專(zhuān)題18 新定義問(wèn)題在五種題型中的應(yīng)用-2025年中考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

通用的解題思路：
新定義類(lèi)坐標(biāo)系內(nèi)代數(shù)綜合問(wèn)題，是在已有的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上，從坐標(biāo)、代數(shù)式、或者函數(shù)圖象以及幾何圖象出發(fā)，給出一個(gè)新定義，要求學(xué)生理解并應(yīng)用這個(gè)定義來(lái)解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。它突出考查自主學(xué)習(xí)能力、數(shù)學(xué)閱讀能力、數(shù)學(xué)抽象概括能力以及對(duì)新定義的實(shí)際應(yīng)用能力。
解答此類(lèi)問(wèn)題，首先，認(rèn)真閱讀題目，結(jié)合簡(jiǎn)單示例，理解題干新定義的核心特征，如位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系、變化運(yùn)動(dòng)特征等;其次，要根據(jù)題意，畫(huà)出輔助圖形，完成文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖象語(yǔ)言的互化，讓語(yǔ)言互化走在思維的最前端;最后，注意歸納結(jié)論，為后續(xù)問(wèn)題做好指向。
此類(lèi)新定義，名字新，但是內(nèi)容一般是由我們學(xué)過(guò)的知識(shí)按照一種新的模式進(jìn)行的組合，這就需要在分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行轉(zhuǎn)化。將新定義轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)和熟悉的方法，才能有效地解決問(wèn)題。
題型一：數(shù)與式中的新定義問(wèn)題
1．（2024?宣化區(qū)一模）對(duì)于三個(gè)實(shí)數(shù)，，，用，，表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用，，表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)．例如：，2，，，2，，，1，．請(qǐng)結(jié)合上述材料，解決下列問(wèn)題：
（1），，；
（2）若，，，求的值．
2．（2023?章貢區(qū)校級(jí)模擬）給出如下定義：我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)，，叫做關(guān)于的二次多項(xiàng)式的特征系數(shù)對(duì)，把關(guān)于的二次多項(xiàng)式叫做有序?qū)崝?shù)對(duì)，，的特征多項(xiàng)式．
（1）關(guān)于的二次多項(xiàng)式的特征系數(shù)對(duì)為；
（2）求有序?qū)崝?shù)對(duì)，4，的特征多項(xiàng)式與有序?qū)崝?shù)對(duì)，，的特征多項(xiàng)式的乘積；
（3）若有序?qū)崝?shù)對(duì)，，的特征多項(xiàng)式與有序?qū)崝?shù)對(duì)，，的特征多項(xiàng)式的乘積的結(jié)果為，直接寫(xiě)出的值為．
3．（2022?湘潭縣校級(jí)模擬）閱讀下列材料，并解決相關(guān)的問(wèn)題．
定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，記為，這個(gè)數(shù)叫做虛數(shù)單位．那么形如，為實(shí)數(shù)）的數(shù)就叫做復(fù)數(shù)，叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類(lèi)似．例如計(jì)算：．
（1）填空：，；
（2）計(jì)算：
①；
②．
（3）試一試：請(qǐng)利用以前學(xué)習(xí)的有關(guān)知識(shí)將化簡(jiǎn)成的形式．
4．（2022?沙坪壩區(qū)模擬）如果一個(gè)三位自然數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且滿(mǎn)足百位上的數(shù)字等于十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“沙磁數(shù)”．
例如：，，是“沙磁數(shù)”．
又如：，，不是“沙磁數(shù)”．
（1）判斷853，632是否是“沙磁數(shù)”？并說(shuō)明理由；
（2）若是一個(gè)“沙磁數(shù)”，將的十位數(shù)字放在的百位數(shù)字之前得到一個(gè)四位數(shù)，在的末位之后添加數(shù)字1得到一個(gè)四位數(shù)字，若能被11整除，求出所有滿(mǎn)足條件的．
5．（2022?渝中區(qū)校級(jí)模擬）材料1：若一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和能被9整除，則這個(gè)數(shù)本身也能被9整除；
材料2：如果一個(gè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0的四位正整數(shù)可以被9整除，且的百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大2，則稱(chēng)為“夠二數(shù)”；將的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換，百位數(shù)字與十位數(shù)字交換，得到的數(shù)為，，例如：，，，是“夠二數(shù)”，．
（1）判斷1314，6536是否是“夠二數(shù)”，請(qǐng)說(shuō)明理由，如果是“夠二數(shù)”，請(qǐng)計(jì)算的值；
（2）若一個(gè)四位正整數(shù)是“夠二數(shù)”，且為5的倍數(shù)，請(qǐng)求出所有的“夠二數(shù)” 的值．
6．（2024?興寧區(qū)校級(jí)模擬）廣西是全國(guó)水果大省，是能實(shí)現(xiàn)水果自由的地方，更是沙糖桔的第一大產(chǎn)區(qū)．2024年伊始，伴隨廣西11車(chē)沙糖桔運(yùn)往哈爾濱，一場(chǎng)特殊的“投桃報(bào)李”引發(fā)全國(guó)關(guān)注，沙糖桔一躍成為春節(jié)期間的網(wǎng)紅水果．小明爸爸開(kāi)的水果店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批沙糖桔，有兩個(gè)商家可供選擇，上初三的小明讓爸爸各買(mǎi)一箱，標(biāo)記為，，準(zhǔn)備運(yùn)用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)幫助爸爸進(jìn)行選擇．小明在，兩箱水果中各隨機(jī)取10個(gè)，逐一測(cè)量了它們的直徑，測(cè)量結(jié)果如下（單位
數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表
根據(jù)題目信息，回答下列問(wèn)題：
（1），，；
（2）由折線(xiàn)圖可知，；（填“”“ ”或“”
（3）爸爸告訴小明沙糖桔一級(jí)果外觀要求：大小均勻，直徑在之間．請(qǐng)幫助小明用合適的統(tǒng)計(jì)量評(píng)價(jià)這兩箱沙糖桔是否符合一級(jí)果要求，以及選擇哪箱沙糖桔更好，并寫(xiě)出依據(jù)．
7．（2023?豐潤(rùn)區(qū)二模）一個(gè)三位數(shù)，若它的十位數(shù)字等于個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字的和，那么稱(chēng)這個(gè)三位數(shù)為“和諧數(shù)”．
（1）最小的三位“和諧數(shù)”是，最大的三位“和諧數(shù)”是；
（2）若一個(gè)“和諧數(shù)”的個(gè)位數(shù)字為，十位數(shù)字為，且、都是自然數(shù)），請(qǐng)用含，的代數(shù)式表示該“和諧數(shù)”；
（3）判斷任意一個(gè)三位“和諧數(shù)”能否被11整除，若能，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不能，請(qǐng)舉出反例．
8．（2022?九龍坡區(qū)校級(jí)模擬）對(duì)于任意一個(gè)四位數(shù)，若滿(mǎn)足千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和是百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和的2倍，則稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)為“倍和數(shù)”、例如：
，，是倍和數(shù)”；
，，不是“倍和數(shù)”；
（1）判斷1047和4657是否為“倍和數(shù)”？并說(shuō)明理由．
（2）當(dāng)一個(gè)“倍和數(shù)” 千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字不相等，且千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和等于8時(shí)，記這個(gè)“倍和數(shù)” 的千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之差的絕對(duì)值為，記百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之差的絕對(duì)值為，令，當(dāng)能被3整除時(shí)，求出滿(mǎn)足條件的所有“倍和數(shù)” ．
9．（2022?兩江新區(qū)模擬）材料一：若一個(gè)兩位數(shù)恰好等于它的各位數(shù)字之和的4倍，則稱(chēng)這個(gè)兩位數(shù)為“巧數(shù)”．
材料二：一個(gè)四位數(shù)滿(mǎn)足各個(gè)數(shù)位數(shù)字都不為0，且它的千位數(shù)字與百位數(shù)字組成的兩位數(shù)，以及十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)均為“巧數(shù)”，則稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)為“雙巧數(shù)”．若，，則記．
（1）請(qǐng)任意寫(xiě)出兩個(gè)“巧數(shù)”，并證明任意一個(gè)“巧數(shù)”的個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍；
（2）若，都是“雙巧數(shù)”，其中，，，，，，，，且，，，，，均為整數(shù)），規(guī)定，，當(dāng)時(shí)，求的最大值．
