專題11 全等三角形六種基本模型-2025年中考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

通用的解題思路：
模型一：一線三等角模型
一線三等角指的是有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角。或叫 “K字模型”。
三直角相似可以看著是“一線三等角”中當(dāng)角為直角時(shí)的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個(gè)頂點(diǎn)在該直線上移動(dòng)或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：
當(dāng)題目的條件中只有一個(gè)或者兩個(gè)直角時(shí)，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。
一般類型：
基本類型：
同側(cè)“一線三等角” 異側(cè)“一線三等角”
模型二：手拉手模型——旋轉(zhuǎn)型全等
一、等邊三角形手拉手-出全等
二、等腰直角三角形手拉手-出全等
兩個(gè)共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過程中（B、C、D不共線）始終有：[來源:Z#xx#k.Cm]
△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置關(guān)系）且BD=AE（數(shù)量關(guān)系）；③FC平分∠BFE；
題型三：倍長中線模型構(gòu)造全等三角形
倍長中線是指加倍延長中線，使所延長部分與中線相等，往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（通常用“SAS”證明）（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時(shí)用）。
三角形一邊的中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段），或中點(diǎn)，通?？紤]倍長中線或類中線，構(gòu)造全等三角形.把該中線延長一倍，證明三角形全等，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法.
主要思路：倍長中線（線段）造全等
在△ABC中 AD是BC邊中線

延長AD到E，使DE=AD，連接BE

作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E 連接BE

延長MD到N，使DN=MD，連接CD
題型四：平行線+線段中點(diǎn)構(gòu)造全等模型
題型五：等腰三角形中的半角模型
過等腰三角形頂點(diǎn) 兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型。
解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。
題型六：角平分線+垂直構(gòu)造全等模型
類型一、角平分線垂兩邊
角平分線+外垂直
當(dāng)已知條件中出現(xiàn)為的角平分線、于點(diǎn)時(shí)，輔助線的作法大都為過點(diǎn)作即可.即有、≌等，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.
類型二、角平分線垂中間
角平分線+內(nèi)垂直
當(dāng)已知條件中出現(xiàn)為的角平分線,于點(diǎn)時(shí)，輔助線的作法大都為延長交于點(diǎn)即可.即有是等腰三角形、是三線等，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.
模型一：一線三等角模型
1．（2023?石家莊模擬）如圖①，矩形與以為直徑的半圓在直線的上方，線段與點(diǎn)、都在直線上，且，，．點(diǎn)以1個(gè)單位秒的速度從點(diǎn)處出發(fā)，沿射線方向運(yùn)動(dòng)，矩形隨之運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
（1）如圖②，當(dāng)時(shí)，求半圓在矩形內(nèi)的弧的長度；
（2）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)、都與半圓相交時(shí)，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)為、．連接、，若為直角，求此時(shí)的值．
【分析】（1）通過判定為等邊三角形，然后根據(jù)弧長公式求解；
（2）通過判定，然后利用全等三角形的性質(zhì)分析求解．
【解答】解：（1）設(shè)與交于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
又，
，
是等邊三角形，
，
，
即半圓在矩形內(nèi)的弧的長度為；
（2）連接，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，，
即的值為8或9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定（一線三垂直模型），結(jié)合勾股定理列方程是解題關(guān)鍵．
2．（2023?懷化三模）如圖所示，工人趙師傅用10塊高度都是的相同長方體新型建筑材料，壘了兩堵與地面垂直的墻和，點(diǎn)在上，已知，．
（1）求證：；
（2）求的長．
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理證得結(jié)論；
（2）利用（1）中全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到：，，則．
【解答】（1）證明：，，
（同角的余角相等）．
在與中，
，
；
（2）由題意知，，．
由（1）知，，
，，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，用全等尋找下一個(gè)全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．
3．（2023?承德二模）如圖1，經(jīng)過的三個(gè)頂點(diǎn)，圓心在斜邊上，，直徑所對(duì)的弧長為長的3倍，將等腰的直角頂點(diǎn)放置在邊上，于點(diǎn)．
（1） 30 ；
（2）求證：；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求的長．
【分析】（1）先求出，即可求出答案；
（2）先同同角的余角相等判斷出，進(jìn)而用即可判斷出；
（3）先求出，再判斷出，，設(shè)，則，進(jìn)而得出，最后用，建立方程求解，即可得出答案．
【解答】（1）解：連接，
直徑所對(duì)的弧長為長的3倍，
直徑所對(duì)的圓心角為所對(duì)的圓心角的3倍，
，
，
故答案為：30；
（2）證明：為的直徑，
，
，
等腰的直角頂點(diǎn)放置在邊上，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）由（1）知，，
在中，，
，
由（2）知，，
，，
設(shè)，則，
點(diǎn)落在上，
，
在中，，
，
，
，
即的長為．
【點(diǎn)評(píng)】此題是圓的綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握“一線三等角構(gòu)造全等模型”是解本題的關(guān)鍵．
4．（2023?鳳臺(tái)縣校級(jí)二模）感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，點(diǎn)在直線上，且，像這種一條直線上的三個(gè)頂點(diǎn)含有三個(gè)相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．
應(yīng)用：（1）如圖2，中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)．求證；．
（2）如圖3，在中，是上一點(diǎn)，，，，，求點(diǎn)到邊的距離．
（3）如圖4，在中，為邊上的一點(diǎn)，為邊上的一點(diǎn)．若，，，求的值．
【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)得出，可證明；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，交的延長線于點(diǎn)，證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，則可得出答案；
（3）過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，證明，由相似三角形的性質(zhì)可得出答案．
【解答】（1）證明：，，
，
，，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，交的延長線于點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即點(diǎn)到的距離為；
（3）解：過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2023?鄂倫春自治旗二模）如圖1，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于點(diǎn)，，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）過點(diǎn)作軸分別交線段，拋物線于點(diǎn)，，連接．當(dāng)時(shí)，求的面積；
（3）如圖2，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．
①當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②點(diǎn)在拋物線上，連接，當(dāng)平分時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）把代入求出，即可得到二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求出，的坐標(biāo)，算出的長度，利用求；
（3）①構(gòu)造一線三等角的全等，建立方程求解；
②因?yàn)槠椒?，所以，得到，建立方程求解?br>【解答】解：（1）把代入得，，
二次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）令，得或4，
，
設(shè)直線為，代入得，
，
，
，，
，
；
（3）①過作軸，垂足為，
，，
，
，，
，
，，
設(shè)，則，代入得
，
，
或，
或．
②連接，，
，，，
，
，
由①知，
，，
，
，
（舍或，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并與三角形全等，三角形面積，角平分線結(jié)合，滲透了方程和數(shù)形結(jié)合的思想，關(guān)鍵是如何將幾何代數(shù)化．
6．（2023?濰坊三模）如圖1，將一個(gè)等腰直角三角尺的頂點(diǎn)放置在直線上，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．
觀察發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖1，當(dāng)，兩點(diǎn)均在直線的上方時(shí)
①猜測(cè)線段，與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；
②直接寫出線段，與的數(shù)量關(guān)系；
操作證明：
（2）將等腰直角三角尺繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，線段，與又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想，并寫出證明過程；
拓廣探索：
（3）將等腰直角三角尺繞著點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至圖3位置時(shí)，與交于點(diǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出的長度．
【分析】（1）①過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，利用證明，得，，再證四邊形為正方形，得，從而證明結(jié)論；
②由①知：；
（2）過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，利用證明，得，，從而證明結(jié)論；
