通用的解題思路：
隱圓一般有如下呈現(xiàn)方式：（1）定點(diǎn)定長(zhǎng)：當(dāng)遇到同一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)的等長(zhǎng)線段時(shí)，通常以這個(gè)端點(diǎn)為圓心，等線段長(zhǎng)為半徑構(gòu)造輔助圓；（2）定弦定角：當(dāng)遇到動(dòng)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)對(duì)定線段所張的角為定值時(shí)，通常把張角轉(zhuǎn)化為圓周角構(gòu)造輔助圓。當(dāng)遇到直角時(shí)，通常以斜邊為直徑構(gòu)造輔助圓。（3）四點(diǎn)共圓：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。隱圓常與線段最值結(jié)合考查。
類型1：定點(diǎn)定長(zhǎng)
1．（2023?新城區(qū)校級(jí)三模）圓的定義：在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)所組成的圖形．
（1）已知：如圖1，，請(qǐng)利用圓規(guī)畫出過、．三點(diǎn)的圓．若，則 ．
如圖，中，，，．
（2）已知，如圖2．點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，將沿方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)、、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、、，求四邊形的面積和的大?。?br>（3）如圖3，將邊沿方向平移個(gè)單位至，是否存在這樣的，使得直線上有一點(diǎn)，滿足且此時(shí)四邊形的面積最大？若存在，求出四邊形面積的最大值及平移距離，若不存在，說明理由．
【分析】（1）利用圓的定義知，，三點(diǎn)共圓，再利用圓周角定理求解．
（2）根據(jù)圖形的平移性質(zhì)，判定平移后圖形形狀，繼而確定面積的計(jì)算方式和方法，角度問題也迎刃而解．
（3）因角度不變，借助圓周角定點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)角度不變的思想，判斷出點(diǎn)能夠向右移動(dòng)的最大距離，求出四邊形的最大面積．
【解答】（1）以為圓心，為半徑作輔助圓，如圖，
，
，
，
故答案為．
（2）連接，，如圖，
，
中，，，．
，，．
為斜邊中點(diǎn)，
，
線段平移到之后，，，
四邊形為菱形，
，
，
，且，
四邊形為直角梯形，
，
（3）如圖所示，以為斜邊在的右側(cè)作等腰直角三角形，以為圓心，為半徑作，
當(dāng)邊沿方向平移個(gè)單位至?xí)r，
滿足且此時(shí)四邊形的面積最大，
直線與相切于點(diǎn)，
連接交于，過點(diǎn)作于，
則，，，
，，，
，，
，，，
，，
，
，
此時(shí)直角梯形的最大面積為：
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形的平移，圓心角，圓周角之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，找到極值點(diǎn)求解．
2．（2024?蘭州模擬）綜合與實(shí)踐
【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，“希望小組”的同學(xué)們以三角形為背景，探究圖形變化過程中的幾何問題，如圖，在中，，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)，，三點(diǎn)不共線），為的中線．
【初步嘗試】（1）如圖1，小林同學(xué)發(fā)現(xiàn)：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接．始終存在以下兩個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你在①，②中挑選一個(gè)進(jìn)行證明：
①；②；
【類比探究】（2）如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．小斌同學(xué)沿著小林同學(xué)的思考進(jìn)一步探究后發(fā)現(xiàn)：，請(qǐng)你幫他證明；
【拓展延伸】（3）如圖3，在（2）的條件下，王老師提出新的探究方向：點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，直線與直線相交于點(diǎn)，連接，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中存在最大值．若，請(qǐng)直接寫出的最大值．
【分析】（1）利用證明，可得，再結(jié)合，即可證得；由全等三角形性質(zhì)可得，再運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)即可證得；
（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接．利用證得，可得，再由，可證得；
（3）延長(zhǎng)至，使，設(shè)交于，連接交于，取中點(diǎn)，連接，可證得，利用三角形中位線定理可得，即，利用直角三角形性質(zhì)可得，得出點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的上運(yùn)動(dòng)，連接并延長(zhǎng)交于，可得的長(zhǎng)為的最大值，再運(yùn)用勾股定理即可求得答案．
【解答】（1）證明：①為的中線，
，
在和中，
，
，
，
，
；
②由①知，
，
，
；
（2）證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接．
由旋轉(zhuǎn)得：，，
，，
，
由（1）②得：，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）如圖3，延長(zhǎng)至，使，設(shè)交于，連接交于，取中點(diǎn)，連接，
由旋轉(zhuǎn)得：，，
，，
，
，
即，
在和中，
，
，
，即，
，
，
，
、分別是、的中點(diǎn)，
是的中位線，
，即，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的上運(yùn)動(dòng)，
連接并延長(zhǎng)交于，
的長(zhǎng)為的最大值，
在中，，
，
的最大值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何綜合題，考查了三角形的全等的性質(zhì)與判定，兩直線垂直的判定，三角形中位線定理，勾股定理，圓的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．