10．（2022?江津區(qū)一模）一個(gè)三位數(shù)，將的百位數(shù)字和十位數(shù)字相加，所得數(shù)的個(gè)位數(shù)字放在之后，得到的四位數(shù)稱(chēng)為的“如虎添翼數(shù)”，將的“如虎添翼數(shù)”的任意一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字去掉后可以得到四個(gè)新的三位數(shù)，把四個(gè)新的三位數(shù)的和與3的商記為．例如：，，的“如虎添翼數(shù)” 是2971，將2971的任意一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字去掉后可以得到四個(gè)新的三位數(shù)：971、271、291、297，則．
（1）258的“如虎添翼數(shù)”是，；
（2）證明任意一個(gè)十位數(shù)字為0的三位數(shù)，它的“如虎添翼數(shù)”與的個(gè)位數(shù)字之和能被11整除；
（3）一個(gè)三位數(shù)且，它的“如虎添翼數(shù)” 能被17整除，求的最大值．
11．（2022?開(kāi)州區(qū)模擬）一個(gè)自然數(shù)能分解成，其中，均為兩位數(shù)，的十位數(shù)字比的十位數(shù)字少1，且，的個(gè)位數(shù)字之和為10，則稱(chēng)這個(gè)自然數(shù)為“雙十?dāng)?shù)”．
例如：，6比7小1，，是“雙十?dāng)?shù)”；
又如：，3比4小1，，不是“雙十?dāng)?shù)”．
（1）判斷357，836是否是“雙十?dāng)?shù)”，并說(shuō)明理由；
（2）自然數(shù)為“雙十?dāng)?shù)”，將兩位數(shù)放在兩位數(shù)的左邊，構(gòu)成一個(gè)新的四位數(shù)．例如：，，若與的十位數(shù)字之和能被5整除，且能被7整除，求所有滿(mǎn)足條件的自然數(shù)．
12．（2022?重慶）對(duì)于一個(gè)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位自然數(shù)，若能被它的各數(shù)位上的數(shù)字之和整除，則稱(chēng)是的“和倍數(shù)”．
例如：，是13的“和倍數(shù)”．
又如：，不是“和倍數(shù)”．
（1）判斷357，441是否是“和倍數(shù)”？說(shuō)明理由；
（2）三位數(shù)是12的“和倍數(shù)”，，，分別是數(shù)其中一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，且．在，，中任選兩個(gè)組成兩位數(shù)，其中最大的兩位數(shù)記為（A），最小的兩位數(shù)記為（A），若為整數(shù)，求出滿(mǎn)足條件的所有數(shù)．
13．（2022?銅梁區(qū)模擬）對(duì)于任意一個(gè)四位數(shù)，如果滿(mǎn)足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同．且個(gè)位數(shù)字不為0，的百位數(shù)字與十位數(shù)字之差是千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之差的2倍，則稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)為“雙減數(shù)”，對(duì)于一個(gè)“雙減數(shù)” ，將它的千位和百位構(gòu)成的兩位數(shù)為，個(gè)位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)為，規(guī)定：．
例如：．因?yàn)椋?028是一個(gè)“雙減數(shù)”則．
（1）判斷3401，5713是否是“雙減數(shù)”，并說(shuō)明理由；如果是，求出的值；
（2）若“雙減數(shù)” 的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被11整除，且是3的倍數(shù)，求的值．
14．（2022?大足區(qū)模擬）對(duì)任意一個(gè)四位正整數(shù)，如果的百位數(shù)字等于個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和，的千位數(shù)字等于十位數(shù)字的2倍與個(gè)位數(shù)字之和，那么稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“和諧數(shù)”．例如：，滿(mǎn)足，，所以7431是“和諧數(shù)”．例如：，滿(mǎn)足，但，所以6413不是“和諧數(shù)”．
（1）判斷8624和9582是不是“和諧數(shù)”，并說(shuō)明理由；
（2）若是“和諧數(shù)”，且與22的和能被13整除，求滿(mǎn)足條件的所有“和諧數(shù)” ．
15．（2022?南川區(qū)模擬）對(duì)于一個(gè)三位數(shù)的正整數(shù)，滿(mǎn)足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，它的百位數(shù)字減去十位數(shù)字的差等于十位數(shù)字減去個(gè)位數(shù)字的差，那么稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“平衡數(shù)”，對(duì)于任意一個(gè)“平衡數(shù)”，將它的前兩位數(shù)加上后兩位數(shù)所得的和記為；將它的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字構(gòu)成的兩位數(shù)加上交換這個(gè)兩位數(shù)所得到的新兩位數(shù)的和記為；把與的差除以9所得結(jié)果記為：．例如，因?yàn)?，所?46是一個(gè)“平衡數(shù)”，所以，，則．
（1）計(jì)算：，；
（2）若、都是“平衡數(shù)”其中，，，，，，、、、都是整數(shù)），規(guī)定，當(dāng)時(shí)，求的最小值．
16．（2024?唐山一模）數(shù)學(xué)課上老師給出規(guī)定：如果兩個(gè)數(shù)的平方差能被4整除，我們稱(chēng)這個(gè)算式是“佳偶和諧式”．
小亮寫(xiě)出如下算式：；；．
發(fā)現(xiàn)：任意兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差都能被4整除，這些算式都是“佳偶和諧式”．
（1）驗(yàn)證：是“佳偶和諧式”；
（2）證明：任意兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差都能被4整除，這些算式都是“佳偶和諧式”；
（3）小紅通過(guò)小亮的結(jié)論推廣得到一個(gè)命題：任意兩個(gè)偶數(shù)的平方差都能被4整除，他們的算式都是“佳偶和諧式”，直接判斷此命題是真命題還是假命題．
題型二：函數(shù)中的新定義問(wèn)題
1．（2023?益陽(yáng)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)在的左邊）．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖1，若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；
（3）定義：將平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫作格點(diǎn)，如，等均為格點(diǎn)．如圖2，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)所圍成的封閉圖形即陰影部分（不包含邊界）中的格點(diǎn)數(shù)恰好是26個(gè)，求的取值范圍．
2．（2023?義烏市模擬）【概念發(fā)現(xiàn)】
對(duì)于平面上的圖形，先將其向上平移個(gè)單位，再將平移后的圖形沿著直線(xiàn)翻折得到圖象，記此變換過(guò)程為圖形的滑動(dòng)對(duì)稱(chēng)變換，若在另一圖形上存在一動(dòng)點(diǎn)，圖形上存在一動(dòng)點(diǎn)，記長(zhǎng)度的最大值為，長(zhǎng)度的最小值為．
【理解應(yīng)用】
（1）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，，，記線(xiàn)段為圖形，先將線(xiàn)段向上平移1個(gè)單位，再沿著直線(xiàn)翻折得到線(xiàn)段，記線(xiàn)段’，記線(xiàn)段為圖形，則圖形的，滑動(dòng)對(duì)稱(chēng)變換得到圖形．記原點(diǎn)為圖形，則，．
【思維提升】
（2）如圖2，在坐標(biāo)平面內(nèi)，半徑為2，圓心，，，記為圖形，線(xiàn)段記為圖形，圖形的滑動(dòng)對(duì)稱(chēng)變換得到圖形，求與的值．
【拓展延伸】
（3）如圖3，記直線(xiàn)的圖象為圖形，反比例的圖象為圖形，圖形的滑動(dòng)對(duì)稱(chēng)變換得到圖形，則．
3．（2023?姜堰區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于函數(shù)，其中、、為常數(shù)，，定義：函數(shù)是的衍生函數(shù)，點(diǎn)是函數(shù)的衍生點(diǎn)，設(shè)函數(shù)與其衍生函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．
（1）若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)、，其衍生點(diǎn)，求函數(shù)的解析式；
（2）①若函數(shù)的衍生函數(shù)為，求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
②函數(shù)的圖象如圖所示，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出點(diǎn)、兩點(diǎn)的位置；
（3）是否存在常數(shù)，使得無(wú)論為何值，函數(shù)的衍生點(diǎn)始終在直線(xiàn)上，若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
4．（2022?遵義）新定義：我們把拋物線(xiàn)（其中與拋物線(xiàn)稱(chēng)為“關(guān)聯(lián)拋物線(xiàn)”．例如：拋物線(xiàn)的“關(guān)聯(lián)拋物線(xiàn)”為：．已知拋物線(xiàn)的“關(guān)聯(lián)拋物線(xiàn)”為．
（1）寫(xiě)出的解析式（用含的式子表示）及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若，過(guò)軸上一點(diǎn)，作軸的垂線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)，于點(diǎn)，．
①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為，求的值．
5．（2022?湘西州）定義：由兩條與軸有著相同的交點(diǎn)，并且開(kāi)口方向相同的拋物線(xiàn)所圍成的封閉曲線(xiàn)稱(chēng)為“月牙線(xiàn)”，如圖①，拋物線(xiàn)與拋物線(xiàn)組成一個(gè)開(kāi)口向上的“月牙線(xiàn)”，拋物線(xiàn)和拋物線(xiàn)與軸有著相同的交點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），與軸的交點(diǎn)分別為、．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)是軸下方拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，求線(xiàn)段與線(xiàn)段的長(zhǎng)度的比值．
