中考數(shù)學專項訓練（25）專題 　模型　隱圓模型－－－－－米勒定理（最大張角問題）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 一、單選題1．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形內(nèi)部的一個動點，且AE⊥BE，則線段CE的最小值為（　　）A． B．2﹣2 C．2﹣2 D．42．在平面直角坐標系中，A，B，C，點P為任意一點，已知PA⊥PB，則線段PC的最大值為（    ）A．3 B．5 C．8 D．103．如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，D點是△ABC所在平面上的一個動點，且∠BDC＝60°，則△DBC面積的最大值是(   )A．3 B．3 C． D．24．如圖，是的直徑，、是弧（異于、）上兩點，是弧上一動點，的角平分線交于點，的平分線交于點．當點從點運動到點時，則、兩點的運動路徑長的比是（    ）A． B． C． D． 二、填空題5．已知正方形ABCD邊長為2，E、F分別是BC、CD上的動點，且滿足，連接AE、BF， 交點為P點，則PD的最小值為         ．6．如圖，為等邊三角形，，若P為內(nèi)一動點，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長度的最小值為        7．如圖，AB是半⊙O的直徑，點C在半⊙O上，AB=5cm，AC=4cm．D是上的一個動點，連接AD，過點C作CE⊥AD于E，連接BE．在點D移動的過程中，BE的最小值為  ．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，點D是AC上的一個動點，以CD為直徑作⊙O，連接BD交⊙O于點E，則AE的最小值為                ．9．如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，動點E、F分別從點A、C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿AB、CD向終點B、D移動，當點E到達點B時，運動停止，過點B作直線EF的垂線BG，垂足為點G，連接AG，則AG長的最小值為     cm． 三、解答題10．如圖，已知四邊形ABCD.（1）如圖①，在矩形ABCD中，請你在矩形ABCD的邊上畫出使∠APB＝30°的所有點P；（2）如圖②，在矩形ABCD中，請你在矩形ABCD的邊上畫出使∠BPC＝60°的所有點P；（3）如圖③，在矩形ABCD中，請你在矩形ABCD的邊上畫出使∠BPC＝45°的所有點P11．如圖，邊長為的等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，D為劣弧上一點，過點B作BE⊥OD于點E，當點D從點B沿劣弧運動到點C時，求點E經(jīng)過的路徑長．
參考答案：1．B【詳解】解：如圖，∵AE⊥BE，∴點E在以AB為直徑的半⊙O上，連接CO交⊙O于點E′，∴當點E位于點E′位置時，線段CE取得最小值，∵AB=4，∴OA=OB=OE′=2，∵BC=6，∴OC=，則CE′=OC﹣OE′=﹣2，故選B．【點睛】主要考查圓周角定理、圓的基本性質(zhì)及矩形的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)AE⊥BE知點E在以AB為直徑的半⊙O上是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】連接OC、OP、PC由PA⊥PB可得點P在以O為圓心，AB長為直徑的圓上；再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得CP≤OP+OC，則當當點P，O，C在同一直線上， CP的最大值為OP+OC的長，然后進行計算即可.【詳解】解：如圖所示，連接OC、OP、PC∵PA⊥PB，∴點P在以O為圓心，AB長為直徑的圓上，∵△COP∴CP≤OP+OC，∴當點P，O，C在同一直線上，且點P在CO延長線上時，CP的最大值為OP+OC的長，又∵A（-3，0），B（3，0），C（3，4），∴AB=6，OC=5，OP=AB=3，∴線段PC的最大值為OP+OC=3+5=8，故答案為C．【點睛】本題考查了90°所對的弦為圓的直徑、三角形的三邊關(guān)系以及最短路徑問題，其中確定最短路徑是解答本題的關(guān)鍵.3．A【分析】因為AB＝AC＝2，BC＝2，可得∠BAC＝120°，以A為圓心，AB為半徑作⊙A，與HA的延長線相交于點D，因為∠BDC＝60°，所以點D在⊙O上運動，當D運動到如圖的位置時，△DBC面積最大，根據(jù)三角形面積公式即可得出△DBC面積的最大值．【詳解】解：如圖，作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝2，BC＝2，∴BH＝BC＝，∴AH＝=1，∴sin∠ABC＝=，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠BAC＝120°，以A為圓心，AB為半徑作⊙A，延長HA交⊙A于點D，∵∠BDC＝60°，∴點D在⊙O上運動，當D運動到如圖的位置時，△DBC面積的最大值，最大值為：．故選A．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理．解題的關(guān)鍵是得出點D在⊙A上運動．4．A【分析】連接BE，由題意可得點E是△ABC的內(nèi)心，由此可得∠AEB＝135°，為定值，確定出點E的運動軌跡是是弓形AB上的圓弧，此圓弧所在圓的圓心在AB的中垂線上，根據(jù)題意過圓心O作直徑CD，則CD⊥AB，在CD的延長線上，作DF＝DA，則可判定A、E、B、F四點共圓，繼而得出DE＝DA＝DF，點D為弓形AB所在圓的圓心，設(shè)⊙O的半徑為R，求出點C的運動路徑長為，DA＝R，進而求出點E的運動路徑為弧AEB，弧長為，即可求得答案.【詳解】連結(jié)BE，∵點E是∠ACB與∠CAB的交點，∴點E是△ABC的內(nèi)心，∴BE平分∠ABC，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠AEB＝180°－(∠CAB+∠CBA)＝135°，為定值，，∴點E的軌跡是弓形AB上的圓弧，∴此圓弧的圓心一定在弦AB的中垂線上，∵，∴AD=BD，如下圖，過圓心O作直徑CD，則CD⊥AB，∠BDO＝∠ADO＝45°，在CD的延長線上，作DF＝DA，則∠AFB＝45°，即∠AFB+∠AEB＝180°，∴A、E、B、F四點共圓，∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，∴DE＝DA＝DF，∴點D為弓形AB所在圓的圓心，設(shè)⊙O的半徑為R，則點C的運動路徑長為：，DA＝R，點E的運動路徑為弧AEB，弧長為：，C、E兩點的運動路徑長比為：，故選A.