3．（2022?番禺區(qū)二模）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，，．其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)在拋物線第一象限的圖象上，垂足為，軸交直線于點(diǎn)，當(dāng)面積等于4時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，延長(zhǎng)與線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，點(diǎn)為，，三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的外心，求點(diǎn)經(jīng)過的路線長(zhǎng)．
【分析】（1）利用對(duì)稱性，求得和的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；
（2）證明和都為等腰直角三角形，利用等面積法求得，再求得直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求解即可；
（3）先求得，推出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑時(shí)的中點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的中點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)，證明四邊形為正方形，即可求解．
【解答】解：（1）點(diǎn)，點(diǎn)兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，，
，，
代入得，
，解得：，
拋物線的解析式為．
（2）如圖1所示：
軸，
，
拋物線的解析式為，
頂點(diǎn)，
，
，，
為等腰直角三角形，
，
，
為等腰直角三角形，
，，
，
，
，
設(shè)直線的解析式為，則
，解得：，
直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)，則，
，
解得：或（舍，
，．
（3）如圖2所示，
是直角三角形，
的外心是斜邊的中點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，△，其外心是斜邊的中點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，得△，其外心是斜邊的中點(diǎn)，即的中點(diǎn)，
，，
，
，
由（2）得，，
，
，
，
平分，，
點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，
點(diǎn)在線段的垂直平分線上，即點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，即點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條線段．
，，
四邊形為正方形，
此時(shí)點(diǎn)在上，且；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在上，即為，且，
由題意，，，，，
△，
，解得，
，
由勾股定理可得：，
即點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)為1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，三角形外接圓的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，勾股定理，三角函數(shù)解直角三角形等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線是解題的關(guān)鍵．
4．（2021?紅谷灘區(qū)校級(jí)模擬）（1）學(xué)習(xí)心得：小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到有一些幾何問題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問題變得非常容易．
例如：如圖1，在中，，，是外一點(diǎn)，且，求的度數(shù)．若以點(diǎn)為圓心，為半徑作輔助圓，則點(diǎn)、必在上，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到 ．
（2）問題解決：
如圖，在四邊形中，，，求的度數(shù)．
（3）問題拓展：
拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，直線交軸于點(diǎn)，連接．
①若含角的直線三角板如圖所示放置，其中，一個(gè)頂點(diǎn)與重合，直角頂點(diǎn)在上，另一頂點(diǎn)在上，求的坐標(biāo)；
②若含角的直角三角板一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，直角頂點(diǎn)在上，另一個(gè)頂點(diǎn)在上，點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)不重合，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）利用同弦所對(duì)的圓周角是所對(duì)圓心角的一半求解．
（2）由、、、共圓，得出，
（3）①先求出拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再由點(diǎn)、、、共圓，得出，求出，再求點(diǎn)的坐標(biāo)．
②分兩種情況，Ⅰ、當(dāng)?shù)慕堑捻旤c(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，Ⅱ、當(dāng)?shù)慕堑捻旤c(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，運(yùn)用點(diǎn)、、、共圓，求出即點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再代入拋物線求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1），，
以點(diǎn)為圓心，點(diǎn)、、必在上，
是的圓心角，而是圓周角，
，
（2）如圖2，
，
點(diǎn)、、、共圓，
，
，
，
（3）①如圖3
點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
角的直角三角板如圖所示放置，其中，一個(gè)頂點(diǎn)與重合，直角頂點(diǎn)在上，另一頂點(diǎn)在上，
點(diǎn)、、、共圓，
，
