通用的解題思路：
題型一：兩垂一圓構(gòu)造直角三角形模型
平面內(nèi)有兩點(diǎn)A，B，再找一點(diǎn)C，使得ABC 為直角三角形
分類討論:
若∠A=90°,則點(diǎn)C在過點(diǎn)A 且垂直于AB 的直線上(除點(diǎn)A外);
若∠B=90°,則點(diǎn)C在過點(diǎn)B且垂直于AB的直線上(除點(diǎn)B外);
若∠C=90°,則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上(除點(diǎn)A,B外).
以上簡(jiǎn)稱“兩垂一圓”.
“兩垂一圓”上的點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形,但要除去A,B兩點(diǎn).
題型二：兩圓一中垂構(gòu)造等腰三角形模型
分類討論:
若AB=AC,則點(diǎn)C在以點(diǎn)A 為圓心,線段AB的長(zhǎng)為半徑的圓上;
若BA=BC,則點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心,線段AB的長(zhǎng)為半徑的圓上;
若CA=CB,則點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線PQ上以上簡(jiǎn)稱“兩圓一中垂”
“兩圓一中垂”上的點(diǎn)能構(gòu)成等腰三角形,但是要除去原有的點(diǎn)A,B,還要除去因共線無法構(gòu)成三角形的點(diǎn)MN以及線段AB中點(diǎn)E(共除去5個(gè)點(diǎn))需要注意細(xì)節(jié)
題型三：胡不歸模型
【模型解讀】一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V11，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。
【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短。
題型四：阿氏圓模型
【模型解讀】如圖 1 所示，⊙O的半徑為 r，點(diǎn) A、B都在⊙O 外，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB， 連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？
如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。
故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為 “PA+PC”的最小值，
其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小。如圖3所示：
注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：
在前面的“胡不歸”問題中，我們見識(shí)了“k·PA+PB”最值問題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．
【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題。
題型五：瓜豆原理模型（點(diǎn)在直線上）
【模型解讀】
瓜豆原理：若兩動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑相同。
動(dòng)點(diǎn)軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學(xué)進(jìn)程影響，估只對(duì)瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。
主動(dòng)點(diǎn)叫瓜，從動(dòng)點(diǎn)叫豆，瓜在直線上運(yùn)動(dòng)，豆也在直線_上運(yùn)動(dòng)；瓜在圓周上運(yùn)動(dòng)，豆的軌跡也是圓。
古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。
模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為直線
1）如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

解析：當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線．
理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．
2）如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ為定值，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？

解析：當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。
理由：當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段。
【最值原理】動(dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線時(shí)，利用“垂線段最短”求最值。
1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡已知時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值；
2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡未知時(shí)，先確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，再垂線段最短求最值。
3）確定動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法（重點(diǎn)）
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線；
④觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等特殊位置考慮；
⑤若動(dòng)點(diǎn)軌跡用上述方法不都合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化（常用中位線、矩形對(duì)角線、全等、相似）為其他已知軌跡的線段求最值。
題型六：瓜豆原理模型（點(diǎn)在圓上）
【模型解讀】
模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧
模型1-1. 如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．Q點(diǎn)軌跡是？

如圖，連接AO，取AO中點(diǎn)M，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。
模型1-2. 如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

如圖，連結(jié)AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。
則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。
模型1-3. 定義型：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動(dòng)態(tài)翻折中）
如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP，則B、C、P三點(diǎn)共圓，
則動(dòng)點(diǎn)P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。

模型1-4. 定邊對(duì)定角（或直角）模型
1）一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。?br>如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB=90°，則動(dòng)點(diǎn)P是以AB為直徑的圓或圓弧。
2）一條定邊所對(duì)的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓?。?br>如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓弧。

