胡不歸模型、阿氏圓模型與梯子滑行模型
（3種類型7種題型詳解+專題訓(xùn)練）
【題型匯總】
類型一 胡不歸模型
【模型介紹】從前有一位姓胡的小伙外出學(xué)習(xí)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即決定回家.小伙子略懂?dāng)?shù)學(xué)常識，考慮到“兩點之間線段最短”的知識，雖然他求學(xué)的地方與家之間布滿了砂石，但他還是義無反顧的踏上了歸途.當(dāng)他趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”之后的歲月，小伙子不斷的反思：如果我當(dāng)時先沿著驛道走一段距離，再通過砂石區(qū)域回家，是否能見到父親最后一面呢？如果可以，他應(yīng)該沿著驛道走多遠(yuǎn)再通過砂石區(qū)域回家呢？雖然走的路多了,但總用時變少了,如果真有這種情況,那么在驛道和砂礫地帶之間的拐點就尤為重要了，請問如何確定這個點呢?這就是流傳千百年的“胡不歸問題.
【模型詳解】
條件：已知A，B為定點，其中點A在定直線m上，點P在直線m上一動點，求k?PA+PB（k＜1）的最小值.
圖示：
解題步驟：
作射線AM使sin∠PAM= k（k＜1），且點M與點B位于直線m的兩側(cè).
2）過點P作PC⊥AM于點C，則PC=k?PA，此時k?PA+PB=PC+BP.
3）過點B作BD⊥AM于點D，該垂線段長即為所求最小值，計算垂線段的
解題大招：即當(dāng)B，P，C三點共線時，k?PA+PB取最小值，最小值為BD的長度.
模型總結(jié)：在求形如“k?PA+PB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與k?PA相等的線段，將“k?PA+PB”型問題轉(zhuǎn)化為“PC+PB”型. 而這里的PA必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到k?PA的等線段
注意：若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可.
【模型拓展】
對形如a?PA+b?PB(a>b)的式子，可以先將式子變形為，再求出的最小值，此時只需要構(gòu)造,作垂線即可求出最小值.
題型01 已有相關(guān)角直接作垂線
1．（2023·湖南湘西·中考真題）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4．過點B作BE⊥AC于點E，點P為線段BE上一動點（點P不與B，E重合），則CP+12BP的最小值為 ．

2．（21-22八年級下·浙江寧波·開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=33x?3分別交x軸、y軸于A、B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+AC的最小值為 ．
3．（2020·陜西·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，則AM+12BM的最小值為 ．
4．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步驟作圖：①在AC和AB上分別截取AD、AE，使AD=AE．②分別以點D和點E為圓心，以大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC內(nèi)交于點M．③作射線AM交BC于點F．若點P是線段AF上的一個動點，連接CP，則CP+12AP的最小值是 ．
5．（22-23九年級上·廣東茂名·期末）如圖，AB=AC，A0，15，C（1，0），D為射線AO上一點，一動點P從A出發(fā)，運動路徑為A?D?C，在AD上的速度為4個單位/秒，在CD上的速度為1個單位/秒，則整個運動時間最少時，D的坐標(biāo)為 ．
6．（2023·河北保定·一模）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AB=OB=3，點M在線段AC上，且AM=2．點P為線段OB上的一個動點．

（1）∠OBC= °；
（2）MP+12PB的最小值為 ．
7．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=?43x?4分別與x，y軸交于點A，B，拋物線y=518x2+bx+c恰好經(jīng)過這兩點．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)若點C的坐標(biāo)是0,6，將△ACO繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ECF，點A的對應(yīng)點是點E．
①寫出點E的坐標(biāo)，并判斷點E是否在此拋物線上；
②若點P是y軸上的任一點，求35BP+EP取最小值時，點P的坐標(biāo)．
8．（2024·山東淄博·一模）如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，∠BCD=60°，連接BD，點 E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點，且AE=BF，連接DE，DF，EF．
(1)如圖①，當(dāng)點E是邊AB的中點時，求∠EDF的度數(shù)；
(2)如圖②，當(dāng)點E是邊AB上任意一點時，∠EDF的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不改變，請證明：若發(fā)生改變，請說明理由；
(3)若點P是線段BD上的一個動點，連接PF，求PF+32DP的最小值．
9．（22-23九年級下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)y=ax2+2ax?3a與x軸交于點A，B，對稱軸為直線l，頂點C到x軸的距離為23．點P為直線l上一動點，另一點從C出發(fā)，先以每秒2個單位長度的速度沿CP運動到點P，再以每秒1個單位長度的速度沿PA運動到點A停止，則時間最短為 秒．
題型02 構(gòu)造相關(guān)角再作垂線
10．（22-23九年級上·四川樂山·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC邊上的動點，則2AD+DC的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
11．（2024·四川德陽·二模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(1，0)，C(?3，0)兩點，與y軸交于點B(0，3)．若P為y軸上一個動點，連接AP，則22BP+AP的最小值為（ ）
A．2B．2C．22D．4
12．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為 ．
13．（21-22九年級下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，半徑為5的⊙O經(jīng)過點C，CE是圓O的切線，且圓的直徑AB在線段AE上，設(shè)點D是線段AC上任意一點(不含端點)，則OD+12CD的最小值為 ．
14．（2020九年級·新疆·學(xué)業(yè)考試）如圖，在△ABC中，∠A=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC邊上的動點，則2AD+DC的最小值為 ．
15．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC=3，E為線段AB上一動點，連接CE，則12AE＋CE的最小值為 ．
16．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線y=k8x+2x?4（k為常數(shù)，且k>0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經(jīng)過點B的直線y=?33x+b與拋物線的另一交點為D．