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
②如圖4，
Ⅰ、當(dāng)?shù)慕堑捻旤c(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，
直角三角板角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，直角頂點(diǎn)在上，另一個(gè)頂點(diǎn)在上
點(diǎn)、、、共圓，
，
，
，
把代入得，
點(diǎn)的坐標(biāo)是，
Ⅱ、如圖5，
當(dāng)?shù)慕堑捻旤c(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，
直角三角板角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，直角頂點(diǎn)在上，另一個(gè)頂點(diǎn)在上
點(diǎn)、、、共圓，
，
，
，
把代入得，
點(diǎn)的坐標(biāo)是，
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)是，或，．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵就是運(yùn)用同弦對(duì)的圓周角相等．
類型2：定弦定角
1．（2022?雁塔區(qū)校級(jí)三模）問題提出
（1）如圖①，已知為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則的面積為 ；
問題探究
（2）如圖②，在中，已知，，求的最大面積；
問題解決
（3）如圖③，某校學(xué)生禮堂的平面示意為矩形，其寬米，長(zhǎng)米，為了能夠監(jiān)控到禮堂內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面上安裝一臺(tái)攝像頭進(jìn)行觀測(cè)，并且要求能觀測(cè)到禮堂前端墻面區(qū)域，同時(shí)為了觀測(cè)效果達(dá)到最佳，還需要從點(diǎn)出發(fā)的觀測(cè)角，請(qǐng)你通過所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析，在墻面區(qū)域上是否存在點(diǎn)滿足要求？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）作于，由勾股定理求出的長(zhǎng)，即可求出面積；
（2）作的外接圓，可知點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，的面積最大，求出的長(zhǎng)，從而得出答案；
（3）以為邊，在矩形的內(nèi)部作一個(gè)等腰直角三角形，且，過作于，交于，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出，的長(zhǎng)，則以為圓心，為半徑的圓與相交，從而上存在點(diǎn)，滿足，此時(shí)滿足條件的有兩個(gè)點(diǎn)，過作于，作于，連接，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，從而解決問題．
【解答】解：（1）作于，
是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
，
，
的面積為，
故答案為：；
（2）作的外接圓，
，，
點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)時(shí)，的面積最大，
，，
，，
，
的最大面積為；
（3）存在，以為邊，在矩形的內(nèi)部作一個(gè)等腰直角三角形，且，
過作于，交于，
米，
米，米，
米，
米，
，
以為圓心，為半徑的圓與相交，
上存在點(diǎn)，滿足，此時(shí)滿足條件的有兩個(gè)點(diǎn)，
過作于，作于，連接，
米，米，
米，
米，
米，
同理（米，
的長(zhǎng)度為8米或12米．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理等知識(shí)，熟練掌握定角定邊的基本模型是解題的關(guān)鍵．
2．（2023?灞橋區(qū)校級(jí)模擬）問題提出：（1）如圖①，為等腰三角形，，，是上一點(diǎn)，且平分的面積，則線段的長(zhǎng)度為 4 ．
問題探究：（2）如圖②，中，，，試分析和判斷的面積是否存在最大值，若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
問題解決：（3）如圖③，2023年第九屆絲綢之路國(guó)際電影開幕式在西安曲江競(jìng)技中心舉行，主辦方要在會(huì)場(chǎng)旁規(guī)劃一個(gè)四邊形花圃，滿足米，米，，，主辦方打算過的中點(diǎn)點(diǎn)（入口）修建一條徑直的通道（寬度忽略不計(jì)）其中點(diǎn)（出口）為四邊形邊上一點(diǎn)，通道把四邊形分成面積相等并且盡可能大的兩部分，分別規(guī)劃成不同品種的花圃以供影迷休閑觀賞．問是否存在滿足上述條件的通道？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)距出口的距離的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）由題意可知，是的中線，利用等腰三角形的性質(zhì)推出，利用三角函數(shù)求解即可解決問題；
（2）當(dāng)?shù)倪吷系母咦畲髸r(shí)，三角形的面積最大，即過圓心，連接．求出的最大值即可得出答案；
（3）連接，．首先證明，求出，推出的面積是定值，要使得四邊形的面積最大，只要的面積最大即可，因?yàn)闉槎ㄖ?，為定角，推出?dāng)是等邊三角形時(shí)，求出四邊形的面積最大值，然后再求出，構(gòu)建方程解決問題即可．
【解答】解：（1）如圖①，
平分的面積，
，
，
，，
，
的長(zhǎng)度為4，
故答案為：4；
（2）存在．如圖②，
，都是定值，
點(diǎn)在上，并且當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí)，的面積最大；
連接交于點(diǎn)，則，，
，
，，
，
答：的面積最大值是；
（3）存在．如圖③，連接，，
是的中點(diǎn)，
，
，
又，
是等邊三角形，
，，
，
，
米，
在中，米，為定值，
由（2）可知當(dāng)時(shí)，即為等邊三角形時(shí)的面積最大，
此時(shí)也為四邊形的最大值的面積不變），
；
是等邊三角形，
，
，
由，得：
，
解得：，
（米，
答：點(diǎn)距出口的距離的長(zhǎng)為米．
【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查了勾股定理，垂徑定理，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意構(gòu)造輔助圓，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，難度較大，屬于中考?jí)狠S題．
