專題15 分類討論思想在五種題型中的應用-2025年中考數(shù)學壓軸訓練-試卷下載-教習網(wǎng)

通用的解題思路：
題型一、等腰三角形的存在問題分類討論
1. 假設結(jié)論成立；
2. 找點：當所給定長未說明是等腰三角形的底還是腰時，需分情況討論，具體方法如下：
① 當定長為腰時，找已知條件上滿足直線的點時，以定長的某一端點為圓心，以定長為半徑畫弧，若所畫弧與坐標軸或拋物有交點且交點不是定長的另一端點時，交點即為所求的點；若所畫弧與坐標軸或拋物線無交點或交點是定長的另一端點時，滿足條件的點不存在；
② 當定長為底邊時，根據(jù)尺規(guī)作圖作出定長的垂直平分線，若作出的垂直平分線與坐標軸或拋物線有交點時，那交點即為所求的點，若作出的垂直平分線與坐標軸或拋物線無交點時，滿足條件的點不存在；以上方法即可找出所有符合條件的點.
3. 計算：在求點坐標時，大多時候利用相似三角形求解，如果圖形中沒有相似三角形，可以通過添加輔線構(gòu)造相似三角形，有時也可利用直角三角形的性質(zhì)進行求解
題型二、直角三角形的存在問題分類討論
1. 設出所求點的坐標，用變量表示出所求三角形三邊的長的平方的代數(shù)式，如本題，設點F（1，f），△BCF三邊長為：BF2＝4＋f2，CF2=f2+6f+10，BC=18；
2. 找點：根據(jù)直角頂點的不確定性，分情況討論：
① 當定長（已知的兩個點連線所成的線段）為直角三角形的直邊時（如本題（4）中的邊BC），分別過定長的某一端點（B和C）做其垂線，與所求點滿足的直線或拋物線（本題是拋物線對稱軸）有交點時，此交點即為符合條件的點；
② 當定長為直角角形的斜邊時，以此定長為直徑作圓，圓弧與所有點滿足條件的直線或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點.
3. 計算：把圖形中的點的坐標用含有自變量的代數(shù)式表示出來，從而表示出三角形各邊（表示線段時，注意代數(shù)式的符號），再利用相似三角形得比例線段關(guān)系或利用勾股定理進行計算.
題型三、不等式（組）中的分類討論思想
分類討論思想在不等式（組）中主要體現(xiàn)在含有字母系數(shù)的一元一次不等式（組）的解法問題，在求其解集時要對字母進行分類討論。
對含字母系數(shù)的不等式或不等式組，在求解時一定要注意字母系數(shù)的取值范圍，要進行分類討論。
題型四、方程（組）和函數(shù)中的分類討論思想
在函數(shù)問題中，分類有兩種情況：一種是對概念進行分類，一種是分情況討論問題，對概念進行分類，是明確概念的一種邏輯方法，有助于對概念的理解與掌握；分情況討論問題，可以幫助我們?nèi)婵疾煲粋€對象，得出可能的結(jié)論，也可以使問題更容易人手，分類思想方法對于中學生來是比較難掌握的一種數(shù)學思想方法，在對概念進行分類時，往往把握不住標準，不能堅持用同一個標準進行分類，出現(xiàn)“重"或“漏"的現(xiàn)象，從而容易導致錯誤的發(fā)生
題型五、圓中的分類討論思想
由于圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，并且具有旋轉(zhuǎn)不變性，因此有不少題目會出現(xiàn)多解問題。這類題目重在考查同學們對基礎知識的掌握與運用情況，它有利于培養(yǎng)同學們嚴謹周密的邏輯思維能力。如果解題時考慮不嚴密，理解不透切，形成思維定勢，就會漏解，從而造成錯誤。在圓中解這類問題時，需要利用分類討論思想，在解題時可以多考慮將圓進行折疊或旋轉(zhuǎn)。
題型一：等腰三角形中的分類討論思想
1．（2023?廣安）如圖，一次函數(shù)為常數(shù)，的圖象與反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象在第一象限交于點，與軸交于點．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．
（2）點在軸上，是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點的坐標．
【分析】（1）把點、的坐標分別代入一次函數(shù)解析式，列出關(guān)于、的方程組，通過解方程組求得它們的值；然后將點的坐標代入反比例函數(shù)解析式，求得的值即可；
（2）設，利用兩點間的距離公式和勾股定理以及列出方程，借助于方程求解即可．
【解答】解：（1）將、分別代入一次函數(shù)，得
．
解得．
故．
將其代入反比例函數(shù)，得
．
解得．
故一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為；
（2）由（1）知，、，則．
設，
當時，．
解得或（舍去）．
故；
當時，．
解得或．
故或．
綜上所述，符合條件的點的坐標為：或或．
【點評】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求得一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)，此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應用．
2．（2023?澄城縣一模）如圖，拋物線與軸交于點、，與軸交于點，直線是拋物線的對稱軸．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）在對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）運用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式即可；
（2）由于沒有指明等腰的底邊，所以需要分類討論：，，，運用兩點間距離的求法列出相應的方程，通過解方程求得答案．
【解答】解：（1）把點、點分別代入，得．
解得．
故該拋物線解析式為：；
（2）由（1）知，該拋物線解析式為：．
則該拋物線的對稱軸為直線．
故設．
、點，
，，．
①若時，，
解得．
點的坐標為或；
②若時，，
解得或，
點的坐標為或．
當點的坐標為時，點、、共線，
點的坐標為；
③當時，，
解得，
點的坐標為．
綜上所述，符合條件的點的坐標為或或或．
【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，兩點間的距離公式，等腰三角形的性質(zhì)，解題過程中，需要對等腰三角形的底邊或腰進行分類討論，以防漏解．
3．（2023?婺城區(qū)模擬）在矩形中，，，是上的一點，且，是直線上一點，射線交直線于點，交直線于點，連結(jié)、，直線交直線于點．
（1）①當點為中點時，求與的長；
②求的值．
（2）若為等腰三角形時，求滿足條件的的長．
【分析】（1）①過點作于點，易得，為等腰直角三角形，進而得到為等腰直角三角形，，由可推出，則為等腰直角三角形，；
②過點作于點，易得，，易證，，得到，，于是，，進而可得，由等角加同角相等得，在中，；
（2）易得，得到，設，則，，，易證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得，，再分三種情況討論：（Ⅰ）當時，過點作于點，則，，進而求出，，，再利用平行線分線段成比例得到，以此建立方程求解即可；（Ⅱ）當時，過點作于點，則，，，進而求出，由平行線的性質(zhì)得到，于是，由等角的余角相等得，則，以此建立方程求解即可；（Ⅲ）當時，則，由平行線的性質(zhì)可得，于是，由等角的余角相等得，進而得到，以此建立方程求解即可．
【解答】解：（1）①當點為中點時，如圖，過點作于點，
則，
四邊形為矩形，
，
四邊形為矩形，
，
點為的中點，
，
，
，，
為等腰直角三角形，，
，
為等腰直角三角形，，
，
，
，
為等腰直角三角形，，
，；
②如圖，過點作于點，
則，
，
，
，
，，，
，
，，
，即，
，即，
，，
，
，
，即，
；
（2），，
，
，即，
設，則，，
，
由（1）②可知，，
，
，
，
，
，
，即，
，，
（Ⅰ）當時，如圖，過點作于點，
則，，
，
，
，
，
，即，
解得：，（舍去），
；
（Ⅱ）當時，如圖，過點作于點，
則，，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
（Ⅲ）當時，如圖，
則，
，
，
，
，
，
，
解得：，
．
當時，同理可得，
，
綜上，當或1或或時，為等腰三角形．
【點評】本題主要考查矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是：（1）①熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)；②利用相似三角形性質(zhì)和銳角三角函數(shù)推出；（2）利用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想解決問題．
4．（2023?濮陽縣模擬）在等腰直角三角形中，，，點為直線上一個動點，繞點將射線逆時針旋轉(zhuǎn)，交直線于點．