(1)若點D的橫坐標(biāo)為?5，求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)在（1）條件下，設(shè)F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止．當(dāng)點F的坐標(biāo)是多少時，點M在整個運動過程中用時最少?
17．（23-24九年級下·江蘇南通·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2?2ax?3a與x軸交于A，B兩點，若AB=m，函數(shù)y=ax2?2ax?3a的最小值為n，且m+n=0．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)如果將該拋物線在x軸下方的部分沿x軸向上翻折，得到的圖象與剩余的圖象組成新圖形G．當(dāng)函數(shù)y1=kx?1+2k的圖象與圖形G的公共點的個數(shù)大于2時，求k的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，當(dāng)k取最大值時，函數(shù)y1=kx?1+2k的圖象與圖形G的對稱軸交于點P，若過P作平行于x軸的直線交圖形G于點Q，過點Q作y軸的平行線交函數(shù)y1=kx+1?2k的圖象于點R，D為線段RQ上的一點，動點C從點R出發(fā)，沿RD→DP運動到點P停止，已知點C在RD上運動的速度為5單位長度每秒，在DP上運動的速度為1單位長度每秒．求當(dāng)點C運動的時間最短時，對應(yīng)的點D的坐標(biāo)．
18．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．
【嘗試初探】
（1）如圖①，在四邊形ABCD中，若∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=5，∠BAD=120°，求AC的長；
【深入探究】
（2）如圖②，在四邊形ABCD中，若∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD=45°，AC=82，求BD的長；
【拓展延伸】
（3）如圖③，在四邊形ABCD中，若∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC=60°，AD=AB=23，延長DA,CB相交于點E，DE⊥CE，P是線段AC上一動點，連接PD，求2DP+CP的最小值．
19．（2024·四川廣元·二模）如圖，在等腰三角形ABC中，CA=CB，C3,0，點A2,m、Bn,1在反比例函數(shù)y=kx的圖象上．
(1)求反比例函數(shù)的解析式，并證明△ABC為直角三角形；
(2)在x軸上求作一點 P ，使 PB+12PC的值最小，寫出點P 的坐標(biāo)并求出最小值．
類型二 阿氏圓模型
【模型總結(jié)】
對于阿氏圓而言：當(dāng)系數(shù)k＜1的時候，一般情況下，考慮向內(nèi)構(gòu)造.
當(dāng)系數(shù)k＞1的時候，一般情況下，考慮向外構(gòu)造.
【注意事項】針對求PA+kPB的最小值問題時，當(dāng)軌跡為直線時，運用“胡不歸模型”求解；
當(dāng)軌跡為圓形時，運用“阿氏圓模型”求解.
題型01 兩點在圓外：向內(nèi)取點（系數(shù)小于1）
20．（2024·山東泰安·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=22，AC=9，以C為圓心，3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則13AP+BP的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
21．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中AB=8，AD=6，點E是矩形ABCD內(nèi)部一個動點，且EB=4，連接CE，則DE+三分之二CE的最小值為（ ）
A．8B．263C．233D．9
22．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=6，E為AD邊上一動點，將△ABE沿BE翻折到△FBE的位置，點A與點F重合，連接DF，CF，則DF+12CF的最小值為（ ）
A．92B．132C．4D．3132
23．（2020·廣西·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，點P是扇形AEF的EF上任意一點，連接BP，CP，則12BP+CP的最小值是 ．
24．（2022九年級上·浙江·專題練習(xí)）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4)，B(4,0)，P是第一象限內(nèi)一動點，OP=2，連接AP、BP，則BP+12AP的最小值是 ．
25．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點P為圓上一動點，連接AP，BP，求：
①AP+12BP，
②2AP+BP，
③13AP+BP，
④AP+3BP的最小值．
26．（2023·山東煙臺·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,AB=4．拋物線的對稱軸x=3與經(jīng)過點A的直線y=kx?1交于點D，與x軸交于點E．

(1)求直線AD及拋物線的表達式；
(2)在拋物線上是否存在點M，使得△ADM是以AD為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
(3)以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點P為⊙B上一個動點，請求出PC+12PA的最小值．
27．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,，D，E為BC，AC上的動點，且DE=4，P為DE的中點．
(1)若DE∥AB，求CD的長．
(2)在線段DE的運動過程中，CD的長由2到23，求這一變化過程中，點 P運動的路程．
(3)連結(jié)PA，PB，求PA+14PB的最小值．
28．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C為頂點的正方形CDEF（C、D、E、F四個頂點按逆時針方向排列）可以繞點C自由轉(zhuǎn)動，且CD＝2，連接AF，BD
（1）求證：△BDC≌△AFC
（2）當(dāng)正方形CDEF有頂點在線段AB上時，直接寫出BD＋22AD的值；
（3）直接寫出正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過程中，BD＋22AD的最小值．
29．（2024·廣東廣州·三模）已知，如圖1，PAB為⊙O的割線，直線PC與⊙O有公共點C，且PC2=PA×PB．