3．（2023?柯城區(qū)校級(jí)一模）如圖，點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，點(diǎn)是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）使的點(diǎn)有 無數(shù) 個(gè)；
（2）若點(diǎn)在軸上，且，求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，是否有最大值？若有，求點(diǎn)的坐標(biāo)，并說明此時(shí)最大的理由；若沒有，也請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）已知點(diǎn)、點(diǎn)是定點(diǎn)，要使，只需點(diǎn)在過點(diǎn)、點(diǎn)的圓上，且弧所對(duì)的圓心角為即可，顯然符合條件的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)．
（2）結(jié)合（1）中的分析可知：當(dāng)點(diǎn)在軸的正半軸上時(shí)，點(diǎn)是（1）中的圓與軸的交點(diǎn)，借助于垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)即可求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上時(shí)，同理可求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）由三角形外角的性質(zhì)可證得：在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角大于同弧所對(duì)的圓外角．要最大，只需構(gòu)造過點(diǎn)、點(diǎn)且與軸相切的圓，切點(diǎn)就是使得最大的點(diǎn)，然后結(jié)合切線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)即可解決問題．
【解答】解：（1）以為邊，在第一象限內(nèi)作等邊三角形，
以點(diǎn)為圓心，為半徑作，交軸于點(diǎn)、．
在優(yōu)弧上任取一點(diǎn)，如圖1，
則．
使的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)．
故答案為：無數(shù)．
（2）①當(dāng)點(diǎn)在軸的正半軸上時(shí)，
過點(diǎn)作，垂足為，如圖1．
點(diǎn)，點(diǎn)，
，．
．
點(diǎn)為圓心，，
．
．
是等邊三角形，
．
．
點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
過點(diǎn)作軸，垂足為，連接，如圖1，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
，．
、是與軸的交點(diǎn)，
．
，，
．
點(diǎn)為圓心，，
．
，．，．
②當(dāng)點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上時(shí)，
同理可得：．．
綜上所述：滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)有：
，、，、、．
（3）當(dāng)過點(diǎn)、的與軸相切于點(diǎn)時(shí)，最大．
理由：可證：，當(dāng)最大時(shí)，最大．由 得：當(dāng)最小即最小時(shí)，最大．所以當(dāng)圓與軸相切時(shí)，最大．
①當(dāng)點(diǎn)在軸的正半軸上時(shí)，
連接，作軸，垂足為，如圖2．
與軸相切于點(diǎn)，
．
，，
．
四邊形是矩形．
，．
．
，，，
．
②當(dāng)點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上時(shí)，
同理可得：．
理由：
①若點(diǎn)在軸的正半軸上，
在軸的正半軸上任取一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），
連接，，交于點(diǎn)，連接，如圖2所示．
是的外角，
．
，
．
②若點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，
同理可證得：．
綜上所述：當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，有最大值，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為和．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)．同時(shí)也考查了創(chuàng)造性思維，有一定的難度．構(gòu)造輔助圓是解決本題關(guān)鍵．
類型3：四點(diǎn)共圓
1．（2022?中原區(qū)校級(jí)模擬）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
任務(wù)：
（1）填空：
①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 ；
②依據(jù)2指的是 ．
（2）請(qǐng)將證明過程補(bǔ)充完整．
（3）善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，，請(qǐng)你利用圖（2）證明該結(jié)論的正確性．
【分析】（1）利用直角直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可；
（2）利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)證明點(diǎn)，，，和點(diǎn)，，，四點(diǎn)分別共圓，再說明，可證明結(jié)論；
（3）連接，，，利用證明，從而得出結(jié)論．
【解答】（1）解：①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，
②依據(jù)2指的是圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，
故答案為：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；
（2）解：如圖（1），連接，，，，取的中點(diǎn)，連接．，
則，
點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，
，
又，
，
同上可得點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，