在圖1中，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，
，，
，
又，，
．
請閱讀上述過程，并完成以下問題：
（1）得出的依據(jù)是 ② （填序號）．
①
②
③
④
（2）在以上條件下，如圖2，當點在線段的延長線上時，求證：．
（3）在等邊三角形中，，點為射線上一個動點，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)交直線于點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當為直角三角形時，請直接寫出的長．
【分析】（1）根據(jù)判定的條件看判定的依據(jù)是什么即可做出選擇；
（2）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，然后推出判定的條件，得到，在中推出，根據(jù)勾股定理得到等式，再代換即可得證；
（3）當點在線段上時，不可能是直角三角形，當點在線段延長線上時，分和兩種情況，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)分別進行計算即可求出結(jié)果．
【解答】（1）解：推理過程中判定的條件是兩邊和夾角對應相等，
得出的依據(jù)是，
故答案為：②；
（2）證明：如圖1，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，，
，
，
，
，
又，，
；
（3）分兩種情況：①如圖2，當時，
由旋轉(zhuǎn)可知，
又，
，
，，
設，則，，
，
，，
，
，
即的長為；
②如圖3，當時，
由旋轉(zhuǎn)可知，
又，
，
，，
設，則，，
，
，
，
；
綜上所述，的長為或．
【點評】本題是幾何變換綜合題，主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識點，深入理解題意是解決問題的關(guān)鍵．
5．（2023?武侯區(qū)校級模擬）如圖，在矩形中，，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)度得到線段，過點作的垂線交射線于點，交射線于點．
嘗試初探
（1）當點在延長線上運動時，與始終相等，且與始終相似，請說明理由；
深入探究
（2）若，隨著線段的旋轉(zhuǎn)，點的位置也隨之發(fā)生變化，當時，求的值；
拓展延伸
（3）連接，當為等腰三角形時，求的值（用含的代數(shù)式表示）．
【分析】（1）由矩形的四個角是直角，又，容易得到結(jié)果．
（2）連接，設，，求出，由得到，可求出，得到結(jié)果．
（3）分類討論：①點在延長線上時，作，設，，，由勾股定理求出，，得到結(jié)果．②當在上時，設，由，求出，，得出結(jié)果．
【解答】（1）證明：四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
．
（2）解：，，
，
四邊形是矩形，
，，，
，
設，
則，，，
連接，
由勾股定理得，
，
，
，
由（1）得，，
，
，
，，
．
（3）解：分兩種情況討論，
①如圖2，當在的延長線上時，
過點作于，
，
，
，，
又，
，
，
，
設，則，，
，
由勾股定理得，
，
．
②如圖3，當在上時，
設，
則，
由勾股定理得，
，
，
，
，
綜上得，或．
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識是一道綜合題，正確分類討論并畫出圖形，恰當添加輔助線，靈活運用所學知識是解題關(guān)鍵．
6．（2023?虹口區(qū)一模）如圖，在中，，，點、分別在邊、上，滿足．點是延長線上一點，且．
（1）當點是的中點時，求的值；
（2）如果，求的值；
（3）如果是等腰三角形，求的長．
【分析】（1）過點作于點，過點作于點，利用等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理，三角形的中位線定理解答即可；
（2）利用等腰三角形的判定與相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；
（3）利用分類討論的思想方法分①當時，②當時，③當時三種情形討論解答：利用等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和三角形的內(nèi)角和定理求得前兩種情形不存在，對于③利用等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．
【解答】解：（1）過點作于點，過點作于點，如圖，
，
，
，，
．
．
．
，，
，
是的中點，
是的中位線，
，，
．
在中，
；
（2），
．
，
，
．
，
．
，，
，
．
，，
，
，
；
（3）如果是等腰三角形，
①當時，
則．
，
，
，這與已知條件不符，
此種情況不存在；
②當時，
則，
，
，
，
，
，
，
，
為鈍角，
此種情況不存在；
③當時，
過點作于點，如圖，
由題意得：，
，
，
，
．
．
，，
，
，
，
．
由（1）知：，
，
．
．
【點評】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．
7．（2023?文成縣一模）如圖，點，分別為矩形邊，上的點，以為直徑作交于點，且與相切，連結(jié)．
（1）若，求證：．
（2）若，．
①求的長．
②連結(jié)，若是以為腰的等腰三角形，求所有滿足條件的的長．
（3）連結(jié)，若的延長線經(jīng)過點，且，求的值．
【分析】（1）利用圓周角定理和全等三角形的判定定理解答即可；
（2）①利用切線的性質(zhì)定理，矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，通過證明得到，再利用直角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可得出結(jié)論；
②利用分類討論的思想方法分兩種情況討論解答：Ⅰ．當時，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到，設，則，則，利用勾股定理列出方程解答即可；Ⅱ．當時，利用相似三角形的判定得到，進而得到，再利用（2）①的結(jié)論，利用勾股定理解答即可得出結(jié)論；
（3）利用全等三角形的判定定理證明得到和，得到，利用三角形的中位線得到，設，則，則，取的中點，連接，利用梯形的中位線定理得到，最后利用相似三角形的判定定理得到，由相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：為直徑，
．
在和中，
，
和；
（2）解：①與相切，
，
，
．
四邊形為矩形，
，
，
，
，
，
．
在中，
，
，
；
②若是以為腰的等腰三角形，
Ⅰ．當時，
，
，
，
．
，
．
在和中，
，
，
．
設，則，
，
，
，
解得：，
；
Ⅱ．當時，
，
．
．
．
，，
，
，
，
．
由（2）知：，
，
，
．
綜上，若是以為腰的等腰三角形，滿足條件的的長為或；
（3）解：為圓的直徑，
．
在和中，
，
，
，．
，，
．
在和中，
，
，
，，
，
．
，
．
為的中位線，
，
．
設，則，
．
取的中點，連接，如圖，
則為梯形的中位線，
．
，
．
，
，
，
．
【點評】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)三角形的中位線定理，利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．
8．（2023?涪城區(qū)模擬）如圖，已知：在中，，點是邊上的動點，交于，以為直徑的分別交，于點，．
（1）求證：．
（2）若，．
①當，求的長．
②當為等腰三角形時，請求出所有滿足條件的的腰長．
（3）若，且，，在一條直線上，則與的比值為．
【分析】（1）利用切線的判定定理與弦切角定理解答即可；
（2）①利用直角三角形的邊角關(guān)系解答即可；
②利用分類討論的方法分三種情況討論解答：當時，通過證明，利用直角三角形的邊角關(guān)系解答即可；當時，利用垂徑定理和直角三角形的邊角關(guān)系解答即可；當時，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系和勾股定理解答即可；
（3）畫出符合題意的圖形，通過證明，得出比例式，利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，通過等量代換得到關(guān)于與的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：為的直徑，，
為的切線，
；
（2）解：①，，
，
．
．
，，
．
，
；
②當時，
，
，
，
．
為的直徑，