【模型原理】動(dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí)，可利用：“一定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。
題型一：兩垂一圓構(gòu)造直角三角形模型
1．（2023?安溪縣二模）如圖，是半圓的直徑，，與半圓相切于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若的半徑為5，，求的長(zhǎng)．
2．（2023?平房區(qū)二模）如圖1，內(nèi)接于中，為直徑，點(diǎn)在弧上，連接，．
（1）求證：；
（2）如圖2，連接交于點(diǎn)，若，求證：；
（3）在（2）的條件下，如圖3，點(diǎn)在線段上，連接，交于點(diǎn)，若，，，求線段的長(zhǎng)．
3．（2022?蔡甸區(qū)校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)是正方形邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與、重合），連接交對(duì)角線于點(diǎn)，的外接圓交邊于點(diǎn)，連接、．
（1）求的度數(shù)；
（2）若，求．
4．（2023?懷化）如圖，是的直徑，點(diǎn)是外一點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，點(diǎn)為上的一點(diǎn)．連接、、，且．
（1）求證：為的切線；
（2）延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，求證：；
（3）若，，求陰影部分的面積．
5．（2023?廣陵區(qū)二模）如圖，頂點(diǎn)為的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)，點(diǎn)在該圖象上，交其對(duì)稱軸于點(diǎn)，點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，連接，．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)是，求的面積；
（3）當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)解答下面問題：
①求證：；
②若為直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
6．（2024?寶安區(qū)二模）“海之躍”摩天輪是某地區(qū)的城市名片．濱城學(xué)校九年級(jí)（3）班的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)計(jì)劃在摩天輪上測(cè)量一座寫字樓的高度．
【素材一】如圖1，“海之躍”摩天輪共有24個(gè)轎廂，均勻分布在圓周上．?dāng)M測(cè)算的寫字樓與摩天輪在同一平面內(nèi)．
【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和鉛錘，制作測(cè)角儀器（如圖．
【素材三】若學(xué)生身高和轎廂大小忽略不計(jì)，如圖3，摩天輪的最高高度為128米，半徑為60米，該團(tuán)隊(duì)分成三組分別乘坐1號(hào)、4號(hào)和10號(hào)轎廂，當(dāng)1號(hào)轎廂運(yùn)動(dòng)到摩天輪最高點(diǎn)時(shí)，三組隊(duì)員同時(shí)使用測(cè)角儀觀測(cè)寫字樓最高處點(diǎn)，觀測(cè)數(shù)據(jù)如表（觀測(cè)誤差忽略不計(jì)）．
【任務(wù)一】初步探究，獲取基礎(chǔ)數(shù)據(jù)
（1）如圖3，請(qǐng)連接、，則 ；
（2）求出1號(hào)轎廂運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，4號(hào)轎廂所在位置點(diǎn)的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）
【任務(wù)二】推理分析，估算實(shí)際高度
（3）根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算寫字樓的實(shí)際高度．（結(jié)果用四舍五入法取整數(shù)，
7．（2022?江北區(qū)一模）如圖1，四邊形是的內(nèi)接四邊形，其中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使得，過點(diǎn)作交于點(diǎn)、．
（1）證明：．
（2）如圖2，若，且恰好經(jīng)過圓心，求的值．
（3）若，，設(shè)的長(zhǎng)為．
①如圖3，用含有的代數(shù)式表示的周長(zhǎng)．
②如圖4，恰好經(jīng)過圓心，求內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比值．
題型二：兩圓一中垂構(gòu)造等腰三角形模型
1．（2022?開州區(qū)模擬）如圖，在等腰中，，是的中點(diǎn)，為邊上任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，交于點(diǎn)．
（1）如圖1，若，，求的長(zhǎng)；
（2）如圖2，點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，連接，求證：；
（3）如圖3，若，連接，當(dāng)取得最小值時(shí)．請(qǐng)直接寫出的值．
2．（2023春?璧山區(qū)校級(jí)期中）如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)和兩點(diǎn)，將沿直線對(duì)折使點(diǎn)和點(diǎn)重合，直線與軸交于點(diǎn)與交于點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，連接．
（1）求直線的解析式；
（2）若點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，且的面積為10，求的周長(zhǎng)；
（3）已知軸上有一點(diǎn)，若以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
題型三：胡不歸模型
1．（2023?湘潭縣校級(jí)三模）如圖，拋物線與軸相交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，連接．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)為軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，求的最小值；
（3）連接，在軸上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2．（2023?徐州二模）拋物線與直線相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖1，直線上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求垂線段的最大值；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到拋物線對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，連接，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，直接寫出此時(shí)的長(zhǎng)度．
3．（2023?丘北縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)是線段上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接、，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的最小值．
4．（2019?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．
（1）連接，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與端點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作，交拋物線于點(diǎn)（點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)），過點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的最小值；
（2）在（1）中，當(dāng)取得最大值，取得最小值時(shí)，把點(diǎn)向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)，連接，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△，其中邊交坐標(biāo)軸于點(diǎn)．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
5．（2023?江城區(qū)三模）如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），交軸于點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)、，點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）．
（1）求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)，關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）連接，當(dāng)與相似時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
6．（2024?宿遷模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．
（1）填空： ，點(diǎn)的坐標(biāo)是 ；
（2）連接，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與端點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作，交拋物線于點(diǎn)（點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)），過點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取得最大值時(shí)，求的最小值；
