專題12 相似三角形四種模型-2025年中考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

通用的解題思路：
題型一：相似三角形基本模型（X字型）
【方法點(diǎn)撥】基本模型：

X字型（平行）反X字型（不平行）
題型二：相似三角形基本模型（A字型）
【方法點(diǎn)撥】基本模型：

A字型（平行）反A字型（不平行）
題型三：相似基本模型（K字型（一線三等角））
【方法點(diǎn)撥】基本模型：
如圖1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一線三等角）
如圖2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一線三等角）
如圖3，特別地，當(dāng)D時(shí)BC中點(diǎn)時(shí)：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，F(xiàn)D平分∠EFC.
題型四：相似三角形基本模型（旋轉(zhuǎn)型（手拉手））
【方法點(diǎn)撥】基本模型：

旋轉(zhuǎn)放縮變換，圖中必有兩對(duì)相似三角形.
題型一：相似三角形基本模型（X字型）
1．（2024?韶關(guān)模擬）如圖1是一張折疊型方桌子，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，支架與交于點(diǎn)，測(cè)得，．
（1）若，求的長(zhǎng)；
（2）將桌子放平后，兩條桌腿叉開(kāi)角度，求距離地面的高．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)值，
【分析】（1）先證明，再由相似三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)即可；
（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，在中，，在中，，，進(jìn)而作答即可．
【解答】解：（1），，
與是等腰三角形，
，
，
，
，
，
即的長(zhǎng)為；
（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，如圖，
，與是等腰三角形，
，
在中，
，
在中，
，
，
距離地面的高為．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線．
2．（2024?西安校級(jí)模擬）小明為了測(cè)量出一深坑的深度，采取如下方案：如圖，在深坑左側(cè)用觀測(cè)儀從觀測(cè)出發(fā)點(diǎn)觀測(cè)深坑底部，且觀測(cè)視線剛好經(jīng)過(guò)深坑邊緣點(diǎn)，在深坑右側(cè)用觀測(cè)儀從測(cè)出發(fā)點(diǎn)觀測(cè)深坑底部，且觀測(cè)視線恰好經(jīng)過(guò)深坑邊緣點(diǎn)，點(diǎn)，，，在同一水平線上．已知，，觀測(cè)儀高，觀測(cè)儀高，，，深坑寬度，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算深坑深度多少米？
【分析】過(guò)點(diǎn)作垂直，垂足為，然后根據(jù)已知證明，，得出，設(shè)，則，解得，再求即可．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)作垂直，垂足為，如圖：
，，，
，，
，，
，，
，，
，
，，，，，
設(shè)，則，
，
，
，
深坑深度5.5米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．解決此問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．
3．（2024?常州模擬）圖1是凸透鏡成像示意圖，蠟燭發(fā)出的光線平行于直線，經(jīng)凸透鏡折射后，過(guò)焦點(diǎn)，并與過(guò)凸透鏡中心的光線交于點(diǎn)，從而得到像．其中，物距，像距，焦距，四邊形是矩形，，．
（1）如圖2，當(dāng)蠟燭在離凸透鏡中心一倍焦距處時(shí)，即，請(qǐng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明此時(shí)“不成像”；
（2）若蠟燭的長(zhǎng)為，物距，焦距，求像距和像的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，從而可得，然后利用證明，從而利用全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即可解答；
（2）根據(jù)垂直定義可得，然后證明8字模型相似，，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1）四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
與沒(méi)有交點(diǎn)，
此時(shí)“不成像”；
（2），，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
像距為，像的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023?浉河區(qū)校級(jí)三模）綜合與實(shí)踐
瑩瑩復(fù)習(xí)教材時(shí)，提前準(zhǔn)備了一個(gè)等腰三角形紙片，如圖，，．為了找到重心，以便像教材上那樣穩(wěn)穩(wěn)用筆尖頂起，她先把點(diǎn)與點(diǎn)重疊對(duì)折，得折痕，展開(kāi)后，她把點(diǎn)與點(diǎn)重疊對(duì)折，得折痕，再展開(kāi)后連接，交折痕于點(diǎn)，則點(diǎn)就是的重心．
教材重現(xiàn)：
（1）初步觀察：
連接，則與的數(shù)量關(guān)系是：；
（2）初步探究：
請(qǐng)幫助瑩瑩求出的面積；
（3）猜想驗(yàn)證；
瑩瑩通過(guò)測(cè)量驚奇地發(fā)現(xiàn)，．她的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）拓展探究：
瑩瑩把剪下后得△，發(fā)現(xiàn)可以與拼成四邊形，且拼的過(guò)程中點(diǎn)不與點(diǎn)重合，直接寫出拼成四邊形時(shí)的長(zhǎng)．
【分析】（1）利用折疊的性質(zhì)即可得到答案；
（2）由折疊可知，，，利用勾股定理求得，連接，易得為的中位線，則，，于是，得到，進(jìn)而可得，則，根據(jù)三角形面積公式可得，代入計(jì)算即可求解；
（3）連接，易得為的中位線，則，，于是，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（4）連接，由（2）知，則，利用勾股定理求得，由折疊可知，，，易證，由相似三角形的性質(zhì)可求得，則，分兩種情況討論：當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，利用勾股定理求出即可．
【解答】解：（1）點(diǎn)與點(diǎn)重疊對(duì)折，得折痕，
（折疊的性質(zhì)），
；
故答案為：；
（2）由折疊可知，，，
在中，，
如圖，連接，
點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，
為的中位線，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）正確，理由如下：
如圖，連接，
點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，
為的中位線，
，，
，，
，
，
，；
（4）如圖，連接，
由（2）知，，
，
在中，，
由折疊可知，，，，
，
，
，
，即，
，
，
當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖①②，連接，
此時(shí)；
，，
，
此時(shí)拼成的圖形為三角形，不符合題意；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖③④，
在中，，
．
綜上，的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查折疊的性質(zhì)、中線的定義、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是讀懂題意，熟知折疊的性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想解決問(wèn)題．
5．（2023?南關(guān)區(qū)四模）如圖，是的直徑，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在上沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)，速度為每秒個(gè)單位．同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在上沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，速度為每秒個(gè)單位．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．連結(jié)、．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
（1）的周長(zhǎng)為；
（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求所在的扇形的面積；
（3）當(dāng)時(shí)，求的值；
（4）作半徑的垂直平分線交于點(diǎn)、，連結(jié)．當(dāng)將線段分成的兩部分時(shí)，直接寫出的值．
【分析】（1）直接利用圓的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可；
（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，根據(jù)點(diǎn)走過(guò)的弧長(zhǎng)弧的長(zhǎng)點(diǎn)走過(guò)的弧長(zhǎng)列出方程，求出值，于是可求出所在扇形的圓心角度數(shù)，進(jìn)而利用扇形的面積公式求解即可；
（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合前，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合前．根據(jù)兩點(diǎn)走過(guò)的弧長(zhǎng)關(guān)系列出方程，求解即可；
（4）情況一：連接，，，，交于點(diǎn)，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)易得為等邊三角形，為等邊三角形，進(jìn)而得到四邊形為菱形，易得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，由等邊三角形三線合一可知垂直平分，于是可得，則，利用此時(shí)的長(zhǎng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度即可得到時(shí)間；情況二：同情況一方法即可求解．
【解答】解：（1）的周長(zhǎng)為；
故答案為：；
（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，
，
解得：，
點(diǎn)走過(guò)的圓心角度數(shù)為，
所在的扇形的面積為；
（3）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合前，，
則，
解得：；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合后，，
，
解得：；
綜上，或；
（4）情況一：如圖，連接，，，，交于點(diǎn)，，
垂直平分，
，
，
，
為等邊三角形，
，
同理可得：為等邊三角形，
，，
，，
四邊形為菱形，
，
，
，即，
，
垂直平分，
，，
，，
，即，
，
，
；
情況二：連接，，，，交于點(diǎn)，，
同理可得：，
，
．
綜上，或．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的面積公式、扇形的面積公式、弧長(zhǎng)公式、一元一次方程的應(yīng)用、線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)等，理清題意，學(xué)會(huì)利用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．
6．（2023?海曙區(qū)校級(jí)三模）如圖1，在菱形中，，點(diǎn)是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，是的外接圓，，設(shè)的半徑為，．
（1）如圖2，當(dāng)時(shí)，求證：是切線；
（2）延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)．
①如圖3，若為直徑，求的長(zhǎng)；
②如圖4，若點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，求的值；
（3）當(dāng)時(shí)，直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式：．
【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，由此得，然后根據(jù)以及菱形的性質(zhì)可證：，據(jù)此可得，進(jìn)而利用切線的判定可得出結(jié)論；
（2）①連接，根據(jù)已知條件可求出，進(jìn)而根據(jù)和相似，然后列出比例式即可求出的長(zhǎng)；
②延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，，與交于，先證明，再證，根據(jù)已知條件分別求出，，可設(shè)，則，，然后在中，由勾股定理求出，進(jìn)而求出的長(zhǎng)和的長(zhǎng)，最后根據(jù)和相似可得出答案；
（3）作的直徑，連接，連接交于點(diǎn)，由，則，在中，由勾股定理求出，再由得，進(jìn)而得，最后在中，由勾股定理可得出與的函數(shù)關(guān)系式．
【解答】（1）證明：作的直徑，連接，
為的直徑，
，
，
又，
，
，
，
四邊形為菱形，
，
，
即：，
又為的半徑，
為的切線．
（2）解：①連接，
為的直徑，
，
四邊形為菱形，，
，
在中，，
即：，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，，
，，
由得：，
將代入，得：．
②延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，，與交于，
四邊形為菱形，
，，且，，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
在中，，
即：，
設(shè)，則，
在中，，
即：，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，（不合題意，舍去），
，
又，
，
，
，
．
（3）解：．理由如下：
作的直徑，連接，連接交于點(diǎn)，
由（2）可知：，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
為直徑，
，，
，
，
在中，，
，
在中，由勾股定理得：，
即：，
，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓周角的性質(zhì)，切線的判定，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)、勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角．構(gòu)造圓的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角構(gòu)造直角三角形，并利用三角函數(shù)的定義找出相關(guān)線段的關(guān)系是解答此題的難點(diǎn)．
7．（2024?廬江縣一模）已知：如圖，和中，，，，且點(diǎn)、、在一條直線上，聯(lián)結(jié)、，與交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若，求的值．