（3）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，由（2）同理可證，四邊形為正方形，得，，從而得出，由，得，代入即可得出的長．
【解答】解：（1）①，理由如下：
如圖，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，
，，
，
又，
，
四邊形為矩形，
，
又，
，
，
在與中，
，
，
，，
又四邊形為矩形，
四邊形為正方形，
，
；
②由①知：；
（2），理由如下：
如圖，過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，
，，
，
又，
，
四邊形為矩形，
，
又，
，
，
在與中，
，
，
，，
又四邊形為矩形，
四邊形為正方形，
，
，
，
；
（3）如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
由（2）同理可證，四邊形為正方形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．
7．（2023?尤溪縣校級(jí)模擬）在矩形中，連接，線段是線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，平移線段得到線段（點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)），連接，分別交，于點(diǎn)，，連接．
（1）求證：；
（2）求的大??；
（3）若，，求矩形的面積（用含有，的式子表示）．
【分析】（1）先證四邊形是平行四邊形，得，，再證四邊形是平行四邊形，即可得出結(jié)論；
（2）延長、交于點(diǎn)，證，得，，再證是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；
（3）證，得，則，即可解決問題．
【解答】（1）證明：由平移的性質(zhì)得：，，
四邊形是平行四邊形，
，，
四邊形是矩形，
，，
，，
四邊形是平行四邊形，
；
（2）解：如圖，延長、交于點(diǎn)，
四邊形是矩形，
，
由（1）可知，，，
，
，，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，
，
，
，
，，
，
，
即，
是等腰直角三角形，
；
（3）解：由（2）可知，，
由（1）可知，，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
8．（2024?龍馬潭區(qū)一模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若在線段上存在一點(diǎn)，使得，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是在對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）把點(diǎn)，代入拋物線解析式得，解得，即可得出結(jié)論；
（2）由待定系數(shù)法得直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證，得，．則，再由點(diǎn)在直線上，得，解得，即可解決問題；
（3）分兩種情況討論，①當(dāng)為菱形的邊時(shí)，②當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，分別求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，兩點(diǎn)，
，
解得：，
拋物線的解析式為；
（2）由（1）得，點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，
直線經(jīng)過點(diǎn)，，
，
解得：
直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
如圖1，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
則，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
，，
，
，
，．
，
點(diǎn)在直線上，
，
解得：，
把代入得：，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）存在，理由如下：
拋物線的解析式為，頂點(diǎn)為，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
分兩種情況討論：
①當(dāng)為菱形的邊時(shí)，
如圖2，過作于
，，
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
②當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，
如圖3，設(shè)點(diǎn)，，
，，
，
，
，
，
，，
，
解得：，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了待定系數(shù)法求拋物線和直線的解析式、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離、二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握待定系數(shù)法菱形的性質(zhì)，證明三角形全等和進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
9．（2023?太康縣二模）在正方形中，是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），，垂足為點(diǎn)，與正方形的外角的平分線交于點(diǎn)．
（1）如圖1，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，猜想與的數(shù)量關(guān)系是；證明此猜想時(shí)，可取的中點(diǎn)，連接．根據(jù)此圖形易證．則判斷的依據(jù)是．
（2）點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)．
①如圖2，（1）中的猜想是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．
②如圖3，連接，，若正方形的邊長為1，直接寫出的周長的取值范圍．
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接．先證，再證，，然后由證，即可得出結(jié)論；
（2）①在上取一點(diǎn)，使，連接，證，即可得出結(jié)論；
②過作交于點(diǎn)，連接、，證是等腰直角三角形，則點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱，得，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，即最短，此時(shí)，，再由勾股定理得，此時(shí)；當(dāng)與相等時(shí)，即、、三點(diǎn)共線，此時(shí)，則；即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖1，取的中點(diǎn)，連接．
則，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
四邊形是正方形，
，，
，，，，
是等腰直角三角形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案為：，；
（2）①成立，理由如下：
如圖2，在上取一點(diǎn)，使，連接，
則，
由（1）得：，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
；
②如圖3，過作交于點(diǎn)，連接、，
，
，
是等腰直角三角形，
點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱，
，
，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，即最短，
此時(shí)，，
在中，由勾股定理得：，
此時(shí)；
當(dāng)與相等時(shí)，即、、三點(diǎn)共線，
此時(shí)，
則；
的周長的取值范圍是．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
模型二：手拉手模型——旋轉(zhuǎn)型全等
1．（2023?巴中）綜合與實(shí)踐．
（1）提出問題．如圖1，在和中，，且，，連接，連接交的延長線于點(diǎn)．
①的度數(shù)是．
② ．
（2）類比探究．如圖2，在和中，，且，，連接、并延長交于點(diǎn)．
①的度數(shù)是；
② ．
（3）問題解決．如圖3，在等邊中，于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（不與重合），以為邊在的左側(cè)構(gòu)造等邊，將繞著點(diǎn)在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度．如圖4，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．
①說明為等腰三角形．
②求的度數(shù)．
【分析】（1）（2）從圖形可辯知，這個(gè)是手拉手全等或相似模型，按模型的相關(guān)結(jié)論解題．
（3）稍有變化，受前兩問的啟發(fā)，連接、完成手拉手的構(gòu)造，再結(jié)合三角形中位線知識(shí)解題．
【解答】解：（1）①，
，
．
又，，
．
，
，
，
，
即：，
．
故的度數(shù)是．
②由①得，
．
故．
（2）①，，
，
又，
，
，．
，
．
，
，
．
故的度數(shù)是．
②由①得：．
，
，且，
，
．
．
（3）①解：連接、，延長交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
在等邊中，又于點(diǎn)，
為的中點(diǎn)，
又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
、分別是、的中位線，
，．
，
．
．
在和中，
，
．
．
．
為等腰三角形．
②，
，
由（1）（2）規(guī)律可知：，
，
又，，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)．方法靈活多變，需要較強(qiáng)的構(gòu)造能力．
2．（2024?武漢模擬）如圖，在和中，，，，點(diǎn)在邊上，是的中點(diǎn)．連接，是的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）如圖（2），若點(diǎn)在上，直接寫出的值；
（3）如圖（1），判定以，，為頂點(diǎn)的三角形的形狀，并證明你的結(jié)論．
【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)很容易得到，，進(jìn)而得到，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等即可判斷；
（2）要求的值需要得到與的比值，由（1）可得，連接可得，進(jìn)而得到，當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)在上時(shí)，很容易得到，從而得到，進(jìn)一步得到，由可得，從而得到與的關(guān)系，解決問題；
（3）由（2）可得，類似的可以延長交于點(diǎn)，得到，從而得到，連接，只要能夠說明是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形即可得到是等腰直角三角形，為此需要證明，根據(jù)已知可得，由可得，再由和可得，從而利用可得到，從而解決問題．
【解答】解：（1），，，
和是等腰△，
，，
，
，
．
（2），
如圖，連結(jié)，
是的中點(diǎn)，是等腰直角三角形，，
，，
由（1）得，
，，
，
，
，
又，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
在中，．
（3）是等腰直角三角形，證明如下：
如圖，連結(jié)、、、，延長交于，連結(jié)，
由（2）得，
，
，
又，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
在和中，
，
，
，，
又，，，
，
是等腰直角三角形，
又，
，，