（3）在（2）中，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取得最大值時(shí)，取得最小值時(shí)，如圖2，把點(diǎn)向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)，連接，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△，其中邊交坐標(biāo)軸于點(diǎn)．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
7．（2023?南山區(qū)三模）如圖，在中，，，經(jīng)過點(diǎn)，且圓的直徑在線段上．
（1）試說明是的切線；
（2）若中邊上的高為，試用含的代數(shù)式表示的直徑；
（3）設(shè)點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時(shí)，求的直徑的長(zhǎng)．
題型四：阿氏圓模型
1．（2024?長(zhǎng)沙模擬）閱讀材料，回答下列小題．
閱讀材料
調(diào)和是射影幾何重要不變量交比的一種特殊形式，早在古希臘，數(shù)學(xué)家們便發(fā)現(xiàn)了一組具有特殊比例關(guān)系的點(diǎn)列：調(diào)和點(diǎn)列．
我們定義：若一直線上依次存在四點(diǎn)，，，，滿足，則稱，，，為調(diào)和點(diǎn)列．從直線外一點(diǎn)引射線，，，，則稱，，，為調(diào)和線束．
（1）如圖1，過圓外一點(diǎn)作圓的切線，，并引圓的割線，設(shè)與交于點(diǎn)．
①求證：，，，是調(diào)和點(diǎn)列．
②求證：．
閱讀材料2：阿波羅尼斯圓：對(duì)于平面上的兩定點(diǎn)，和平面上一動(dòng)點(diǎn)，若到和的距離之比為定值，則點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，我們稱該圓是點(diǎn)關(guān)于的“阿氏圓”．
（2）根據(jù)閱讀材料1，2，回答①②小題．（本題圖未給出）
①證明阿波羅尼斯圓，并確定該圓圓心的位置．
②若點(diǎn)關(guān)于的“阿氏圓”交于，，求證：，，，為調(diào)和點(diǎn)列．
（3）如圖2，是平行四邊形，是三角形的重心，點(diǎn)，在直線上，滿足與垂直，與垂直．求證：平分．
2．（2024?萊蕪區(qū)校級(jí)模擬）在中，，．若點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，交于點(diǎn)．
（1）如圖1，若，，求的長(zhǎng)；
（2）如圖2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若，猜想線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；
（3）如圖3，若，為的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得△，連接、，當(dāng)最小時(shí)，求．
3．（2023?萬州區(qū)模擬）如圖，在等腰直角三角形中，，過點(diǎn)作交過點(diǎn)的直線于點(diǎn)，，直線交于．
（1）如圖1，若，求的長(zhǎng)；
（2）如圖2，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于，取線段的中點(diǎn)，連接，求證：．
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，若點(diǎn)是線段上任一點(diǎn)，連接，將沿折疊，折疊后的三角形記為△，當(dāng)取得最小時(shí)，直接寫出的值．
4．（2022?從化區(qū)一模）已知，是的直徑，，．
（1）求弦的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)是下方上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），以為邊，作正方形，如圖1所示，若是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：線段的長(zhǎng)為定值；
（3）如圖2，點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，且，連接，，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再以每秒1個(gè)單位的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，到達(dá)點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值．
5．（2022?市中區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在 與中，，，，點(diǎn)在上．
（1）如圖1，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，且，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，在旋轉(zhuǎn)的過程中，求的最小值；
（3）如圖3，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出的值．
題型五：瓜豆原理模型（點(diǎn)在直線上）
1．（2022?沈陽）【特例感知】
（1）如圖1，和是等腰直角三角形，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，，線段與的數(shù)量關(guān)系是 ；
【類比遷移】
（2）如圖2，將圖1中的繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，那么第（1）問的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，說明理由．
【方法運(yùn)用】
（3）如圖3，若，點(diǎn)是線段外一動(dòng)點(diǎn)，，連接．
①若將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最大值是 ；
②若以為斜邊作，，三點(diǎn)按順時(shí)針排列），，連接，當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．
2．（2021?武進(jìn)區(qū)模擬）如圖①，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)、重合時(shí)，作直線，交直線于點(diǎn)，若的面積是面積的4倍，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，連接，交線段于點(diǎn)，以為斜邊向外作等腰直角三角形，連接，的面積是否變化？如果不變，請(qǐng)求出的面積；如果變化，請(qǐng)說明理由．
題型六：瓜豆原理模型（點(diǎn)在圓上）
1．（2023?崖州區(qū)一模）若，以點(diǎn)為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)為該圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接．
（1）如圖1，取點(diǎn)，使為等腰直角三角形，，將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．
①點(diǎn)的軌跡是 （填“線段”或者“圓” ；
②的最小值是 ；
（2）如圖2，以為邊作等邊（點(diǎn)、、按照順時(shí)針方向排列），在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，求的最大值．
（3）如圖3，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，連接，則的最小值為 ．
2．（2024?昆山市一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于、兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，與軸的另一交點(diǎn)為．
（1）求拋物線解析式；
（2）若點(diǎn)為軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，的面積等于面積的，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖2，以為圓心，2為半徑的與軸交于、兩點(diǎn)在右側(cè)），若點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為腰作等腰，使、、三點(diǎn)為逆時(shí)針順序），連接．求長(zhǎng)度的取值范圍．
3．（2023?海淀區(qū)校級(jí)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，給定圖形和點(diǎn)，若圖形上存在兩個(gè)點(diǎn)，滿足且，則稱點(diǎn)是圖形的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．
已知點(diǎn)，，．
（1）在點(diǎn)，，，，，中， 是線段的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；
（2）是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．
①當(dāng)時(shí)，若線段上任一點(diǎn)均為的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求的取值范圍；
②記線段與線段組成折線，若存在，使折線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)都是的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫出的最小值．
4．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）在中，，，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段，連接．
（1）如圖1，，，點(diǎn)在射線上，求的長(zhǎng)；
（2）如圖2，，于點(diǎn)，，猜想線段，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）如圖3，，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)是上一點(diǎn)且滿足，連接，直接寫出當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)到的距離．
1號(hào)轎廂測(cè)量情況
4號(hào)轎廂測(cè)量情況
10號(hào)轎廂測(cè)量情況



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