【分析】（1）根據(jù)已知易證，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得，，從而可得，進(jìn)而證明8字模型相似，最后利用相似三角形的性質(zhì)可得，等量代換得出，即可解答；
（2）利用（1）的結(jié)論可得：，從而可得，進(jìn)而可證字模型相似，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再利用（1）的結(jié)論可得：，從而可得，進(jìn)而可得，最后根據(jù)黃金分割的定義可得點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，從而可得，進(jìn)而可得，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】證明：（1），，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：由（1）得：，
，
，
，
，
，
，
由（1）得：，
，
，
點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，
，
，
，
的值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，黃金分割，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，黃金分割是解題的關(guān)鍵．
8．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)二模）四邊形內(nèi)接于，是的直徑，連結(jié)交于點(diǎn)，，垂足為．
（1）如圖1，若交于點(diǎn)．
①求證：；
②若的直徑為10，，，求的長(zhǎng)．
（2）如圖2，若交于點(diǎn)，連結(jié)，若，，，求的直徑．
【分析】（1）①易得，利用同角的余角相等得，結(jié)合圓周角定理即可得證；
②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意易得，，，，結(jié)合知，進(jìn)而利用證明，得到，于是，
，最后利用勾股定理求解即可；
（2）設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，鏈接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，易得，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)依次得出，，，，，于是，則，易得，于是，，得到，設(shè)的半徑為，則，，以此列出方程求解即可．
【解答】（1）①證明：是的直徑，，
，
，，
，
又，
，
．
②解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
在中，，，
，
由勾股定理得，
，，
在中，，，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，即，
．
（3）解：如圖，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，鏈接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，
，，
，
，
，，
又，
，
，
，
為的直徑，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，即，
設(shè)的半徑為，則，，
，
，
的直徑為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理、銳角三角形函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)等，屬于圓的綜合題，難度較大，是中考?jí)狠S題．解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用平行線和相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．
9．（2023?谷城縣模擬）在和中，，，點(diǎn)在線段上．
（1）【特例證明】如圖（1），當(dāng)時(shí)，，證明：；
（2）【類比探究】如圖（2），當(dāng)，點(diǎn)是線段上任一點(diǎn)時(shí)，證明：
①；
②；
（3）【拓展運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)時(shí)，，，求長(zhǎng)．
【分析】（1）證明，得到，進(jìn)而推出，得到，推出，即可得證；
（2）①證明，得到，進(jìn)而推出；②根據(jù)，得到，推出，即可得證；
（3）設(shè)，，證明，得到，求出，在等腰中，求出，在中，求出，在中求出，進(jìn)而推出，求出的值，即可得解．
【解答】（1）證明：，
又，
，
，
，
，
，
，
；
（2）證明：①，
又，
，
，
，
；
②，
，
，
，
；
（3）解：，
設(shè)，，則，
，
又，
，
，
，
在等腰中，，
，
在中，，，
，
，
在等腰中，，
，
由（2）知，
在中，，，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
10．（2023?深圳模擬）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知四邊形是正方形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，．
①小明探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，．并給出如下不完整的證明過(guò)程，請(qǐng)幫他補(bǔ)充完整．
證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)．
②進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)， 22.5 ．
（2）【類比遷移】如圖②，四邊形為矩形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，，．當(dāng)，，時(shí)，求的長(zhǎng)；
（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，已知四邊形為菱形，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在菱形的邊上（頂點(diǎn)除外）時(shí)，如果，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的長(zhǎng)．
【分析】（1）①延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則由對(duì)稱可知，結(jié)合得到，由正方形的性質(zhì)得到、，從而證明；
②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，由對(duì)稱可知，然后由①得到；
（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由對(duì)稱可知點(diǎn)是的中點(diǎn)、，結(jié)合得到，從而有是的中位線，得到點(diǎn)是的中點(diǎn)，從而求得，再由勾股定理求得的長(zhǎng)；由（1）①得，得到，進(jìn)而借助相似三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)，然后由中位線的性質(zhì)求得的長(zhǎng)；
（3）以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作圓弧，與和的交點(diǎn)即為點(diǎn)，然后分點(diǎn)在上和點(diǎn)在上討論，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，然后借助（1）（2）的思路求解．
【解答】（1）①證明：如圖①，延長(zhǎng)由對(duì)稱可知，，
，
，
四邊形是正方形，
，，
在和中，
，
．
②解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，由對(duì)稱可知，
四邊形是正方形，
，
，
由①得到，
，
故答案為：．
（2）解：如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
由對(duì)稱可知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
，
，
是的中位線，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
由（1）①得，，，
，
，
，
，
，
是的中位線，
．
（3）以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作圓弧，與和的交點(diǎn)即為點(diǎn)，
①如圖3，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
由（1）①可得，，且，
四邊形為菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如圖4，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，，，
，
，
四邊形是菱形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
設(shè)，則，
在中，，
，
解得：，
，
綜上所述，的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，解題的關(guān)鍵是通過(guò)菱形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理得到，從而得到相似三角形或全等三角形，難度較大，需要學(xué)生學(xué)會(huì)利用前面所學(xué)的知識(shí)解答后面的題目，具有很強(qiáng)的綜合性，是中考?？碱}型．
11．（2023?羅湖區(qū)二模）如圖1，已知：內(nèi)接于圓，，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、，求證：；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，，，求的長(zhǎng)．
【分析】（1）連接、，證明是線段的垂直平分線，問(wèn)題得證；
（2）先證明，進(jìn)而證明，即可證明；
（3）連接，先求出，，再證明，得到，設(shè)，則，分別得到，，，證明，得到，求出，從而得到，根據(jù)，，即可求出．
【解答】（1）證明：如圖，連接、，
，，
點(diǎn)、都在線段的垂直平分線上，
是線段的垂直平分線，
；
（2）證明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如圖，連接，
，，
是線段的垂直平分線，
，
是線段的垂直平分線，
．
，
．
，，
，
，
，
．
設(shè)，則，
，
在中，，
，，
．
，，
，
，即，
，
整理得，
解得（不合題意，舍去），
，
，，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題為圓的綜合題，考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，一元二次方程的應(yīng)用，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，第（3）問(wèn)難度較大，熟知相關(guān)性質(zhì)，并根據(jù)題目中已知條件靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
題型二：相似三角形基本模型（A字型）
1．（2023?無(wú)錫）如圖，是的直徑，為的切線，與相交于點(diǎn)．，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．
（1）求的度數(shù)；
（2）若，求的半徑．
【分析】（1）連接，利用切線性質(zhì)和平行線性質(zhì)求得，再利用圓周角定理求得的度數(shù)，最后利用等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理即可求得答案；
（2）結(jié)合（1）中所求易證得，再利用相似三角形性質(zhì)及勾股定理即可求得答案．
【解答】解：（1）如圖，連接，
為的切線，
，
，
，
，
，
；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
即的半徑為2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與相似三角形的綜合應(yīng)用，（2）中利用相似三角形的判定及性質(zhì)求得是解題的關(guān)鍵．
2．（2024?武威一模）已知：如圖，點(diǎn)在三角形的邊上，交于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，且．
求證：（1）；
（2）．
【分析】（1）利用已知可得，然后利用平行線分線段成比例證明即可；
（2）利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等來(lái)證明即可．
【解答】證明：（1），
，
；
（2），
，
由（1）得：，
．
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定，熟練掌握字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．
3．（2024?武漢模擬）如圖，是的外接圓，，，是的切線，切點(diǎn)分別為，．
（1）求證：；
（2）連接，與交于點(diǎn)，連接，，若，求的值．
【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交與點(diǎn)，由垂徑定理可得，再由切線的性質(zhì)即可得，根據(jù)平行線、三角形的性質(zhì)得出，即可得證；
（2）因?yàn)椋?，已知，設(shè)，可得、、、的長(zhǎng)，因?yàn)椋堑那芯€，所以垂直平分，即是的中點(diǎn)，可得、的長(zhǎng)，因?yàn)?，，，所以，可得四邊形是矩形，、，因?yàn)椋?，可得、、、的長(zhǎng)，因?yàn)椋?，可得、、的長(zhǎng)，由勾股定理可得的長(zhǎng)，因?yàn)椋?，因?yàn)椋傻?，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，即，，可得、、的長(zhǎng)，由勾股定理求得的長(zhǎng)，可得的值．
【解答】（1）證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
，
，
，
，是的切線，
，，
，．
，
，
，
即，
；
（2）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
，
，
，
，
設(shè)，則，，，
，是的切線，
垂直平分，即是的中點(diǎn)，
，
，，，
，
四邊形是矩形，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的中點(diǎn)，
，即，，
，，，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．
4．（2024?巴彥縣一模）為了加強(qiáng)視力保護(hù)意識(shí)，歡歡想在書房里掛一張測(cè)試距離為的視力表，但兩面墻的距離只有．在一次課題學(xué)習(xí)課上，歡歡向全班同學(xué)征集“解決空間過(guò)小，如何放置視力表問(wèn)題”的方案，其中甲、乙兩位同學(xué)設(shè)計(jì)方案新穎，構(gòu)思巧妙．
（1）甲生的方案中如果大視力表中“”的高是，那么小視力表中相應(yīng)“”的高是多少？
（2）乙生的方案中如果視力表的全長(zhǎng)為，請(qǐng)計(jì)算出鏡長(zhǎng)至少為多少米．
【分析】（1）根據(jù)兩組對(duì)角相等證明，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解；