是等腰直角三角形．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是等腰直角三角形、全等三角形以及相似三角形等知識(shí)的綜合，解決此題的關(guān)鍵是能夠靈活運(yùn)用已知以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)判斷三角形相似，三角形全等，并靈活運(yùn)用性質(zhì)解決問題．
3．（2023?市中區(qū)校級(jí)四模）問題提出如圖1，在等邊內(nèi)部有一點(diǎn)，，，，求的度數(shù)．
數(shù)學(xué)思考當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，通過旋轉(zhuǎn)可以將分?jǐn)?shù)的條件集中起來解決問題．
嘗試解決將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，則為等邊三角形．
，又，，．
△為直角三角形，
的度數(shù)為．
類比探究如圖2，在中，，，其內(nèi)部有一點(diǎn)，若，，，求的度數(shù)．
聯(lián)想拓展如圖3，在中，，，其內(nèi)部有一點(diǎn)，若，，，求的度數(shù)．
【分析】類比探究類比上面的例題，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，利用勾股定理說明△為直角三角形；
聯(lián)想拓展，直接旋轉(zhuǎn)行不通，因?yàn)椋孕D(zhuǎn)后再放縮即可，利用三角形相似解決．
【解答】解：嘗試解決直角，；
類比探究將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，則為等腰直角三角形，
，
又，，
，
△為直角三角形，
，
．
聯(lián)想拓展如圖，在的左側(cè)構(gòu)造三角形，使，，
，，
，，
△，
，
，
，，
，
，
，
，
在△中，，，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，是手拉手的變式，滲透了類比的思想，對(duì)于聯(lián)想拓展，因?yàn)?，直接旋轉(zhuǎn)行不通，因?yàn)椋韵氲饺切蜗嗨疲?br>4．（2023?深圳模擬）如圖，是邊長為3的等邊三角形，是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊向的右側(cè)作等邊，連接．
（1）【嘗試初探】
如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與相交于點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)三角形始終保持全等，請(qǐng)你找出這對(duì)全等三角形，并說明理由．
（2）【深入探究】
如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，延長，交的延長線于點(diǎn)，隨著點(diǎn)位置的變化，點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)時(shí)，求的值．
（3）【拓展延伸】
如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，、相交于點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時(shí)，求的長．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用即可證明；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由（1）可說明，從而得出，進(jìn)而解決問題；
（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由（1）同理得，再說明，得，設(shè)，則，在中，運(yùn)用勾股定理列方程即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖1，，理由如下：
與都是等邊三角形，
，，，
，
即，
在與中，
，
；
（2）如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
是邊長為3的等邊三角形，，
，，，
，
，
，
由（1）得，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
與都是等邊三角形，
，，
，
，
即，
在與中，
，
，
，
又，
，
，
，
，
設(shè)，
則，
，
，是邊長為3的等邊三角形，
，
，
，
，
，
即，
解得，
點(diǎn)在的延長線上，
，
，
，
即．
【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握手拉手模型是解題的關(guān)鍵．
5．（2023?岱岳區(qū)二模）如圖，正方形邊長為7．、在半徑為4的上，且，連接、、、．
（1）試探求線段、的數(shù)量和位置關(guān)系；
（2）求證：，并求的值．
【分析】（1）證明即可證明數(shù)量關(guān)系，再由全等轉(zhuǎn)化，證明出，從而證明出位置關(guān)系；
（2）利用勾股定理推導(dǎo)出即可證明，再根據(jù)勾股定理求出和即可．
【解答】解：（1）如圖，延長交于，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，即，
，
，
，，
，
，
，
，即，
、的數(shù)量和位置關(guān)系是，．
（2），
在和中，，
即，
在和中，，
即，
將所得兩個(gè)等式相減得，，
即，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形、等腰直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，三角形的全等的證明及勾股定理的計(jì)算是解題關(guān)鍵．
6．（2023?蘇州一模）如圖，是邊長為3的等邊三角形，是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊向的右側(cè)作等邊三角形，連接．
（1）【嘗試初探】
如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，相交于點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)三角形始終保持全等，請(qǐng)你找出這對(duì)全等三角形，并說明理由．
（2）【深入探究】
如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，延長，交的延長線于點(diǎn)，隨著點(diǎn)位置的變化，點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)時(shí)，求的值．
（3）【拓展延伸】
如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，相交于點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時(shí)，求的長．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用即可證明；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由（1）可說明，從而得出，進(jìn)而解決問題；
（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由（1）同理得，再說明，得，設(shè)，則，在中，運(yùn)用勾股定理列方程即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖1，，理由如下：
與都是等邊三角形，
，，，
，
即，
在與中，
，
；
（2）如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
是邊長為3的等邊三角形，，
，，，
，
，
，
由（1）得，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
與都是等邊三角形，
，，
，
，
即，
在與中，
，
，
，
又，
，
，
，
，
設(shè)，
則，
，
，是邊長為3的等邊三角形，
，
，
，
，
，
即，
解得，
點(diǎn)在的延長線上，
，
，
，
即．
【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握手拉手模型是解題的關(guān)鍵．
7．（2023?灌云縣校級(jí)模擬）在中，，，點(diǎn)是平面內(nèi)不與點(diǎn)，重合的任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，．
（1）當(dāng)時(shí)，
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)在的邊上時(shí)，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，則與的數(shù)量關(guān)系是．
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，①中與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明結(jié)論，若不成立，說明理由；
（2）當(dāng)時(shí)，
①如圖3，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②若點(diǎn)，，在一條直線上，且，線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，求的值．
【分析】（1）①根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)知，，，，則，即可得出；
②由①同理得，得；
（2）①根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得，得；
②分當(dāng)點(diǎn)在的延長線上或點(diǎn)落在上兩種情形，分別畫出圖形，利用勾股定理表示出的長，進(jìn)而解決問題．
【解答】解：（1）①，，
是等邊三角形，
，，
將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到線段，
，，
，
，
故答案為：；
②仍然成立，理由如下：
由①得，，
，
，，
，
；
（2）①，，
是等腰直角三角形，
，
同理可得，，
，
，
即，
，
，
；
②當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，設(shè)，
則，，
，
，
在中，，，
，
，
當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，設(shè)，則，，
，
，
，
，
綜上所述，的值為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握手拉手旋轉(zhuǎn)型全等是解題的關(guān)鍵．
8．（2024?邳州市校級(jí)一模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)，，在同一直線上，連接．
①線段，之間的數(shù)量關(guān)系為；
②的度數(shù)為．
（2）拓展探究：
如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)，，在同一直線上，連接，求的值及的度數(shù)；
（3）解決問題：
如圖3，在正方形中，，若點(diǎn)滿足，且，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)到直線的距離．
【分析】（1）①由“”可證，由全等三角形的性質(zhì)可求；
②由全等三角形的性質(zhì)可得，即可求解；
（2）首先證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，，即可求解；
（3）由題意可得點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，同時(shí)點(diǎn)也在以為直徑的圓上，即點(diǎn)是兩圓的交點(diǎn)，分兩種情況討論，由勾股定理即可求點(diǎn)到的距離．
【解答】解：（1）①和均為等邊三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
；
②，
，
，
，
；
故答案為：①，②；
（2）和均為等腰直角三角形，
，，，
，即，
，
，，
，
，
，
，
故，；
（3）點(diǎn)滿足，