（3）如圖②，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，在軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
6．（2022?南通）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“階方點(diǎn)”．例如，點(diǎn)，是函數(shù)圖象的“階方點(diǎn)”；點(diǎn)是函數(shù)圖象的“2階方點(diǎn)”．
（1）在①；②；③三點(diǎn)中，是反比例函數(shù)圖象的“1階方點(diǎn)”的有（填序號(hào)）；
（2）若關(guān)于的一次函數(shù)圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，求的值；
（3）若關(guān)于的二次函數(shù)圖象的“階方點(diǎn)”一定存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．
7．（2022?安順）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱(chēng)點(diǎn)為和諧點(diǎn)．例如：點(diǎn)，，，，，都是和諧點(diǎn)．
（1）判斷函數(shù)的圖象上是否存在和諧點(diǎn)，若存在，求出其和諧點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若二次函數(shù)的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)，．
①求，的值；
②若時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為3，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
8．（2024?北京模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形，其中，，，，，，，，、為正方形外兩點(diǎn)，．給出如下定義：如果線(xiàn)段平移個(gè)單位后，兩端點(diǎn)均落在正方形的邊上，則稱(chēng)的最小值為線(xiàn)段到正方形的“平移距離”，記為．
（1）如圖1，平移線(xiàn)段，得到兩條端點(diǎn)在正方形邊上且長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段和，則這兩條線(xiàn)段的位置關(guān)系是；在點(diǎn)，，，中，連接點(diǎn)與點(diǎn) 的線(xiàn)段的長(zhǎng)度等于；
（2）若點(diǎn)，都在直線(xiàn)上，求的值；
（3）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，直接寫(xiě)出的取值范圍．
9．（2024?烏魯木齊一模）我們將使得函數(shù)值為零的自變量的值稱(chēng)為函數(shù)的零點(diǎn)．例如，對(duì)于函數(shù)，令，可得，我們就說(shuō)1是函數(shù)的零點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)的零點(diǎn)；
（2）若二次函數(shù)的零點(diǎn)為，，，兩點(diǎn)的坐標(biāo)依次，，，，如果，求的值；
（3）直線(xiàn)的零點(diǎn)為1，且與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，若時(shí)，線(xiàn)段有最小值，求．
10．（2023?崇川區(qū)校級(jí)四模）規(guī)定：如果兩個(gè)函數(shù)圖象上至少存在一組點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，我們則稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)互為“—函數(shù)”．這組點(diǎn)稱(chēng)為“點(diǎn)”．例如：點(diǎn)在函數(shù)上，點(diǎn)在函數(shù)上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，此時(shí)函數(shù)和互為“—函數(shù)”，點(diǎn)與點(diǎn)則為一組“點(diǎn)”．
（1）已知函數(shù)和互為“—函數(shù)”，請(qǐng)求出它們的“點(diǎn)”；
（2）已知函數(shù)和互為“—函數(shù)”，求的最大值并寫(xiě)出“點(diǎn)”；
（3）已知二次函數(shù)與互為“—函數(shù)”有且僅存在一組“點(diǎn)”，如圖，若二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，與軸交于，，，其中，，過(guò)頂點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，記的橫坐標(biāo)為，連接，，．若，求的最小值．
11．（2023?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱(chēng)點(diǎn)為和諧點(diǎn)．例如：點(diǎn)，，，，都是和諧點(diǎn)．
（1）判斷二次函數(shù)的圖象上是否存在和諧點(diǎn)，若存在，求出其和諧點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若二次函數(shù)的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)．
①求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
②若時(shí)，函數(shù)的最小值為1，最大值為3，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（可通過(guò)畫(huà)出函數(shù)圖象草圖來(lái)求解）
12．（2023?海州區(qū)校級(jí)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于兩點(diǎn)，和，，它們橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值與縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值之和稱(chēng)為這兩個(gè)點(diǎn)之間的曼哈頓距離，表示為：．
（1）如果點(diǎn)，則原點(diǎn)與點(diǎn)的曼哈頓距離；
（2）函數(shù)的圖象如圖1所示，是圖象上一點(diǎn)，原點(diǎn)與點(diǎn)的曼哈頓距離，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）點(diǎn)，分別在軸和軸的正半軸上，對(duì)于線(xiàn)段上任意一點(diǎn)，都滿(mǎn)足，則直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為；
（4）如圖2，點(diǎn)，的半徑為2，點(diǎn)在上，則的最小值為．
13．（2023?黃石模擬）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱(chēng)該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”，例如，點(diǎn)是函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”．
（1）試判斷函數(shù)的圖象上是否存在“等值點(diǎn)”？如果存在，求出“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）已知函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”為點(diǎn)和點(diǎn)．
①已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，，且，求的值；
②已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，，且，求的值；
③若函數(shù)的圖象記為將其沿直線(xiàn)翻折后的圖象記為，由，兩部分組成的圖象記為，試求圖象上的“等值點(diǎn)”．
14．（2022?長(zhǎng)沙）若關(guān)于的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為，令函數(shù)，我們不妨把函數(shù)稱(chēng)之為函數(shù)的“共同體函數(shù)”．
（1）①若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的“共同體函數(shù)” 的值；
②若函數(shù)，，為常數(shù)），求函數(shù)的“共同體函數(shù)” 的解析式；
（2）若函數(shù)，求函數(shù)的“共同體函數(shù)” 的最大值；
（3）若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的最大值等于函數(shù)的“共同體函數(shù)“的最小值．若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
15．（2024?長(zhǎng)沙三模）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果函數(shù)的自變量與函數(shù)值滿(mǎn)足：當(dāng)時(shí)，，為實(shí)數(shù)，且，我們稱(chēng)這個(gè)函數(shù)在上是“民主函數(shù)”．比如：函數(shù)在上是“民主函數(shù)”．理由：由，得．，，解得，，是“民主函數(shù)”．
（1）反比例函數(shù)是上的“民主函數(shù)”嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由；
（2）若一次函數(shù)在上是“民主函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式（可用含，的代數(shù)式表示）；
（3）若拋物線(xiàn)在上是“民主函數(shù)”，且在上的最小值為，設(shè)拋物線(xiàn)與直線(xiàn)交于，點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．若的內(nèi)心為，外心為，試求的長(zhǎng)．