（2）作于點(diǎn)，延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，先證△，再根據(jù)相似三角形的相似比等于高的比列式求解．
【解答】解：（1）由題意知，，
，
又，
，
，
由題意知，，，，
，
解得，
即小視力表中相應(yīng)“”的高是；
（2）如圖，作于點(diǎn)，延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，
由題意知，，
，，
，
，
，，
△，
，
由題意知，，，
，
，
，
鏡長(zhǎng)至少為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2024?汝南縣一模）某“綜合與實(shí)踐”小組開(kāi)展測(cè)量本校旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng)．他們制訂了測(cè)量方案，并利用課余時(shí)間完成了實(shí)地測(cè)量，測(cè)量報(bào)告如下．
請(qǐng)根據(jù)以上測(cè)量結(jié)果及該小組的思路．求學(xué)校旗桿的高度．
【分析】根據(jù)題意可得：，，，，從而可得，然后證明字模型相似，從而利用相似三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：由題意得：，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
學(xué)校旗桿的高度．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．
6．（2024?雁塔區(qū)校級(jí)二模）陽(yáng)光明媚的一天實(shí)踐課上，亮亮準(zhǔn)備用所學(xué)知識(shí)測(cè)量教學(xué)樓前一座假山的高度，如圖，亮亮在地面上的點(diǎn)處，眼睛貼地觀察，看到假山頂端、教學(xué)樓頂端在一條直線上．此時(shí)他起身在處站直，發(fā)現(xiàn)自己的影子末端和教學(xué)樓的影子末端恰好重合于點(diǎn)處，測(cè)得米，亮亮的身高為1.6米．假山的底部處因有花園圍欄，無(wú)法到達(dá)，但經(jīng)詢問(wèn)和進(jìn)行部分測(cè)量后得知，米，點(diǎn)、、、在一條直線上，，，，已知教學(xué)樓的高度為16米，請(qǐng)你求出假山的高度．
【分析】依據(jù)，可得，進(jìn)而得出米．再根據(jù)，可得，進(jìn)而得出假山的高度為8米．
【解答】解：，，
，
，
，即，
解得．
，，
，
，
，即，
解得，
假山的高度為8米．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等”的原理解決．
7．（2024?錦江區(qū)模擬）如圖，為了測(cè)量山坡的護(hù)坡石壩壩頂與壩腳之間的距離，把一根長(zhǎng)為6米的竹竿斜靠在石壩旁，量出竿長(zhǎng)1米處距離地面的高度為0.6米，又測(cè)得石壩與地面的傾斜角為．求石壩壩頂與壩腳之間的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，
【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)垂直定義可得，然后證明字模型相似，從而利用相似三角形的性質(zhì)可求出的長(zhǎng)，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
在中，，
（米，
石壩壩頂與壩腳之間的距離約為3.8米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
8．（2024?西安校級(jí)模擬）為了測(cè)量物體的高度，小小帶著工具進(jìn)行測(cè)量，方案如下：如圖，小小在處放置一平面鏡，她從點(diǎn)沿后退，當(dāng)退行2米到處時(shí)，恰好在鏡子中看到物體頂點(diǎn)的像，此時(shí)測(cè)得小小眼睛到地面的距離為1.5米；然后，小小在處豎立了一根高1.8米的標(biāo)桿，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)、標(biāo)桿頂點(diǎn)和物體頂點(diǎn)在一條直線上，此時(shí)測(cè)得為2.6米，為3.5米，已知，，，點(diǎn)、、、、在一條直線上．請(qǐng)根據(jù)以上所測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算的高度．
【分析】根據(jù)題意可得：，再根據(jù)垂直定義可得，從而可得，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得，再證明字模型相似，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：由題意得：，
，，，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
解得：，
的高度為72.9米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．（2024?西安校級(jí)四模）每到三月就會(huì)讓人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的標(biāo)志性景點(diǎn)，為了測(cè)出雷峰塔的高度，初三學(xué)生小白設(shè)計(jì)出了下面的測(cè)量方法：已知塔前有一4米高的小樹(shù)，發(fā)現(xiàn)水平地面上點(diǎn)、樹(shù)頂和塔頂恰好在一條直線上，測(cè)得米，、之間有一個(gè)花圃無(wú)法測(cè)量，然后在處放置一個(gè)平面鏡，沿后退．退到處恰好在平面中看到樹(shù)頂?shù)南?，此時(shí)米，測(cè)量者眼睛到地面的距離為1.6米，求出塔高．
【分析】根據(jù)題意可得：，，，，從而可得，然后證明，從而利用相似三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，再證明字模型相似，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：由題意得：，，，，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
解得：，
塔高為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
10．（2024?鹽城模擬）《海島算經(jīng)》是我國(guó)魏晉時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家劉徽所撰，該書研究的對(duì)象全是有關(guān)高與距離的測(cè)量，因首題測(cè)算海島的高、遠(yuǎn)，故而書名由此而來(lái)，它是中國(guó)最早的一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作，亦為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．書中第四題為：今有望深谷，偃距岸上，令勾高六尺，從勺端望谷底，入下股九尺一寸，又設(shè)重矩于上，其矩間相去三丈尺），更從勺端望谷底，入上股八尺五寸，問(wèn)谷深幾何？大致譯文如下：現(xiàn)在要測(cè)量谷的深度，拿一個(gè)高為6尺的“矩尺” 仰放在岸上，從處望向谷底在上），下股為9.1尺，在的延長(zhǎng)線上重新放置“矩尺” ，其中尺，尺，從處望向谷底在上），下股為8.5尺，求谷的深度．（已知、、
【分析】先證明字模型相似三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可得，然后證明字模型相似三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可得，最后可得，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
谷的深度為419尺．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，數(shù)學(xué)常識(shí)，熟練掌握字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．
11．（2024?河南一模）“度高者重表，測(cè)深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望．觸類而長(zhǎng)之，則雖幽遐詭伏，靡所不入”就是說(shuō)，使用多次測(cè)量傳遞的方法，就可以測(cè)量出各點(diǎn)之間的距離和高度差．
——?jiǎng)⒒铡毒耪滤阈g(shù)注序》
某市科研考察隊(duì)為了求出某海島上的山峰的高度，如圖，在同一海平面的處和處分別樹(shù)立標(biāo)桿和，標(biāo)桿的高都是5.5米，兩處相隔80米，從標(biāo)桿向后退11米的處，可以看到頂峰和標(biāo)桿頂端在一條直線上；從標(biāo)桿向后退13米的處，可以看到頂峰和標(biāo)桿頂端在一條直線上．求山峰的高度及它和標(biāo)桿的水平距離．
注：圖中各點(diǎn)都在一個(gè)平面內(nèi)．
【分析】根據(jù)題意可得：，，，從而可得，然后證明字模型相似，，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：由題意得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
解得：，
山峰的高度為225.5米，它和標(biāo)桿的水平距離為440米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．
12．（2023?益陽(yáng)）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，線段交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)，連接，．
（1）求證：△；
（2）求證：；
（3）若，，當(dāng)平分四邊形的面積時(shí)，求的長(zhǎng)．
【分析】（1）利用證明；
（2）要證，也就是證明，但“兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”的條件不夠，所以想到“夾角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例”，只要證明即可．
（3）設(shè)，利用建立方程求解．
【解答】（1）證明：，，
，
，，
△；
（2）證明：，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
設(shè)，則，，
，
，
△△，
，
，
，
，平分四邊形的面積，
，
，
，（舍，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等和相似，對(duì)應(yīng)（3），設(shè)，利用什么等量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵．
13．（2024?沭陽(yáng)縣校級(jí)模擬）圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問(wèn)題的重要手段之一，小華和小芳對(duì)等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行了研究．如圖①，已知和均為等腰直角三角形，點(diǎn)，分別在線段，上，且．
（1）觀察猜想小華將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，設(shè)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，如圖②，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)：
①的值為；
②的度數(shù)為度；
（2）類比探究：如圖③，小芳在小華的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，連接，，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）拓展延伸：若，，當(dāng)所在的直線垂直于時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．
【分析】（1）①如圖②中，設(shè)交于點(diǎn)．證明，推出；
②依據(jù)，推導(dǎo)出，進(jìn)而得到，可得結(jié)論；
（2）如圖③中，設(shè)交于點(diǎn)．證明，可得結(jié)論；
（3）分兩種情形：如圖④中，當(dāng)于時(shí)，如圖④中，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于．分別求出，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）①如圖②中，設(shè)交于點(diǎn)．
，都是等腰直角三角形，
，，，
，；
，
；
②，
，
，
，
故答案為：，45；
（2），仍然成立，理由如下：
如圖③中，設(shè)交于點(diǎn)．
，都是等腰直角三角形，
，，，
，，
，
，，
，
，
，；
（3）如圖中，當(dāng)于時(shí)，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
如圖④中，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于．
同理可得，，，
，
綜上所述，的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似形綜合應(yīng)用，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
14．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)二模）四邊形內(nèi)接于，是的直徑，連結(jié)交于點(diǎn)，，垂足為．
（1）如圖1，若交于點(diǎn)．
①求證：；
②若的直徑為10，，，求的長(zhǎng)．
（2）如圖2，若交于點(diǎn)，連結(jié)，若，，，求的直徑．
【分析】（1）①易得，利用同角的余角相等得，結(jié)合圓周角定理即可得證；
②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意易得，，，，結(jié)合知，進(jìn)而利用證明，得到，于是，
，最后利用勾股定理求解即可；
（2）設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，鏈接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，易得，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)依次得出，，，，，于是，則，易得，于是，，得到，設(shè)的半徑為，則，，以此列出方程求解即可．
【解答】（1）①證明：是的直徑，，
，
，，
，
又，
，
．
②解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
在中，，，
，
由勾股定理得，
，，
在中，，，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，即，
．
（3）解：如圖，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，鏈接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，
，，
，
，
，，
又，
，
，
，
為的直徑，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，即，
設(shè)的半徑為，則，，
，
，
的直徑為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理、銳角三角形函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)等，屬于圓的綜合題，難度較大，是中考?jí)狠S題．解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用平行線和相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．
