（6大類型20種模型詳解+20種模型專題訓練）
【題型匯總】
類型一 A型模型
題型01 直接用A型相似
1．（2023九年級上·全國·專題練習）如圖①，是生活中常見的人字梯，也稱折梯，用于在平面上方空間進行工作的一類登高工具，因其使用時，左右的梯桿及地面構(gòu)成一個等腰三角形，看起來像一個“人”字，因而把它形 象的稱為“人字梯”．如圖②，是其工作示意圖，AB=AC，拉桿EF∥BC， AE=16AB，EF=0.35米，則兩梯桿跨度B、C之間距離為（ ）
A．2米B．2.1米C．2.5米D．103米
2．（20-21九年級上·吉林·階段練習）如圖，△ABO的頂點A在函數(shù)y＝kx（x>0）的圖象上，∠ABO＝90°，過AO邊的三等分點M、N分別作x軸的平行線交AB于點P、Q．若△ANQ的面積為1，則k的值為（ ）

A．9B．12C．15D．18
3．（2024·廣東東莞·二模）獨輪車（圖1）俗稱“手推車”，又名輦、鹿車等，西漢時已在一些田間隘道上出現(xiàn)．北宋時正式出現(xiàn)獨輪車名稱，在北方，幾乎與毛驢起同樣的運輸作用．如圖2所示為從獨輪車中抽象出來的幾何模型．在△ABC中，AB=BC，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交AC于點P，且PD⊥BC，垂足為點D．
(1)求證：PD是⊙O的切線；
(2)若tanC=12,BD=2，求⊙O的半徑．
題型02 構(gòu)造A型相似
1．（2020·湖北武漢·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一點，點E在BC上，連接CD，AE交于點F，若∠CFE=45°，BD=2AD，則CE＝ ．
2．（20-21九年級上·河南鄭州·階段練習）如圖，已知D是BC的中點，M是AD的中點．求AN:NC的值．
3．（2020·浙江杭州·一模）如圖，點O是△ABC邊BC上一點，過點O的直線分別交AB，AC所在直線于點M，N，且ABAM＝m，ACAN＝n．
（1）若點O是線段BC中點．
①求證：m+n＝2；
②求mn的最大值；
（2）若COOB＝k（k≠0）求m，n之間的關(guān)系（用含k的代數(shù)式表示）．
題型03 反A型模型
1．如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，∠ADE=∠C，如果AD=3，△ADE的面積為9，四邊形BDEC的面積為16，則AC的長為 ．
2．（2020·山東濰坊·二模）如圖，在ΔABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點D，交AB于點E，過點D作DF⊥AB，垂足為F，連接DE．
（1）求證：直線DF與⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的長．
3．（2020·浙江金華·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=42，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC邊上的高線長．
（2）點E為線段AB的中點，點F在邊AC上，連結(jié)EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．
①如圖2，當點P落在BC上時，求∠AEP的度數(shù)．
②如圖3，連結(jié)AP，當PF⊥AC時，求AP的長．
4．（2022·湖南長沙·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC，BD相交于點E，點F在邊AD上，連接EF．

(1)求證：△ABE∽△DCE；
(2)當DC=CB，∠DFE=2∠CDB時，則AEBE?DECE=___________；AFAB+FEAD=___________；1AB+1AD?1AF=___________．（直接將結(jié)果填寫在相應(yīng)的橫線上）
(3)①記四邊形ABCD，△ABE，△CDE的面積依次為S,S1,S2，若滿足S=S1+S2，試判斷，△ABE，△CDE的形狀，并說明理由．
②當DC=CB，AB=m，AD=n，CD=p時，試用含m，n，p的式子表示AE?CE．
5．（2023·湖北武漢·模擬預測）【問題背景】（1）如圖1，△ABC中，∠BED=∠BCA，求證：BDAB=BEBC．