16．（2023?南山區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，由兩條與軸有著相同的交點(diǎn)，并且開(kāi)口方向相同的拋物線(xiàn)所圍成的封閉曲線(xiàn)稱(chēng)為“月牙線(xiàn)”．如圖所示，拋物線(xiàn)與拋物線(xiàn)的部分圖象組成一個(gè)“月牙線(xiàn)”，相同的交點(diǎn)分別為，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸的交點(diǎn)分別為，，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（1）求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，試判斷三角形的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，拋物線(xiàn)第三象限上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
17．（2023?宛城區(qū)校級(jí)模擬）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線(xiàn)，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，作該函數(shù)自變量大于的部分關(guān)于直線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)圖形，與原函數(shù)中自變量大于或等于的部分共同構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)圖象，則這個(gè)新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)的“鏡面函數(shù)”．例如：圖①是函數(shù)的圖象，則它關(guān)于直線(xiàn)的“鏡面函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“鏡面函數(shù)”的解析式為，也可以寫(xiě)成．
（1）在圖③中畫(huà)出函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)的“鏡面函數(shù)”的圖象．
（2）函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)的“鏡面函數(shù)”與直線(xiàn)有三個(gè)公共點(diǎn)，求的值．
（3）已知拋物線(xiàn)，關(guān)于直線(xiàn)的“鏡面函數(shù)”圖象上的兩點(diǎn)，，，，當(dāng)，時(shí)，均滿(mǎn)足，直接寫(xiě)出的取值范圍．
18．（2024?昆山市模擬）定義：若存在實(shí)數(shù)對(duì)坐標(biāo)同時(shí)滿(mǎn)足一次函數(shù)和反比例函數(shù)，則二次函數(shù)為一次函數(shù)和反比例函數(shù)的“生成”函數(shù)．
（1）試判斷（需要寫(xiě)出判斷過(guò)程）：一次函數(shù)和反比例函數(shù)是否存在“生成”函數(shù)，若存在，寫(xiě)出它們的“生成”函數(shù)和實(shí)數(shù)對(duì)坐標(biāo)．
（2）已知：整數(shù)，，滿(mǎn)足條件，并且一次函數(shù)與反比例函數(shù)存在“生成”函數(shù)，求的值．
（3）若同時(shí)存在兩組實(shí)數(shù)對(duì)坐標(biāo)，和，使一次函數(shù)和反比例函數(shù)為“生成”函數(shù)，其中，實(shí)數(shù)，，設(shè)，求的取值范圍．（注：一元二次方程的求根公式為
19．（2023?婺城區(qū)一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與某函數(shù)圖象交點(diǎn)記為點(diǎn)，作該函數(shù)圖象中，點(diǎn)及點(diǎn)右側(cè)部分關(guān)于直線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)圖形，與原函數(shù)圖象上的點(diǎn)及點(diǎn)右側(cè)部分共同構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)的圖象，稱(chēng)這個(gè)新函數(shù)為原函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)的“迭代函數(shù)“．例如：圖1是函數(shù)的圖象，則它關(guān)于直線(xiàn)的“迭代函數(shù)“的圖象如圖2所示，可以得出它的“迭代函數(shù)“的解析式為．
（1）寫(xiě)出函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)的“迭代函數(shù)“的解析式為．
（2）若函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)的“迭代函數(shù)“圖象經(jīng)過(guò)，則．
（3）已知正方形的頂點(diǎn)分別為：
，，，，其中．
①若函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)的“迭代函數(shù)“的圖象與正方形有3個(gè)公共點(diǎn)，則；
②若，函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)的“迭代函數(shù)“的圖象與正方形有4個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為．
20．（2023?開(kāi)福區(qū)校級(jí)一模）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義，當(dāng)自變量滿(mǎn)足，為實(shí)數(shù)，時(shí)，函數(shù)有最大值，且最大值為，則稱(chēng)該函數(shù)為理想函數(shù)．
（1）當(dāng)，時(shí)，在①；②中，是理想函數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)是理想函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；
（3）已知二次函數(shù)是理想函數(shù)，且最大值為．將該函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度所得圖象記為，若圖象的頂點(diǎn)為，與軸交于，在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別為的外心和內(nèi)心，求以為邊長(zhǎng)的正方形面積．
21．（2023?門(mén)頭溝區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圖形上的兩點(diǎn)，（點(diǎn)，不重合）和另一點(diǎn)，給出如下定義：連接，，如果，則稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，的“條件拐點(diǎn)”．
（1）如圖1，已知線(xiàn)段上的兩點(diǎn)，．
①點(diǎn)，，中，點(diǎn)，的“條件拐點(diǎn)”是；
②如果過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線(xiàn)上存在點(diǎn)，的“條件拐點(diǎn)”，求的取值范圍；
（2）如圖2，已知點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)軸，點(diǎn)，在直線(xiàn)上，且．如果直線(xiàn)上存在點(diǎn)，的“條件拐點(diǎn)”，直接寫(xiě)出的取值范圍．
22．（2023?西城區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，我們給出如下定義：將圖形繞直線(xiàn)上某一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，得到圖形，我們稱(chēng)圖形為圖形關(guān)于點(diǎn)的二次關(guān)聯(lián)圖形．已知點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)是，直接寫(xiě)出點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的二次關(guān)聯(lián)圖形的坐標(biāo) ；
（2）若點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的二次關(guān)聯(lián)圖形與點(diǎn)重合，求點(diǎn)的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）；
（3）已知的半徑為1，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的二次關(guān)聯(lián)圖形在上且不與點(diǎn)重合．若線(xiàn)段，其關(guān)于點(diǎn)的二次關(guān)聯(lián)圖形上的任意一點(diǎn)都在及其內(nèi)部，求此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．
題型三：三角形中的新定義問(wèn)題
1．（2023?晉中模擬）閱讀下列材料并完成任務(wù)．
任務(wù)：
（1）上述證明過(guò)程中的“依據(jù)”是指什么？
（2）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明過(guò)程的剩余部分；
（3）如圖3，在中，，點(diǎn)是的一個(gè)旁心且在邊的下方．
①利用尺規(guī)作出旁心；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
②若，外接圓的半徑為2，則．
2．（2024?道里區(qū)校級(jí)一模）①請(qǐng)閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：
定義：點(diǎn)是內(nèi)部或邊上的點(diǎn)（頂點(diǎn)除外），在，或中，如果有一個(gè)三角形與相似，那么稱(chēng)點(diǎn)是的“相似點(diǎn)”．
例：如圖 ①，點(diǎn)在的內(nèi)部，，，則，故點(diǎn)為的“相似點(diǎn)“．
請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合上述材料，解決下列問(wèn)題：
（1）如圖②，在中，，，平分，求證：點(diǎn)為的“相似點(diǎn)”；
（2）如圖③，若為銳角三角形，點(diǎn)是的“相似點(diǎn)”，且點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)在的平分線(xiàn)上，連接，若，求的值；
（3）如圖④，在菱形中，是上一點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，且，連接與交于點(diǎn)，連接，，若點(diǎn)是的“相似點(diǎn)”，且，求證：．
3．（2023?平谷區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于，其中，，給出如下定義：將邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，連接，與的過(guò)點(diǎn)的高線(xiàn)交于點(diǎn)，將點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)得到點(diǎn)，我們稱(chēng)為的留緣點(diǎn)．