【點睛】本題考查了點的運動路徑，涉及了三角形的內(nèi)心，圓周角定理，四點共圓，弧長公式等，綜合性較強，正確分析出點E運動的路徑是解題的關(guān)鍵.5．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及已知條件可證?，由全等三角形的性質(zhì)及等量代換得出，所以可得點P在以AB為直徑的圓上，當點P、點D和點O三點在一條直線上時，此時即為PD的最小值，根據(jù)圖形運用勾股定理計算OD，再根據(jù)圓的性質(zhì)計算出圓的半徑OP，即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：在正方形ABCD中，，，在和中，，∴?，∴，∵，∴，即，∴，根據(jù)圓周角定理，作一個以AB為直徑的圓O，角所對的弦是直徑，∴點P在以AB為直徑的圓O上，如圖所示：∵P圓上的動點，∴當點P、點D和點O不在一條直線時，根據(jù)三角形的性質(zhì)可得，當點P、點D和點O三點在一條直線上時，，∴當點P、點D和點O三點在一條直線上時，此時即為PD的最小值，在中，，∴，∵，∴故答案為：．【點睛】題目主要考查圓周角定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握圓周角定理作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．6．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2，∵∠PAB=∠ACP，∴∠PAC+∠ACP=60°，∴∠APC=120°，∴點P的運動軌跡是，當O、P、B共線時，PB長度最小，設(shè)OB交AC于D，如圖所示：此時PA=PC，OB⊥AC，則AD=CD=AC=1，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=∠ABC=30°，∴，∴，故答案為：．7．﹣2【分析】如圖，取AC的中點為O'，連接BO′、BC．在點D移動的過程中，點E在以AC為直徑的圓上運動，當O′、E、B共線時，BE的值最小，最小值為O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解決問題．【詳解】解：如圖，取AC的中點為O'，連接BO′、BC．∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴在點D移動的過程中，點E在以AC為直徑的圓上運動，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AC＝4cm，AB＝5cm，∴BC3cm，在Rt△BCO′中，BO′cm，∵O′E+BE≥O′B，∴當O′、E、B共線時，BE的值最小，最小值為O′B﹣O′E2（cm），故答案為：（）cm．【點睛】本題考查勾股定理、點與圓的位置關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是確定點E的運動軌跡是以AC為直徑的圓上運動，屬于中考填空題中 壓軸題．8．【分析】連接CE，可得∠CED＝∠CEB＝90°，從而知點E在以BC為直徑的⊙Q上，繼而知點Q、E、A共線時AE最小，根據(jù)勾股定理求得QA的長，即可得答案．【詳解】解：如圖，連接CE， ∴∠CED＝∠CEB＝90°，∴點E在以BC為直徑的⊙Q上，∵BC＝4，∴QC＝QE＝2，當點Q、E、A共線時AE最小，∵AC＝10，∴AQ＝=，∴AE＝AQ?QE＝，∴AE的最小值為，故答案為．【點睛】本題考查了圓周角定理和勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是確定E點運動的規(guī)律，從而把問題轉(zhuǎn)化為圓外一點到圓上一點的最短距離問題．9．.【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出當E，F運動到AB，CD的中點時，AG最小解答即可．【詳解】解：設(shè)正方形的中心為O，可證EF經(jīng)過O點．連結(jié)OB，取OB中點M，連結(jié) MA，MG，則MA，MG為定長，可計算得，當A，M，G三點共線時，AG最?。?/span>cm，故答案為【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出當E，F運動到AB，CD的中點時，AG最小是解決本題的關(guān)鍵．10．（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）如圖①，先作等邊三角形，再以點為圓心，為半徑作，則與矩形的邊，的交點，即是使的所有點；（2）如圖②，先作等邊三角形，再畫的外接圓，則與矩形的邊，，的交點，，，即是使的所有點；（3）如圖③，先作等腰直角三角形，其中，再以點為圓心，為半徑作，則與矩形的邊，的交點，即是使的所有點．【詳解】（1）如圖①所示，點，即是使的所有點；（2）如圖②所示，點，，，即是使的所有點；（3）如圖③所示，點，即是使的所有點．【點睛】本題考查軌跡、等邊三角形與等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的外接圓與外心等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找軌跡．11．【分析】如圖，以OB為直徑畫⊙K交AB于T，連接TK，圖中的優(yōu)弧，即為點E的運動軌跡．求出圓心角，半徑即可解決問題．【詳解】如圖，以OB為直徑畫⊙K交AB于T，連接TK，圖中的優(yōu)弧，即為點E的運動軌跡．∵△ABC是等邊三角形，∴∠OBA=∠OBC=30°，∴∠TKO=60°，∵AB=BC=AC=，∴OB=2，∴KO=1，∴點E經(jīng)過的路徑長為．【點睛】本題考查軌跡、等邊三角形的性質(zhì)、弧長公式、三角形的外接圓與外心等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找軌跡． 

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