(1)求證：①∠PCA=∠PBC；
②直線PC是⊙O的切線；
(2)如圖2，作弦CD，使CD⊥AB，連接AD、BC，，若AD=2，BC=6，求⊙O的半徑；
(3)如圖3，若⊙O的半徑為2，PO=10，MO=2，∠POM=90°，⊙O上是否存在一點Q，使得PQ+22QM有最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，說明理由．
題型02 兩點在圓內(nèi)：向外取點（系數(shù)大于1）
30．（2020·江蘇常州·一模）如圖，在⊙O中，點A、點B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，點C在OA上，且OC=2AC，點D是OB的中點，點M是劣弧AB上的動點，則CM+2DM的最小值為 ．
31．（20-21九年級上·江蘇宿遷·期末）問題提出：如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C的半徑為2，P為圓上一動點，連接AP、BP，求AP+12BP的最小值．
(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點D，使CD＝1，則CDCP=CPCB=12．又∠PCD＝∠BCP，所以△PCD∽△BCP．所以PDBP=CDCP=12．所以PD=12PB，所以AP+12BP=AP+PD．請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+12BP的最小值為 ；
(2)自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求13AP+BP的最小值；
(3)拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，P是CD上一點，求2PA＋PB的最小值．
32．（2020·江蘇常州·一模）如圖，在⊙O中，點A、點B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，點C在OA上，且OC=2AC，點D是OB的中點，點M是劣弧AB上的動點，則CM+2DM的最小值為 ．
33．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，點P是弧CD上一點，2PA+PB的最小值為
34．（2022·廣西·一模）圖所示，在半徑為 6 的扇形 ABC 中， ∠BAC＝60° ，點 D ，E 分別在半徑 AB，AC 上，且BD＝CE＝2，點F 是弧BC 上的動點，連接DF，EF，則DF＋32EF 的最小值為 ．
題型03 一內(nèi)一外提系數(shù)
35．（2025九年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC=6，BD=1，P在以B為圓心3為半徑的圓上，則AP+6PD的最小值為 ．
題型04 隱圓+阿氏圓
36．（2023·陜西咸陽·三模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是OD、OC上的兩個動點，且EF=4，P是EF的中點，連接OP、PC、PD，若AC=12,BD=16，則PC+14PD的最小值為 ．

37．（21-22九年級下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，M為AB上一點，且BM=2，N為邊BC上一動點．連接MN，將△BMN沿MN翻折得到△PMN，點P與點B對應(yīng)，連接PA，PC，則PA+2PC的最小值為 ．

38．如圖，在RtΔABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D、E分別是邊BC、AC上的兩個動點，且DE=4，P是DE的中點，連接PA，PB，則PA+14PB的最小值為 ．
39．（2021·廣西南寧·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是△AOB外部的第一象限內(nèi)一動點，且∠BPA＝135°，則2PD+PC的最小值是 ．
40．（2023·江蘇宿遷·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A2,0、B0,2、C5,2、D4,4，點P在第一象限，且∠APB=135°，則2PD+4PC的最小值為 ．

類型三 梯子滑行模型
模型的概述：如下圖，一根長度一定的梯子斜靠在豎直墻面上，當(dāng)梯子底端滑動時，探究梯子上某點（如中點）或梯子構(gòu)成圖形上的點的軌跡模型（圖2），就是所謂的梯子模型。

圖1 圖2
【考查方向】已知一條線段的兩個端點在坐標(biāo)軸上滑動，求線段最值問題。
模型一：如圖所示，線段AC的兩個端點在坐標(biāo)軸上滑動，∠ACB=∠AOC=90°，
AC的中點為P，連接OP、BP、OB，則當(dāng)O、P、B三點共線時，此時線段OB
最大值。
即已知Rt?ACB中AC、BC的長，就可求出梯子模型中OB的最值。
模型二：如圖所示，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)點A在
邊OM上運動時，點B隨之在ON上運動，且運動的過程中矩形ABCD形狀保
持不變，AB的中點為P，連接OP、PD、OD，則當(dāng)O、P、D三點共線時，此時
線段OD 取最大值。
即已知矩形ABCD中AB、AD的長，就可求出梯子模型中OD的最值。
41．（2020·山東泰安·中考真題）如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為A(2,0),B(0,2)，點C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，BC=1，點M為線段AC的中點，連接OM，則OM的最大值為（ ）

A．2+1B．2+12C．22+1D．22?12
42．（2024·山東泰安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在y軸上，OA=8，點B在x軸上，OB=6．點M是平面內(nèi)的一點，AM=6．將線段AM繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，連接BM，取BM的中點N，連接ON，則線段ON長的最大值為（ ）
A．2B．12C．210+3D．8
43．（2023·廣西南寧·一模）如圖，已知∠MON=90°，線段AB長為6，AB兩端分別在OM、ON上滑動，以AB為邊作正方形ABCD，對角線AC、BD相交于點P，連接OC．則OC的最大值為（ ）

A．6+35B．8C．3+35D．9
44．（2024·江蘇揚州·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A0,4，B為x軸正半軸上的動點，以AB為邊在第一象限內(nèi)作△ABC使得∠BAC=90°，S△ABC=8，連結(jié)OC，則OC長的最大值為 ．
45．（22-23九年級上·全國·期末）如圖，等邊△ABC的頂點A，B分別在x軸，y軸的正半軸上滑動，點C在第一象限，連接OC，若等邊△ABC的邊長為2，則線段OC長的最大值是 ．
46．（2022·安徽淮北·模擬預(yù)測）請解答下列各題：