（1）若，，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出的留緣點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）已知，，若線(xiàn)段上存在的留緣點(diǎn)，求的取值范圍．
4．（2022?廣陵區(qū)一模）學(xué)習(xí)過(guò)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．
類(lèi)似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)．如圖，在中，，頂角的正對(duì)記作，這時(shí)．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．
根據(jù)上述對(duì)角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題：
（1）的值為．
．．1 ．．2
（2）對(duì)于，的正對(duì)值的取值范圍是．
（3）已知，其中為銳角，試求的值．
5．（2023?丹徒區(qū)模擬）如圖1，在中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，若滿(mǎn)足，則稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)的“和諧點(diǎn)”．
（1）如圖2，．
①求證：點(diǎn)是點(diǎn)的“和諧點(diǎn)”；
②在邊上還存在某一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得點(diǎn)也是點(diǎn)的“和諧點(diǎn)”，請(qǐng)?jiān)趫D2中僅用圓規(guī)作圖，找出點(diǎn)的位置，并寫(xiě)出證明過(guò)程．（保留作圖痕跡）
（2）如圖3，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且點(diǎn)是點(diǎn)的“和諧點(diǎn)”．
①若，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若滿(mǎn)足條件的點(diǎn)恰有2個(gè)，直接寫(xiě)出長(zhǎng)的取值范圍是．
6．（2022?柯城區(qū)校級(jí)三模）定義：若三角形的一條邊上的高線(xiàn)與這條邊相等，則稱(chēng)這個(gè)三角形為“標(biāo)準(zhǔn)三角形”．如：在，于點(diǎn)，，則為標(biāo)準(zhǔn)三角形．
【概念感知】
判斷：對(duì)的打“”，錯(cuò)的打“”．
（1）等腰直角三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形．
（2）頂角為的等腰三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形．
【概念理解】
若一個(gè)等腰三角形為標(biāo)準(zhǔn)三角形，則此三角形的三邊長(zhǎng)之比為．
【概念應(yīng)用】
（1）如圖，若為標(biāo)準(zhǔn)三角形，于點(diǎn)，，求的最小值．
（2）若一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)三角形的其中一邊是另一邊的倍，求最小角的正弦值．
7．（2023?廣陵區(qū)校級(jí)四模）我們定義：若一個(gè)三角形最大邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線(xiàn)段，且這兩條線(xiàn)段的積等于這個(gè)點(diǎn)到最大邊所對(duì)頂點(diǎn)連線(xiàn)的平方，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為這個(gè)三角形的“比例中點(diǎn)”．例如：如圖1，已知鈍角中，是鈍角，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，連接，若，則稱(chēng)點(diǎn)是的“比例中點(diǎn)”．
（1）如圖2，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，，若點(diǎn)是的“比例中點(diǎn)”，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）如圖3，已知中，，，，若點(diǎn)是的“比例中點(diǎn)”，求；
（3）如圖4，已知是等邊三角形，因?yàn)榈冗吶切蔚娜呄嗟?，所以其中任意一條邊都可以看成最大邊，試判斷等邊三角形有沒(méi)有“比例中點(diǎn)”？說(shuō)明理由．
8．（2022?任城區(qū)三模）我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)．如圖①在中，，頂角的正對(duì)記作，這時(shí)．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題：
（1）．
（2）．
（3）如圖②，已知，其中為銳角，試求的值．
題型四：四邊形中的新定義問(wèn)題
1．（2024?河北區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，矩形的頂點(diǎn)，，，等邊的頂點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)．
（Ⅰ）填空：如圖①，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（Ⅱ）將等邊沿水平方向向右平移，得到等邊△，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，設(shè)，等邊△與矩形重疊部分面積記為．
①如圖②，當(dāng)邊與相交于點(diǎn)，邊與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)且矩形與△重疊部分為五邊形時(shí)，試用含有的式子表示，并直接寫(xiě)出的取值范圍；
②當(dāng)時(shí)，求的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．
2．（2023?靖江市校級(jí)三模）【概念認(rèn)識(shí)】定義：對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．
（1）如圖1，已知在垂等四邊形中，對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)，若，，，則的長(zhǎng)度．
【數(shù)學(xué)理解】（2）在探究如何畫(huà)“圓內(nèi)接垂等四邊形”的活動(dòng)中，小李想到可以利用八年級(jí)的所學(xué)三角形全等．如圖2，在中，已知是弦，、是半徑，求作：的內(nèi)接垂等四邊形．（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留痕跡）
【問(wèn)題解決】（3）如圖3，已知是上一定點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作出的內(nèi)接垂等四邊形、不重合且、、三點(diǎn)不共線(xiàn)），對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)，的半徑為，當(dāng)點(diǎn)到的距離為時(shí)，求弦的長(zhǎng)度．
3．（2023?射陽(yáng)縣一模）定義：若四邊形中某個(gè)頂點(diǎn)與其它三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，則這個(gè)四邊形叫做等距四邊形，這個(gè)頂點(diǎn)叫做這個(gè)四邊形的等距點(diǎn)．
（1）判斷：一個(gè)內(nèi)角為的菱形等距四邊形；（填“是”或“不是”
（2）如圖2，在的網(wǎng)格圖中有、兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)诮o出的兩個(gè)網(wǎng)格圖上各找出、兩個(gè)格點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形以為等距點(diǎn)的“等距四邊形”，畫(huà)出相應(yīng)的“等距四邊形”（互不全等），并寫(xiě)出該等距四邊形的端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)．端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為；
（3）如圖，在海上，兩處執(zhí)行任務(wù)的兩艘巡邏艇，根據(jù)接到指令，兩艇同時(shí)出發(fā)，艇直接回到駐地，艇到島執(zhí)行某項(xiàng)任務(wù)后回到駐地（在島執(zhí)行任務(wù)的時(shí)間忽略不計(jì)），已知，，三點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，，，，若艇速度為，試問(wèn)艇的速度是多少時(shí)，才可以和艇同時(shí)回到駐地？
4．（2023?蒲城縣一模）【了解概念】
定義提出：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．
【理解運(yùn)用】
（1）如圖1，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線(xiàn)段、的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，在圖1的方格紙中畫(huà)出一個(gè)等鄰邊四邊形，要求：點(diǎn)在格點(diǎn)上；
（2）如圖2，在等鄰邊四邊形中，，，，，求的長(zhǎng)；
【拓展提升】
（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)、分別在、軸正半軸上，已知，，是的中點(diǎn)．在矩形內(nèi)或邊上，是否存在點(diǎn)，使四邊形為面積最大的“等鄰邊四邊形”，若存在，請(qǐng)求出四邊形的最大面積及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
5．（2023?涪城區(qū)模擬）定義：我們把一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等且不平行的四邊形叫做等腰梯形．
【性質(zhì)初探】如圖1，已知，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連結(jié)，四邊形恰為等腰梯形．求的度數(shù)；
【性質(zhì)再探】如圖2，已知四邊形是矩形，以為一邊作等腰梯形，，連結(jié)、．求證：；
【拓展應(yīng)用】如圖3，的對(duì)角線(xiàn)、交于點(diǎn)，，，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連結(jié)．若，求的長(zhǎng)．
6．（2023?常州模擬）定義：我們把對(duì)角線(xiàn)相等的凸四邊形叫做“等角線(xiàn)四邊形”．