15．（2024?黃埔區(qū)一模）如圖，在矩形和矩形中，，，，．矩形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接，，，．
（1）求證：；
（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最大時(shí)，
①求的長(zhǎng)度；
②在內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得的值最?。咳舸嬖?，求的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)題意，計(jì)算出，，然后求得，即可證明；
（2）①當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，的長(zhǎng)度最大，由（1）知，，，，，可得，，因此．
②如圖3，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且使，連接，根據(jù)邊角關(guān)系，可得；同理將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，且使，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)，可得，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等可得：，因此，由于，即，因此當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，最小，由題意可知：，，，，過(guò)點(diǎn)作垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，可得，可知，，在中，根據(jù)勾股定理得，因此的最小值為．
【解答】（1）證明：四邊形為矩形，，，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：①如圖2，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，的長(zhǎng)度最大，
由（1）知，，，，，
，，
．
解：②如圖3，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且使，連接，
根據(jù)邊角關(guān)系，可得；
同理將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，且使，連接，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)，可得，
根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等可得：，
，
，即，
當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，最小，
由題意可知，，，，過(guò)點(diǎn)作垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，可得，
，，
在中，根據(jù)勾股定理得，
的最小值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似形綜合題，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
題型三：相似基本模型（K字型（一線三等角））
1．（2022?郴州）如圖1，在矩形中，，．點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）如圖2，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接．點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接．
①求的最小值；
②當(dāng)取最小值時(shí)，求線段的長(zhǎng)．
【分析】（1）由矩形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)證出，根據(jù)相似三角形的判定可得出結(jié)論；
（2）①連接，由直角三角形的性質(zhì)得出，則點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓上，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)，取得最小值，由勾股定理求出，則可得出答案；
②方法一：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，則，得出，證明，得出比例線段，列出方程，解得，求出，由（1）得，設(shè)，則，得出方程，解得或，則可得出答案．
方法二：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，求出，，證明，得出，求出，則可得出，后同方法一可求出的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①連接，如圖2，
，
是直角三角形，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓上，
當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，由三角形兩邊之和大于第三邊得：，
當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，
此時(shí)，取得最小值，
在中，，
的最小值為5．
②方法一：
如圖3，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，
，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
由（2）可知的最小值為5，
即，
又，
，
，
解得，
即，
由（1）得，
設(shè)，則，
，
解得：或，
，，
或．
方法二：
如圖4，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，
，
，
由（2）可知的最小值為5，
即，
又，
，
，，
由得，
，
即，
解得，
．
由（1）得，
設(shè)，則，
，
解得：或，
，，
或．
【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2024?太白縣一模）為完成社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，曉玲打算去測(cè)量大雁塔南廣場(chǎng)上佇立著的玄奘雕塑．曉玲自制了一個(gè)矩形紙板，按如圖所示在地面固定紙板，使得雕塑頂端在的延長(zhǎng)線上，并在頂點(diǎn)處懸掛一個(gè)鉛錘，恰好交于點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)到雕塑的距離為，，，點(diǎn)到地面的距離為，，，于點(diǎn)，所有點(diǎn)都在一個(gè)平面內(nèi)，請(qǐng)求出玄奘雕塑的高．
【分析】根據(jù)垂直定義可得，再利用平行線的性質(zhì)可得，從而可得，然后利用矩形的性質(zhì)可得，從而可得，再利用同角的余角相等可得，從而可證，最后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
點(diǎn)到地面的距離為，
，
，
玄奘雕塑的高為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，熟練掌握一線三等角模型是解題的關(guān)鍵．
3．（2023?武昌區(qū)模擬）【問(wèn)題背景】（1）如圖1，點(diǎn)，，在同一直線上，，求證：；
【問(wèn)題探究】（2）在（1）條件下，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：；
【拓展運(yùn)用】（3）如圖2，在中，，點(diǎn)是的內(nèi)心、若，，則的長(zhǎng)為 10 ．
【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得，即可證明結(jié)論；
（2）由，得，可說(shuō)明，進(jìn)而證明結(jié)論成立；
（3）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，可知是等腰直角三角形，再說(shuō)明，可得和的長(zhǎng)，最后利用勾股定理求出的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：，，
，
，
；
（2）證明：，
，
，
又，
，
，
；
（3）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
點(diǎn)是的內(nèi)心，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
為直角三角形，
，
故答案為：10．
【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握一線三等角基本模型是解題的關(guān)鍵．
4．（2023?灞橋區(qū)校級(jí)四模）問(wèn)題提出：（1）如圖①，在等邊中，，為三等分點(diǎn)，連接，在右側(cè)作，求的長(zhǎng)；
問(wèn)題解決：（2）如圖②，在矩形場(chǎng)地中，米，米，為對(duì)角線，現(xiàn)在要在邊上設(shè)置一個(gè)門，在上安裝一個(gè)掃描儀器，該掃描儀的范圍為（即，經(jīng)過(guò)測(cè)試將掃描范圍設(shè)置為時(shí)，效果最佳，以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)搭建一個(gè)帳篷，則將掃描儀放置距離多長(zhǎng)距離時(shí)，四邊形面積最大，最大面積為多少？
【分析】（1）先利用等邊三角形的性質(zhì)可得，，從而可得，根據(jù)已知易得，從而可得，再利用平角定義可得，從而可得，然后證明，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，即可解答；
（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，可得是的垂直的平分線，從而可得米，進(jìn)而可得，再利用矩形的性質(zhì)可得，從而在中，利用勾股定理可得米，進(jìn)而可得，，然后根據(jù)已知可得，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，再設(shè)米，則米，最后證明，從而利用相似三角形的性質(zhì)可求出米，進(jìn)而可得米，再根據(jù)四邊形的面積矩形的面積的面積，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．
【解答】解：（1）是等邊三角形，
，，
，
為三等分點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的長(zhǎng)為7；
（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，
是的垂直的平分線，
米，
，
四邊形是矩形，
，
米，米，
（米，
，，
，
，
，
在中，（米，
（米，
設(shè)米，則米，
，，
，
，
，
，
米，
米，
四邊形的面積矩形的面積的面積
，
當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為98400平方米，
將掃描儀放置距離米時(shí)，四邊形面積最大，最大面積為98400平方米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
5．（2022?赤峰）同學(xué)們還記得嗎？圖①，圖②是人教版八年級(jí)下冊(cè)教材“實(shí)驗(yàn)與探究”中我們研究過(guò)的兩個(gè)圖形．受這兩個(gè)圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你回答：
【問(wèn)題一】如圖①，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系為；
【問(wèn)題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線、經(jīng)過(guò)正方形的對(duì)稱中心，直線分別與、交于點(diǎn)、，直線分別與、交于點(diǎn)、，且，若正方形邊長(zhǎng)為8，求四邊形的面積；
【問(wèn)題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形的頂點(diǎn)在正方形的邊上，頂點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，．在直線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由．
【分析】【問(wèn)題一】利用判斷出，即可得出答案；
（2）先求出，再利用判斷出，即可求出答案；
【問(wèn)題三】分三種情況：利用三垂線構(gòu)造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．
【解答】解：【問(wèn)題一】正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，
，，，
四邊形是正方形，
，
，
，
，
故答案為：；
【問(wèn)題二】如圖③，
連接，，
點(diǎn)是正方形的中心，
，
點(diǎn)是正方形的中心，
，，，
，
，
，
，
，
；
【問(wèn)題三】在直線上存在點(diǎn)，使為直角三角形，
①當(dāng)時(shí)，如圖④，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，
四邊形和四邊形是正方形，
，，
四邊形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②當(dāng)時(shí)，如圖⑤，
同①的方法得，，
，
，
，
或；
③當(dāng)時(shí)，如圖⑥，
過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)，相交于，
同①的方法得，四邊形是矩形，
，，，
同①的方法得，四邊形是矩形，
，，
，
同①的方法得，，
，
，
，
，
即的長(zhǎng)度為2或3或6或7．
【點(diǎn)評(píng)】此題是幾何變換綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出相似三角形和全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
6．（2024?濱海縣一模）【感知】如圖①，在正方形中，為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．易證：．（不需要證明）
【探究】如圖②，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．
（1）求證：．
（2）若，，為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
【應(yīng)用】如圖③，在中，，，．為邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為或2 ．
【分析】【探究】（1）利用同角的余角相等得，從而證明結(jié)論；
（2）由（1）知，得，代入計(jì)算即可；
【應(yīng)用】如果，則，，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意；如果，利用證明，得，可得答案；如果，則，則，則，從而解決問(wèn)題．
【解答】【探究】（1）證明：四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
又，
；
（2）解：為的中點(diǎn)，
，
由（1）知，
，
即，
；
【應(yīng)用】解：如果，則，，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意，
②如果，則，
為的外角，
，
，，
，
，
，
，
又，，
，
，
，，，
，
；
如果，則，
，
在中，，
，
，
又，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