點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，
，
點(diǎn)在以為直徑的圓上，
如圖3，點(diǎn)是兩圓的交點(diǎn)，若點(diǎn)在上方，連接，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，
，
，
，
，
，，
，四邊形是矩形，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
在中，，
即，
解得：或．
點(diǎn)到直線的距離為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形形綜合題，考查的是等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
9．（2023?酒泉一模）（1）感知：如圖①，四邊形和均為正方形，與的數(shù)量關(guān)系為；
（2）拓展：如圖②，四邊形和均為菱形，且，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）應(yīng)用：如圖③，四邊形和均為菱形，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在延長線上．若，，的面積為8，求菱形的面積．
【分析】（1）由“”可證，可得；
（2）由“”可證，可得；
（3）由面積和差關(guān)系可求解．
【解答】解：（1）四邊形和均為正方形，
，，，
，
，
，
故答案為：；
（2），理由如下：
四邊形和四邊形均為菱形，
，，，．
，
．
，
即，
，
；
（3）四邊形為菱形，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
10．（2023?海淀區(qū)校級(jí)四模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，為上一點(diǎn)，點(diǎn)．
對(duì)于點(diǎn)給出如下定義：將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，稱點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，的“中旋點(diǎn)”．
（1）如圖1，已知點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，的“中旋點(diǎn)”．
①若點(diǎn)，在圖中畫出點(diǎn)，并直接寫出的長度為；
②當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，的“中旋點(diǎn)” ，求的取值范圍；
（2）點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，的“中旋點(diǎn)” ，直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）①在圖中依次畫出點(diǎn)、，的長度為；
②確定點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)圓與直線有交點(diǎn)求的范圍；
（2）確定點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)圓與有交點(diǎn)求的取值范圍．
【解答】解：（1）①連接，過點(diǎn)作，使，
則，
連接并延長至點(diǎn)，使，
則，
如圖所示，點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)；
，
故答案為：；
②取點(diǎn)，連接、，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
△，
，
，
，，，
△，
，
設(shè)點(diǎn)，則，即，
要使直線上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，的“中旋點(diǎn)” ，需方程組有解，
，
，
△，
；
（2）取點(diǎn)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，
，
，
由（1）②類似可得到，
點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，若上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，的“中旋點(diǎn)” ，與，應(yīng)有交點(diǎn)，則，即，
或，
或．
【點(diǎn)評(píng)】本題在新定義下考查了三角形全等，直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是確定點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)．
11．（2023?黑龍江模擬）在中，，，為直線上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．
（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖①，求證：；
（2）當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，如圖③，線段，，之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的猜想，不必證明．
【分析】（1）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，根據(jù)垂直定義可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，從而利用等式的性質(zhì)可得，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可得，最后利用可證，從而可得，再在中，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差關(guān)系以及等量代換可得，即可解答；
（2）當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，利用（1）的解題思路進(jìn)行推理論證，即可解答；當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，利用（1）的解題思路進(jìn)行推理論證，即可解答．
【解答】（1）證明：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
，
由旋轉(zhuǎn)得：，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
；
（2）解：當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，，
理由：如圖：過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，
，
由旋轉(zhuǎn)得：，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
；
當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，，
理由：如圖：過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，
，
由旋轉(zhuǎn)得：，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
12．（2024?東城區(qū)一模）在中，，，點(diǎn)，是邊上的點(diǎn)，，連接．過點(diǎn)作的垂線，過點(diǎn)作的垂線，兩垂線交于點(diǎn)．連接交于點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）時(shí)，
①補(bǔ)全圖形；
②與在（1）中的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
（3）在（2）的條件下，直接用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)可得，，再證明、、在同一條直線上，即可得出答案；
（2）①按照題意作圖即可；
②過點(diǎn)作于點(diǎn)，可證得，得出，即是等腰直角三角形，即可證得結(jié)論；
（3）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，可證得，運(yùn)用勾股定理可得，再證得，即可得出答案．
【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，理由如下：
如圖1，
點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)，是邊上的點(diǎn)，且，
是的中點(diǎn)，
，，
，，
，
，
，即、、在同一條直線上，
，即；
（2）①補(bǔ)全圖形如圖2所示：
②仍然成立，理由如下：
如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
（3），理由如下：
如圖4，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
則，，，，
，，
，
，即，
，
由（2）知，即，
，
，即，
，
在和中，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
13．（2023?天寧區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在第一象限內(nèi)．
（1）如圖1，．
①若是以為斜邊的直角三角形，且．請(qǐng)?jiān)趫D（1）中利用圓規(guī)、無刻度直尺作出點(diǎn)的位置（不寫作法，保留作圖痕跡），寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：；
②若是等邊三角形．求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖2，是等邊三角形，點(diǎn)在以，為圓心，半徑為的圓上．若存在兩個(gè)滿足條件，求的取值范圍．
【分析】（1）①以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧交的延長線于點(diǎn)，分別以、為圓心，大于的長度為半徑畫弧，交于第一象限內(nèi)點(diǎn)，在射線上截取，連接，點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)；設(shè)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由，得，即，得出，即，由勾股定理得，建立方程求解即可；
②過點(diǎn)作于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，則，，由，可得，即，即可求得答案；
（2）以為邊作等邊三角形，使點(diǎn)落在第一象限，以為邊在第一象限作等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作作于，作射線，則，，，，，，設(shè)，利用勾股定理可求得，，再運(yùn)用待定系數(shù)法可求得射線的解析式為，根據(jù)題意分別求出當(dāng)射線與相切時(shí)和過點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的值，即可求得答案．
【解答】解：（1）①如圖①，點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．
設(shè)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
則，，
，
點(diǎn)，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，即，
，
，
，
在中，，
，
解得：（舍去）或，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故答案為：；
②如圖②，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
設(shè)，則，，
為等邊三角形，，
，
，是的中點(diǎn)，
是的中位線，
，，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，即，
解得：，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，；