（1）在已經(jīng)學(xué)過(guò)的“①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形“中，一定是“等角線(xiàn)四邊形”的是（填序號(hào)）；
（2）如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，且，連接，，求證：四邊形是等角線(xiàn)四邊形；
（3）如圖2，中，，，，為線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上一點(diǎn)，若以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是等角線(xiàn)四邊形，求這個(gè)等角線(xiàn)四邊形的面積．
7．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）定義：我們知道，四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)把這個(gè)四邊形分成了兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似（不全等），我們就把這條對(duì)角線(xiàn)叫做這個(gè)四邊形的“相似對(duì)角線(xiàn)”．
（1）如圖1，的三個(gè)頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)上，若四邊形是以為“相似對(duì)角線(xiàn)”的四邊形，請(qǐng)只用無(wú)刻度的直尺，就可以在網(wǎng)格中畫(huà)出點(diǎn)，請(qǐng)你在圖1中找出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，保留畫(huà)圖痕跡（找出2個(gè)即可）
（2）①如圖2，在四邊形中，，，對(duì)角線(xiàn)平分．請(qǐng)問(wèn)是四邊形的“相似對(duì)角線(xiàn)”嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②若，求的值．
（3）如圖3，在（2）的條件下，若時(shí)，將以為位似中心，位似比為縮小得到，連接、，在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)所在的直線(xiàn)垂直于時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
8．（2022春?柯橋區(qū)月考）定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．
（1）閱讀與理解：
如圖1，四邊形內(nèi)接于，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)．四邊形（填“是”或“不是” 等補(bǔ)四邊形．
（2）探究與運(yùn)用：
①如圖2，在等補(bǔ)四邊形中，，連接，是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②如圖3，在等補(bǔ)四邊形中，，其外角的平分線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．
（3）思考與延伸：
在等補(bǔ)四邊形中，，，當(dāng)對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度最大時(shí)，以為斜邊作等腰直角三角形，直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)度．
9．（2023?澧縣三模）定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱(chēng)為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡(jiǎn)稱(chēng)“直等補(bǔ)”四邊形．
根據(jù)以上定義，解決下列問(wèn)題：
（1）如圖1，正方形中是上的點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與重合，此時(shí)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則四邊形（填“是”或“不是” “直等補(bǔ)”四邊形；
（2）如圖2，已知四邊形是“直等補(bǔ)”四邊形，，，，過(guò)點(diǎn)作于．
①過(guò)作于點(diǎn)，試證明：，并求的長(zhǎng)；
②若是邊上的動(dòng)點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最小值．
10．（2023?平遠(yuǎn)縣一模）綜合與實(shí)踐
折紙是一項(xiàng)有趣的活動(dòng)，折紙活動(dòng)也伴隨著我們初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)．在折紙過(guò)程中，我們可以研究圖形的運(yùn)動(dòng)和性質(zhì)，也可以在思考問(wèn)題的過(guò)程中，初步建立幾何直觀，現(xiàn)在就讓我們帶著數(shù)學(xué)的眼光來(lái)折紙吧．定義：將紙片折疊，若折疊后的圖形恰能拼合成一個(gè)無(wú)縫隙、無(wú)重疊的長(zhǎng)方形，這樣的長(zhǎng)方形稱(chēng)為完美長(zhǎng)方形．
（1）操作發(fā)現(xiàn)：
如圖1，將紙片按所示折疊成完美長(zhǎng)方形，若的面積為12，，則此完美長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng) ，面積為．
（2）類(lèi)比探究：
如圖2，將紙片按所示折疊成完美長(zhǎng)方形，若的面積為20，，求完美長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)．
（3）拓展延伸：
如圖3，將紙片按所示折疊成完美長(zhǎng)方形，若，，則此完美長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為，面積為．
11．（2023?五華縣一模）【定義】：
對(duì)角線(xiàn)相等且所夾銳角為的四邊形叫“等角線(xiàn)四邊形”．
如圖1，四邊形為“等角線(xiàn)四邊形”，即，．
【定義探究】：
（1）判斷下列四邊形是否為“等角線(xiàn)四邊形”，如果是在括號(hào)內(nèi)打“”，如果不是打“”．
①對(duì)角線(xiàn)所夾銳角為的平行四邊形．
②對(duì)角線(xiàn)所夾銳角為的矩形．
③對(duì)角線(xiàn)所夾銳角為，且順次連接各邊中點(diǎn)所形成的四邊形是菱形的四邊形．
【性質(zhì)探究】：
（2）如圖2，以為邊，向下構(gòu)造等邊，連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的大小關(guān)系；
（3）請(qǐng)判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
【應(yīng)用提升】：
（4）若“等角線(xiàn)四邊形”的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2，則該四邊形周長(zhǎng)的最小值為．
12．（2023?任城區(qū)校級(jí)三模）定義：長(zhǎng)寬比為為正整數(shù)）的矩形稱(chēng)為矩形．
下面，我們通過(guò)折疊的方式折出一個(gè)矩形，如圖①所示．
操作1：將正方形沿過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)折疊，使折疊后的點(diǎn)落在對(duì)角線(xiàn)上的點(diǎn)處，折痕為．
操作2：將沿過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)，點(diǎn)分別落在邊，上，折痕為．
則四邊形為矩形．
證明：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則．
由折疊性質(zhì)可知，，則四邊形為矩形．
．
．
，即．
．
．
四邊形為矩形．
閱讀以上內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：
（1）在圖①中，所有與相等的線(xiàn)段是，的值是；
（2）已知四邊形為矩形，模仿上述操作，得到四邊形，如圖②，求證：四邊形是矩形；
（3）將圖②中的矩形沿用（2）中的方式操作3次后，得到一個(gè)“矩形”，則的值是．
題型五：圓中的新定義問(wèn)題
1．（2024?大連模擬）【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】
如圖，某公園在一個(gè)扇形草坪上的圓心處垂直于草坪的地上豎一根柱子，在處安裝一個(gè)自動(dòng)噴水裝置，噴頭向外噴水，愛(ài)思考的小騰發(fā)現(xiàn)噴出的水流呈現(xiàn)出拋物線(xiàn)形狀．
【提出問(wèn)題】
噴出的水距地面的高度米與噴出的水與池中心的水平距離米之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？
【分析問(wèn)題】
小騰測(cè)出連噴頭在內(nèi)柱高，噴出的水流在與點(diǎn)的水平距離4米處達(dá)到最高點(diǎn)，點(diǎn)距離地面2米．于是小騰以所在直線(xiàn)為軸，垂直于的地平線(xiàn)為軸，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)測(cè)量結(jié)果得到點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到與函數(shù)關(guān)系式．
【解決問(wèn)題】
（1）如圖1，在建立的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，水流的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，求拋物線(xiàn)水流對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)噴頭旋轉(zhuǎn)時(shí)，這個(gè)草坪剛好被水覆蓋，求噴水裝置能?chē)姽嗟牟萜旱拿娣e（結(jié)果用含的式子表示）；
（3）在扇形的一塊三角形區(qū)域地塊中，現(xiàn)要建造一個(gè)矩形花壇，如圖2的設(shè)計(jì)方案是使、分別在、上，在上．設(shè)米，當(dāng)為多少米時(shí)，矩形花壇的面積最大？最大面積是多少平方米？
2．（2023?湖南模擬）定義：如圖1，是的直徑，若弦，則稱(chēng)弦為的緯線(xiàn)．
（1）如圖1，弦是的緯線(xiàn)，求證：；
（2）弦和弦都是半徑為5的的緯線(xiàn)，，，，求這兩條緯線(xiàn)之間的距離；
（3）如圖2，弦和弦是直徑兩側(cè)的緯線(xiàn)，連接、、、、、，的半徑為，記四邊形，，的面積依次為，，，若同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件時(shí)，求的最大值（用含的式子表示）．
①；
②其中的一條緯線(xiàn)長(zhǎng)不超過(guò)半徑．
3．（2023?靖江市校級(jí)三模）【概念認(rèn)識(shí)】定義：對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．
