專題04 相似三角形的四種基本模型-2023年初中數(shù)學(xué)9年級下冊同步壓軸題（學(xué)生版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

例1．(基本模型)如圖，已知D是BC的中點，M是AD的中點．求的值．
例2．(培優(yōu))如圖，中，點D在邊上，且．

(1)求證：；
(2)點E在邊上，連接交于點F，且，，求的度數(shù)．
(3)在(2)的條件下，若，的周長等于30，求的長．
【變式訓(xùn)練1】如圖，點O是△ABC邊BC上一點，過點O的直線分別交AB，AC所在直線于點M，N，且＝m，＝n．
(1)若點O是線段BC中點．
①求證：m+n＝2；
②求mn的最大值；
(2)若＝k(k≠0)求m，n之間的關(guān)系(用含k的代數(shù)式表示)．
【變式訓(xùn)練2】矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．將矩形折疊，使點A落在點P處，折痕為DE．
(1)如圖①，若點P恰好在邊BC上，連接AP，求的值；
(2)如圖②，若E是AB的中點，EP的延長線交BC于點F，求BF的長．
模型二、X(8)字型

X字型(平行) 反X字型(不平行)
例1．(基本模型)已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點F在邊AB上，BC2=BF?BA，CF與DE相交于點G．
(1)求證：DF?AB=BC?DG；
(2)當(dāng)點E為AC中點時，求證：2DF?EG=AF?DG．
例2．(培優(yōu))如圖1，ΔABC中，AB=AC，點D在BA的延長線上，點E在BC上，DE=DC，點F是DE與AC的交點．
(1)求證：∠BDE=∠ACD；
(2)若DE=2DF，過點E作EG//AC交AB于點G，求證：AB=2AG；
(3)將“點D在BA的延長線上，點E在BC上”改為“點D在AB上，點E在CB的延長線上”，“點F是DE與AC的交點”改為“點F是ED的延長線與AC的交點”，其它條件不變，如圖2．
①求證：AB·BE=AD·BC；
②若DE=4DF，請直接寫出SΔABC:SΔDEC的值．
【變式訓(xùn)練1】如圖，正方形的邊長為，點是射線上的一個動點，連接并延長，交射線于點，將沿直線翻折，點落在點處．