．
，
在和中，
，
，
．
，
，
；
當時，
，
，
為的直徑，
，
，
．
，
，
．
，，
，
，
．
．
．
．
，
；
當時，
，
．
，，
，
．
．
，
，
．
設，
，
．
，
．
．
，
．
．
．
．
綜上，當為等腰三角形時，滿足條件的的腰長為或或．
（3）解：當，，在一條直線上時，
為的直徑，
，
，
，
．
，
．
，
．
，
．
，．
．
，
．
解得：或（不合題意，舍去）．
，
故答案為：．
【點評】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)，弦切角定理，求得三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值，一元二次方程的解法，勾股定理，利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．
9．（2023?河南模擬）如圖所示，在中，，點為射線上一動點，作，過點作，交于點，連接．（點、在的兩側(cè)）
【問題發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1所示，若時，、的數(shù)量關(guān)系為，直線、的夾角為；
【類比探究】
（2）如圖2所示，若時，（1）中的結(jié)論是否成立，請說明理由；
【拓展延伸】
（3）若，，且是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出線段的長．
【分析】（1）證，由全等三角形的性質(zhì)得，，即可解決問題；
（2）證，由相似三角形的性質(zhì)得，再證，得，即可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況，①當時，②當時，由直角三角形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)分別求出的長即可．
【解答】解：（1），，
是等腰直角三角形，
，，
同理：，，
，
，
即，
，
，，
，
故答案為：，；
（2）不成立，，理由如下：
，，
，
又，
，
，
又，
，
即，
，
，
在中，，
，
；
（3），，
，，，
分兩種情況：
①如圖3，當時，
同（2）可知，，
，
；
②如圖4，當時，
則，
，，
，
，
，
，
，
，
同（2）可知，，
，
即，
解得：；
綜上所述，的長為或3．
【點評】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及分類討論等知識，本題綜合性強，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
題型二：直角三角形中的分類討論思想
1．（2022?大連模擬）如圖，中，，，，點在邊上，過點作的垂線與邊或相交于點，將點繞點順時針旋轉(zhuǎn)得點，過點作的垂線與邊或相交于點．設的長為，四邊形的面積為．
（1）求的長；
（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)勾股定理求解即可．
（2）根據(jù)正切函數(shù)可知，，分點，在線段上，點在上，點在上，或者點，都在線段上三種情況分析，再分別表示出，，，根據(jù)梯形面積公式即可求解．
【解答】解：（1）在中，，，．
根據(jù)勾股定理得，，
．
（2）當點，在邊上時，如圖所示；
在中，，
，．
又于點，
．
在中，，
．
．
．
于點，
，
在中，，
．
當點落在點時，，
即，
解得，
當時，
．
當點落在上，點落在上時，如圖所示；
．
在中，．
．
當點落在點時，．
即，
解得．
當時，
．
當點，落在上時，如圖所示；
，
，，．
，
，
即．
在中，，
．
當，
．
綜上所述：
【點評】本題主要考查勾股定理，解直角三角形，求函數(shù)關(guān)系式相關(guān)知識點，分類討論是解決本題的關(guān)鍵．
2．（2022?蓮池區(qū)校級二模）如圖，中，，，．動點從點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿方向繞行一周，與垂直的動直線從開始．以每秒1個單位長度的速度向右平移，分別交，于，兩點．當點運動到點時，直線也停止運動，設點的運動時間為秒．
（1）當點在上運動時，過點作于，
①當時，求證：；
②設的面積為，用含的代數(shù)式表示，并求當為何值時，有最大值；
（2）當直線等分的面積時求的值，并判斷此時點落在的哪條邊上；
（3）直接寫出時的值．
【分析】（1）①由，，，即可證明；
②由，可得，求出，則，再由求的最大值即可；
（2）分別求出，，再由題意可得，求出的值即可；
（3）分兩種情況討論：當點在上時，過點作交于，由，可得方程，解得；當點在上時，過點作交于，由，可得方程，解得．
【解答】（1）①證明：，
，
，
，
，
；
②解：點在上運動，，
，
由題意可知，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
時，有最大值；
（2）解：由②可知，，，
，，
直線等分的面積，
，
解得或，
，
，
，
點在邊上；
（3）解：當點在上時，，
過點作交于，
，
，
，
，
解得；
當點在上時，過點作交于，
，
，
，
，
，
，
解得；
綜上所述：的值為或．
【點評】本題是三角形的綜合題，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題是關(guān)鍵．
3．（2022?濟南二模）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，點坐標為，四邊形為平行四邊形，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與邊交于點，若，．
（1）求反比例函數(shù)解析式；
（2）點是軸上一動點，求最大時的值；
（3）連接，在反比例函數(shù)圖象上是否存在點，平面內(nèi)是否存在點，使得四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）先確定出，即可得出點坐標，最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）先求出解析式，由平行四邊形的性質(zhì)可得，，，利用待定系數(shù)法可求解析式，求出點的坐標，再根據(jù)三角形關(guān)系可得出當點，，三點共線時，最大，求出直線的解析式，令即可求解；
（3）若四邊形為矩形，則是直角三角形且為一條直角邊，根據(jù)直角頂點需要分兩種情況，畫出圖形分別求解即可．
【解答】解：（1）如圖，過點作軸于，
，
，
，
，
，
，
點在反比例函數(shù)圖象上，
，
反比例函數(shù)解析式為；
（2）點，點，
解析式為：，
四邊形是平行四邊形，
，，，
點，
設解析式為：，
，
，
解析式為：，
聯(lián)立方程組可得：，
或（舍去），
點；
在中，，則當點，，三點共線時，，此時，取得最大值，
由（1）知，，設直線的解析式為：，
，解得，
直線的解析式為：，
令，即，得，
最大時的值為6．
（3）存在，理由如下：
若四邊形為矩形，則是直角三角形，
則①當點為直角頂點時，如圖2，過點作的垂線與交于點，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為點，，
由“一線三等角”模型可得，
則，
，，
，，
，即，
設，則，
，
點在反比例函數(shù)的圖象上，
則，
解得，（負值舍去），
，；
②當點為直角頂點時，這種情況不成立；
綜上，點的坐標為，．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)綜合問題，涉及矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定．第一問的關(guān)鍵是求出點的坐標，第二問的關(guān)鍵是知道當點，，三點共線時，取得最大值，第三問的關(guān)鍵是利用矩形的內(nèi)角是直角進行分類討論，利用相似三角形的性質(zhì)建立等式．
4．（2022??？谀M）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，與軸交于、兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點從點出發(fā)，在線段上以每秒3個單位長度的速度向點運動，同時點從點出發(fā)，在線段上以每秒2個單位長度的速度向點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設的面積為，點運動時間為秒，試求與的函數(shù)關(guān)系，并求的最大值；
（3）在點運動過程中，是否存在某一時刻，使為直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）把點、的坐標分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù)、的解析式，通過解方程組求得它們的值；