綜上，的長(zhǎng)為或2，
故答案為：或2．
【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用分類思想是解決【應(yīng)用】的關(guān)鍵．
7．（2023?武漢模擬）點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且．
（1）如圖（1），若，求證：；
（2）如圖（2），若，，若，則的值為；（直接寫出）
（3）如圖（3），連接，若，，求證：．
【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，從而證明結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由（1）可得，則，設(shè)，則，，，即可得出答案；
（3）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，同理得，得，證明，說(shuō)明，進(jìn)而解決問(wèn)題．
【解答】（1）證明：，，
，
，
；
（2）解：如圖（2），過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，
，
，，
，
，
，
，
，
，
由（1）可得，
，
設(shè)，則，，
，
，
故答案為：；
（3）證明：如圖（3），延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，，，
，
，
又，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造一線三等角基本模型是解題的關(guān)鍵．
8．（2023?榆次區(qū)一模）問(wèn)題情境：
在綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以“正方形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展活動(dòng)．如圖①，四邊形和四邊形都是正方形，邊長(zhǎng)分別是12和13，將頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，連接，．
初步探究：
（1）試猜想線段與的關(guān)系，并加以證明；
問(wèn)題解決：
（2）如圖②，在正方形的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，連接，求線段的長(zhǎng)；
（3）在圖②中，若與交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．
【分析】（1）先判斷出，，，進(jìn)而判斷出，得出，，最后用等角的余角相等，即可得出結(jié)論；
（2）先求出，再判斷出，得出，，再判斷出，即可得出答案；
（3）先判斷出，得出，即可求出答案．
【解答】解：（1），，
證明：如圖1，
四邊形和四邊形是正方形，
，，，
，
，
，
，，
延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于，
，
，
，
，
，
即，；
（2）在中，，，
根據(jù)勾股定理得，，
如圖2，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，
四邊形是正方形，
，，
，
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
；
（3）如圖2，由（2）知，，
四邊形是正方形，
，
，
，
由（2）知，，，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，同角的余角相等，勾股定理，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形和解（2）（3）的關(guān)鍵．
9．（2023?商丘二模）綜合與實(shí)踐
【動(dòng)手操作】如圖①，四邊形是一張矩形紙片，，．先將矩形對(duì)折，使與重合，折痕為，沿剪開(kāi)得到兩個(gè)矩形．矩形保持不動(dòng)，將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．
【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，此時(shí)兩個(gè)矩形重疊部分四邊形的形狀是菱形，面積是；
（2）如圖③，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求兩個(gè)矩形重疊部分四邊形的面積；
【引申探究】（3）當(dāng)點(diǎn)落在矩形的對(duì)角線所在的直線上時(shí)，直線與直線交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．
【分析】（1）證四邊形是平行四邊形，再證，得，則平行四邊形是菱形，因此，設(shè)，則，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可解決問(wèn)題；
（2）由勾股定理得，則，，再證，得，即可解決問(wèn)題；
（3）分兩種情況，①點(diǎn)在線段上時(shí)，②點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，由相似三角形的性質(zhì)分別求出的長(zhǎng)即可．
【解答】解：（1）四邊形是矩形，
，，，
由折疊的性質(zhì)得：四邊形和四邊形是矩形，
，，，，，
四邊形是平行四邊形，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，
，
即，
，
，
平行四邊形是菱形，
，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
，
故答案為：菱形，；
（2）在中，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）分兩種情況：
①點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖④，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
②點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖⑤，
，
，，
，
，
即，
解得：；
綜上所述，線段的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．
10．（2023?金山區(qū)二模）如圖，已知在中，，點(diǎn)是邊中點(diǎn)，在邊上取一點(diǎn)，使得，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，
①如果為經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)的圓的一條弦，當(dāng)弦恰好是正十邊形的一條邊時(shí)，求的值；
②經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，當(dāng)，，時(shí)，求的半徑長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角可得，再利用三角形的內(nèi)角和定理得到結(jié)論；
（2）①連接，根據(jù)正十邊形的中心角可得，推出，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例解題即可；
②由，得，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，等量代換得到的值，然后根據(jù)，求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出半徑長(zhǎng)即可．
相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，中位線定理和正多邊形，
【解答】（1）證明：，，
，
，，
；
（2）①連接，
是的中點(diǎn)，，
，
為圓的直徑，
連接，設(shè)經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)的圓半徑為，
弦恰好是正十邊形的一條邊，
，
，
又、是、的中點(diǎn)，
，，
，
，
，
，，
，
則，即，
解得：（舍，
，
②，
，
又，
，，
，
設(shè)，
由①可知，，
，
，
，即，
如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
在中，，
，
解得，
，，
，是所在圓的半徑，
，
又，
，
，
，
，
，即，
解得：，
連接，
，
的半徑長(zhǎng)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，中位線定理和正多邊形，綜合性較強(qiáng)，是壓軸題，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造三角形相似．
11．（2024?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）在同一平面內(nèi)，具有一條公共邊且不完全重合的兩個(gè)全等三角形，我們稱這兩個(gè)三角形叫做“共邊全等”．
（1）下列圖形中兩個(gè)三角形不是“共邊全等”是 ③ ；
（2）如圖1，在邊長(zhǎng)為6的等邊三角形中，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)、分別在、邊上，滿足和為“共邊全等”，求的長(zhǎng)；
（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與直線、軸相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、在的邊上，當(dāng)以、、為頂點(diǎn)的三角形與 “共邊全等”時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）由于第③個(gè)圖不符合共邊要求，所以圖③即為答案；
（2）為兩個(gè)全等三角形的公共邊，由于點(diǎn)在邊上，在邊上，兩個(gè)三角形的位置可以如圖②，在公共邊異側(cè)，構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，也可以構(gòu)成一個(gè)平行四邊形（將圖③的兩條最長(zhǎng)邊重合形成），分兩類討論，畫出圖形，按照?qǐng)D②構(gòu)圖，會(huì)得到一個(gè)一線三等角模型，利用相似，列出方程來(lái)解決，按照平行四邊形構(gòu)圖，直接得到為等邊三角形，計(jì)算邊長(zhǎng)即可求得；
（3）由題目要求，可以知道兩個(gè)全等三角形的公共邊為邊，由于要構(gòu)成，所以點(diǎn)只能在和邊上，當(dāng)在邊上，兩個(gè)三角形可以在同側(cè)，也可以在異側(cè)，當(dāng)在異側(cè)構(gòu)圖時(shí)，可以得到圖3和圖4，在圖3中，當(dāng)在同側(cè)構(gòu)圖時(shí)，可以得到圖6，當(dāng)在邊上時(shí)，只能落在上，得到圖7，利用已知條件，解三角形，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）①②均符合共邊全等的特點(diǎn)，只有③，沒(méi)有公共邊，所以③不符合條件，
答案是③；
（2）①如圖1，當(dāng)，且是共邊全等時(shí)，
，
，
是等邊三角形，
是等邊三角形，
，
，
，
②如圖2，當(dāng)，且是共邊全等時(shí)，
，
，，
，
又，
，
又，
，
，
設(shè)，則，
，
解得，
，，
，
綜上所述，或；
（3）聯(lián)立，解得，
，
令，得，
，
，
為中點(diǎn)，
，
，
由題可得，點(diǎn)只能在邊和上，
①在上時(shí)，如圖3，，
，，
，
四邊形為平行四邊形，
為中點(diǎn)，
為中點(diǎn)，
又，
為中點(diǎn)，
，
②當(dāng)在邊上，如圖4，，
，
如圖5，過(guò)作于，則，，
，
，
過(guò)作于，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
，
③當(dāng)在邊上，在邊上時(shí)，如圖6，，
，，
過(guò)作于，
，，
，
，
設(shè)，
，
，
，
，
④當(dāng)在上，在上時(shí)，，如圖7，
，
過(guò)，分別作得垂線，垂足分別為，，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
為中點(diǎn)，
為中點(diǎn)，
，
綜上所述，或或或．
【點(diǎn)評(píng)】此題是一道一次函數(shù)和三角形的綜合題，充分利用第一問(wèn)的構(gòu)圖是此題的突破口，當(dāng)點(diǎn)所在的位置不確定時(shí)，要注意分類討論，同時(shí)，利用已知數(shù)據(jù)解三角形是解決此題的基本能力要求．
12．（2023?梁溪區(qū)校級(jí)二模）如圖，以矩形的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，已知，，將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 得到矩形．
（1）當(dāng)點(diǎn)恰好落在軸上時(shí)，如圖1，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)恰好落在矩形的對(duì)角線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，再由勾股定理求出的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論；
（2）分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)恰好落在矩形的對(duì)角線上時(shí)，設(shè)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，證，得，，再證點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，即可解決問(wèn)題；
②當(dāng)點(diǎn)恰好落在矩形的對(duì)角線上上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證，求出，，同理，求出，，即可解決問(wèn)題；
（3）分兩種情況討論，由面積法可求，再由勾股定理求出的值，即可解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）四邊形是矩形，
，，，
將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到矩形，
，，，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）分兩種情況：
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)恰好落在矩形的對(duì)角線上時(shí)，
設(shè)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，
四邊形是矩形，
，，，
，
，
將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到矩形，
，，，，，，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，
，，
點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)恰好落在矩形的對(duì)角線上上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
則，
將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
即，
解得：，，
同理：，
，
即，
解得：，，
，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，；
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，；
（3）分兩種情況：
①如圖4，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