（1）如圖1，已知在垂等四邊形中，對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)，若，，，則的長(zhǎng)度．
【數(shù)學(xué)理解】（2）在探究如何畫(huà)“圓內(nèi)接垂等四邊形”的活動(dòng)中，小李想到可以利用八年級(jí)的所學(xué)三角形全等．如圖2，在中，已知是弦，、是半徑，求作：的內(nèi)接垂等四邊形．（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留痕跡）
【問(wèn)題解決】（3）如圖3，已知是上一定點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作出的內(nèi)接垂等四邊形、不重合且、、三點(diǎn)不共線(xiàn)），對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)，的半徑為，當(dāng)點(diǎn)到的距離為時(shí)，求弦的長(zhǎng)度．
4．（2023?海淀區(qū)校級(jí)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，，且，兩點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在外．給出如下定義：平移線(xiàn)段，得到線(xiàn)段，分別為點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），若線(xiàn)段上所有的點(diǎn)都在的內(nèi)部或上，則線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值稱(chēng)為線(xiàn)段到的“平移距離”．
（1）如圖1，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，線(xiàn)段到的“平移距離”為，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，，，線(xiàn)段到的“平移距離”為；
（2）若點(diǎn)，都在直線(xiàn)上，記線(xiàn)段到的“平移距離”為，求的最小值；
（3）如圖2，若點(diǎn)坐標(biāo)為，線(xiàn)段到的“平移距離”為1，畫(huà)圖并說(shuō)明所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)形成的圖形（不需證明）．
5．（2023?青山區(qū)模擬）在同一個(gè)圓中兩條互相垂直且相等的弦定義為“等垂弦”，如圖①，、是的弦，如果，，垂足為，則、是等垂弦．
（1）如圖②，是的弦，作、，分別交于點(diǎn)、，連接，求證：、是的等垂弦；
（2）在圖①中，的半徑為5，為等垂弦、的分割點(diǎn)，，求的長(zhǎng)度．
6．（2023?天寧區(qū)校級(jí)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，為任意一點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)．給出如下定義：記，兩點(diǎn)間的距離的最小值為（規(guī)定：點(diǎn)在上時(shí)，，最大值為，那么把的值稱(chēng)為點(diǎn)與的“關(guān)聯(lián)距離”，記作．
（1）如圖，點(diǎn)，，的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．
① ；
②若點(diǎn)在線(xiàn)段上，求的取值范圍；
（2）若點(diǎn)在直線(xiàn)上，直接寫(xiě)出的取值范圍；
（3）正方形的邊長(zhǎng)為，若點(diǎn)在該正方形的邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿(mǎn)足的最小值為1，最大值為，直接寫(xiě)出的最小值和最大值．
7．（2024?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，．對(duì)于一個(gè)角，將一個(gè)圖形先繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，稱(chēng)為一次“對(duì)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)”．
（1）點(diǎn)在線(xiàn)段上，則在點(diǎn)，，，中，有可能是由點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次“對(duì)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)”后得到的點(diǎn)是；
（2）軸上的一點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次“對(duì)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)”得到點(diǎn)．
①當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，若軸，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）以點(diǎn)為圓心作半徑為1的圓．若在上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次“對(duì)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)”后得到的點(diǎn)在軸上，直接寫(xiě)出的取值范圍．
8．（2024?海淀區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于與，給出如下定義：若的一個(gè)頂點(diǎn)在上，除這個(gè)頂點(diǎn)外與存在且僅存在一個(gè)公共點(diǎn)，則稱(chēng)為的“相關(guān)三角形”．
（1）如圖1，的半徑為1，點(diǎn)，為的“相關(guān)三角形”．
在點(diǎn)，，，這三個(gè)點(diǎn)中，點(diǎn)可以與點(diǎn)重合；
（2）如圖2，的半徑為1，點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，點(diǎn)在第一象限，若為直角三角形，且為的“相關(guān)三角形”．求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）的半徑為，直線(xiàn)與在第一象限的交點(diǎn)為，點(diǎn)，若平面直角坐標(biāo)系中存在點(diǎn)（點(diǎn)在軸下方），使得為等腰直角三角形，且為的“相關(guān)三角形”．直接寫(xiě)出的取值范圍．
9．（2024?海淀區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于直線(xiàn)，給出如下定義：若直線(xiàn)與某個(gè)圓相交，則兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離稱(chēng)為直線(xiàn)關(guān)于該圓的“圓截距”．
（1）如圖1，的半徑為1，當(dāng)，時(shí)，直接寫(xiě)出直線(xiàn)關(guān)于的“圓截距”；
（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，
①如圖2，若的半徑為1，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)關(guān)于的“圓截距”小于，求的取值范圍；
②如圖3，若的半徑為2，當(dāng)?shù)娜≈翟趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，直線(xiàn)關(guān)于的“圓截距”的最小值2，直接寫(xiě)出的值．
10．（2024?天寧區(qū)校級(jí)模擬）對(duì)于與上一點(diǎn)，若平面內(nèi)的點(diǎn)滿(mǎn)足：射線(xiàn)與交于點(diǎn)，且，則稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于的“倍距點(diǎn)”．已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，．
（1）如圖1，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的半徑是，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的“倍距點(diǎn)”．
①若點(diǎn)在軸正半軸上，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)是；
②若點(diǎn)在第一象限，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于、，若一次函數(shù)的圖象上存在唯一一點(diǎn)，使點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的“倍距點(diǎn)”，求的值．
11．（2023?石景山區(qū)一模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)和圖形、給出如下定義：若圖形上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在圖形上，則稱(chēng)點(diǎn)為圖形的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．
（1）圖形是線(xiàn)段，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
①如圖1，在點(diǎn)，，，中，線(xiàn)段的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是；
②如圖2，若直線(xiàn)上存在點(diǎn)，使點(diǎn)為線(xiàn)段的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求的取值范圍；
（2）圖形是以為圓心，1為半徑的．已知點(diǎn)，，．若線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使點(diǎn)為的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫(xiě)出的取值范圍．
12．（2023?大興區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，．點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），若是以線(xiàn)段為斜邊的直角三角形，則稱(chēng)點(diǎn)為線(xiàn)段的直點(diǎn)．
（1）若，
①在點(diǎn)，，這三個(gè)點(diǎn)中，點(diǎn) 是線(xiàn)段的直點(diǎn)；
②點(diǎn)為線(xiàn)段的直點(diǎn)，點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）點(diǎn)在直線(xiàn)上，若點(diǎn)的橫坐標(biāo) 滿(mǎn)足，點(diǎn)為線(xiàn)段的直點(diǎn)，且，直接寫(xiě)出的取值范圍．