(1)已知邊長為a的正方形ABCD，兩頂點A，B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸的正半軸上滑動，點C、點D在第一象限，點E為正方形ABCD的對稱中心，連接OE，則OE的長的最大值是 ；
(2)已知m，n是方程x2+2016x+7=0的兩根，則m2+2015m+6n2+2017n+8= ．
第四章 三角形
重難點16幾何壓軸突破四 幾何最值問題之
胡不歸模型、阿氏圓模型與梯子滑行模型
（3種類型7種題型詳解+專題訓(xùn)練）
【題型匯總】
類型一 胡不歸模型
【模型介紹】從前有一位姓胡的小伙外出學(xué)習(xí)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即決定回家.小伙子略懂?dāng)?shù)學(xué)常識，考慮到“兩點之間線段最短”的知識，雖然他求學(xué)的地方與家之間布滿了砂石，但他還是義無反顧的踏上了歸途.當(dāng)他趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”之后的歲月，小伙子不斷的反思：如果我當(dāng)時先沿著驛道走一段距離，再通過砂石區(qū)域回家，是否能見到父親最后一面呢？如果可以，他應(yīng)該沿著驛道走多遠(yuǎn)再通過砂石區(qū)域回家呢？雖然走的路多了,但總用時變少了,如果真有這種情況,那么在驛道和砂礫地帶之間的拐點就尤為重要了，請問如何確定這個點呢?這就是流傳千百年的“胡不歸問題.
【模型詳解】
條件：已知A，B為定點，其中點A在定直線m上，點P在直線m上一動點，求k?PA+PB（k＜1）的最小值.
圖示：
解題步驟：
作射線AM使sin∠PAM= k（k＜1），且點M與點B位于直線m的兩側(cè).
2）過點P作PC⊥AM于點C，則PC=k?PA，此時k?PA+PB=PC+BP.
3）過點B作BD⊥AM于點D，該垂線段長即為所求最小值，計算垂線段的
解題大招：即當(dāng)B，P，C三點共線時，k?PA+PB取最小值，最小值為BD的長度.
模型總結(jié)：在求形如“k?PA+PB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與k?PA相等的線段，將“k?PA+PB”型問題轉(zhuǎn)化為“PC+PB”型. 而這里的PA必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到k?PA的等線段
注意：若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可.
【模型拓展】
對形如a?PA+b?PB(a>b)的式子，可以先將式子變形為，再求出的最小值，此時只需要構(gòu)造,作垂線即可求出最小值.
題型01 已有相關(guān)角直接作垂線
1．（2023·湖南湘西·中考真題）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4．過點B作BE⊥AC于點E，點P為線段BE上一動點（點P不與B，E重合），則CP+12BP的最小值為 ．

【答案】6
【分析】過點P作PD⊥AB，連接CO并延長交AB于點F，連接AO，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)得到OA=OB=4，CF⊥AB，然后利用含30°角直角三角形的性質(zhì)得到OE=12OA=2，進而求出BE=BO+EO=6，然后利用CP+12BP=CP+PD≤CF代入求解即可．
【詳解】如圖所示，過點P作PD⊥AB，連接CO并延長交AB于點F，連接AO

∵△ABC是等邊三角形，BE⊥AC
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=30°
∵⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4
∴OA=OB=4，CF⊥AB，
∴∠OBA=∠OAB=30°
∴∠OAE=∠OAB=12∠BAC=30°
∵BE⊥AC
∴OE=12OA=2
∴BE=BO+EO=6
∵PD⊥AB，∠ABE=30°
∴PD=12PB
∴CP+12BP=CP+PD≤CF
∴CP+12BP的最小值為CF的長度
∵△ABC是等邊三角形，BE⊥AC，CF⊥AB
∴CF=BE=6
∴CP+12BP的最小值為6．
故答案為：6．
【點睛】此題考查了圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30°角直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．
2．（21-22八年級下·浙江寧波·開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=33x?3分別交x軸、y軸于A、B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+AC的最小值為 ．
【答案】6
【分析】先求出點A，點B坐標(biāo)，由勾股定理可求AB的長，作點B關(guān)于OA的對稱點B'，可證ΔABB'是等邊三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得CH＝12AC，則2BC＋AC=2B'C+CH，即當(dāng)點B'，點C，點H三點共線時，B'C+CH有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：∵一次函數(shù)y=33x?3分別交x軸、y軸于A、B兩點，
∴點A（3，0），點B0，?3，
∴AO＝3，BO=3，
∴AB=OA2+OB2=32+32=23，
作點B關(guān)于OA的對稱點B'，連接 AB'，B'C，過點C作CH⊥AB于H，如圖所示：
∴OB=OB'=3，
∴BB'=23，AB=AB'=23
∴AB=AB'=BB'，
∴ΔABB'是等邊三角形，
∵AO⊥BB'，
∴∠BAO=12∠BAB'=30°，
∵CH⊥AB，
∴CH=12AC，
∴2BC+AC=2BC+12AC=2B'C+CH，
∴當(dāng)點B'，點C，點H三點共線時，B'C+CH有最小值，即2BC＋AC有最小值，
此時，B'H⊥AB，ΔABB'是等邊三角形，
∴BH＝AH=3，∠BB'H=30°，
∴B'H=B'A2?AH2=232?32=3，
∴2BC＋AC的最小值為6．
故答案為：6．
【點睛】本題是胡不歸問題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，確定點C的位置是解題的關(guān)鍵．
3．（2020·陜西·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，則AM+12BM的最小值為 ．
【答案】43
【分析】如圖，過點A作AT⊥BC于T，過點M作MH⊥BC于H，根據(jù)菱形的性質(zhì)和30°角的直角三角形的性質(zhì)可得MH＝12BM，于是可得AM+12BM的最小值即為AT的長，再利用解直角三角形的知識求解即可．
【詳解】解：如圖，過點A作AT⊥BC于T，過點M作MH⊥BC于H．
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝12∠ABC＝30°，
∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，
∴MH＝12BM，
∴AM+12BM＝AM+MH，
∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，
∴AT＝AB?sin60°＝43，
∵AM+MH≥AT，
∴AM+MH≥43，
∴AM+12BM≥43，
∴AM+12BM的最小值為43，
故答案為：43．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短以及解直角三角形等知識，屬于?？碱}型，熟練掌握上述知識、明確解答的方法是解題關(guān)鍵．
4．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步驟作圖：①在AC和AB上分別截取AD、AE，使AD=AE．②分別以點D和點E為圓心，以大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC內(nèi)交于點M．③作射線AM交BC于點F．若點P是線段AF上的一個動點，連接CP，則CP+12AP的最小值是 ．
【答案】23
【分析】過點P作PQ⊥AB于點Q，過點C作CH⊥AB于點H，先利用角平分線和三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAF=30°，然后利用含30°的直角三角的性質(zhì)得出PQ=12AP，則CP+12AP=CP+PQ≥CH，當(dāng)C、P、Q三點共線，且與AB垂直時，CP+12AP最小，CP+12AP最小值為CH，利用含30°的直角三角的性質(zhì)和勾股定理求出AB，BC，最后利用等面積法求解即可．
【詳解】解：過點P作PQ⊥AB于點Q，過點C作CH⊥AB于點H，
由題意知：AF平分∠BAC，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAF=12∠BAC=30°，
∴PQ=12AP，
∴CP+12AP=CP+PQ≥CH，
∴當(dāng)C、P、Q三點共線，且與AB垂直時，CP+12AP最小，CP+12AP最小值為CH，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，
∴AB=2AC=8，
∴BC=AB2?AC2=43，
∵S△ABC=12AC?BC=12AB?CH，
∴CH=AC?BCAB=4×438=23，
即CP+12AP最小值為23．
故答案為：23．
【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖-作角平分線，含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，注意掌握利用等積法求三角形的高或點的線的距離的方法．
5．（22-23九年級上·廣東茂名·期末）如圖，AB=AC，A0，15，C（1，0），D為射線AO上一點，一動點P從A出發(fā)，運動路徑為A?D?C，在AD上的速度為4個單位/秒，在CD上的速度為1個單位/秒，則整個運動時間最少時，D的坐標(biāo)為 ．
【答案】0,1515
【分析】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．運動時間t=AD4+CD1=AD4+CD，由△AHD∽△AOB，推出DH=14AD，可得14AD+CD=CD+DH，推出當(dāng)C，D，H共線且和CM重合時，運動時間最短．
【詳解】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D'．
∵運動時間t=AD4+CD1=AD4+CD，
∵AB=AC，AO⊥BC，
∴BO=OC=1，
∵A(0,15)，C（1，0），AB=AC，AO⊥BC，
∴AB=AC=OA2+OB2=15+1=4，
∵∠DAH=∠BAO，∠DHA=∠AOB=90°，
∴△AHD∽△AOB，
∴ADAB=DHOB，
∴DH=14AD，
∴14AD+CD=CD+DH，
∴當(dāng)C，D，H共線且和CM重合時，運動時間最短，
∴12BC?AO=12AB?CM，
∴CM=152，
∴AM=AC2?CM2=42?1522=72，
∵AD'=4MD'，設(shè)MD'=m，則AD'=4m，
則有：16m2?m2=494
∴m=71530或?71530（舍去），
∴AD'=141515
∴D0,1515，
故答案為0,1515．
【點睛】本題考查勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．
6．（2023·河北保定·一模）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AB=OB=3，點M在線段AC上，且AM=2．點P為線段OB上的一個動點．