設(shè)，則，，
，，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
解得：（負(fù)值已舍去），
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，；
②如圖5，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
設(shè)，則，，
，，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，；
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積以及分類討論等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
題型四：相似三角形基本模型（旋轉(zhuǎn)型（手拉手））
1．（2024?新都區(qū)模擬）如圖，已知矩形和矩形共用頂點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，連接，，且．
（1）求證：；
（2）若，，，求的長(zhǎng)．
【分析】（3）利用同角的余角相等可得，結(jié)合條件即可證明，以此即可得證；
（2）易得，結(jié)合（1）中結(jié)論并根據(jù)等角加等角相等得，再由勾股定理求得的長(zhǎng)，于是得出的長(zhǎng)，由可求出的長(zhǎng)，最后再利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）證明：四邊形和四邊形均為矩形，
，即，
，
又，
，
．
（2）解：四邊形為矩形，
，，
，
，
，即，
在中，，，
，
，，
由（1）知，，
，，
，
，
在中，．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理，解題關(guān)鍵：（1）由同角的余角相等得到；（2）根據(jù)角之間的關(guān)系推理證明．
2．（2023?平遙縣二模）（1）【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1，和都是等邊三角形，連接，．請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系：．
（2）【類比探究】如圖2，和都是等腰直角三角形，．連接，．請(qǐng)寫出與的數(shù)量關(guān)系：．
（3）【拓展提升】如圖3，和都是直角三角形，，且．連接，．
①求的值；
②延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求的值．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，證明，即可得解；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，直角邊與斜邊的關(guān)系，證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比，即可求解；
（3）①根據(jù)，，可證，可得，在中，求出，在中，求出，再證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
②由①得：，由此可證，得，在中，根據(jù)余弦的計(jì)算方法即可求解．
【解答】解：（1）和都是等邊三角形，
，
，
在，中，
，
，
，
故答案為：．
（2）結(jié)論：或，理由如下：
和都是等腰直角三角形，，
，
，
，且，
，
，
或，
故答案為：或；
（3）①，，
，
，即，
，
設(shè)，，
在中，，
同理，在中，設(shè)，，則，
，，即，
，
；
②由①得：，
，
，
，
，
，
在中，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等邊三角形，等腰直角三角形，直角三角形，全等三角形，相似三角形的綜合，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023?山陰縣模擬）在學(xué)習(xí)鏡面反射后，小明知道了當(dāng)入射光線與鏡面垂直時(shí)，反射光線將與入射光線重合，沿原路返回．他利用此現(xiàn)象設(shè)計(jì)了一個(gè)測(cè)量物體高度的工具．
在一次實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，小明測(cè)得測(cè)高工具與建筑物的水平距離米，請(qǐng)計(jì)算建筑物的高度（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)．
【分析】通過(guò)過(guò)點(diǎn)作和的垂線，構(gòu)造相似三角形，再把所得線段相加，即可求得的長(zhǎng)．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)作垂線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作垂線，垂足為，交于點(diǎn)．
，，且．
四邊形為矩形．
，
又，且，
．
．
又，且為中點(diǎn)，
，．
又
．
，得，
又．
．
又，
所以．
故建筑物的高度約為4.8米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用相似三角形解決實(shí)際問(wèn)題，理解題意以及構(gòu)造出合適的相似三角形是解決本題的關(guān)鍵．
4．（2023?海城市校級(jí)三模）已知：點(diǎn)、、在同一條直線上，，線段、交于點(diǎn)．
（1）如圖1，若，
①問(wèn)線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；
②求的大?。ㄓ帽硎荆?；
（2）如圖2，若，，則線段與的數(shù)量關(guān)系為，（用表示）；
（3）在（2）的條件下，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在備用圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則（用表示）．
【分析】（1）①先根據(jù)等腰三角形等角對(duì)等邊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出，則，再根據(jù)證明，從而得出；
②先由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得出，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出；
（2）先根據(jù)等腰三角形等角對(duì)等邊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出，則，再由，，得出，則根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩三角形相似證出，得出，，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出；
（3）先在備用圖中利用作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，再根據(jù)等腰三角形等角對(duì)等邊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出，由，，得出，從而證出，得出，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出．
【解答】解：（1）如圖1．
①，理由如下：
，，
，
，
同理可得：，
，
，
即：．
在與中，
，
，
；
②，
，
，
；
（2）如圖2．
，，
，
同理可得：，
，
，
即：．
，，
．
在與中，
，，
，
，，
；
，
．
故答案為：，；
（3）如圖．
，，
，
同理可得：，
，即．
，，
．
在與中，
，，
，
，
，，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作圖旋轉(zhuǎn)變換，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．由于全等是相似的特殊情況，所以做第二問(wèn)可以借助第一問(wèn)的思路及方法，做第三問(wèn)又可以遵照第二問(wèn)的做法，本題三問(wèn)由淺入深，層層遞進(jìn)，做好第一問(wèn)是關(guān)鍵．
5．（2023?市中區(qū)校級(jí)四模）問(wèn)題提出如圖1，在等邊內(nèi)部有一點(diǎn)，，，，求的度數(shù)．
數(shù)學(xué)思考當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以將分?jǐn)?shù)的條件集中起來(lái)解決問(wèn)題．
嘗試解決將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，則為等邊三角形．
，又，，．
△為直角三角形，
的度數(shù)為．
類比探究如圖2，在中，，，其內(nèi)部有一點(diǎn)，若，，，求的度數(shù)．
聯(lián)想拓展如圖3，在中，，，其內(nèi)部有一點(diǎn)，若，，，求的度數(shù)．
【分析】類比探究類比上面的例題，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，利用勾股定理說(shuō)明△為直角三角形；
聯(lián)想拓展，直接旋轉(zhuǎn)行不通，因?yàn)?，所以旋轉(zhuǎn)后再放縮即可，利用三角形相似解決．
【解答】解：嘗試解決直角，；
類比探究將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，則為等腰直角三角形，
，
又，，
，
△為直角三角形，
，
．
聯(lián)想拓展如圖，在的左側(cè)構(gòu)造三角形，使，，
，，
，，
△，
，
，
，，
，
，
，
，
在△中，，，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，是手拉手的變式，滲透了類比的思想，對(duì)于聯(lián)想拓展，因?yàn)?，直接旋轉(zhuǎn)行不通，因?yàn)椋韵氲饺切蜗嗨疲?br>6．（2023?江漢區(qū)校級(jí)模擬）如圖，和都是直角三角形，，．
（1）如圖1，證明：；
（2）如圖2，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，證明：；
（3）如圖3，若，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，直接寫出的長(zhǎng) 或．
【分析】（1）由題意易得，利用相似三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)同角加等角相等可得，以此即可證明；
（2）由可得，以此可證、、、四點(diǎn)共圓（若線段同側(cè)兩點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等，那么這兩點(diǎn)和線段兩端點(diǎn)四點(diǎn)共圓），由圓周角定理得到是該圓的直徑，進(jìn)而得到為圓心，以此即可證明；
（3）分兩種情況：當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，由含30度角的直角三角形性質(zhì)可得，，，再利用勾股定理求出，則，由，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出；當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，同理可得：，，，，此時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】（1）證明：，．
，
，
，
，即，
，
；
（2）證明：，
，即，
、、、四點(diǎn)共圓，
，
是以、、、四點(diǎn)共圓的直徑，
為的中點(diǎn)，
是以、、、四點(diǎn)共圓的圓心，
；
解：（3）當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，連接，
，，
，，
，
，，
在中，，
在中，，
，
，
，即，
；
當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，連接，
同理可得：，，，，
，
，
，即，
．
綜上，的長(zhǎng)為或．
故答案為：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理、含角的直角三角形、勾股定理，熟練掌握判定三角形相似的方法和相似三角形的性質(zhì)，并學(xué)會(huì)利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．
7．（2023?亳州二模）如圖1，在和中，，．
（1）①求證：；
②若，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在邊上，若，．求證：．
【分析】（1）①根據(jù)兩個(gè)角相等可得，得，再根據(jù)，可證明結(jié)論；
②由①知，當(dāng)時(shí)，，則是等腰三角形；
（2）同理證明，得，再利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余，即可證明結(jié)論．
【解答】（1）①證明：，，
，
，
即，
又，
，
即，
；
②解：是等腰三角形，理由如下：
由①知，，
，
，
是等腰三角形；
（2）證明：，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（2024?邳州市校級(jí)一模）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)，，在同一直線上，連接．
①線段，之間的數(shù)量關(guān)系為；
②的度數(shù)為．
（2）拓展探究：
如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)，，在同一直線上，連接，求的值及的度數(shù)；
（3）解決問(wèn)題：
如圖3，在正方形中，，若點(diǎn)滿足，且，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)到直線的距離．
【分析】（1）①由“”可證，由全等三角形的性質(zhì)可求；
②由全等三角形的性質(zhì)可得，即可求解；
（2）首先證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，，即可求解；
（3）由題意可得點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，同時(shí)點(diǎn)也在以為直徑的圓上，即點(diǎn)是兩圓的交點(diǎn)，分兩種情況討論，由勾股定理即可求點(diǎn)到的距離．
【解答】解：（1）①和均為等邊三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
；
②，
，
，
，
；
故答案為：①，②；
（2）和均為等腰直角三角形，
，，，
，即，
，
，，
，
，
，
，
故，；
（3）點(diǎn)滿足，
點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，
，
點(diǎn)在以為直徑的圓上，
如圖3，點(diǎn)是兩圓的交點(diǎn)，若點(diǎn)在上方，連接，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，
，
，
，
，
，，
，四邊形是矩形，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
在中，，
即，
解得：或．
點(diǎn)到直線的距離為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形形綜合題，考查的是等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
9．（2023?開(kāi)陽(yáng)縣模擬）【特例感知】
（1）如圖①，和是等腰直角三角形，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，，寫出圖中一對(duì)你認(rèn)為全等的三角形；
【類比遷移】