（2）如圖2，以為邊作等邊三角形，使點(diǎn)落在第一象限，以為邊在第一象限作等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作作于，作射線，
則，，，，，，
設(shè)，
則，，，，
由勾股定理可得：
解得：，（不符合題意，舍去），
，，
設(shè)射線的解析式為，則，
解得：，
射線的解析式為，
當(dāng)射線與相切于點(diǎn)時(shí)，如圖3，連接，過點(diǎn)作軸，交射線于，
則，，，
，，
，，
，
在中，，
，
當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)，時(shí)，如圖4，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作軸交于，
則，，，，
，
點(diǎn)在軸正半軸上，存在兩個(gè)，使點(diǎn)在以，為圓心，半徑為的圓上，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，考查了勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，添加輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題關(guān)鍵．
14．（2023?牡丹區(qū)校級(jí)一模）有共同頂點(diǎn)的與中，，，且，連接，，線段，相交于點(diǎn)．
（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，的值是 1 ，的度數(shù)是；
（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，求的值和的度數(shù)，并說明理由；
（3）如果，，當(dāng)點(diǎn)與的頂點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．
【分析】（1）證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，則可得出答案；
（2）由直角三角形的性質(zhì)得出，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出．，則可得出答案；
（3）分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)與的頂點(diǎn)重合時(shí)，如圖③，②當(dāng)點(diǎn)與的頂點(diǎn)重合時(shí)，如圖③，③當(dāng)點(diǎn)與的頂點(diǎn)重合時(shí)，如圖③，結(jié)合（2）則可得出答案．
【解答】（1）解：如圖①，與交于點(diǎn)，
，，，
和是等邊三角形，
，
，
，
，，
，
，
故答案為：1；；
（2）證明：，且，
是等腰直角三角形，
，，
同理，，
，且，
，
．
，
，
；
的值為，的度數(shù)為；
（3）解：分三種情況：
①當(dāng)點(diǎn)與的頂點(diǎn)重合時(shí)，如圖③，
，，
由（2）知：，
設(shè)，
，
，
，
；
②當(dāng)點(diǎn)與的頂點(diǎn)重合時(shí)，如圖③，
在中，，
，
在中，，
，
，
；
③當(dāng)點(diǎn)與的頂點(diǎn)重合時(shí)，如圖③，
，，
，
．
綜上所述：或或，
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
15．（2023?泰州）已知：、為圓上兩定點(diǎn)，點(diǎn)在該圓上，為所對(duì)的圓周角．
知識(shí)回顧
（1）如圖①，中，、位于直線異側(cè)，．
①求的度數(shù)；
②若的半徑為5，，求的長；
逆向思考
（2）如圖②，若為圓內(nèi)一點(diǎn)，且，，．求證：為該圓的圓心；
拓展應(yīng)用
（3）如圖③，在（2）的條件下，若，點(diǎn)在位于直線上方部分的圓弧上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)在上，滿足的所有點(diǎn)中，必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變．請(qǐng)證明．
【分析】（1）①根據(jù)，結(jié)合圓周角定理求的度數(shù)；
②構(gòu)造直角三角形；
（2）只要說明點(diǎn)到圓上、和另一點(diǎn)的距離相等即可；
（3）根據(jù)，構(gòu)造一條線段等于，利用三角形全等來說明此線段和相等．
【解答】（1）解：①，，
，
．
②連接，過作，垂足為，
，，
是等腰直角三角形，且，
，，
是等腰直角三角形，
，
在直角三角形中，，
．
（2）延長交圓于點(diǎn)，則，
，
，
，
，
，
，
，
為該圓的圓心．
（3）過作的垂線交的延長線于點(diǎn)，連接，延長交圓于點(diǎn)，連接，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
是直徑，
，
，
，
，
，
，
，
必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變，點(diǎn)即為所求．
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，并對(duì)圓周角定理的逆命題進(jìn)行了創(chuàng)新，還考查了解直角三角形和三角形全等的知識(shí)，對(duì)于（3）構(gòu)造一條線段等于是關(guān)鍵．
題型三：倍長中線模型構(gòu)造全等三角形
1．（2023?興寧區(qū)校級(jí)模擬）【模型啟迪】
（1）如圖1，在中，為邊的中點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)，使，連接，則與的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為；
【模型探索】
（2）如圖2，在中，為邊的中點(diǎn)，連接，為邊上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且．求證：；
【模型應(yīng)用】
（3）如圖3，在（2）的條件下，延長至點(diǎn)，使，連接，交的延長線于點(diǎn)．若，，，求線段的長．
【分析】（1）易根據(jù)證明，得到，，由“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”得到，以此即可解答；
（2）延長至點(diǎn)，使，連接，利用（1）中方法同理可證，得到，，由可得，根據(jù)等邊對(duì)等角可得和對(duì)頂角相等可得，進(jìn)而可得，以此即可證明；
（3）延長至點(diǎn)，使，連接，由（2）可知，可得，，進(jìn)而可得，易得，由相似三角形的性質(zhì)得，設(shè)，，，于是可得方程，求解即可．
【解答】（1）解：為邊的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案為：，；
（2）證明：延長至點(diǎn)，使，連接，
由（1）同理可得：，
，，
，
，
，
，即，
；
（3）解：延長至點(diǎn)，使，連接，
由（2）可知，，
，，
，
，
，
設(shè)，
，，
，
，
整理得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
2．（2023?撫州三模）課本再現(xiàn)：
（1）我們研究平行四邊形時(shí)，常常把它分成幾個(gè)三角形，利用三角形全等的性質(zhì)研究平行四邊形的有關(guān)問題，同時(shí)也可以利用平行四邊形研究三角形的有關(guān)問題，如探究三角形中位線的性質(zhì)．
如圖（1），在中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接．則與的關(guān)系是，．
定理證明
（2）請(qǐng)根據(jù)（1）中內(nèi)容結(jié)合圖（1），寫出（1）中結(jié)論的證明過程．
定理應(yīng)用
（3）如圖（2），在四邊形中，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，，的延長線交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)是．
（4）如圖（3），在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，且．將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到線段，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求旋轉(zhuǎn)過程中線段長的最大值和最小值．
【分析】（1）根據(jù)題意直接判斷關(guān)系；
（2）作輔助線延長至點(diǎn)，使，連接，然后證明，得出，再證明四邊形為平行四邊形，即可得出，根據(jù)，，得出；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和幾個(gè)角之間的關(guān)系即可求出；
（4）根據(jù)勾股定理先求出的長度，再畫隱形圓作輔助線，分別求出最大值和最小值．
【解答】解：（1）如圖，延長至點(diǎn)，使，
連接，
，
，，
，
，，
，
，，
，
四邊形為平行四邊形，
，，
，．
故答案為：且；
（2）證明：如圖，延長至點(diǎn)，使，
連接，
，
，，
，
，，
，
，，
，
四邊形為平行四邊形，
，，
，．
（3）點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，
，
，
點(diǎn)，分別為、的中點(diǎn)，
，
，
．
故答案為：．
（4）如圖，延長至點(diǎn)，使，連接，
連接，
，
，，
，
由勾股定理得，，
，，
，
點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓上（不與點(diǎn)重合），
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，最小，最小值為；
當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，最大，最大值為．
故：長的最大值為4，最小值為1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的知識(shí)、勾股定理的知識(shí)、旋轉(zhuǎn)的知識(shí)、平行四邊形的知識(shí)、中位線的知識(shí)、圓的知識(shí)，難度較大，需認(rèn)真作答即可．
3．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模）如圖，在中，，，于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．
（1）若，，求的長；
（2）求證：；
（3）求證：．
【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，求出；
（2）根據(jù)題意得到，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可證明；
（3）延長至點(diǎn)，使，連結(jié)，證明△，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，再證明，得到，證明結(jié)論．
【解答】（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：，
，，
，即，
解得：；
（2）證明：點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
，
，，
；
（3）證明：延長至點(diǎn)，使，連結(jié)，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算、勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
4．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）如圖，中，在上，在上，，在上，．
（1）如圖1，若，求證：；
（2）如圖2，若，在上，，求證：；
（3）如圖3，若，，，當(dāng)周長最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出的面積．
【分析】（1）先說明，然后用證明，得到；
（2）仿照（1）得，出現(xiàn)中點(diǎn)倍長中線，利用相似得；
（3）先說明，即點(diǎn)的軌跡是條直線，然后考慮將軍飲馬，最后求的面積．
【解答】（1）證明：，，，
，
，，
，
；