（1）∠OBC= °；
（2）MP+12PB的最小值為 ．
【答案】 30 2
【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得到OA=OB=OC=OD，∠ABC=90°，又由AB=OB得到△OAB是等邊三角形，則∠ABO=60°，即可得到答案；
（2）過點P作PE⊥BC于點E，過點M作MF⊥BC于點F，證明MP+12PB=MP+PE≥MF，進一求解MF即可得到答案．
【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=90°，
∵AB=OB，
∴AB=OB=OA，
∴△OAB是等邊三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠OBC=∠ABC?∠ABO=90°?60°=30°，
故答案為：30．
（2）過點P作PE⊥BC于點E，過點M作MF⊥BC于點F，

在Rt△BPE中，
由（1）知：∠PBE=30°，
∴PE=12PB，
∴MP+12PB=MP+PE≥MF，
在矩形ABCD中，
AC=2OA=2OB=6，
∵AM=2，
∴CM=AC?AM=6?2=4，
在Rt△CMF中，∠MCF=∠OBC=30°，
∴MF=12CM=2，
∴MP+12PB的最小值為2，
故答案為：2．
【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、含30°的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)、含30°的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=?43x?4分別與x，y軸交于點A，B，拋物線y=518x2+bx+c恰好經(jīng)過這兩點．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)若點C的坐標(biāo)是0,6，將△ACO繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ECF，點A的對應(yīng)點是點E．
①寫出點E的坐標(biāo)，并判斷點E是否在此拋物線上；
②若點P是y軸上的任一點，求35BP+EP取最小值時，點P的坐標(biāo)．
【答案】(1)y=518x2?12x?4
(2)①點E在拋物線上；②P（0，?32）
【分析】（1）先求出A、B坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出EF=AO=3，CF=CO=6，從而可求E的坐標(biāo)，然后把E的坐標(biāo)代入（1）的函數(shù)解析式中，從而判斷出點E是否在拋物線上；
②過點E作EH⊥AB，交y軸于P，垂足為H，sin∠ABO=AOAB=HPBP=35，則HP=35BP，得35BP＋EP＝HP＋PE，可知HP＋PE的最小值為EH的長，從而解決問題．
【詳解】（1）解：當(dāng)x=0時，y=-4，
當(dāng)y=0時，?43x?4=0，
∴x=-3，
∴A（-3，0），B（0，-4），
把A、B代入拋物線y=518x2+bx+c，
得518×(?3)2?3b+c=0c=?4，
∴b=?12c=?4，
∴拋物線解析式為y=518x2?12x?4．
（2）解：①∵A（-3，0），C（0，6），
∴AO=3，CO=6，
由旋轉(zhuǎn)知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°
∴E到x軸的距離為6-3=3，
∴點E的坐標(biāo)為（6，3），
當(dāng)x=3時，y=518×62?12×6?4=3，
∴點E在拋物線上；
②過點E作EH⊥AB，交y軸于P，垂足為H，
∵A（?3，0），B（0，?4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∵sin∠ABO=AOAB=HPBP=35，
∴HP=35BP，
∴35BP＋EP＝HP＋PE，
∴HP＋PE的最小值為EH的長，
作EG⊥y軸于G，
∵∠GEP＝∠ABO，
∴tan∠GEP＝tan∠ABO，
∴PGEG=AOBO，
∴PG6=34，
∴PG＝92，
∴OP＝92?3＝32，
∴P（0，?32）．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)，兩點之間、線段最短等知識，利用三角函數(shù)將35BP轉(zhuǎn)化為HP的長是解題的關(guān)鍵．
8．（2024·山東淄博·一模）如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，∠BCD=60°，連接BD，點 E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點，且AE=BF，連接DE，DF，EF．
(1)如圖①，當(dāng)點E是邊AB的中點時，求∠EDF的度數(shù)；
(2)如圖②，當(dāng)點E是邊AB上任意一點時，∠EDF的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不改變，請證明：若發(fā)生改變，請說明理由；
(3)若點P是線段BD上的一個動點，連接PF，求PF+32DP的最小值．
【答案】(1)60°
(2)不改變，見解析
(3)33
【分析】（1）由菱形ABCD可得AB=BC=CD=AD=6，∠BAD=∠BCD=60°，從而△ABD，△BCD是等邊三角形，根據(jù)“三線合一”可得 ∠EDB=12∠ADB=30°，AE=12AB，進而證得點F是邊BC的中點，從而∠BDF=12∠BDC=30°，根據(jù)∠EDF=∠EDB+∠BDF即可解答；
（2）由（1）得到△ABD，△BCD是等邊三角形，從而AD=BD，∠DAB=∠DBC=60°，進而證得△ADE≌△BDFSAS，得到∠ADE=∠BDF，從而∠EDF=∠ADB=60°；
（3）過點P作PG⊥AD于點 G，連接PF，過點F作FG'⊥AD于點G'，交BD于點P'，則GP=DP?sin∠ADB=32DP，因此PF+32DP=PF+GP，當(dāng)點F，P，G三點共線，且FG⊥AD時，PF+GP有最小值，最小值為FG的長，過點D作DH⊥BC于點H，PF+32DP的最小值即為DH的長，在Rt△CDH中通過解直角三角形即可解答．
【詳解】（1）∵四邊形ABCD是菱形，邊長為6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠BAD=∠BCD=60°，
∴△ABD，△BCD是等邊三角形，
∴∠ADB=60°，
∵點E是邊AB的中點，
∴∠EDB=12∠ADB=12×60°=30°，AE=12AB，
∵AE=BF，
∴BF=12AB=12BC
∴點F是邊BC的中點，
∴∠BDF=12∠BDC=12×60°=30°，
∴∠EDF=∠EDB+∠BDF=30°+30°=60°；
（2）∠EDF的度數(shù)不改變，證明如下：
由（1）得到△ABD，△BCD是等邊三角形，
∴AD=BD，∠DAB=∠DBC=60°，
∵AE=BF，
∴△ADE≌△BDFSAS，
∴∠ADE=∠BDF，
∴∠EDF=∠BDE+∠BDF=∠BDE+∠ADE=∠ADB=60°；
（3）如圖，過點P作PG⊥AD于點 G，連接PF，過點F作FG'⊥AD于點G'，交BD于點P'，
∵∠ADB=60°，
∴在Rt△DPG中，GP=DP?sin∠ADB=DP?sin60°=32DP
∴PF+32DP=PF+GP
∴當(dāng)點F，P，G三點共線，且FG⊥AD時，PF+GP有最小值，最小值為FG的長，過點D作DH⊥BC于點H，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴DH=FG'，
∴PF+32DP的最小值即為DH的長，
∵DH⊥BC，△BCD是等邊三角形，
∴DH=CD?sinC=CD?sin60°=33，
∴PF+32DP的最小值為33．
【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，垂線段最短，解直角三角形．正確作出輔助線，綜合運用相關(guān)知識，采用轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．
9．（22-23九年級下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)y=ax2+2ax?3a與x軸交于點A，B，對稱軸為直線l，頂點C到x軸的距離為23．點P為直線l上一動點，另一點從C出發(fā)，先以每秒2個單位長度的速度沿CP運動到點P，再以每秒1個單位長度的速度沿PA運動到點A停止，則時間最短為 秒．
【答案】23
【分析】如圖，連接AC,BC，作AD⊥BC于點D，AD與EC交點即為符合題意的點P，可得AB=AC=BC，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得到動點運動的時間為CP2+AP解題即可．
【詳解】如圖，連接AC,BC，作AD⊥BC于點D，AD與EC交點即為符合題意的點P，
令y=0，則ax2+2ax?3a=0，
解得x=?3或x=1，
∴A，B兩點坐標(biāo)為?3，0，1，0，
∴AB=4，
∵A，B兩點關(guān)于l對稱，
∴AE=BE=2，
∵頂點C到x軸的距離為23，
∴AC=BC=EA2+EC2=4
∴AB=AC=BC，
∵AD,CE都是△ABC的高，
∴AD=CE=23，
由題意得動點運動的時間為CP2+AP，
∵△ABC是等邊三角形，CE⊥AB，
∴∠PCD=12∠ACB=30°，
∵作PD⊥CD，
∴PD=12CP，
∴12CP+AP=PD+AP=23，
顯然在l上另取一點P'，連接P'A，P'D，
∵P'A+P'D≥AD，
∴當(dāng)PA+PD=AD時，運動時間最短為23，
故答案為：23．
【點睛】本題考查最短路徑問題，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型02 構(gòu)造相關(guān)角再作垂線
10．（22-23九年級上·四川樂山·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC邊上的動點，則2AD+DC的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【分析】過點C作射線CE，使∠BCE=30°，再過動點D作DF⊥CE，垂足為點F，連接AD，在Rt△DFC中，∠DCF=30°,DF=12DC,2AD+DC=2(AD+12DC)=2(AD+DF)當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即AF⊥CE時，AD+DF的值最小，最小值等于垂線段AF的長．
【詳解】解：過點C作射線CE，使∠BCE=30°，再過動點D作DF⊥CE，垂足為點F，連接AD，如圖所示：
在Rt△DFC中，∠DCF=30°，
∴DF=12DC，
∵2AD+DC=2(AD+12DC)
＝2(AD+DF)，
∴當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即AF⊥CE時，AD+DF的值最小，最小值等于垂線段AF的長，
此時，∠B=∠ADB=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AD=BD=AB=4，
在Rt△ABC中，∠A=90°,∠B=60°,AB=4，
∴BC=8，
∴DC=4，
∴DF=12DC=2,，
∴AF=AD+DF=4+2=6，
∴2(AD+DF)=2AF=12，
∴2(AD+DC)的最小值為12，
故選：D．
【點睛】本題考查垂線段最短、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造胡不歸模型，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題．
11．（2024·四川德陽·二模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(1，0)，C(?3，0)兩點，與y軸交于點B(0，3)．若P為y軸上一個動點，連接AP，則22BP+AP的最小值為（ ）
A．2B．2C．22D．4
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等知識，關(guān)鍵在于把求22BP+AP最小值轉(zhuǎn)化為求PG+AP的最小值；連接BC，AP，過點P作PG⊥BC于點G，連接AG，過點A作AH⊥BC于點H；由B、C的坐標(biāo)得OB=OC，則有∠OBC=45°，從而PG=22BP；于是求22BP+AP最小值轉(zhuǎn)化為求PG+AP的最小值；利用勾股定理即可求得最小值．
【詳解】解：連接BC，AP，過點P作PG⊥BC于點G，連接AG，過點A作AH⊥BC于點H，如圖，
∵C(?3，0)，B(0，3)，
∴OC=OB，
∴∠OBC=45°，
∴PG=22BP，
∴22BP+AP=PG+AP≥AG≥AH，
∴22BP+AP的最小值為AH的長，
∵A(1，0)，C(?3，0)，
∴AC=1?(?3)=4，
在Rt△ACH中，
∵∠ACH=45°，AC=4，
∴AH=22AC=22，
∴22BP+AP的最小值為22．
故選：C．
12．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為 ．
【答案】42
【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時PA+2PB＝212PA+PB＝12PF+PB＝2BF，通過解直角三角形ABF，進一步求得結(jié)果．
【詳解】解：如圖，
在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此時PA+2PB最小，
∴∠AFB＝90°
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝12∠BAC=12×30°=15°，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
∴PF＝12PA，
∴PA+2PB＝212PA+PB＝12PF+PB＝2BF，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB?sin45°＝4×22=22，
∴（PA+2PB）最大＝2BF＝42，
故答案為：42．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線．
13．（21-22九年級下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，半徑為5的⊙O經(jīng)過點C，CE是圓O的切線，且圓的直徑AB在線段AE上，設(shè)點D是線段AC上任意一點(不含端點)，則OD+12CD的最小值為 ．
【答案】532
【分析】過點C作關(guān)于AE的平行線，過點D作DH垂直于該平行線于H，可將12CD轉(zhuǎn)化為DH，此時OD+12CD就等于OD+DH，當(dāng)ODH共線時，即為所要求的最小值．
【詳解】解：如圖所示，過點C作關(guān)于AE的平行線，過點D作DH垂直于該平行線于H，