（2）如圖②，將圖1中的繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，那么第（1）問(wèn)的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，說(shuō)明理由．
【方法運(yùn)用】
（3）如圖③，若，點(diǎn)是線段外一動(dòng)點(diǎn)，，連接．若將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，是否有最小值，若有請(qǐng)求出最小值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)證明，可得結(jié)論；
（2）與（1）同理可證明（1）中結(jié)論成立；
（3）過(guò)點(diǎn)作，使得，連接，．判定，即可得到的長(zhǎng)為定值，進(jìn)而得出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓，故當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，存在最小值．
【解答】解：（1）和是等腰直角三角形，
，，
，
，
故答案為：；
（2）仍然成立．
，
，
和是等腰直角三角形，
，，
；
（3）有最小值．
如圖，過(guò)點(diǎn)作，使得，連接，，
與都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓，
，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的最小值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用．作輔助線構(gòu)造相似三角形是解決問(wèn)題（3）的關(guān)鍵；確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓是難點(diǎn)所在．
10．（2023?獲嘉縣模擬）在中，，，為上的一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，得到．
（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1，當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系為；
（2）【類比探究】如圖2，當(dāng)時(shí)，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中與之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）【拓展延伸】在（2）的條件下，已知，，當(dāng)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，，三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，可得，由，得出，可得，推出，即可得出答案；
（2）通過(guò)證明，可得，即可求解；
（3）分兩種情況討論，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，
，
，
為的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案為：；
（2）的數(shù)量關(guān)系不變，理由如下：
當(dāng)時(shí)，，
則，
，，
由勾股定理可得：，
，
，
，，
，
由旋轉(zhuǎn)得：，
即，
，
，
，
；
（3），，
，，
由勾股定理可得：，，
繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，，三點(diǎn)共線，
，，
，
，
當(dāng)旋轉(zhuǎn)至直線上方時(shí)，如圖，
則；
當(dāng)旋轉(zhuǎn)至直線下方時(shí)，如圖，
則；
綜上所述，線段的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
11．（2023?順城區(qū)三模）如圖，是等邊三角形，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，的角平分線交直線于點(diǎn)，連接．
（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段，，三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的猜想；
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)完成證明，若不成立，請(qǐng)寫出正確的結(jié)論并說(shuō)明理由；
（3）若，時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．
【分析】（1）延長(zhǎng)到，使，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出判定的條件，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出判定的條件，判定全等后推出是等邊三角形，根據(jù)對(duì)應(yīng)線段之間的關(guān)系即可得到線段，，三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）在線段上截取，使，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出判定的條件，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出判定的條件，判定全等后推出是等邊三角形，根據(jù)對(duì)應(yīng)線段之間的關(guān)系即可得到線段，，三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）分①在內(nèi)部和外部?jī)煞N情況進(jìn)行分析，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）．
理由如下：
如圖1，延長(zhǎng)到，使，連接，
是等邊三角形，
，
繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，
，
，
平分，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，即，
是等邊三角形，
，
，
；
（2）不成立，正確結(jié)論為：．
理由如下：
如圖2，在線段上截取，使，連接，
是等邊三角形，
，，
繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，即，
是等邊三角形，
，
，
；
（3）如圖3，當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
過(guò)點(diǎn)作于，
且，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
；
當(dāng)在外部時(shí)，
，，
，
，
，
，
△是等邊三角形，
平分，
，
，
，
，
綜上，的長(zhǎng)為6或．
【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形以及等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，深入理解題意是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
12．（2023?郴州模擬）如圖1，在中，，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），作，交于點(diǎn)．如圖2，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，連接，，．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，完成以下問(wèn)題，：
（1）如圖2，求證：；
（2）如圖3，若點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，求的值；
（3）如圖2，若，求面積的最小值．
【分析】（1）由，得，再說(shuō)明，可得；
（2）由三角形中位線定理知．同理，．由（1）知，進(jìn)而解決問(wèn)題；
（3）根據(jù) 繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則是的半徑，要使達(dá)到最小值，即：使以為底，點(diǎn)到上的距離達(dá)到最小值．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即，進(jìn)而解決問(wèn)題．
【解答】（1）證明：如圖1，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)前，，
，
，
即，
如圖2，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度過(guò)程中，
，
，
，
．
（2）解：點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，
是的中位線，
．同理，．
由（1）得，且，．
，
；
（3）解：如圖，
．
，
．
繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則是的半徑，
要使達(dá)到最小值，即：使以為底，點(diǎn)到上的距離達(dá)到最小值．
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
在繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度的過(guò)程中，的三邊關(guān)系有：，
當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即，
，
，
，
．
即面積的最小值為24．
【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵．
13．（2023?南山區(qū)校級(jí)二模）已知正方形，將邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段，的平分線所在直線與直線相交于點(diǎn)．
【探索發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1，當(dāng)為銳角時(shí)，請(qǐng)先用“尺規(guī)作圖”作出的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法），再依題意補(bǔ)全圖形，求證：；
【深入探究】
（2）在（1）的條件下，
①的度數(shù)為；
②連接，猜想線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
【拓展思考】
（3）若正方形的邊長(zhǎng)，當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)度．
【分析】（1）依題意補(bǔ)全圖形，連接，由正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，由角平分線的定義可得，再通過(guò)證明即可求解；
（2）①設(shè)，則，由可得，由可得，再根據(jù)計(jì)算即可求解；
②連接、和，易得和為等腰直角三角形，，，由等角減同角相等可得，以此可證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）分兩種情況：當(dāng)為對(duì)角線時(shí)此時(shí)，；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，連接，同（1）可證：，得到，由可得，，由四邊形內(nèi)角和定理得到，進(jìn)而求得，于是是等腰直角三角形，同（2）②可證：，，設(shè)，則，，在中，利用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：（1）“尺規(guī)作圖”補(bǔ)全圖形如圖：
證明：如圖，連接，
四邊形是正方形，
，
由旋轉(zhuǎn)知，，
，
平分，
，
在和中，
，
，
；
（2）①設(shè)，
，
，
四邊形為正方形，
，
，
，
，
；
故答案為：；
②，理由如下：
如圖，連接、和，
，，
為等腰直角三角形，，
，
四邊形為正方形，
為等腰直角三角形，
，，
，
，即，
，
，
；
（3）當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，如圖，
此時(shí)，；
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，如圖，連接，
四邊形為邊長(zhǎng)為6的正方形，
，
同（1）可證：，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
同（2）②可證：，且，
設(shè)，則，
四邊形為平行四邊形，
，
，
，
在中，，
，
解得：或（舍去），
．
綜上，或．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查尺規(guī)作圖、正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，正確作出輔助線，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．
14．（2023?靜安區(qū)校級(jí)一模）在等腰直角中，，，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），以為腰且在的右側(cè)作等腰直角，，射線與射線交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．
（1）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，
①求證：；
②設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性質(zhì)和兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似解答即可；
②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，利用相似三角形的拍等于性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可；
（2）利用分類討論的思想方法，畫出圖形，列出關(guān)于的方程，解方程即可得出結(jié)論．
【解答】（1）①證明：和是等腰直角三角形，
，，．
，，
；
②解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，
是等腰直角三角形，
，
，
．
設(shè)，則，
．
，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
由①知：，
．
，
．
，
．
．
，
，
，
關(guān)于的函數(shù)解析式，的取值范圍：；
（2）①解：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖，
由（1）②知：．
．
，，
，
，
．
△，
此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，不存在；
②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
和是等腰直角三角形，
，，．
，，
．
．
是等腰直角三角形，
，
．
，
．
設(shè)，則，
．
，
，
，
，
．
，
，
，
，
．
．
．
，，
．
，
，
解得：，
，
．
．
綜上，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，函數(shù)的解析式，一元二次方程的解法，本題是相似三角形的綜合題，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2023?霍林郭勒市校級(jí)三模）已知正方形，動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作射線于點(diǎn)，連接．
（1）如圖1，在上取一點(diǎn)，使，連接，求證：；