（2）設運動時間為秒，利用三角形的面積公式列出與的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進行解答；
（3）分當和兩種情況，據(jù)余弦函數(shù)，可得關(guān)于的方程，解方程，可得答案．
【解答】解：（1）把點、點分別代入得：
，
解得，
所以該拋物線的解析式為：；
（2）設運動時間為秒，則，，
，
由題意得，點的坐標為，
在中，，
如圖，過點作于點，
，
，
，即，
，
，
，，、中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，
當存在時，，
當時，，
答：運動1秒使的面積最大，最大面積是；
（3）存在，理由：如圖，在中，，
設運動時間為秒，則，，，
當時，，即，
化簡，得：，
解得：；
當時，，
（即在圖中，當時，
化簡，得：，
解得，
綜上所述：或時，為直角三角形．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和三角形的面積求法，解題關(guān)鍵是在求有關(guān)動點問題時要注意該點的運動范圍，即自變量的取值范圍．
5．（2023?乳山市二模）過四邊形的頂點作射線，為射線上一點，連接．將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角，連接．
（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，數(shù)學興趣小組探究發(fā)現(xiàn)，如果四邊形是正方形，且．無論點在何處，總有，請證明這個結(jié)論．
（2）【類比遷移】如圖2，如果四邊形是菱形，，，連接．當，時，求的長；
（3）【拓展應用】如圖3，如果四邊形是矩形，，，平分，．在射線上截取，使得．當是直角三角形時，請直接寫出的長．
【分析】（1）利用正方形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換證明，即可證得結(jié)論；
（2）如圖2，過點作于點，連接，先證明，可得，，再證明：是等邊三角形，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用解直角三角形即可求得答案；
（3）分三種情況討論：①當時，②當時，③當時，分別求出的長．
【解答】（1）證明：如圖1，四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)至，
，
，
．
（2）解：如圖2，過點作于點，連接，
四邊形是菱形，
，
由旋轉(zhuǎn)得：，
，
即，
，
，，
，，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①當時，如圖3，連接，，過點作于點，
設交于點，過點作于點，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，即，
平分，，，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
在中，，
，，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②當時，如圖4，過點作于點，于點，
則，，
，，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
在中，，
，
解得：；
③當時，
由②知：，，，
，
，
解得：或，均不符合題意；
綜上所述，的長為或．
【點評】本題考查了正方形和菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用前面所學的知識解答后面的題目，運用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，具有很強的綜合性，是中考?？碱}型．
題型三：不等式（組）中的分類討論思想
1．（2023?淄博）某古鎮(zhèn)為發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，吸引更多的游客前往游覽，助力鄉(xiāng)村振興，決定在“五一”期間對團隊旅游實行門票特價優(yōu)惠活動，價格如下表：
題中的團隊人數(shù)均不少于10人．
現(xiàn)有甲、乙兩個團隊共102人，計劃利用“五一”假期到該古鎮(zhèn)旅游，其中甲團隊不足50人，乙團隊多于50人．
（1）如果兩個團隊分別購票，一共應付5580元，問甲、乙團隊各有多少人？
（2）如果兩個團隊聯(lián)合起來作為一個“大團隊”購票，比兩個團隊各自購票節(jié)省的費用不少于1200元，問甲團隊最少多少人？
【分析】（1）設甲團隊有人，乙團隊人，但需要考慮乙團隊人數(shù)是否大于100，所以分類討論即可．甲團隊按票價是每人80元，乙團隊按票價是每人60元，如果乙超過100人，大概需要繳納4000多元，但是5580元減去4000多元，剩下的錢不足以構(gòu)成甲的人數(shù)，因為此時甲的人數(shù)只能是1人，所以這種情況省略；所以甲人數(shù)在50以下，乙人數(shù)在51到100之間，聯(lián)列方程即可；
（2）兩個團隊要合起來購票的話，每人40元，列出一共購票的錢和各自購票的錢之和，然后建立不等式即可求解；
【解答】解：（1）設甲人數(shù)人，乙人數(shù)人；
當乙大于100人時，此時甲人數(shù)只能是1人，共花的價格不夠5580元；
乙人數(shù)在51到100之間，甲人數(shù)在10到50之間；
列方程得：；
解之得：，；
甲48人，乙54人；
答：甲團隊48人，乙團隊54人．
（2）設甲人數(shù)人，乙人數(shù)人；
甲乙一起買價格：（元；
甲乙分開買價格：；
；
解之得：．
甲最少18人；
答：甲團隊最少18人．
【點評】本題考查學生不等式的基本應用，屬于基礎題．
2．（2021?商河縣校級模擬）閱讀下面材料，根據(jù)要求解答問題：求不等式的解集．
解：根據(jù)“同號兩數(shù)相乘，積為正”可得：①或②
解不等式組①得：．解不等式組②得．
不等式的解集為或．
請你仿照上述方法解決下列問題：
（1）求不等式的解集．
（2）求不等式的解集．
【分析】（1）將不等式轉(zhuǎn)換為兩個不等式組①或②，分別求解；
（2）將不等式轉(zhuǎn)換為兩個不等式①或②，分別求解；
【解答】解：（1）可得：
①或②，
解不等式①得：無解；
解不等式組②得：；
不等式的解集為：；
（2）可得：
①或②，
解不等式①得：；
解不等式組②得：；
不等式的解集為：或；
【點評】本題考查二元一次不等式的解法；能夠?qū)⒍淮尾坏仁睫D(zhuǎn)化為一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．
3．（2024?江門校級一模）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：
例題：解一元二次不等式．
解：，
可化為，．
由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，得
①，②，
解不等式組①，得，解不等式組②，得，
的解集為或，即一元二次不等式的解集為或．
（1）一元二次不等式的解集為或；
（2）分式不等式的解集為；
（3）解一元二次不等式．
【分析】（1）先把不等式的左邊分解因式，然后根據(jù)”兩數(shù)相乘，同號相乘得正“得兩個不等式組，解各個不等式組即可；
（2）根據(jù)“兩數(shù)相除，同號得正”得兩個不等式組，解各個不等式組即可；
（3）把不等式的左邊分解因式，根據(jù)據(jù)”兩數(shù)相乘，異號相乘得負“得兩個不等式組，解各個不等式組即可．
【解答】解：（1），
，
，
解不等式組①得：，
解不等式②得：，
一元二次不等式的解集為：或，
故答案為：或；
（2），
，
解不等式組①得：，
解不等式組②得：，
分式不等式的解集為：或，
故答案為：或；
（3），
，
，
不等式組①得：，
解不等式組②無解，
不等式的解集為：．
【點評】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題關(guān)鍵是熟練掌握把特殊不等式轉(zhuǎn)化成一元一次不等式組的方法和技巧．
4．（2022?泰安三模）某公司推出一款桔子味飲料和一款荔枝味飲料，桔子味飲料每瓶售價是荔枝味飲料每瓶售價的倍．4月份桔子味飲料和荔枝味飲料總銷售60000瓶，桔子味飲料銷售額為250000元，荔枝味飲料銷售額為280000元．
（1）求每瓶桔子味飲料和每瓶荔枝味飲料的售價；
（2）五一期間，該公司提供這兩款飲料12000瓶促銷活動，考慮荔枝味飲料比較受歡迎，因此要求荔枝味飲料的銷量不少于桔子味飲料銷量的；不多于桔子味飲料的2倍．桔子味飲料每瓶7折銷售，荔枝味飲料每瓶降價2元銷售，問：該公司銷售多少瓶荔枝味飲料使得總銷售額最大？最大銷售額是多少元？