∵CH//AB，∠CAE=30°，OC=OA，
∴∠HCA=∠OCA=30°，
∴sin∠HCD=HDCD=12，∠HCO=60°，
∴12CD=HD，
∴OD+12CD=OD+DH，
∵當(dāng)O，D，H三點共線，即在圖中H在H'位置，D在D'位置的時候有OD+DH最小，
∴當(dāng)O，D，H三點共線時，OD+12CD有最小值，
此時OH'=OC×sin∠HCO=OC×sin60°=5×32=532，
∴OD+12CD的最小值為532，
故答案為532．
【點睛】本題主要考查了最值問題中的胡不歸問題，解題的關(guān)鍵是在于將12OD進行轉(zhuǎn)換．
14．（2020九年級·新疆·學(xué)業(yè)考試）如圖，在△ABC中，∠A=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC邊上的動點，則2AD+DC的最小值為 ．
【答案】12
【分析】過點C作射線CE，使∠BCE=30°，再過動點D作DF⊥CE，垂足為點F，連接AD，在Rt△DFC中，∠DCF=30°，DF=12DC，2AD+DC=2(AD+12DC)=2(AD+DF)當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即AF⊥CE時，AD+DF的值最小，最小值等于垂線段AF的長．
【詳解】解：過點C作射線CE，使∠BCE=30°，再過動點D作DF⊥CE，垂足為點F，連接AD，如圖所示：
在Rt△DFC中，∠DCF=30°，
∴DF=12DC，
∵2AD+DC=2(AD+12DC)
=2(AD+DF)，
∴當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即AF⊥CE時，AD+DF的值最小，最小值等于垂線段AF的長，
此時，∠B=∠ADB=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AD=BD=AB=4，
在Rt△ABC中，
∠A=90°，∠B=60°，AB=4，
∴BC=8，
∴DC=4，
∴DF=12DC=2，
∴AF=AD+DF=4+2=6，
∴2(AD+DF)=2AF=12，
∴2AD+DC的最小值為12，
故答案為：12．
【點睛】本題考查垂線段最短、等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度的直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
15．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC=3，E為線段AB上一動點，連接CE，則12AE＋CE的最小值為 ．
【答案】3
【詳解】思路引領(lǐng)：在射線AB的下方作∠MAB＝30°，過點E作ET⊥AM于T，過點C作CH⊥AM于H．易證ET=12AE，推出12AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解決問題．
答案詳解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴tan∠CAB=CBAB=33，
∴∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝23，
在射線AB的下方作∠MAB＝30°，過點E作ET⊥AM于T，過點C作CH⊥AM于H．
∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，
∴ET=12AE，
∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝23，
∴CH＝AC?sin6°＝23×32=3，
∵12AE+EC＝CE+ET≥CH，
∴12AE+EC≥3，
∴12AE+EC的最小值為3，
故答案為3．
16．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線y=k8x+2x?4（k為常數(shù)，且k>0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經(jīng)過點B的直線y=?33x+b與拋物線的另一交點為D．