（2）如圖2，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，求證：；
（3）如圖3，若把正方形改為矩形，且，其他條件不變，請(qǐng)猜想，和的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不必證明．
【分析】（1）先判斷出，利用等角的余角相等判斷出，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論；
（2）利用四邊形的內(nèi)角和定理和鄰補(bǔ)角的定義判斷出，進(jìn)而判斷出，再判斷出，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出，同（1）的方法得，，得出，得出比例式，進(jìn)而得出，，再用勾股定理得出，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）證明：如圖2，
過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，
，
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：；
證明：如圖3，
過(guò)點(diǎn)作交于，
，
四邊形是矩形，
，
，
同（1）的方法得，，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，，
在中，根據(jù)勾股定理得，，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，同角的余角相等，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形和相似三角形是解本題的關(guān)鍵．
16．（2021?日照）問(wèn)題背景：
如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．
實(shí)驗(yàn)探究：
（1）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小王同學(xué)將圖1中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖2所示，得到結(jié)論：① ；②直線與所夾銳角的度數(shù)為．
（2）小王同學(xué)繼續(xù)將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置．請(qǐng)問(wèn)探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至、、三點(diǎn)共線時(shí)，則的面積為．
【分析】（1）通過(guò)證明，可得，，即可求解；
（2）通過(guò)證明，可得，，即可求解；
拓展延伸：分兩種情況討論，先求出，的長(zhǎng)，即可求解．
【解答】解：（1）如圖1，，，，
，
如圖2，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，
繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，
，
，
，，
又，
，
直線與所夾銳角的度數(shù)為，
故答案為：，；
（2）結(jié)論仍然成立，
理由如下：如圖3，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，
將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，
，
又，
，
，，
又，
，
直線與所夾銳角的度數(shù)為．
拓展延伸：如圖4，當(dāng)點(diǎn)在的上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，
，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，
，，，
，，
，
、、三點(diǎn)共線，
，
，
，
，
由（2）可得：，
，
，
的面積；
如圖5，當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，
同理可求：的面積；
故答案為：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
17．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)一模）如圖，在中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接．
（1）如圖1，若，，，求線段的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若，為邊上一點(diǎn)且，為上一點(diǎn)且，為的中點(diǎn)，連接，，，．猜想與之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）如圖3，當(dāng)，時(shí)，將繞著點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接．點(diǎn)、點(diǎn)分別是線段、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、．點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，將沿直線翻折到同一平面內(nèi)的，連接．在、運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)取得最小值且，時(shí)，請(qǐng)直接寫出四邊形的面積．
【分析】（1）看已知條件：，，明顯是等腰直角三角形，可以用旋轉(zhuǎn)解決．
（2）在等邊三角形中有垂直，有中點(diǎn)（中線），又觀察圖形的形況，猜倍的關(guān)系．已知為中點(diǎn)，，聯(lián)想到相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例．邊中線與的比剛好是，所以以為邊構(gòu)造的相似三角形．
（3）經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單推理可知：，，能找到點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)．這樣，取得最小值時(shí)的、位置可以確定．再根據(jù)題意繪出相應(yīng)的圖形，求面積即可．
【解答】解：（1），．
將繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，如圖
由旋轉(zhuǎn)可得：，，，．
，
在、中，根據(jù)勾股定理得：
，
即：；解得．
．
（2）猜想．
過(guò)作于，找到中點(diǎn)，連接、．如圖
為等邊三角形，
又，得：；
又，
，
．
，得．
，得；
；
、分別為、的中點(diǎn)
，得；，得；
，又；得，；
；
；
；
．
即．
（3）將繞著點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到；
，又，
．
在上找到，使；連接．
△；
，可得：．
當(dāng)、、共線且時(shí)取得最小值，如圖：
，，
．
；
，；
．
根據(jù)題意將沿直線翻折到同一平面內(nèi)的，得，
，
；
；
．
，；
；
；．
，．
，．
；
；
；即．
；
．
．
【點(diǎn)評(píng)】本題第一問(wèn)考查旋轉(zhuǎn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用、第二問(wèn)考查構(gòu)造圖形的能力，靈感來(lái)自于對(duì)等邊三角形的熟悉．第三問(wèn)同時(shí)考查對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，需要對(duì)兩種變換有深入的理解．處理點(diǎn)到直線最小值是關(guān)鍵中的關(guān)鍵．
18．（2023?沈河區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，四邊形中，，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，．
（1）判斷線段與的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若，求的度數(shù)；
（3）如圖2，在（2）的條件下，線段與交于點(diǎn)，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，，，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且點(diǎn)，，在一條直線上直接寫出的值．
【分析】（1）連接，可證得，進(jìn)而得出，運(yùn)用直角三角形性質(zhì)可得，進(jìn)而得出，推出，由平行線的判定定理可得，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)可得，．
（2）根據(jù)已知條件可得出是等邊三角形，，，進(jìn)而可得四邊形是菱形，利用菱形性質(zhì)可得，再由，即可求得答案；
（3）由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得：，，，得出是等邊三角形，，進(jìn)而可得四邊形是圓內(nèi)接四邊形，得出，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可證得，利用相似三角形性質(zhì)和解直角三角形可得，即，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可得，推出，即可求得答案．
【解答】解：（1），．理由如下：
如圖1，連接，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，．
（2），，
，
，
是等邊三角形，
，，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是菱形，
，
；
（3）將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，
，，，
是等邊三角形，
，
由（2）知：是等邊三角形，
，，
與重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，
，，
四邊形是菱形，
，
，
四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
，
如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
則，
，
，
，
是等邊三角形，，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何綜合題，考查了等腰三角形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
19．（2024?沙坪壩區(qū)校級(jí)一模）和是以點(diǎn)為公共頂點(diǎn)的等腰三角形，其中，，，連接．
（1）如圖1，當(dāng)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接．若，，求的長(zhǎng)；
（2）如圖2，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)．點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接．延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)．若，求證：；
（3）如圖3，當(dāng)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得．延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接．若，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度取最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫出的面積．
【分析】（1）運(yùn)用等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理即可求得答案；
（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)，可證得，得出，，再證得，得出，再證得，得出，推出，可得，再運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)即可證得結(jié)論；
（3）設(shè)，，則，，利用勾股定理得①，過(guò)點(diǎn)作于，可證得，得出，即，可得，，運(yùn)用勾股定理可得，當(dāng)，即時(shí)，最小，得出②，聯(lián)立①②，可求得，代入①，可得，再利用三角形面積公式即可求得答案．
【解答】（1）解：，，
，
，，
和均為等腰直角三角形，
，，
，，
，，
，
在中，，
點(diǎn)為中點(diǎn)，
；
（2）證明：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，
設(shè)與交于點(diǎn)，
點(diǎn)為中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
在等腰中，，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3），，
，
，，
和均為等腰直角三角形，
，，，
，
設(shè)，，則，，
，
，
即①，
如圖，過(guò)點(diǎn)作于，
則，
，
，
，即，
，，
，
，
在中，，
當(dāng)，即時(shí)，最小，
②，
聯(lián)立①②，得，
，或（舍去），
，
代入①，可得，
此時(shí)，，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
如圖，用鉛筆可以支起一張均勻的三角形卡片．你知道怎樣確定這個(gè)點(diǎn)的位置嗎？
在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的中線．如圖，是的邊上的中線．
讓我們先看看三角形的中線有什么特點(diǎn)．
甲
乙
圖例

方案
如圖①是測(cè)試距離為的大視力表，可以用硬紙板制作一個(gè)測(cè)試距離為的小視力表②．通過(guò)測(cè)量大視力表中“”的高度的長(zhǎng)），即可求出小視力表中相應(yīng)的“”的高度的長(zhǎng)）
使用平面鏡成像的原理來(lái)解決房間小的問(wèn)題．如圖，在相距的兩面墻上分別懸掛視力表與平面鏡，由平面鏡成像原理，作出了光路圖，通過(guò)調(diào)整人的位置，使得視力表的上、下邊沿，發(fā)出的光線經(jīng)平面鏡的上下邊沿反射后射入人眼處，通過(guò)測(cè)量視力表的全長(zhǎng)就可以計(jì)算出鏡長(zhǎng)
課題
測(cè)量旗桿的高度
成員
組長(zhǎng)：
組員：，，
測(cè)量工具
皮尺，標(biāo)桿
測(cè)量示意圖

說(shuō)明：在水平地面上直立一根標(biāo)桿，觀測(cè)者沿著直線后退到點(diǎn)，使眼睛、標(biāo)桿的頂端、旗桿的頂端在同一直線上．
測(cè)量數(shù)據(jù)
觀測(cè)者與標(biāo)桿的距離
觀測(cè)者與旗桿的距離
標(biāo)桿的長(zhǎng)
觀測(cè)者的眼睛離地面的距離
問(wèn)題解決
如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
項(xiàng)目
圖例
說(shuō)明
測(cè)量工具橫截面圖

直角三角形中，，米，點(diǎn)為的中點(diǎn)，在點(diǎn)處固定一面平面鏡，矩形為支架，在支架底部安裝輪子，方便移動(dòng)，支架的高度（包含輪子的高度）米．
測(cè)量示意圖

在建筑物的頂端處安裝紅外線燈以及一塊白色紙板，紙板大小忽略不計(jì)，將測(cè)高工具放置在與建筑物同一平面上，在地面上移動(dòng)工具，當(dāng)紅外線燈照射到點(diǎn)處，且反射光線落在白色紙板上時(shí)，停止移動(dòng)測(cè)高工具．
待測(cè)數(shù)據(jù)
的長(zhǎng)

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