，
，
，
點(diǎn)，，在同一直線上；
（3）證明：如圖，連接，，，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，，
又，，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了四點(diǎn)共圓，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．
2．（2021?哈爾濱模擬）（1）【學(xué)習(xí)心得】
于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問題變得非常容易．
例如：如圖1，在中，，，是外一點(diǎn)，且，求的度數(shù)．若以點(diǎn)為圓心，為半徑作輔助，則點(diǎn)、必在上，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到 45 ．
（2）【問題解決】
如圖2，在四邊形中，，，求的度數(shù)．
（3）【問題拓展】
如圖3，如圖，，是正方形的邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足．連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段長(zhǎng)度的最小值是 ．
【分析】（1）利用同弦所對(duì)的圓周角是所對(duì)圓心角的一半求解．
（2）由、、、共圓，得出，
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，從而得到，然后求出，取的中點(diǎn)，連接、，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)度最?。?br>【解答】解：（1）如圖1，，，
以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，點(diǎn)、、必在上，
是的圓心角，而是圓周角，
，
故答案為：45；
（2）如圖2，取的中點(diǎn)，連接、．
，
點(diǎn)、、、共圓，
，
，
，
（3）如圖3，在正方形中，，，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
取的中點(diǎn)，連接、，
則，
在中，，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)度最小，
最小值．
（解法二：可以理解為點(diǎn)是在，直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，長(zhǎng)度最?。?br>故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的綜合題，需要掌握垂徑定理、圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，難度偏大，解題時(shí)，注意輔助線的作法．
3．（2022?潢川縣校級(jí)一模）如圖1，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)構(gòu)建等腰直角三角形，使，且，過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，連接．
（1）小亮在研究這個(gè)圖形時(shí)發(fā)現(xiàn)，，點(diǎn)，應(yīng)該在以為直徑的圓上，則的度數(shù)為 45 ，將射線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交直線于點(diǎn)，可求出線段，，的數(shù)量關(guān)系為 ；
（2）小亮將等腰直角三角形繞點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，線段，，的數(shù)量關(guān)系是否變化，請(qǐng)說明理由；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，若長(zhǎng)為1，當(dāng)面積取得最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫的長(zhǎng)．
【分析】（1）由，且，可得，由，推出、、、四點(diǎn)共圓，所以；由題意知，所以，由，，可知是等腰直角三角形，推出；
（2）如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交直線于點(diǎn)．易證，則，由，，所以是等腰直角三角形，則，由，推出；
（3）當(dāng)點(diǎn)在線段的垂直平分線上且在的左側(cè)時(shí)，的面積最大．
【解答】解：（1）①如圖，在圖1中．
，且，
，
，
、、、四點(diǎn)共圓，
；
②由題意可知，，
，
又，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
；
故答案為，；
（2）線段，，的數(shù)量關(guān)系會(huì)變化，數(shù)量關(guān)系為．
理由如下：
如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交直線于點(diǎn)．
則，
，
又，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（3）由（2）知，，
，
，
，
，
，
、、、四點(diǎn)共圓，
于是作、、、外接圓，如圖，
當(dāng)點(diǎn)在線段的垂直平分線上且在的左側(cè)時(shí)，經(jīng)過圓心，此時(shí)最長(zhǎng)，因此的面積最大．
作，則平分，，在上截取一點(diǎn)，使得，
，
，，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用輔助圓解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．
某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．
如圖（1），已知內(nèi)接于，點(diǎn)在上（不與點(diǎn)，，重合），過點(diǎn)分別作，，的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，．求證：點(diǎn)，，在同一條直線上．
如下是他們的證明過程（不完整）
如圖（1），連接，，，，取的中點(diǎn)，連接．，
則，（依據(jù)
點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，
．（依據(jù)
又，
．
同上可得點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，

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