（2）證明：延長至使，由（1）得，
，，
延長至使，連接，則，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：延長至使，
，
，
，
，
，
，，
，
過作的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、、，
，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)周長最小，
當(dāng)周長最小時(shí)如圖所示：
，
，
，
是正三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形的綜合題，難度很大，關(guān)鍵是聯(lián)想到常見的模型：截長補(bǔ)短、倍長中線、將軍飲馬等．
5．（2023?南關(guān)區(qū)校級(jí)二模）【提出問題】興趣小組活動(dòng)中老師提出了如下問題：如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到，使得，，再連接（或?qū)⒗@點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把、、集中在中，利用三角形的三邊關(guān)系可得，則．
【方法感悟】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件時(shí)，可以考慮作“輔助線”，把一條過中點(diǎn)的線段延長一倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中，這種作輔助線的方法稱為“中線加倍”法．
【解決問題】如圖②，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)，連接．
（1）求證：．
（2）若，則線段、、之間的等量關(guān)系為．
（3）【應(yīng)用拓展】如圖③，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)分別在邊、上，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．若，，則的長為．
【分析】（1）延長到點(diǎn)，使得，連接、，根據(jù)證得，可得結(jié)論；
（2）延長到點(diǎn)，使得，連接、，由（1）得，，則，，即，利用勾股定理解題即可；
（3）如圖，延長到點(diǎn)，使得，連接、，由（1）得，則，，即，可求出，利用中位線解得．
【解答】（1）證明：如圖，延長到點(diǎn)，使得，連接、，
，
，
是的中點(diǎn)，
又，
，
，
在中
，
；
（2）解：如圖，延長到點(diǎn)，使得，連接、，
，
，
由（1）可知，，
，，
在中，
，
，
故答案為：；
（3）如圖，如圖，延長到點(diǎn)，使得，連接、，
，
，
由（1）可知，
，，
，
在中，
，
，是、的中點(diǎn)，
是的中位線，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了倍長中線全等、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、勾股定理以及三角形的中位線，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，并用類比的方法解決問題．
題型四：平行線+線段中點(diǎn)構(gòu)造全等模型
1．（2023?射洪市校級(jí)一模）在中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，菱形的面積為40．求的長．
【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)可得，，利用中點(diǎn)的定義可得，從而證明，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)是的中點(diǎn)，可得，從而可證四邊形是平行四邊形，最后利用直角三角形斜邊上的中線可得，從而利用菱形的判定定理即可解答；
（2）利用（1）的結(jié)論可得菱形的面積的面積，再根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，可得的面積的面積，進(jìn)而可得菱形的面積的面積，然后利用三角形的面積進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】（1）證明：，
，，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，是的中點(diǎn)，
，
四邊形是菱形；
（2）解：四邊形是菱形，
菱形的面積的面積，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
的面積的面積，
菱形的面積的面積，
，
，
，
的長為10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2022?前進(jìn)區(qū)校級(jí)一模）已知：是的角平分線，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在邊的延長線上時(shí)，如圖①易證；當(dāng)點(diǎn)在邊上，如圖②；當(dāng)點(diǎn)在邊的延長線上，是的外角平分線時(shí)，如圖③．寫出、與的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖②進(jìn)行證明．
【分析】（1）延長、交于點(diǎn)，根據(jù)角平分線可得，再由平行線性質(zhì)可得，等量代換可得，利用等角對(duì)等邊可得：，再證明，即可證得結(jié)論；
（2）如圖2，延長、交于點(diǎn)，運(yùn)用角平分線和平行線證得，再證明，即可證得結(jié)論；
（3）如圖3，延長交于點(diǎn)，運(yùn)用角平分線和平行線證得，再證明，即可證得結(jié)論．
【解答】（1）證明：如圖①，延長、交于點(diǎn)，
平分，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）結(jié)論：．
證明：如圖②，延長、交于點(diǎn)，
平分，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）結(jié)論：．
證明：如圖③，延長交于點(diǎn)，
平分，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．
3．（2022?壽光市一模）如圖，在矩形中，，，為邊的一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使；分別連接，，．
（1）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形能否成為菱形？請(qǐng)判斷并說明理由．
（2）若與相似，求的長．
【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的中點(diǎn)時(shí)，四邊形能成為菱形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，，然后利用平行線和線段中點(diǎn)可證，從而可得，即可證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定定理即可解答；
（2）分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，然后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的中點(diǎn)時(shí)，四邊形能成為菱形，
理由：四邊形是矩形，
，，，
，，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形；
（2）四邊形是矩形，
，
分兩種情況：
當(dāng)時(shí)，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，
，
，
或，
綜上所述，的長為1.5，或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，同時(shí)滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想．
4．（2022?九江三模）（1）化簡(jiǎn)并求值：，其中．
（2）如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊的延長線上，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，分別與、交于點(diǎn)、．求證：．
【分析】（1）利用異分母分式加減法法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后把的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）利用平行四邊形的性質(zhì)可得，從而可得，，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，然后證明，利用全等三角形的性質(zhì)即可解答．
【解答】（1）解：
，
當(dāng)時(shí)，原式；
（2）證明：四邊形是平行四邊形，
，
，，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線線段中點(diǎn)構(gòu)造全等模型是解題的關(guān)鍵．
5．（2023?薛城區(qū)校級(jí)模擬）【感知】小亮遇到了這樣一道題：已知如圖①在中，，在上，在的延長線上，交于，且，求證：，小亮仔細(xì)分析了題中的已知條件后，如圖②過點(diǎn)作交于，進(jìn)而解決了該問題．（不需證明）
【探究】如圖③，在四邊形中，，為邊的中點(diǎn)，，與的延長線相交于點(diǎn)．試探究線段與、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【應(yīng)用】如圖④，在正方形中，為邊的中點(diǎn)，、分別為，邊上的點(diǎn)，若，，，則的長為．
【分析】【探究】分別延長、，交于點(diǎn)，根據(jù)已知條件可以得到，由此得到，又，，利用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定定理可以證明，即可得出結(jié)論．
【應(yīng)用】延長交的延長線于．只要證明，推出，再根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)，即可解決問題．
【解答】【探究】解：．
如圖1，分別延長、，交于點(diǎn)，
，
，，
為邊的中點(diǎn)，
，
，
，
又，
而，
，
，
．
【應(yīng)用】解：如圖2，延長交的延長線于．
四邊形是正方形，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查正方形的性質(zhì)、三角形的中線、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
6．（2022?婺城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且，過點(diǎn)作，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)．
（1）求的度數(shù)；
（2）求的值．
【分析】（1）連接并延長交于點(diǎn)，利用證明，得，由，得，從而得出的度數(shù)；
（2）由（1）知，得，由含角的直角三角形的性質(zhì)得，得，從而解決問題．
【解答】解：（1）如圖，連接并延長交于點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
是的中點(diǎn)，
，
在與中，
，
，
，
在中，，
，
為的外角，
，
，
，
，，
；
（2）由（1）知，
，
在中，，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行加中點(diǎn)模型，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
7．（2022?豐澤區(qū)校級(jí)模擬）在四邊形中，平分，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，連接，且，，點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，連接，．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，求證：；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)在上，連接，，，，求線段的長．
