依據(jù)2指的是 ．
（2）請將證明過程補充完整．
（3）善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當點是的中點時，，請你利用圖（2）證明該結(jié)論的正確性．
2．（2021?哈爾濱模擬）（1）【學習心得】
于彤同學在學習完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．
例如：如圖1，在中，，，是外一點，且，求的度數(shù)．若以點為圓心，為半徑作輔助，則點、必在上，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到 ．
（2）【問題解決】
如圖2，在四邊形中，，，求的度數(shù)．
（3）【問題拓展】
如圖3，如圖，，是正方形的邊上兩個動點，滿足．連接交于點，連接交于點．若正方形的邊長為2，則線段長度的最小值是 ．
3．（2022?潢川縣校級一模）如圖1，點在直線上，過點構(gòu)建等腰直角三角形，使，且，過點作直線于點，連接．
（1）小亮在研究這個圖形時發(fā)現(xiàn)，，點，應(yīng)該在以為直徑的圓上，則的度數(shù)為 ，將射線順時針旋轉(zhuǎn)交直線于點，可求出線段，，的數(shù)量關(guān)系為 ；
（2）小亮將等腰直角三角形繞點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，線段，，的數(shù)量關(guān)系是否變化，請說明理由；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，若長為1，當面積取得最大值時，請直接寫的長．
西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．
某數(shù)學興趣小組的同學們嘗試證明該定理．
如圖（1），已知內(nèi)接于，點在上（不與點，，重合），過點分別作，，的垂線，垂足分別為點，，．求證：點，，在同一條直線上．
如下是他們的證明過程（不完整）
如圖（1），連接，，，，取的中點，連接．，
則，（依據(jù)
點，，，四點共圓，
．（依據(jù)
又，
．
同上可得點，，，四點共圓，

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