(1)若點D的橫坐標(biāo)為?5，求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)在（1）條件下，設(shè)F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止．當(dāng)點F的坐標(biāo)是多少時，點M在整個運動過程中用時最少?
【答案】(1)y=39x2?239x?839
(2)?2,23
【分析】（1）由點B的坐標(biāo)求出直線BD的解析式，再由點D的橫坐標(biāo)代入直線BD的解析式求出點D的坐標(biāo)，然后將點D的坐標(biāo)代入拋物線解析式求k，從而得到拋物線的函數(shù)表達式；
（2）過點D作DE⊥x軸于點E，過點D和點F分別作x軸的平行線和y軸的平行線，交于點N，過點A作AH⊥DN于點H，由點B和點D的坐標(biāo)求線段DE、BE和BD的長度，得到∠DBE=30°，結(jié)合速度可知時間為AF+12DF，然后利用“30°角所對的直角邊是斜邊的一半”得12DF=NF，從而得到AF+12DFmin=AF+NFmin=AH，進而求得此時點F坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：對于y=k8x+2x?4，當(dāng)y=0時，x=?2或x=4，
∴A?2,0，B4,0，
將點B4,0代入y=?33x+b，得：?33×4+b=0
∴b=433，
則直線BD的解析式為：y=?33x+433，
當(dāng)x=?5時，y=?33×?5+433=33，
∴D?5,33，
將點D?5,33代入y=k8x+2x?4，得：k8?5+2?5?4=33，
∴k=839，
∴拋物線的表達式為：y=39x+2x?4=39x2?239x?839；
（2）由題意得：點M的運動時間為AF+12DF，
過點D作DE⊥x軸于點E，

∵D?5,33，B4,0，
∴DE=33，EB=9，BD=63，
∴∠DBE=30°，
過點D和點F分別作x軸的平行線和y軸的平行線，交于點N，
∴∠DBE=∠FDN=30°，
∴NF=12DF，
∴AF+12DF=AF+NF，
過點A作AH⊥DN于點H，此時AF+NFmin=AH，
∴AH與直線BD的交點即為所求點F，
∵A?2,0，
∴當(dāng)x=?2時，y=?33×?2+433=23，
∴點F的坐標(biāo)為?2,23時，點M在整個運動過程中用時最少．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求拋物線解析式、特殊角的直角三角形三邊關(guān)系，第2問的突破點是利用轉(zhuǎn)化的思想結(jié)合“30°角所對的直角邊是斜邊的一半”將12DF進行轉(zhuǎn)化，然后利用垂線段最短求得用時最小時的點F坐標(biāo)．
17．（23-24九年級下·江蘇南通·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2?2ax?3a與x軸交于A，B兩點，若AB=m，函數(shù)y=ax2?2ax?3a的最小值為n，且m+n=0．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)如果將該拋物線在x軸下方的部分沿x軸向上翻折，得到的圖象與剩余的圖象組成新圖形G．當(dāng)函數(shù)y1=kx?1+2k的圖象與圖形G的公共點的個數(shù)大于2時，求k的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，當(dāng)k取最大值時，函數(shù)y1=kx?1+2k的圖象與圖形G的對稱軸交于點P，若過P作平行于x軸的直線交圖形G于點Q，過點Q作y軸的平行線交函數(shù)y1=kx+1?2k的圖象于點R，D為線段RQ上的一點，動點C從點R出發(fā)，沿RD→DP運動到點P停止，已知點C在RD上運動的速度為5單位長度每秒，在DP上運動的速度為1單位長度每秒．求當(dāng)點C運動的時間最短時，對應(yīng)的點D的坐標(biāo)．
【答案】(1)y=x2?2x?3
(2)1≤k≤2
(3)D?2,72或D4,132
【分析】（1）令y=0，解方程求得AB=4，得出m=4，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得出?4a=?4求得a的值，即可求解；
（2）先得出y1=kx?1+2k過點?2，?1，根據(jù)題意畫出圖象，觀察函數(shù)圖象可得當(dāng)y1=kx?1+2k過點A時，與拋物線有3個交點，當(dāng)y1=kx?1+2k與拋物線y=?x2+2x+3?1

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