【分析】（1）設(shè)，則，通過計(jì)算得出，從而命題得證；
（2）在上截取，取的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理得，，從而，進(jìn)而可證，進(jìn)而得出是等邊三角形，進(jìn)一步命題得證；
（3）連接，以為圓心，長為半徑畫弧交的延長線于，可證得，從而，進(jìn)而得出，再證明點(diǎn)、、、共圓，進(jìn)而得出，進(jìn)一步求得結(jié)果．
【解答】（1）證明：如圖1，
設(shè)，則，
在中，，，
，
平分，
，
在中，，，
，
是的外角，
，
，
；
（2）證明：如圖2，
在上截取，取的中點(diǎn)，
，
，，
，
，，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
；
（3）解：如圖3，
連接，以為圓心，長為半徑畫弧交的延長線于，
，
，
由（2）知：，，
，
，
，
，
，
，
由（2）得：，，
，
點(diǎn)、、、共圓，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，確定圓的條件等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等及相似．
題型五：等腰三角形中的半角模型
1．（2023?昌平區(qū)二模）在等邊中，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，連接，，將射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到射線，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，且，連接，．
（1）補(bǔ)全圖形；
（2）求度數(shù)；
（3）用等式表示，的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【分析】（1）根據(jù)題意可直接畫出圖形，
（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答，
（3）添加輔助線得到，進(jìn)而為等邊三角形，可得線段相等，再證明即可得出．
【解答】解：
（1）
（2）是等邊三角形，
．
射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到射線，
．
．
，
．
．
（3），
證明如下：在上截取，使，
連接，
連接，
是等邊三角形，
，．
是等邊三角形．
，．
，，
是等邊三角形．
，．
．
．
．
．
，
．
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
．
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】此題是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的題目，主要考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形相似、旋轉(zhuǎn)的特征，本題有一定難度．
2．（2023?大連模擬）綜合與實(shí)踐
問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題：如圖1，在中，點(diǎn)在邊上，于交于，．求證．
獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答王師提出的問題．
實(shí)踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面條件，并提出新問題，請(qǐng)你解答．“如圖2，作于點(diǎn)，若，探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．”
問題解析：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)對(duì)上述問題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，連接，若給出的值，則可求出的值．該小組提出下面的問題，請(qǐng)你解答．”
如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，連接，若，求的長”．
【分析】（1）根據(jù)直角三角形性質(zhì)和已知條件，可推出，再由等腰三角形的判定即可證得結(jié)論；
（2）過點(diǎn)作于，先證明，設(shè)，則，利用三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形性質(zhì)可推出，再運(yùn)用解直角三角形即可求得答案；
（3）如圖3，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，應(yīng)用勾股定理可得，利用面積法可得，再證明，可求得，，再利用勾股定理即可求得答案．
【解答】（1）證明：如圖1，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
．
（2）解：，理由如下：
過點(diǎn)作于，如圖2，
則，
由（1）得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：如圖3，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，
由（2）知：，
點(diǎn)與點(diǎn)重合，，
，，
，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，即，
，，
，
在中，．
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023?南崗區(qū)校級(jí)二模）圓內(nèi)接，是圓的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，．
（1）如圖1，連接，求證：；
（2）如圖2，當(dāng)為直徑，點(diǎn)在弧上，連接、、時(shí)；求證：．
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接與交于點(diǎn)，連延長與交于點(diǎn)，，，求的長．
【分析】（1）如圖1，連接并延長交于點(diǎn)，根據(jù)切線的性質(zhì)得到根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得的答案；
（2）在上取一點(diǎn)，使得根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)垂徑定理得到是的垂直平分線，求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，推出是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論；
（3）過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，設(shè)，則，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得，設(shè)，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到（舍，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：如圖1，連接并延長交于點(diǎn)，
是切線，為半徑，
，
；
（2）證明：在上取一點(diǎn)，使得，
與所對(duì)的是，
，
又由（1）得，且是直徑，為圓心，
是的垂直平分線，
，
，
，
，
又是直徑，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
；
（3）解：過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，
設(shè)，則，
，
，
，
，，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得（舍，，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
在中，．
【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形及勾股定理，勾股定理，平行線的性質(zhì)，是一道綜合性大題，通過本題，我們要學(xué)習(xí)到線段長度的求法，以及幾何圖形的性質(zhì)在實(shí)際問題的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，全等及相似的構(gòu)造成為解決本題的關(guān)鍵．
題型六：角平分線+垂直構(gòu)造全等模型
1．（2024?平谷區(qū)一模）如圖，在中，，，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，于，作的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）求證：；
（3）判斷線段、與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；
（2）易通過證明，得到，根據(jù)題意易得，由，可得為等腰直角三角形，于是；
（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，易得為的中位線，則，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，于是，進(jìn)而，以此得出，即，在中，利用勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】（1）解：補(bǔ)全圖形如圖所示．
（2）證明：平分，
，
，
，
在和中，
，，，
，
，
在中，，，
為等腰直角三角形，
，
又，即，
為等腰直角三角形，
．
（3）解：，證明如下：
如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
則為等腰直角三角形，
，
，
又為的中點(diǎn)，
為的中位線，
，
，
，
平分，
，
，
，即，
，
，
，即，
在中，由勾股定理得，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定于性質(zhì)、三角形中位線定理、角平分線的定義、勾股定理，解題關(guān)鍵是利用等腰直角三角形的性質(zhì)將目標(biāo)線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中，再根據(jù)勾股定理解決問題．
2．（2024?金華一模）已知：如圖，在中，于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，．
（1）求證：．
（2）已知，，求的長．
【分析】（1）根據(jù)即可證明三角形全等；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，再利用勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）證明：，
，
在和中，
，
．
（2）解：，，
．
在中，，
，
即：，
．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)證明．
3．（2023?武陟縣一模）如圖，在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求的長．
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)的，，根據(jù)等角的余角相等得，由等腰直角三角形性質(zhì)得，則，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得，因此，進(jìn)而得到，再通過證明，得到，根據(jù)勾股定理可求出，再求出，則，再根據(jù)勾股定理即可求解．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
，
，
，，
為等腰直角三角形，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，正確作出輔助線，利用全等三角形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．
4．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)一模）如圖，在中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接．