【分析】（1）根據(jù)題意找到等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列分式方程求解即可．
（2）根據(jù)題意找不等關(guān)系列出不等式組，求出解集，再列出銷售數(shù)量與銷售額的函數(shù)關(guān)系，在求出的解集的范圍內(nèi)求銷售額的最大值即可．
【解答】解：（1）設每瓶荔枝味飲料的售價為元，則每瓶桔子味飲料的售價為元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
，
答：每瓶桔子味飲料的售價為10元，每瓶荔枝味飲料的售價為8元．
（2）設銷售荔枝味飲料瓶，則銷售桔子味飲料瓶，
根據(jù)題意得：，
解得：，
設總銷售額元，則，
是的一次函數(shù)，且，
當時，銷售額最大，最大值是76800元．
【點評】本題考查了分式方程的應用、不等式組的應用和一次函數(shù)求最值的應用問題，能找出等量關(guān)系和不等關(guān)系，列出分式方程和不等式組是出本題的關(guān)鍵．
題型四:方程（組）和函數(shù)中的分類討論思想
1．（2024?鐘樓區(qū)校級模擬）共享電動車是一種新理念下的交通工具；主要面向的出行市場，現(xiàn)有，兩種品牌的共享電動車，給出的圖象反映了收費（元與騎行時間之間的對應關(guān)系，其中品牌收費方式對應，品牌的收費方式對應，請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：
（1）說出圖中函數(shù)、的圖象交點表示的實際意義；
（2）求、關(guān)于的函數(shù)解析式；
（3）①如果小明每天早上需要騎行品牌或品牌的共享電動車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動車的平均行駛速度均為，小明家到工廠的距離為那么小明選擇品牌共享電動車更省錢？（填“”或“”
②當為何值時，兩種品牌共享電動車收費相差3元？
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可得交點的坐標，結(jié)合，所表示的實際意義即可解答；
（2）利用待定系數(shù)法即可求解，注意為分段函數(shù)；
（3）①先根據(jù)“時間路程速度”求出小明從家騎行到工廠所需時間，再分別求出選擇和品牌共享電動車所需費用，比較即可求解；
②分兩種情況討論：當時，；當時，或．以此列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）由圖象可得，，
交點表示的實際意義是：當騎行時間為時，，兩種品牌的共享電動車收費都為8元；
（2）設，
將點代入得，，
解得：，
，
由圖象可知，當時，，
設當時，，
將點，代入得，，
解得：，
當時，，
；
（3）①小明從家騎行到工廠所需時間為，
品牌所需費用為（元，
品牌所需費用為（元，
，
選擇品牌共享電動車更省錢；
故答案為：；
②當時，，
，
解得：，
當時，或，
或，
解得：（舍去）或，
綜上，當?shù)闹禐?.5或35時，兩種品牌共享電動車收費相差3元．
【點評】本題主要考查一次函數(shù)的應用、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、解一元一次方程，利用待定系數(shù)法正確求出函數(shù)解析式，并學會利用分類討論思想解決問題．
2．（2023?西華縣三模）如圖1，拋物線與軸交于、兩點（點在點左邊），與軸交于點．直線經(jīng)過、兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點是拋物線上的一動點，過點且垂直于軸的直線與直線及軸分別交于點、．設．
①點在拋物線上運動，若點恰為線段的中點，求此時的值；
②當點在拋物線上運動時，是否存在一點，使．若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）先利用直線求出、兩點坐標，再利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；
（2）①對點的位置進行分類，一類在點下方，一類在點上方，列方程解答；
②根據(jù)條件，對點的位置進行分類，將幾何代數(shù)化，列方程解答．
【解答】解：（1）在中，當時，，
，
令，則，
，
，將點，的坐標代入拋物線中，得
，
，
拋物線的解析式為．
（2）① 軸，，
，，，
Ⅰ、當點在點下方時，有，
或，
當時，點，，三點重合，舍去，
．
Ⅱ、當點在點上方時，有，
或，
當時，點，，三點重合，舍去；當時，點在點下方，舍去．
綜上所述：當時，點恰為線段的中點．
②當在第四象限時：
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
（舍或，
．
當在第一象限時：
，，
，
，
設，則，
在中，，
，
，
，，
設直線的表達式為，代入，得，
，
，
（舍或，
將代入得，
點坐標為，．
綜上，或，．
【點評】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應用，將幾何代數(shù)化，利用方程解決，還涉及了分類和數(shù)形結(jié)合的思想，關(guān)鍵是讓點動起來，分類時不要漏情況．
3．（2023?池州三模）在平面直角坐標系中，點和點在拋物線上．
（1）若，，求拋物線的解析式；
（2）已知點，在該拋物線上，且．
①比較，，0的大小，并說明理由；
②將線段沿水平方向平移得到線段，若線段與拋物線有交點，直接寫出點的橫坐標的取值范圍．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；
（2）①利用分類討論的方法分和兩種情形討論解答：分別求得拋物線對稱軸，利用拋物線的對稱性和二次函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合的思想方法解答即可；
②結(jié)合函數(shù)的圖象利用平移的性質(zhì)分別求得的橫坐標的最小值與最大值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1），，
點和點在拋物線上．
，
解得：，
拋物線的解析式為．
（2）①，
或．
當時，
拋物線的開口方向向下，經(jīng)過，，
拋物線的對稱軸為，
為拋物線的頂點，
為函數(shù)的最大值且大于0，
點在軸上，
點在軸的下方，
，
，，0的大小關(guān)系為：；
當時，
拋物線的開口方向向下，經(jīng)過，，
拋物線的對稱軸為，
當時，隨增大而增大，
由拋物線性質(zhì)可知：在拋物線上，
，
，
綜上，當時，，當時，，
②點的橫坐標的取值范圍為：當時，，當時，．理由：
由①可知：當時，拋物線的對稱軸為，此時向右平移到相切時是最大值，
把，代入可得：，則，，
拋物線解析式可簡化為，經(jīng)過，的直線解析式為，
設平移后解析式為，
直線與拋物線相切時得：
，
整理得：，令△，
則，
解得：，
所以最大值為，
即時，的橫坐標的取值范圍為：．
由①可知：當時，拋物線的對稱軸為，
點，關(guān)于對稱軸對稱的點的坐標為，，
將線段沿水平方向向左平移至與重合時，線段與拋物線有交點，再向左平移就沒有交點了，而由平移到平移了2個單位，
的橫坐標的最小值為，
將線段沿水平方向向右平移至與重合時，線段與拋物線有交點，再向右平移就沒有交點了，而由平移到平移了4個單位，
的橫坐標的最大值為，
即時，的橫坐標的取值范圍為：．
綜上，點的橫坐標的取值范圍為：當時，，當時，．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，平移的點坐標的特征，數(shù)形結(jié)合法，利用待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合法解答是解題關(guān)鍵．
4．（2023?河北模擬）在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為，與軸相交于、兩點點在點的右側(cè)）．
（1）判斷點是否在拋物線上，并說明理由；
（2）若點到軸的距離為5，求的值；
（3）若線段的長小于等于4，求的取值范圍．
【分析】（1）將點代入拋物線進行驗證即可；
（2）將已知拋物線解析式利用配方法轉(zhuǎn)化為頂點式，求得頂點坐標；然后由“點到軸的距離為5”列出方程并解答；
（3）分和兩種情況下求得線段的長度，結(jié)合“線段的長小于等于4”列出不等式并求得的取值范圍．
【解答】解：（1）點在拋物線上，
當時，，
點在拋物線上；
（2），點到軸的距離為5，
當時，，
解得，；
當時，，
解得，；
綜上所述，的值為或；
（3）①當時，拋物線開口向下．
由（1）知，拋物線與軸的交點為，
拋物線的對稱軸為直線，
，，
，
，
此種情況不符合題意；
