1. 如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標(biāo)為(3，4)，點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA，PB與x軸分別交于A，B兩點，若點A，點B關(guān)于原點O對稱，則AB的最小值為( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
第1題圖
2. 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2 eq \r(3) ，半徑為1的⊙O在Rt△ABC內(nèi)平移(⊙O可以與該三角形的邊相切)，則點A到⊙O上的點的距離的最大值為________．
第2題圖
類型二 線圓最值
3.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，⊙P經(jīng)過三點A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，點D是⊙P上的一動點．當(dāng)點D到弦OB的距離最大時，tan ∠BOD的值是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第3題圖
4. 如圖，AB是⊙O的弦，C是優(yōu)弧AB上一點，連接AC，BC，若⊙O的半徑為4，∠ACB＝60°，則△ABC面積的最大值為( )
第4題圖
A. 6 eq \r(3) B. 12 eq \r(3) C. 18 D. 20
5. 如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，⊙C的半徑為 eq \r(3) ，P為AB邊上一動點，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q，則PQ的最小值為________．
第5題圖
類型三 定點定長作圓
6. 如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點P是BC邊上一動點(點P不與B，C重合)，連接AP，作點B關(guān)于直線AP的對稱點M，則線段MC的最小值為( )
A. 2 B. eq \f(5,2) C. 3 D. eq \r(10)
第6題圖
7.在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點，BM＝4，BN＝2.若點P是這個網(wǎng)格圖形中的格點，連接PM，PN，則所有滿足∠MPN＝45°的△PMN中，邊PM的長的最大值是( )
第7題圖
A. 4 eq \r(2) B. 6 C. 2 eq \r(10) D. 3 eq \r(5)
8. 如圖，正方形ABCD的邊長為10，點G是邊CD的中點，點E是邊AD上一動點，連接BE，將△ABE沿BE翻折得到△FBE，連接GF，當(dāng)GF最小時，AE的長是________．

第8題圖
9. 如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，點P從點A出發(fā)沿AB方向運動，到達(dá)點B時停止運動．連接CP，點A關(guān)于直線CP的對稱點為A′，連接A′C，A′P.在運動過程中，點A′到直線AB距離的最大值是________；點P到達(dá)點B時，線段A′P掃過的面積為________．
第9題圖
類型四 定弦定角(含直角對直徑)
10. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 eq \r(3) ，BC＝3.點P為△ABC內(nèi)一動點，且滿足PA2＋PC2＝AC2.當(dāng)PB的長度最小時，△ACP的面積是( )
第10題圖
A. 3 B. 3 eq \r(3)
C. eq \f(3\r(3),4) D. eq \f(3\r(3),2)
11. (2022泰安)如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝3，BC＝4，點P是線段BC上一動點，點M為線段AP上一點，∠ADM＝∠BAP，則BM的最小值為( )
A. eq \f(5,2) B. eq \f(12,5)
C. eq \r(13) － eq \f(3,2) D. eq \r(13) －2

第11題圖
12. 如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，點E，F(xiàn)分別是邊AC，BC上的動點，且AE＝CF，連接BE，AF交于點P，連接CP，則CP的最小值為________．
第12題圖
13.如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，點F是正方形內(nèi)一點，連接CF，DF，且∠ADF＝∠DCF，點E是AD邊上一動點，連接EB，EF，則EB＋EF長度的最小值為________．
第13題圖
類型五 阿氏圓
14. 如圖，在Rt△ABC中， AB＝AC＝4, 點E，F(xiàn)分別是AB, AC的中點，點P是扇形AEF的上任意一點，連接BP, CP，則 eq \f(1,2) BP＋CP的最小值是________．
第14題圖
15. 如圖，已知正方形ABCD的邊長為9，⊙B的半徑為6，點P是⊙B上的一個動點，那么PD＋ eq \f(2,3) PC的最小值為________．
第15題圖
16. 如圖，正方形ABCD的邊長為4，內(nèi)切圓記為⊙O，P為⊙O上一動點，則 eq \r(2) PA＋PB的最小值為________．
第16題圖
參考答案與解析
1. C 【解析】如解圖，連接PO，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，連接OM，交⊙M于點P′，當(dāng)點P位于P′位置時，OP取得最小值，過點M作MQ⊥x軸于點Q，則OQ＝3，MQ＝4，∴OM＝5，又∵M(jìn)P′＝2，∴OP′＝3，∴AB＝2OP′＝6.