【問題探究】（2）如圖2，△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，CD⊥BD于點D，過點D作BC的平行線交AB于點E，作EF⊥BC于點F，猜想EF與已有的哪條線段的一半相等，并加以證明；
【問題拓展】（3）在（2）上述條件下，當FC=AC時，直接寫出∠BCD的正切值tan∠BCD．
題型04 作垂線構(gòu)造反“A”字相似模型
1．（2024 九年級·江蘇連云港·階段練習）如圖，小楊將一個三角板放在⊙O上，使三角板的一直角邊經(jīng)過圓心O，測得AC＝5cm，AB＝3cm，則⊙O的半徑長為 ．

類型二 X型模型
題型01 直接用X型相似
1．（2021·山東聊城·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AD上一點，AE=2ED，連接BE交AC于點G，延長BE交CD的延長線于點F，則BGGF的值為（ ）

A．23B．12C．13D．34
2．（22-23九年級上·北京房山·期中）如圖，AD與BC交于O點，∠A=∠C，BO=4，DO=2，AB=3，求CD的長．
3．（2024·廣東東莞·一模）如圖1是一張折疊型方桌子，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，支架AD與CB交于點O，測得AO=BO=50cm，CO=DO=30cm．
(1)若CD=40cm，求AB的長；
(2)將桌子放平后，兩條桌腿叉開角度∠AOB=106°，求AB距離地面的高．(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)值sin37°≈0.60，cs37°≈0.80)
4．（20-21九年級上·四川達州·期末）某小區(qū)的居民籌集資金1600元，計劃在一塊上、下底分別為10m、20m的梯形空地上種花（如圖所示）．
（1）他們在△AMD和△BMC地帶上種植太陽花，單價為8元/m2.當△AMD地帶種滿花后（圖中陰影部分）花了160元，請計算種滿△BMC地帶所需的費用；
（2）若△AMB和△DMC地帶要種的有玫瑰花和茉莉花可供選擇，單價分別為12元/m2和10元/m2，應(yīng)選擇哪一種花，剛好用完所籌集的資金？
5．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，連接AE，若AE的延長線和BC的延長線相交于點F．
（1）求證：BC=CF；
（2）連接AC和BE相交于點為G，若△GEC的面積為2，求平行四邊形ABCD的面積．
題型02 構(gòu)造X型相似
1．（21-22九年級上·江蘇泰州·階段練習）如圖，G為△ABC的重心，AG=12，則AD= ．
2．（20-21八年級下·湖南常德·期中）如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，F(xiàn)是AE的中點，CF交BE于點G，若BE=8，則GE= ．
3．（20-21九年級上·全國·課后作業(yè)）已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點F在邊AB上，BC2=BF?BA，CF與DE相交于點G．
（1）求證：DF?AB=BC?DG；
（2）當點E為AC中點時，求證：2DF?EG=AF?DG．
題型03 雙反X型模型（蝶形模型）
條件：∠OAB=∠ODC
圖示：
結(jié)論：?AOB∽?DOC ，?AOD∽?BOC
1．（22-23九年級上·上?！て谥校┮阎喝鐖D，已知△ABC與△ADE均為等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE．如果點D在BC邊上，且∠EDC＝∠BAD．點O為AC與DE的交點．
(1)求證：△ABC∽△ADE；
(2)求證：DA?OC＝OD?CE．
2．（2023·湖北武漢·模擬預測）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，等邊△ABC中，G為BC中點，D、E分別是BC、AC上的兩點，BD=CE．

(1)求證：∠BAD=∠CBE；
(2)H為EF上一點，若∠BHG+∠AFH=90°，求AFFH的值；
遷移拓展：
(3)如圖2，等腰Rt△ABC中，G為斜邊BC的中點，D為BG中點，BD=1．E是AC上的點，CE=2BD，H為EF上一點，若∠BHG+∠AFH=90°，直接寫出HG的長．
類型三 母子相似
題型01 母子相似模型
1．（21-22九年級上·吉林長春·階段練習）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．
【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點，F(xiàn)為CD延長線上一點，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．
2．（2023·湖北武漢·模擬預測）探索發(fā)現(xiàn)；（1）如圖1，在△ABC中，∠B=∠CAF；求證：AC2=CF·BC；
初步應(yīng)用：（2）如圖2，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AB，BE⊥AD，連接CE、CD；求證：BEBD=CECD．
遷移拓展：（3）如圖3，在△ABC中，∠B=∠CAF，H為AC上一點使CH=CF，過H作HG∥BC交AB于G，AG=AF，求BFCF的值；