②當時，拋物線的開口向上，在軸上關(guān)于拋物線的對稱軸對稱且距離為4的兩點的坐標為，，
，
當時，，
，
拋物線與軸有兩個交點，
，
，
．
綜上所述，的取值范圍為：．
【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題型，綜合考查了二次函數(shù)的三種形式，拋物線與軸的交點坐標，兩點間的距離公式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及拋物線的軸對稱性質(zhì)，難度不是很大．
5．（2023?鹽城二模）已知點，，，在二次函數(shù)的圖象上，且滿足．
（1）如圖，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．
①求這個二次函數(shù)的表達式；
②若，此時二次函數(shù)圖象的頂點為點，求的正切值；
③在、之間的二次函數(shù)圖象上的最低點的縱坐標為，請直接寫出此時點、的坐標；
（2）當時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為3，點，在對稱軸的異側(cè)，則的取值范圍為．
【分析】（1）①將點代入二次函數(shù)中求出即可．
②根據(jù)題意，，關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，求出，的坐標，如圖，在中，，求出、即可解答．
③根據(jù)在、之間的二次函數(shù)圖象上的最低點的縱坐標為，列出方程，求解，在分，，，在對稱軸左右側(cè)兩種情況求解即可．
（2）根據(jù)二次函數(shù)得到頂點坐標，函數(shù)最大值為2，結(jié)合最大值與最小值的差為3，確定函數(shù)的最小值為，根據(jù)函數(shù)的增減性分類計算即可．
【解答】解：（1）①二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
，
．
二次函數(shù)的表達式為：．
答：二次函數(shù)的表達式為：．
②，
，關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
對稱軸是直線，頂點為，且，
，
，解得，
，，，，
如圖，在中，，
，，
，
答：的正切值為．
③在、之間的二次函數(shù)圖象上的最低點的縱坐標為，
或，
當，在對稱軸左側(cè)時，
拋物線隨的增大而增大，且，在、之間的二次函數(shù)圖象上的最低點的縱坐標為，
，，
當時，，
，；
當，在對稱軸右側(cè)時，
拋物線隨的增大而減小，且，在、之間的二次函數(shù)圖象上的最低點的縱坐標為，
，，
當時，，
，．
綜上，，或，．
答：，或，．
（2）二次函數(shù)，頂點為，函數(shù)的最大值為2，
當時，如圖，
最大值與最小值的差為3，
，
設，的對稱點為，，
二次函數(shù)的對稱軸為直線，
，
，
，，
根據(jù)題意得，
解得，
，
，
，
，
解得，
，
解得；
當時，如圖，
最大值與最小值的差為3，
，
設，的對稱點為，，
二次函數(shù)的對稱軸為直線，
，
，
，，
根據(jù)題意得，
解得，
，
，
，
，
解得，
，
解得；
綜上，的取值范圍為．
故答案為：．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和最值是解題的關(guān)鍵．
6．（2023?錦州）如圖，拋物線交軸于點和，交軸于點，，頂點為．
（1）求拋物線的表達式；
（2）若點在第一象限內(nèi)對稱軸右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點的坐標；
（3）在（2）的條件下，若點是對稱軸上一點，點是坐標平面內(nèi)一點，在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點，使以點，，，為頂點的四邊形是菱形，且，如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．
【分析】（1）把點和點，代入求拋物線的表達式；
（2）將四邊形分割，，利用建立方程求點的坐標；
（3）對，，，四個點按順時針和逆時針排成菱形，分別求解．
【解答】解：（1）拋物線過點和點，，
，
，
拋物線的表達式．
（2）設拋物線的對稱軸與軸交于點，過點作軸于點，如圖．
設，
，，
，
四邊形的面積為，
，
，
，
，．
（3）存在點，使以點，，，為頂點的四邊形是菱形，且，滿足條件的坐標為，或，．理由如下：
如圖，連接，，
四邊形是菱形，且，
是等邊三角形，
是等邊三角形，
，
，
直線的表達式為，
，
，；
如圖，連接、、，
四邊形是菱形，且，
是等邊三角形，
是等邊三角形，
，
，
，，
，
，
，
直線的表達式為，
，
，，
綜上，，或，．
【點評】本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，與四邊形面積和菱形結(jié)合，對于（2）關(guān)鍵是分割，對于（3）關(guān)鍵是找清分類標準．
7．（2024?肇東市模擬）綜合與實踐
如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和，點的坐標是，與軸交于點．．點在拋物線上運動．
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖2．當點在第四象限的拋物線上運動時，連接，，，當?shù)拿娣e最大時，求點的坐標及的最大面積；
（3）當點在軸上運動時，借助圖1探究以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，并直接寫出點的坐標．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；
（2）連接，過點作于點，設點的坐標為，利用，求得的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；
（3）利用分類討論的思想方法分兩種情形解答：當時，四邊形為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)求得線段即可；②當時，四邊形為平行四邊形時，利用平行四邊形的性質(zhì)求得線段即可求得結(jié)論．
【解答】解：（1）由題意得：
，
解得：．
拋物線的表達式為；
（2）連接，過點作于點，如圖，
點的坐標是，點．，
，．
點在第四象限的拋物線上，
設點的坐標為，
則，．
，
，
，
當時，的面積最大，最大值為6．
此時點的坐標為；
（3）點的坐標為或或，或，．理由：
①當時，四邊形為平行四邊形，如圖，
軸，
令，則，
解得：或3．
．
．
四邊形為平行四邊形，
．
．
；
四邊形為平行四邊形，如圖，
同理可得：，
；
②當時，四邊形為平行四邊形時，如圖，
過點作軸于點，
四邊形為平行四邊形，
，．
．
在和中，
，
．
，．
令，則，
解得：．
，
，．
．
．
，；
如圖，
同理可得：，
，．
令，則，
解得：．
，
．
，．
．
．
．
，．
綜上，點的坐標為或或，或，．
【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，拋物線上點的坐標的特征，利用點的坐標表示出相應線段的長度是解題的關(guān)鍵．
8．（2023?扶余市二模）如圖，拋物線與軸交于點，，頂點為．
（1）求該拋物線的解析式，并直接寫出點的坐標；
（2）如圖，把原拋物線軸下方的部分沿軸翻折到軸上方，將翻折得到的部分與原拋物線軸上方的部分記作圖形，在圖形中，回答：
①點，之間的函數(shù)圖象所對應的函數(shù)解析式為；
②當時，求的取值范圍；
③當，且時，若最高點與最低點的縱坐標的差為，直接寫出的值．
【分析】（1）將，代入，即可求得其解析式和頂點坐標；
（2）根據(jù)頂點的變換（關(guān)于軸對稱）和變換后開口向下，可以寫出變換后的函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論進行求解．
【解答】解：（1）將，代入，得：
，
解得：，
拋物線的解析式為：，
，
點的坐標為．
（2）①變換后的頂點為，
，
故答案為：；
②當時，；
當時，，
的取值范圍為；
③當時，得：
，
解得：（舍去），
當時，得：
，
解得：（舍去），；
由，得：
，，
當時，
或，
解得：（舍去），，（舍去），；
當時，
，
解得：（舍去）；
的值為或或．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)解析式的求法及其性質(zhì)和圖象的變換等，綜合性較強，數(shù)形結(jié)合分類討論是解決問題的關(guān)鍵．
9．（2024?南丹縣一模）如圖，拋物線與軸交于點，點，點是拋物線的頂點，過點作軸的垂線，垂足為點．
（1）求拋物線所對應的函數(shù)解析式；