13．（2023?房山區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，有圖形和點(diǎn)，我們規(guī)定：若圖形上存在點(diǎn)、（點(diǎn)和可以重合），滿(mǎn)足，其中點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則稱(chēng)點(diǎn)是圖形的“對(duì)稱(chēng)平衡點(diǎn)”．
（1）如圖1所示，已知，點(diǎn)，點(diǎn)．
①在點(diǎn)，，中，是線(xiàn)段的“對(duì)稱(chēng)平衡點(diǎn)”的是；
②線(xiàn)段上是否存在線(xiàn)段的“對(duì)稱(chēng)平衡點(diǎn)”？若存在，請(qǐng)求出符合要求的“對(duì)稱(chēng)平衡點(diǎn)”的橫坐標(biāo)的范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如圖2，以點(diǎn)為圓心，1為半徑作．坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)滿(mǎn)足，再以點(diǎn)為圓心，1為半徑作，若上存在的“對(duì)稱(chēng)平衡點(diǎn)”，直接寫(xiě)出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍．
14．（2023?廣陵區(qū)校級(jí)一模）【概念學(xué)習(xí)】
在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，若平移個(gè)單位后，使某圖形上所有點(diǎn)在內(nèi)或上，則稱(chēng)的最小值為對(duì)該圖形的“最近覆蓋距離”．例如，如圖①，，，則對(duì)線(xiàn)段的“最近覆蓋距離”為3．
【概念理解】
（1）對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為．
（2）如圖②，點(diǎn)是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為3，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖③，若一次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，使對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為1，求的取值范圍．
（4）、，且，將對(duì)線(xiàn)段的“最近覆蓋距離”記為，則的取值范圍是．
15．（2023?海淀區(qū)校級(jí)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，給定圖形和點(diǎn)，若圖形上存在兩個(gè)點(diǎn)，滿(mǎn)足且，則稱(chēng)點(diǎn)是圖形的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．
已知點(diǎn)，，．
（1）在點(diǎn)，，，，，中，是線(xiàn)段的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；
（2）是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．
①當(dāng)時(shí)，若線(xiàn)段上任一點(diǎn)均為的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求的取值范圍；
②記線(xiàn)段與線(xiàn)段組成折線(xiàn)，若存在，使折線(xiàn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)都是的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫(xiě)出的最小值．
16．（2024?北京一模）對(duì)于平面內(nèi)的兩點(diǎn)、，作出如下定義：若點(diǎn)是點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得到的點(diǎn)，則稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；若旋轉(zhuǎn)角小于，則稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．如圖1，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．
（1）已知點(diǎn)，在點(diǎn)，，，，中，是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的是．
（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（3）點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，，，點(diǎn)是以為圓心，3為半徑的圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足．若直線(xiàn)上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．
17．（2023?清江浦區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和線(xiàn)段，若線(xiàn)段或的垂直平分線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，則稱(chēng)點(diǎn)為線(xiàn)段的融合點(diǎn)．
（1）已知，，
①在點(diǎn)，，中，線(xiàn)段的融合點(diǎn)是；
②若直線(xiàn)上存在線(xiàn)段的融合點(diǎn)，求的取值范圍；
已知的半徑為4，，，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，記線(xiàn)段關(guān)于的對(duì)稱(chēng)線(xiàn)段為．若對(duì)于實(shí)數(shù)，存在直線(xiàn)，使得上有的融合點(diǎn)，直接寫(xiě)出的取值范圍．
18．（2023?西城區(qū)校級(jí)模擬）在平面內(nèi)，為線(xiàn)段外的一點(diǎn)，若以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，則稱(chēng)為線(xiàn)段的直角點(diǎn)．特別地，當(dāng)該三角形為等腰直角三角形時(shí)，稱(chēng)為線(xiàn)段的等腰直角點(diǎn)．
（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在點(diǎn)，，，中，線(xiàn)段的直角點(diǎn)是；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，．
①若，如圖2所示，若是線(xiàn)段的直角點(diǎn)，且點(diǎn)在直線(xiàn)上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②如圖3，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的半徑為1，若上存在線(xiàn)段的等腰直角點(diǎn)，求出的取值范圍．
19．（2023?秀洲區(qū)校級(jí)二模）婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，二次方程等方面均有建樹(shù)，他也研究過(guò)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類(lèi)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱(chēng)為“婆氏四邊形”；
（1）若平行四邊形是“婆氏四邊形”，則四邊形是．（填序號(hào)）
①矩形②菱形③正方形
（2）如圖1，中，，以為弦的交于，交于，連接、、，，，若四邊形是“婆氏四邊形”，求的長(zhǎng)；
（3）如圖2，四邊形為的內(nèi)接四邊形，連接，，，，，，已知，
①求證：四邊形是“婆氏四邊形”；
②當(dāng)時(shí)，求半徑的最小值．
20．（2023?西城區(qū)校級(jí)模擬），是上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)在的內(nèi)部．若為直角，則稱(chēng)為關(guān)于的內(nèi)直角，特別地，當(dāng)圓心在邊（含頂點(diǎn)）上時(shí)，稱(chēng)為關(guān)于的最佳內(nèi)直角．如圖1，是關(guān)于的內(nèi)直角，是關(guān)于的最佳內(nèi)直角．在平面直角坐標(biāo)系中．
（1）如圖2，的半徑為5，，是上兩點(diǎn)．
①已知，，，在，，中，是關(guān)于的內(nèi)直角的是；
②若在直線(xiàn)上存在一點(diǎn)，使得是關(guān)于的內(nèi)直角，求的取值范圍．
（2）點(diǎn)是以為圓心，4為半徑的圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右邊）．現(xiàn)有點(diǎn)，，對(duì)于線(xiàn)段上每一點(diǎn)，都存在點(diǎn)，使是關(guān)于的最佳內(nèi)直角，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最大值，以及取得最大值時(shí)的取值范圍．
抽取序號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
箱沙糖桔直徑
4.5
4.4
4.6
4.5
4.4
4.5
4.6
4.6
4.5
4.4
箱沙糖桔直徑
4.4
4.3
4.4
4.7
4.4
4.8
4.5
4.2
4.8
4.5
統(tǒng)計(jì)量
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
4.5
4.5
4.4
三角形的旁心
三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)和其他兩個(gè)內(nèi)角的外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，稱(chēng)為三角形的旁心，每個(gè)三角形有三個(gè)旁心．如圖1，的平分線(xiàn)與另外兩個(gè)內(nèi)角，的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，則點(diǎn)是的一個(gè)旁心．
旁心與三角形的半周長(zhǎng)（即周長(zhǎng)的一半）關(guān)系密切，如圖2，過(guò)的旁心分別作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，則．
下面是部分證明過(guò)程：
平分，，，
．（依據(jù)）
同理可得，．

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