(1)當(dāng)時，如圖，延長，交于點，
①的長為________；
②求證：．
(2)當(dāng)點恰好落在對角線上時，如圖，此時的長為________；________；
(3)當(dāng)時，求的正弦值．
【變式訓(xùn)練2】如圖1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分別是AB，BC上一點，AD＝2，CE＝3，OE與CD相交于點F．
(1)求證：OE⊥CD；
(2)如圖2，點G是CD的中點，延長OG交BC于H，求CH的長．
【變式訓(xùn)練3】已知：矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點P是線段AD上一點，連接CP，點E在對角線AC上(不與點A，C重合)，∠CPE＝∠ACB，PE的延長線與BC交于點F．
(1)如圖1，當(dāng)AP＝2時，求CF的長；
(2)如圖2，當(dāng)PF⊥BC時，求AP的長；
(3)當(dāng)△PFC是等腰三角形時，求AP的長．
模型三、子母型
已知：∠ 1=∠2；結(jié)論：△ACD ∽△ABC
例1．(基本模型)如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．
(1)求證：△AED∽△ADC；
(2)若AE＝1，EC＝3，求AB的長．
例2.(培優(yōu))在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為AB上一點．
(1)如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；
(2)如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；
(3)如圖3，若AC=BC，點H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為________．
【變式訓(xùn)練1】在矩形中，，，是邊上一點，交于點，過點作，交射線于點，交射線于點．
(1)如圖，當(dāng)點與點重合時，求的長．
(2)如圖，當(dāng)點在線段上時，設(shè)，，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域．
(3)連接，當(dāng)與相似時，求線段的長．
【變式訓(xùn)練2】如圖，銳角△ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，垂足為D，E．
(1)求證：△ACD∽△ABE；
(2)若將點D，E連接起來，則△AED和△ABC能相似嗎？說說你的理由．
【變式訓(xùn)練3】已知正方形的邊長為4，點在邊上，點在邊上，且，和交于點．
(1)如圖，求證：
①
②
(2)連接并延長交于點，
①若點為的中點(如圖)，求的長．
②若點在邊上滑動(不與點重合)，當(dāng)取得最小值時，求的長．
模型四、旋轉(zhuǎn)型
例1．(基本模型)在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，點A為公共頂點，．如圖②，若△ABC固定不動，把△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AD、AE與邊BC的交點分別為M、N點M不與點B重合，點N不與點C重合．
【探究】求證：．
【應(yīng)用】已知等腰直角三角形的斜邊長為4．
(1)的值為______．
(2)若，則MN的長為______．
例2．(培優(yōu))【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為斜邊BC上一點(不與點B，C重合)，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；
【探究證明】如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點C，D，E在同一條直線上時，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，說明理由；
【拓展延伸】如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，過點C作CA⊥BD于A．將△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，點C的對應(yīng)點為點E．設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為(0°＜＜360°)，當(dāng)C，D，E在同一條直線上時，畫出圖形，并求出線段BE的長度．
【變式訓(xùn)練1】如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．
(1)如圖1，若∠BAC＝90°，當(dāng)C、D、E共線時，AD的延長線AF⊥BC交BC于點F，則∠ACE＝______；
(2)如圖2，連接CD、BE，延長ED交BC于點F，若點F是BC的中點，∠BAC＝∠DAE，證明：AD⊥CD；
(3)如圖3，延長DC到點M，連接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延長ED、BM交于點N，連接AN，若∠BAC＝2∠NAD，請寫出∠ADM、∠DAE它們之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．
【變式訓(xùn)練2】［問題發(fā)現(xiàn)］
(1)如圖1，在Rt△ABC中，，，點為的中點，以為一邊作正方形，點與點重合，已知．請直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；
［實驗研究］
(2)在(1)的條件下，將正方形繞點旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，連接，，．請猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
［結(jié)論運用］
(3)在(1)(2)的條件下，若的面積為8，當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)到，，三點共線時，請求出線段的長．
模型五、一線三垂直型
例1．(模型探究)【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上(點P不與點A、B重合)，．易證．(不需要證明)
【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上(點P不與點A、B重合)，．若，，，求AP的長．
【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上(點P不與點A、B重合)，連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點E，當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出AP的長．
例2．(培優(yōu))問題提出
(1)如圖1，在矩形中，，點E為的中點，點F在上，過點E作交于點G．若，則的面積為_________．
問題探究
(2)如圖2，在矩形中，，點P是邊上一動點，點Q是的中點將．沿著折疊，點A的對應(yīng)點是，將沿著折疊，點D的對應(yīng)點是．請問是否存在這樣的點P，使得點P、、在同一條直線上？若存在，求出此時的長度；若不存在，請說明理由．
問題解決
(3)某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)，部件要求：如圖3，在四邊形中，，點D到的距離為，且．若過點D作，過點A作的垂線，交于點E，交的延長線于點H，過點C作于點F，連接．設(shè)的長為，四邊形的面積為．
①根據(jù)題意求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價最低．已知這種金屬材料每平方厘米造價60元，請你幫忙求出這種四邊形金屬部件每個的造價最低費用．
【變式訓(xùn)練1】問題提出：
(1)如圖①，矩形ABCD中，AD＝6．點E為AD的中點．點F在AB上，過點E作EGAB交FC于點G．若EG＝7．則S△EFC＝．
問題探究：
(2)如圖②．已知矩形ABCD紙片中．AB＝9，AD＝6，點P是CD邊上一動點．點Q是BC的中點．將△ADP沿著AP折疊，在紙片上點D的對應(yīng)點是，將△QCP沿著PQ折疊．在紙片上點C的對應(yīng)點是．請問是否存在這樣的點P．使得點P、、在同一條直線上？若存在，求出此時DP的長度．若不存在，請說明理由．
問題解決：
(3)某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)．部件要求：如圖③，四邊形ABCD中，AB＝4厘米，點C到AB的距離為5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價最低，已知這種金屬材料每平方厘米造價50元．請問這種四邊形金屬部件每個的造價最低是多少元？(≈1.73)
【變式訓(xùn)練2】如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，點E是邊BC上一個動點(不與點B、C重合)，AE的垂線AF交CD的延長線于點F，點G在線段EF上，滿足FG∶GE＝1∶2，設(shè)BE＝x．
(1)求證：；
(2)當(dāng)點G在△ADF的內(nèi)部時，用x的代數(shù)式表示∠ADG的余切；
(3)當(dāng)∠FGD＝∠AFE時，求線段BE的長．
【變式訓(xùn)練3】如圖1和圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點C的坐標(biāo)為(0，4)，A是x軸上的一個動點，M是線段AC的中點．把線段AM以A為旋轉(zhuǎn)中心、按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AB．過B作x軸的垂線、過點C作y軸的垂線，兩直線交于點D，直線DB交x軸于點E．設(shè)A點的橫坐標(biāo)為m．
(1)求證：△AOC∽△BEA；
(2)若m=3，則點B的坐標(biāo)為；若m=﹣3，則點B的坐標(biāo)為；
(3)若m＞0，△BCD的面積為S，則m為何值時，S=6？
(4)是否存在m，使得以B、C、D為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求此時m的值；若不存在，請說明理由．

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