（2）如圖1，點是拋物線上一點，且位于軸上方，橫坐標為，連接，
若，求的值；
（3）如圖2，將拋物線平移后得到頂點為的拋物線．點為拋物線上的一個動點，過點作軸的平行線，交拋物線于點，過點作軸的平行線，交拋物線于點．當以點，，為頂點的三角形與全等時，請直接寫出點的坐標．
【分析】（1）根據(jù)、兩點的坐標用待定系數(shù)法求出解析式；
（2）如圖，當點在軸上方時，若，則，先求直線的解析式，由點的坐標可求出直線的解析式，聯(lián)立直線和拋物線方程可求出點的坐標，當點在軸下方時，由軸對稱的性質(zhì)可求出直線的解析式，同理聯(lián)立直線和拋物線方程則求出點的坐標；
（3）先求出的解析式，可設出點坐標，表示、坐標及、，根據(jù)以，，為頂點的三角形與全等，分類討論對應邊相等的可能性即可求點坐標．
【解答】解：（1）由題意得：，
解得．
拋物線所對應的函數(shù)解析式為；
（2）當時，，
，
設直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
如答圖1，當點在軸上方時，
，
，
設直線的解析式為，
直線經(jīng)過點，
，
解得：，
直線的解析式為，
，
解得：，（舍去），
，
綜合以上可得的值為；
（3）拋物線平移后得到，且頂點為，
，
即．
設，則，
，
①如答圖2，當在點上方時，
，，
與全等，
當且時，，
，，
當且時，無解；
②如答圖3，當點在點下方時，
同理：，，，
，
則，．
綜合可得點坐標為或．
【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形全等的判定，應用了數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學思想．
10．（2022?長春二模）在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點為，過點作直線垂直于軸．
（1）求拋物線的對稱軸（用含的式子表示）；
（2）將拋物線在軸右側(cè)的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，組成圖形，點，，，為圖形上任意兩點．
①當時，若，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；
②若對于，，都有，求的取值范圍；
（3）當圖象與直線恰好有3個公共點時，直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）直接利用對稱軸公式即可求出；
（2）①利用圖象法，根據(jù)函數(shù)的增減性判斷即可；
②通過計算可知，點、、為拋物線上關(guān)于對用軸對稱的兩點，分類討論當變化時，軸與點、的相對位置：當軸在點左側(cè)時（含點，作出圖形，即可得出經(jīng)翻折后，得到點，的縱坐標相同，此時，不符題意；當軸在點右側(cè)時（含點，作出圖形，即可得出點、分別和點、重合，此時，不符題意；當軸在點、之間時（不含、，作出圖形，即可得出經(jīng)翻折后，點在下方，點、重合，在上方，此時，符合題意，即有．即；
（3）當時，圖象與直線恰好有3個公共點時，可列不等式組，當時，圖象與直線恰好有3個公共點時，可列不等式組，分別解出即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）拋物線的對稱軸為直線；
（2）①當時，二次函數(shù)解析式是，對稱軸為軸，
圖形如圖1所示：
：圖形上的點的橫縱坐標和，滿足隨的增大而減小，
，
；
②通過計算可得，，為拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的兩點，
下面討論當變化時，軸與點、的相對位置：
如圖2所示：當軸在點左側(cè)時（含點，
經(jīng)翻折后，得到點、的縱坐標相同，，不符合題意；
如圖3所示：當軸在點右側(cè)時（含點，
點，分別和點、重合，，不符合題意；
如圖4所示：當軸在點、之間時（不含、，
經(jīng)翻折后，點在下方，點、重合，在上方，，符合題意，
此時有，
，
綜上所述：的取值范圍為；
（3）當時，如圖所示
拋物線翻折后，
圖象與直線：恰好有3個公共點在點、之間，
，
解得；
當時，如圖所示，
圖象與直線恰好有3個公共點時，
，
解得：．
綜上所述，的取值范圍為：或．
【點評】本題為二次函數(shù)綜合題，考查拋物線的對稱軸，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)等知識，較難，利用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．
題型五：圓中的分類討論思想
1．（2023?花都區(qū)一模）如圖1，已知，在射線、上分別截取點、，使．
（1）求證：；
（2）如圖2，以為直徑在的上方作一個半圓，點為半圓上的一個動點，連接交于點．
①當時，求的長．
②在線段上取一點，連接交于點，若，當點在半圓上從點運動到點時，求點經(jīng)過的路徑長．
【分析】（1）證明是等邊三角形即可得到結(jié)果．
（2）連接，則，，先求出，再利用勾股定理即可求出．
（3）分類討論：當時，證明得到，點在邊的中垂線上，求出的高即可．②當時，，此時點經(jīng)過的路徑為圖中以為弦的弧長，求出弧的圓心角，半徑，再求出弧長即可．
【解答】（1）證明：，，
是等邊三角形，
．
（2）解：如圖2，連接，
，
，
是等邊三角形，
，，
，
點為半圓上的一個動點，
，
，
，
．
（3）解：是等邊三角形，
，，
①如圖3，當時，
，，
，
，
，
點在邊的中垂線上，
此時點經(jīng)過的路徑為．
②如圖4，時，即時，
，，
，
，
此時點經(jīng)過的路徑為圖中以為弦的弧長，
最高點在邊中垂線上，線段的處．
．
設弦所在圓的半徑為，由垂徑定理得，
，
解得，，
弦所對的圓心角為
弧的長．
綜上得，點經(jīng)過的路徑長為或．
【點評】本題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，弧長計算公式等知識，合理進行分類討論，準確找到點的運動軌跡是解題關(guān)鍵．
2．（2023?裕華區(qū)二模）如圖1，平行四邊形中，，，，點在延長線上且，為半圓的直徑且，，如圖2，點從點處沿方向運動，帶動半圓向左平移，每秒個單位長度，當點與點重合時停止平移，如圖3，停止平移后半圓立即繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒轉(zhuǎn)動，點落在直線上時，停止運動，運動時間為秒．
（1）如圖1， 12 ；
（2）如圖2，當半圓與邊相切于點，求的長；
（3）如圖3，當半圓過點，與邊交于點，
①求平移和旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積；
②求的長；
（4）直接寫出半圓與平行四邊形的邊相切時的值．（參考數(shù)據(jù)：，
【分析】（1）連接，根據(jù)勾股定理可表示出，代入求解即可．
（2）連接、，根據(jù)角平分線的定理可得是的角平分線，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，根據(jù)度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理即可求解．
（3）①作輔助線，根據(jù)度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求出平移中的面積；根據(jù)勾股定理及全等三角形的性質(zhì)與判定，即可求出旋轉(zhuǎn)中的面積．
②作輔助線，結(jié)合①，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出，，即可求解．
（4）分類討論：當半圓與邊相切于點時；當半圓與邊相切時，即點與點重合；當半圓與邊相切于點時，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的角求解即可．
【解答】（1）如圖，連接，
在中，，
，
，
故答案為：12．
（2）如圖，連接，，
半圓與邊相切于點，，
，，
是的角平分線，
，
，
，
，
，
在中，，
．
答：的長為．
（3）①如圖，連接，，過點作于點，
由題意可知，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在平移中：，
．
在旋轉(zhuǎn)中：，
．
答：平移過程中掃過的面積為，旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積為．
②如圖，過點作于點，
由①可得，，
，，
，，
，
即，
解得，
，
．
答：的長為．
（4）當半圓與邊相切于點時，；
當半圓與邊相切時，即點與點重合，
此時，
；
當半圓與邊相切于點時，如圖，
，，
點到直線的距離為，
即此時點與點重合，，
，
，
，
綜上，的值為1或2或14．