第1題解圖
2. 2 eq \r(7) ＋1 【解析】如解圖，當(dāng)⊙O與AB，BC邊相切時OA最大．設(shè)⊙O與AB邊的切點為M，連接OM，OA，OB，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2 eq \r(3) ，∴AB＝4 eq \r(3) ，∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，∴∠OBA＝ eq \f(1,2) ∠ABC＝30°，在Rt△OBM中，OM＝1，∴BM＝ eq \r(3) ，∴AM＝AB－BM＝3 eq \r(3) ，在Rt△AOM中，AO＝ eq \r(AM2＋OM2) ＝2 eq \r(7) ，此時點A到⊙O上的點的最大距離為2 eq \r(7) ＋1.
第2題解圖
3. B 【解析】如解圖，連接AB，過點P作PE⊥BO，并延長EP交⊙P于點D，此時點D到弦OB的距離最大，∵A(8，0)，B(0，6)，∴AO＝8，BO＝6，∵∠BOA＝90°，∴AB＝ eq \r(AO2＋BO2) ＝ eq \r(82＋62) ＝10，則⊙P的半徑為5，∵PE⊥BO，∴BE＝EO＝3，∴PE＝ eq \r(52－32) ＝4，∴ED＝9，∴tan ∠BOD＝ eq \f(ED,EO) ＝3.
第3題解圖
4. B 【解析】如解圖，連接OA，過點O作OD⊥AB，垂足為點D，延長DO交⊙O于點E，連接AE，BE，則AE＝BE，設(shè)點C到邊AB的距離為h，則S△ABC＝ eq \f(1,2) AB·h，易得當(dāng)點C與點E重合時，h取得最大值，即DE的長，此時△ABC的面積也取得最大值，即△ABE的面積．∵∠AEB＝∠ACB＝60°，∴△ABE為等邊三角形，∴∠EAB＝∠AEB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴OD＝ eq \f(1,2) OA＝2，AD＝2 eq \r(3) ，∴AB＝2AD＝4 eq \r(3) ，DE＝OE＋OD＝4＋2＝6.此時S△ABE＝ eq \f(1,2) AB·DE＝ eq \f(1,2) ×4 eq \r(3) ×6＝12 eq \r(3) .
第4題解圖
5. 3 【解析】如解圖，連接QC和PC，過點C作CH⊥AB于點H.∵PQ和⊙C相切，∴CQ⊥PQ，即△CPQ始終為直角三角形，CQ為定值，∴當(dāng)CP最小時，PQ最小．∵△ABC是等邊三角形，∴當(dāng)CP⊥AB時，CP最小，此時點P與點H重合，∵AB＝BC＝AC＝4，∴AH＝BH＝2，∴CH＝ eq \r(AC2－AH2) ＝2 eq \r(3) ，∴CP的最小值為2 eq \r(3) ，∵⊙C的半徑CQ＝ eq \r(3) ，∴PQ＝ eq \r(CP2－CQ2) ＝3.
第5題解圖
6. A 【解析】如解圖，連接AM，AC，∵點B和點M關(guān)于AP對稱，∴AB＝AM＝3，∴點M在以點A為圓心，3為半徑的圓弧上，∵AC＝ eq \r(32＋42) ＝5，AM＝AB＝3，∴CM≥AC－AM＝5－3＝2，即MC的最小值為2.
第6題解圖
7. C 【解析】如解圖，取格點O，連接OM，ON，易得OM＝ON＝ eq \r(10) .又∵M(jìn)N＝ eq \r(42＋22) ＝2 eq \r(5) ，∴OM2＋ON2＝MN2，即△OMN為等腰直角三角形．以O(shè)為圓心，OM長為半徑作圓．∵∠MPN＝45°，∴點P在優(yōu)弧 eq \x\t(MN) 上．延長MO交⊙O于點P，連接PN，易知P為格點，則此時PM取最大值，PM最大＝2 eq \r(10) .
第7題解圖
8. 5 eq \r(5) －5 【解析】如解圖，∵BA＝BF＝BC，∴點F在以點B為圓心，BA長為半徑的 eq \f(1,4) 圓上，∴當(dāng)G，F(xiàn)，B三點共線時，GF最?。O(shè)AE＝x，則EF＝x，DE＝10－x，∵BG＝ eq \r(CG2＋BC2) ＝5 eq \r(5) ，∴GF＝5 eq \r(5) －10，連接EG，則(10－x)2＋52＝x2＋(5 eq \r(5) －10)2，解得x＝5 eq \r(5) －5，∴AE的長為5 eq \r(5) －5.