（1）如圖1，若，，，求線段的長；
（2）如圖2，若，為邊上一點(diǎn)且，為上一點(diǎn)且，為的中點(diǎn)，連接，，，．猜想與之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）如圖3，當(dāng)，時(shí)，將繞著點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．點(diǎn)、點(diǎn)分別是線段、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、．點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，連接，將沿直線翻折到同一平面內(nèi)的，連接．在、運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)取得最小值且，時(shí)，請(qǐng)直接寫出四邊形的面積．
【分析】（1）看已知條件：，，明顯是等腰直角三角形，可以用旋轉(zhuǎn)解決．
（2）在等邊三角形中有垂直，有中點(diǎn)（中線），又觀察圖形的形況，猜倍的關(guān)系．已知為中點(diǎn)，，聯(lián)想到相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例．邊中線與的比剛好是，所以以為邊構(gòu)造的相似三角形．
（3）經(jīng)過簡(jiǎn)單推理可知：，，能找到點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)．這樣，取得最小值時(shí)的、位置可以確定．再根據(jù)題意繪出相應(yīng)的圖形，求面積即可．
【解答】解：（1），．
將繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，如圖
由旋轉(zhuǎn)可得：，，，．
，
在、中，根據(jù)勾股定理得：
，
即：；解得．
．
（2）猜想．
過作于，找到中點(diǎn)，連接、．如圖
為等邊三角形，
又，得：；
又，
，
．
，得．
，得；
；
、分別為、的中點(diǎn)
，得；，得；
，又；得，；
；
；
；
．
即．
（3）將繞著點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到；
，又，
．
在上找到，使；連接．
△；
，可得：．
當(dāng)、、共線且時(shí)取得最小值，如圖：
，，
．
；
，；
．
根據(jù)題意將沿直線翻折到同一平面內(nèi)的，得，
，
；
；
．
，；
；
；．
，．
，．
；
；
；即．
；
．
．
【點(diǎn)評(píng)】本題第一問考查旋轉(zhuǎn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用、第二問考查構(gòu)造圖形的能力，靈感來自于對(duì)等邊三角形的熟悉．第三問同時(shí)考查對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，需要對(duì)兩種變換有深入的理解．處理點(diǎn)到直線最小值是關(guān)鍵中的關(guān)鍵．
題型六：正方形中的半角模型
一．解答題（共5小題）
1．（2023?增城區(qū)二模）在正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，連接．
（1）如圖1，若，，求的長度；
（2）如圖2，連接，與、分別相交于點(diǎn)、，若正方形的邊長為6，，求的長；
（3）判斷線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．
【分析】（1）延長至點(diǎn)，使，連接，先根據(jù)證明，得到，，，于是可通過證明，得到，則；
（2）設(shè)，則，由（1）可得，于是在中，根據(jù)勾股定理列出方程，求解即可；
（3）延長至點(diǎn)，使，連接，在上截取，連接，，易通過證明，得到，，進(jìn)而得出，再通過證明，得到，在中，根據(jù)勾股定理得，再等量代換即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖，延長至點(diǎn)，使，連接，
四邊形為正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
；
（2）四邊形是邊長為6的正方形，
，
設(shè)，則，
由（1）知，，
，
，，
在中，，
，
解得：，
；
（3），證明如下：
如圖，延長至點(diǎn)，使，連接，在上截取，連接，，
由（1）知，，，
四邊形為矩形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題是解題關(guān)鍵．
2．（2023?明水縣二模）已知：正方形中，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長線）于點(diǎn)、．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖，易證．
（1）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖，線段、和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；
（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段、和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想．
【分析】（1）成立，證得、、三點(diǎn)共線即可得到，從而證得．
（2）．證明方法與（1）類似．
【解答】解：（1）成立．
證明：如圖，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
得到，則可證得、、三點(diǎn)共線（圖形畫正確）．
，
又，
在與中，
，
，
，
；
（2）．
在線段上截取，
在與中，
，
，
，
．
在和中，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決此類問題的關(guān)鍵是正確的利用旋轉(zhuǎn)不變量．
3．（2023?昆明模擬）綜合與實(shí)踐
【問題情境】
數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，楊老師出示了教材上的一個(gè)問題：
如圖1，四邊形是正方形，是上的任意一點(diǎn)，于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，求證：．
數(shù)學(xué)興趣小組的小明同學(xué)做出了回答，解題思路如下：
由正方形的性質(zhì)得到，，
再由垂直和平行可知，
再利用同角的余角相等得到，
則可根據(jù)“”判定，
得到，所以．
【建立模型】
該數(shù)學(xué)小組小芳同學(xué)受此問題啟發(fā)，對(duì)上面的問題進(jìn)行了改編，并提出了如下問題：
（1）如圖2，四邊形是正方形，，是對(duì)角線上的點(diǎn)，，連接，．
求證：四邊形是菱形；
【模型拓展】
該興趣小組的同學(xué)們?cè)跅罾蠋煹闹笇?dǎo)下大膽嘗試，改變圖形模型，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)；
（2）如圖3，若正方形的邊長為12，是對(duì)角線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)，連接，交對(duì)角線于點(diǎn)，，求的值．
【分析】（1）利用證明，得，從而得出四邊形是平行四邊形，再利用證明，得，則是菱形；
（2）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)得到，連接，根據(jù)，知以為直徑作圓，則點(diǎn)，，，均在此圓上，則，根據(jù)半角模型知，得，設(shè)，則，則，進(jìn)而解決問題．
【解答】（1）證明：四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，，
，
，
是菱形；
（2）解：如圖，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)得到，連接，
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
以為直徑作圓，則點(diǎn)，，，均在此圓上，
，
，
由旋轉(zhuǎn)得，，，，
，
，
，
，
在與中，
，
，
，
，，
，
由，
設(shè)，則，
在中，，則，
正方形的邊長為12，
由勾股定理得，
即，
，
，，
，，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，證明是解決問題（2）的關(guān)鍵．
4．（2022?綏化三模）已知，正方形中，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊長分別交、（或它們的延長線）于點(diǎn)、，于點(diǎn)．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，請(qǐng)你直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：；
（2）如圖②，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明；
（3）如圖③，已知，于點(diǎn)，且，，求的長．
【分析】（1）由三角形全等可以證明，
（2）延長至，使，證明，能得到，
（3）分別沿、翻折和，得到和，然后分別延長和交于點(diǎn)，得正方形，設(shè)，則，，在中，由勾股定理，解得．
【解答】解：（1）如圖①，
四邊形是正方形，
，，
在與中，，
，
，，
，
，
，
，
在與中，，
，
；
故答案為：；
（2）數(shù)量關(guān)系成立．如圖②，延長至，使．
是正方形，
，，
在和中，，
，
，，
，
在和中，，
，
，，
、是和對(duì)應(yīng)邊上的高，
；
（3）如圖③分別沿、翻折和，得到和，
，，，
分別延長和交于點(diǎn)，得正方形，
由（2）可知，，
設(shè)，則，，
在中，由勾股定理，得，
，
解得，（不符合題意，舍去）
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，翻折的性質(zhì)，此題比較典型，具有一定的代表性，且證明過程類似，同時(shí)通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的猜想能力和類比推理能力．
5．（2022?集賢縣模擬）已知正方形中，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交，（或它們的延長線）于點(diǎn)，，于點(diǎn)．
（1）如圖①，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，請(qǐng)你直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：；；
（2）如圖②，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明；
（3）如圖③，已知，于點(diǎn)，且，，求的長．（可利用（2）得到的結(jié)論）
【分析】（1）由可得，從而可證，，即可得；
（2）延長至，使，由得，，從而可證，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等即可得；
（3）分別沿，翻折和，得到和，分別延長和交于點(diǎn)，可證四邊形是正方形，設(shè)，在中，由勾股定理列方程即可得答案．
【解答】解：（1）正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案為：；
（2）成立，理由如下：
延長至，使，如圖：
四邊形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，是和對(duì)應(yīng)邊上的高，
．
（3）分別沿，翻折和，得到和，分別延長和交于點(diǎn)，如圖：
沿，翻折和，得到和，
，，，
四邊形是正方形，
．
由（2）可知，設(shè)，則，，
在中，由勾股定理，得，
，
解得，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及全等三角形判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．

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