3．（21-22八年級下·江蘇蘇州·期中）定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足∠1=∠2，則稱點P為這個三角形的“理想點”．
(1)如圖①，若點D是△ABC的邊AB的中點，AC=22，AB=4，試判斷點D是不是△ABC的“理想點”，并說明理由；
(2)如圖②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若點D是△ABC的“理想點”，求CD的長．
4．（2023·江蘇淮安·三模）【探究發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1，在△ABC中，D為BC邊的中點，連接AD并延長至點H，使DH=AD，連接CH．由∠ADB=∠CDH，得△ADB≌△HDC，則AB與CH的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為______．

【嘗試應(yīng)用】
（2）如圖2，在△ABC中，AP平分∠BAC，D為BC邊的中點，過點D作DQ∥AP，交CA的延長線于點Q，交AB邊于點K．試判斷BK與CQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，AB=8，D為BC邊的中點，連接AD，E為AC邊上一動點，連接BE交AD于點F．
①若BF=AC．求AE的長度；
②在射線AD上取一點G，且AGCE=45，連接BG，直接寫出4BE+5BG的最小值．
題型02 射影定理模型
1．（2022·四川廣元·中考真題）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，點E是邊BC的中點，連結(jié)DE．
(1)求證：DE是⊙O的切線；
(2)若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半徑．
2．（2023·山東日照·一模）操作與研究：如圖，△ABC被平行于CD的光線照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．
(1)指出圖中線段AC的投影是______，線段BC的投影是______．
(2)問題情景：如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我們可以利用△ABC與△ACD相似證明AC2=AD?AB，這個結(jié)論我們稱之為射影定理，請證明這個定理．
(3)【結(jié)論運用】如圖2，正方形ABCD的邊長為15，點O是對角線AC，BD的交點，點E在CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，
①試利用射影定理證明△BOF∽△BED；
②若DE=2CE，求OF的長．
3．（2024·廣西南寧·三模）閱讀與思考，完成后面的問題．
射影定理，又稱“歐幾里得定理”，是數(shù)學圖形計算的重要定理．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有如下結(jié)論：
①AD2=BD?DC；②AB2=BD?BC；③AC2=CD?BC．下面是該定理的證明過程（部分）：
∵AD是斜邊BC上的高，∴∠ADB=90°=∠ADC．∵∠B+∠BAD=90°，∠B+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C．∴△ABD∽△CAD（依據(jù)）．∴BDAD=ADCD．即AD2=BD?DC．
(1)材料中的“依據(jù)”是指 ；
(2)選擇②或③其中一個結(jié)論加以證明；
(3)應(yīng)用：△ABC中，∠A=90°，B1,0，C?3,0，點A在y軸上，求頂點A的坐標．
4．（2022·四川綿陽·中考真題）如圖，四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC與BD交于點E，若AB＝210，CD＝2，則△ABE的面積為 ．
類型四 一線三等角模型
【一線三等角/一線三垂直的出題樣式】
題目中一般不會直接給出一線三等角模型/一線三垂直模型標準樣式，需要結(jié)合題目信息，進行構(gòu)建.以一線三垂直模型為例，當有直角三角形和過直角頂點的直線時，即可作垂線構(gòu)造“一線三垂直”相似樣型，當三個相等角不是直角時，亦可構(gòu)造“一線三等角”相似模型.
題型01 一線三垂直模型
1．（2024·北京·模擬預測）如圖，四邊形ABCD為正方形，DE⊥EF，F(xiàn)G⊥AB．
(1)證明：△DAE∽△EGF
(2)不添加輔助線，添加一個角的條件，證明△DAE≌△EGF
2．（2023·貴州銅仁·三模）如圖1將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處，已知折痕與邊BC交于點O，連結(jié)AP、OP、OA．
(1)求證：△OCP∽△PDA；
(2)如圖2，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP．動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．探究：當點M、N在移動過程中，線段EF與線段PB有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
3．（2024·廣西玉林·三模）如圖1，在邊長為4的正方形ABCD中，點H為AB上一動點，且2≤BH

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