第8題解圖
9. eq \f(\r(3)＋1,2) ；(1＋ eq \f(\r(3),2) )π－1－ eq \r(3) 【解析】由題意得點A′的運動軌跡是以點C為圓心，CA長為半徑的圓上，∵點P從點A出發(fā)沿AB方向運動，到達(dá)點B時停止運動，∠ACB＝45°，點A關(guān)于直線CP的對稱點為A′，∴∠ACA′最大為90°.當(dāng)CA′⊥AB時，點A′到直線AB的距離最大，如解圖①，過點B作BE⊥AC于點E，A′C交AB的延長線于點F，∵∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，∴在Rt△ABE中，BE＝1，AE＝ eq \r(3) .在Rt△BCE中，BE＝CE＝1，∴CA′＝CA＝ eq \r(3) ＋1.又∵CA′⊥AB，∴在Rt△ACF中，CF＝ eq \f(1,2) AC＝ eq \f(\r(3)＋1,2) ，∴A′F＝CA′－CF＝ eq \f(\r(3)＋1,2) ，即點A′到直線AB距離的最大值是 eq \f(\r(3)＋1,2) ；如解圖②，當(dāng)點P到達(dá)點B時，線段A′P掃過的面積為S扇形A′CA－2S△ABC＝ eq \f(π（\r(3)＋1）2,4) －2× eq \f(1,2) ×( eq \r(3) ＋1)×1＝(1＋ eq \f(\r(3),2) )π－1－ eq \r(3) .
第9題解圖
10. D 【解析】∵PA2＋PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，如解圖，取AC的中點O，并以O(shè)為圓心， eq \f(1,2) AC長為半徑畫圓，連接PO，由題意知，當(dāng)B，P，O三點共線時，BP最短，∴AO＝PO＝CO，∵AC＝2 eq \r(3) ，BC＝3，∴CO＝ eq \f(1,2) AC＝ eq \r(3) ，∴BO＝ eq \r(BC2＋CO2) ＝2 eq \r(3) ，∴BP＝BO－PO＝ eq \r(3) ，∴點P是BO的中點，∴在Rt△BCO中，CP＝ eq \f(1,2) BO＝ eq \r(3) ＝PO，∵OP＝OC，∴△PCO是等邊三角形，∴∠ACP＝60°，∴在Rt△APC中，AP＝CP·tan 60°＝3，∴S△APC＝ eq \f(1,2) AP·CP＝ eq \f(3×\r(3),2) ＝ eq \f(3\r(3),2) .
第10題解圖
11. D 【解析】如解圖，取AD的中點為O，以AD為直徑作⊙O，連接OB，OM，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，∴∠BAP＋∠DAM＝90°，∵∠ADM＝∠BAP，∴∠ADM＋∠DAM＝90°，∴∠AMD＝90°，∵AO＝OD＝2，∴OM＝ eq \f(1,2) AD＝2，∴點M的運動軌跡在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓弧上，∵OB＝ eq \r(AB2＋AO2) ＝ eq \r(32＋22) ＝ eq \r(13) ，∴BM≥OB－OM＝ eq \r(13) －2，∴BM的最小值為 eq \r(13) －2.
第11題解圖
12. 2 eq \r(3) 【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ACB＝60°，在△ABE和△CAF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AC,∠BAE＝∠ACF,AE＝CF)) ，∴△ABE≌△CAF(SAS)，∴∠ABE＝∠CAF，∴∠BPF＝∠PAB＋∠ABE＝∠PAB＋∠CAF＝60°，∴∠APB＝120°，如解圖，過點A，P，B作⊙O，連接CO，PO，AO，BO，OC交于點P′，∴點P在劣弧上運動，∵AO＝OP＝OB，∴∠OAP＝∠OPA，∠OPB＝∠OBP，∠OAB＝∠OBA，∴∠AOB＝360°－∠OAP－∠OPA－∠OPB－∠OBP＝120°，∴∠OAB＝30°，∴∠CAO＝90°.∵AC＝BC，OA＝OB，∴CO垂直平分AB，∴∠ACO＝30°，∴cs ∠ACO＝ eq \f(AC,CO) ＝ eq \f(\r(3),2) ，CO＝2AO，∵AC＝6，∴CO＝4 eq \r(3) ，∴AO＝2 eq \r(3) ，在△CPO中，CP≥CO－OP，∴當(dāng)點P與點P′重合，即C，P，O三點共線時，CP有最小值，∴CP的最小值為CO－OP＝CO－AO＝4 eq \r(3) －2 eq \r(3) ＝2 eq \r(3) .