【點評】本題考查了圓的綜合應用，熟練掌握勾股定理及銳角三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2022?順平縣二模）如圖1，將半徑為2的剪掉一個的扇形之后，得到扇形，將扇形放置在數(shù)軸上，使點與原點重合且垂直于數(shù)軸，然后將圖形沿數(shù)軸正方向滾動，直至點落在數(shù)軸上時停止?jié)L動．記優(yōu)弧與數(shù)軸的切點為點．過點作直線平行于數(shù)軸，當與弧有兩個公共點時，記另一個公共點為點，將直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到直線，交數(shù)軸于點．
（1）當點落在數(shù)軸上時，其對應數(shù)軸上的實數(shù)為；
（2）當直線經(jīng)過圓心時，線段的長度為；
（3）當與扇形所在圓相切于圓的左側(cè)時，求弦的長及點對應數(shù)軸上的實數(shù)；
（4）直接寫出整個運動過程中長度的最大值．
【分析】（1）利用圓的弧長公式計算優(yōu)弧的長即可得出結(jié)論；
（2）利用分類討論的思想方法分兩種情況解答：①當點在點的右側(cè)時，連接，過點作于點，利用矩形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可；②當點在點的右側(cè)時，連接，過點作于點，利用①的方法解答即可；
（3）連接，，與交于點，過點作于點，利用切線的性質(zhì)定理與已知條件求得為圓的直徑，連接，利用圓周角定理和直角三角形的邊角關(guān)系定理即可求得的長；利用圓的弧長公式求出點對應的數(shù)值，再利用矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理和直角三角形的邊角關(guān)系定理求得的長，則點對應數(shù)軸上的實數(shù)為點對應的數(shù)值；
（4）整個運動過程中當與相切于圓的右側(cè)時，的長度最大，連接并延長交于點，過點作于點，利用的性質(zhì)定理，垂徑定理和矩形的判定與性質(zhì)解答即可．
【解答】解：（1）將半徑為2的剪掉一個的扇形之后，得到扇形，
優(yōu)弧的所對的圓心角的度數(shù)為，
優(yōu)弧的長，
點與原點重合且垂直于數(shù)軸，
點落在數(shù)軸上時，其對應數(shù)軸上的實數(shù)為，
故答案為：；
（2）①當點在點的右側(cè)時，
連接，過點作于點，如圖，
優(yōu)弧與數(shù)軸的切點為點，
，
，，
四邊形為矩形，
，，．
．
，
；
②當點在點的右側(cè)時，
連接，過點作于點，如圖，
優(yōu)弧與數(shù)軸的切點為點，
，
，，
四邊形為矩形，
，
，
，
；
綜上，直線經(jīng)過圓心時，線段的長度為或，
故答案為：或；
（3）連接，，與交于點，過點作于點，如圖，
當與扇形所在圓相切，
，
．
，
．
，
，
，
，
為的直徑，
連接，
，
．
優(yōu)弧與數(shù)軸的切點為點，
，
，
，
．
，
．
，，，
四邊形為矩形，
，．
，，
，
，
．
所對的圓心角為，
的長為，
點對應的實數(shù)為，
點對應數(shù)軸上的實數(shù)為；
（4）整個運動過程中當與相切于圓的右側(cè)時，的長度最大，如圖，
連接并延長交于點，過點作于點，
優(yōu)弧與數(shù)軸的切點為點，
，，，
四邊形為矩形，
，，．
．
連接，
與扇形所在圓相切，
，
．
，
．
，，
，．
．
，
．
，
的最大值．
【點評】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)定理，圓周角定理，垂徑定理，矩形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，連接經(jīng)過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．
4．（2022?永嘉縣三模）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交軸，軸于點，，以為直徑構(gòu)造圓，點在運動，點在上，交于點，且．
（1）求的長．
（2）求證：．
（3），交圓于另一點，連結(jié)．若為等腰三角形，求所有滿足條件的點的坐標．
【分析】（1）求出點的坐標即可得到的長；
（2）連結(jié)，，證明，即可得到結(jié)論；
（3）分三種情況：①當時，設，則，在中，利用勾股定理列出關(guān)于的方程，解方程即可求得結(jié)論；②當時，設圓心為，交于點，延長交于點，設，則，在中，利用勾股定理列出關(guān)于的方程，解方程即可求得結(jié)論；③當，設圓心為，作于點，，垂足為，于，延長交于點，連接，利用勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，矩形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)求得線段，則結(jié)論可求．
【解答】（1）解：對于，令，
則得：，
解得：，
，
，
，
；
（2）證明：連結(jié)，，如圖，
，都是所對的圓周角，
．
，
，
．
在和中，
．
；
（3）解：①當時，如圖，
則，
，
四邊形為矩形，
又，
點，重合，
設，則，
對于，
令，則得：，
，
．
在中，由勾股定理得：
，
解得：．
；
②當時，如圖，
設圓心為，交于點，延長交于點，
，
，
，
，
，
，
是的中位線，
，
，
，
，，
設，則，
在中，由勾股定理得：
，
解得：，
；
③當時，設圓心為，作于點，，垂足為，于，延長交于點，連接，如圖，
則，
，
，
，
，
．
，
，
，
．
，，，
四邊形為矩形，
，
，，
，
，
．
，
．
綜上，滿足條件的點的坐標為：或或．
【點評】此題考查了圓與一次函數(shù)的綜合題，求一次函數(shù)與坐標軸的交點，圓的垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，等腰三角形的定義，熟練掌握各知識點并綜合應用是解題的關(guān)鍵．
5．（2022?溫州模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，以為直徑的與軸的正半軸交于點．點是劣弧上的一動點．
（1）求的值．
（2）當中有一邊是的兩倍時，求相應的長．
（3）如圖2，以為邊向上作等邊，線段分別交和于點，．連結(jié)，．點在運動過程中，與存在一定的數(shù)量關(guān)系．
【探究】當點與點重合時，求的值；
【探究二】猜想：當點與點不重合時，【探究一】的結(jié)論是否仍然成立．若成立，給出證明：若不成立，請說明理由．
【分析】（1）利用點的坐標表示出線段，，利用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理即可求得結(jié)論；
（2）利用分類討論的方法分兩種情況解答：①當時，利用（1）的結(jié)論和勾股定理即可求解；②當時，過點作，交的延長線于點，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)求得，設，則，，，利用勾股定理在直角中，利用勾股定理列出方程即可求得的值，最后再利用勾股定理即可求得的值；
（3）【探究】利用直角三角形的邊角關(guān)系定理和勾股定理分別求得線段，，即可得出結(jié)論；
【探究二】連接，利用【探究】中的結(jié)論，依據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）點的坐標為，點的坐標為，
，．
．
為的直徑，
，
，
．
．
．
．
，．
．
（2）①當時，
由（1）知：，
．
為的直徑，
．
；
②當時，
過點作，交的延長線于點，如圖，
，
．
．
四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，
．
．
設，則，，
．
，
．
．
．
．
．
綜上，當中有一邊是的兩倍時，的長為或；
（3）【探究】當點與點重合時，
連接，，如圖，
，，
為的垂直平分線．
．
，
．
．
為等邊三角形，
．
．
．
；
【探究二】當點與點不重合時，【探究一】的結(jié)論仍然成立．理由：
連接，如圖，
由以上【探究】可知：，
，，
．
，
．
．
當點與點不重合時，【探究一】的結(jié)論仍然成立，．
【點評】本題主要考查了點的坐標的特征，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，分類討論的思想方法，利用點的坐標表示出相應線段的長度和利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．
購票人數(shù)（人
每人門票價（元
60
50
40

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多