第12題解圖
13. 3 eq \r(13) －3 【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF＋∠FDC＝90°，∵∠ADF＝∠FCD，∴∠FDC＋∠FCD＝90°，∴∠DFC＝90°，∴點F在以DC為直徑的半圓上運動，如解圖，設(shè)DC的中點為O，作正方形ABCD關(guān)于直線AD對稱的正方形AB′C′D，則點B的對應(yīng)點是B′，連接B′O交AD于點E，交半圓O于點F，∴BE＋EF＝B′E＋EF＝B′F，則線段B′F的長即為BE＋EF長度的最小值，OF＝3，∵∠C′＝90°，B′C′＝C′D＝CD＝6，∴OC′＝9，∴B′O＝ eq \r(B′C′2＋OC′2) ＝ eq \r(62＋92) ＝3 eq \r(13) ，∴B′F＝3 eq \r(13) －3，∴EB＋EF長度的最小值為3 eq \r(13) －3.
第13題解圖
14. eq \r(17) 【解析】如解圖，在AB上取一點T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT.∵PA＝2，AT＝1，AB＝4，∴PA2＝AT·AB，∴ eq \f(PA,AT) ＝ eq \f(AB,PA) ，∵∠PAT＝∠PAB，∴△PAT∽△BAP，∴ eq \f(PT,BP) ＝ eq \f(AP,AB) ＝ eq \f(1,2) ，∴PT＝ eq \f(1,2) PB，∴ eq \f(1,2) PB＋CP＝PT＋CP≥TC，在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT＝ eq \r(AT2＋AC2) ＝ eq \r(17) ，∴ eq \f(1,2) PB＋PC≥ eq \r(17) ，∴ eq \f(1,2) PB＋PC的最小值為 eq \r(17) .
第14題解圖
15. eq \r(106) 【解析】如解圖，連接BP，在BC上取一點G，使得BG＝4，連接PG，DG，∵ eq \f(PB,BG) ＝ eq \f(6,4) ＝ eq \f(3,2) ， eq \f(BC,PB) ＝ eq \f(9,6) ＝ eq \f(3,2) ，∴ eq \f(PB,BG) ＝ eq \f(BC,PB) ，∵∠PBG＝∠CBP，∴△PBG∽△CBP，∴ eq \f(PG,CP) ＝ eq \f(BG,BP) ＝ eq \f(2,3) ，∴PG＝ eq \f(2,3) PC，∴PD＋ eq \f(2,3) PC＝PD＋PG，∵PD＋PG≥DG，∴當(dāng)D，G，P三點共線時，PD＋ eq \f(2,3) PC的值最小，最小值為DG＝ eq \r(52＋92) ＝ eq \r(106) .
第15題解圖
16. 2 eq \r(5) 【解析】如解圖，連接OP，OB，設(shè)⊙O的半徑為r，則OP＝r＝ eq \f(1,2) BC＝2，OB＝ eq \r(2) r＝2 eq \r(2) ，取OB的中點I，連接PI，∴OI＝IB＝ eq \r(2) ，∵ eq \f(OP,OI) ＝ eq \f(2,\r(2)) ＝ eq \r(2) ， eq \f(OB,OP) ＝ eq \f(2\r(2),2) ＝ eq \r(2) ，∴ eq \f(OP,OI) ＝ eq \f(OB,OP) ，∵∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴ eq \f(PI,BP) ＝ eq \f(OI,OP) ＝ eq \f(\r(2),2) ，∴PI＝ eq \f(\r(2),2) PB，∴AP＋ eq \f(\r(2),2) PB＝AP＋PI，∴當(dāng)A，P，I在一條直線上時，AP＋ eq \f(\r(2),2) PB最小，最小值為AI的長，過點I作IE⊥AB于點E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝ eq \f(\r(2),2) BI＝1，∴AE＝AB－BE＝3，∴AI＝ eq \r(32＋12) ＝ eq \r(10) ，∴AP＋ eq \f(\r(2),2) PB最小值為 eq \r(10) ，∵ eq \r(2) PA＋PB＝ eq \r(2) (PA＋ eq \f(\r(2),2) PB)，∴ eq \r(2) PA＋PB的最小值是 eq \r(2) AI＝ eq \r(2) × eq \r(10) ＝2 eq \r(5) .
第16題解圖

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