專題10 二次函數(shù)中面積的最值問題 (六大題型)-2025年中考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

通用的解題思路：
二次函數(shù)中的面積最值問題通常有以下3種解題方法：
1）當(dāng)所求圖形的面積沒有辦法直接求出時(shí)，通常采用分割或補(bǔ)全圖形的方法表示所求圖形的面積，如下：
一般步驟為：①設(shè)出要求的點(diǎn)的坐標(biāo)；
②通過割補(bǔ)將要求的圖形轉(zhuǎn)化成通過條件可以表示的圖形面積和或差；
③列出關(guān)系式求解；
④檢驗(yàn)是否每個(gè)坐標(biāo)都符合題意．
2）用鉛垂定理巧求斜三角形面積的計(jì)算公式：三角形面積等于水平寬和鉛錘高乘積的一半.
3）利用平行線間的距離處處相等，根據(jù)同底等高，將所求圖形的面積轉(zhuǎn)移到另一個(gè)圖形中，如圖所示：
一般步驟為：①設(shè)出直線解析式，兩條平行直線k值相等；
②通過已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線解析式；
③求出題意中要求點(diǎn)的坐標(biāo)；
④檢驗(yàn)是否每個(gè)坐標(biāo)都符合題意．
題型01 三角形面積最值問題
1．（2024·寧夏銀川·一模）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線上方，過點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)E，與直線交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
①當(dāng)時(shí)，求m的值；
②設(shè)的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值．
【答案】(1)直線解析式為，
(2)①或；②，最大值為
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合：
（1）先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，最后求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；
（2）①根據(jù)題意可得，，則，根據(jù)，得到，解方程即可得到答案；②根據(jù)列出S關(guān)于m的關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值即可．
【詳解】（1）解：在中，當(dāng)時(shí)，解得或，
∴，
設(shè)直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線解析式為，
在中，當(dāng)時(shí)，，
∴；
（2）解：①由題意得，，
∵軸，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得或；
②∵，
∴
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為
2．（2024·新疆克孜勒蘇·二模）如圖，拋物線（b，c 是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，，，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過P作交于點(diǎn)Q．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；
（2）過C作軸于F，過Q作于E，設(shè)，證明，得到，進(jìn)而得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
將，代入中，
得，解得，
∴該拋物線的解析式為；
（2）解：過C作軸于F，過Q作于E，
設(shè)，則，
∵，
∴，則，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
，
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，面積的最大，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵．
3．（23-24九年級(jí)下·湖北武漢·開學(xué)考試）如圖，拋物線交軸于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），交軸正半軸于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
(3)平面上有兩點(diǎn)，求的面積的最小值．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
(3)
【分析】（1）分別令，根據(jù)，得出，進(jìn)而即可求解；
（2）在線段上取點(diǎn)D，使，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)，表示出，然后利用勾股定理求出，得到，求出，，然后求出，進(jìn)而得到所在直線的解析式，然后求出所在直線的解析式，最后和拋物線聯(lián)立求解即可；
（3）根據(jù)題意得出在上，設(shè)與平行的直線為，聯(lián)立，令，得出直線根據(jù)題意當(dāng)拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)作，連接，當(dāng)時(shí)的面積的最小值，根據(jù)平行線的距離求得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解；
【詳解】（1）解：∵拋物線，
當(dāng)時(shí)，，又，
解得：，
∴，，
當(dāng)時(shí)，，即，
∵，
∴，
解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）如圖所示，在線段上取點(diǎn)D，使，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作交拋物線于點(diǎn)P，

∵，，
∴，
∴點(diǎn)P即為所求，
∵，，
∴設(shè)，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴，，
∴，
∴，
∴
設(shè)所在直線的解析式為，
∴，解得，
∴所在直線的解析式為，
∵，
∴設(shè)所在直線的解析式為，
將代入得，，
∴所在直線的解析式為，
∴聯(lián)立拋物線和所在直線得，，
解得，，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；
（3）∵，，
設(shè)直線解析式為，
∴，
解得：，
∴在上，
設(shè)與平行的直線為，
聯(lián)立，
即，
∴，
令，
即，
解得：，
∴直線，
當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，過點(diǎn)作，連接，當(dāng)時(shí)的面積的最小值，

∵，，
∴，
∵，與軸的交點(diǎn)分別為和，且直線與軸的夾角為，
∴，則，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和結(jié)合綜合題，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，勾股定理，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（23-24九年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）中，，，，點(diǎn) P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，同時(shí)點(diǎn)Q以相同的速度從點(diǎn) B 出發(fā)，沿射線方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x （且）秒，的面積為S．
(1)當(dāng)時(shí)，如圖①，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)時(shí)，如圖②，求S的最大值；
(3)若在運(yùn)動(dòng)過程中，存在兩個(gè)時(shí)刻，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別記為，和，對(duì)應(yīng)的和的面積分別記為和，且當(dāng)時(shí)，，請(qǐng)求出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了二次函數(shù)及一元二次方程在幾何動(dòng)點(diǎn)中的應(yīng)用，弄清動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程是解題的關(guān)鍵．
（1）由已知條件得，，由三角形面積公式得即可求解；
（2）由已知條件得，，由三角形面積公式得即可求解；
（3）由已知條件得，，可求，由可求，由三角形面積公式得，，由得一元二次方程，解方程，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得
，
，
，
故S與x的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）解：由題意得
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，；
（3）解：如圖，
由題意得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：，(舍去)，
故的值為．
5．（2023·山東聊城·二模）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，能否使以為頂點(diǎn)的三角形是以為腰的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)存在，最大值為；
(3)不存在．理由見解析．
【分析】
本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)，且，求得，，，利用三角形的面積公式列出關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）當(dāng)是以為腰的等腰直角三角形時(shí)，則有，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線過點(diǎn)和，
∴，
解得，
∴拋物線的表達(dá)式為；
（2）解：對(duì)于直線，
令，則，
∴，
設(shè)，且，
∴，，
∴，
∴，
∵，對(duì)稱軸為直線，
∴時(shí)，的值隨的增大而增大，
∴當(dāng)，有最大值，最大值為；
（3）解：∵軸，
∴當(dāng)是以為腰的等腰直角三角形時(shí)，則有，
∴M點(diǎn)縱坐標(biāo)為，
∴，
解得或，
當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)M和點(diǎn)C重合，不能構(gòu)成三角形，不符合題意，舍去，
當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)M和點(diǎn)C重合，不能構(gòu)成三角形，不符合題意，舍去，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
此時(shí)，，，
，則不是以為腰的等腰直角三角形，
∴不存在這樣的點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的三角形是以為腰的等腰直角三角形．
6．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)、，拋物線的圖象經(jīng)過、兩點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在直線上方是否存在點(diǎn)使的面積最大？若存在，請(qǐng)求出面積的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；
(2)當(dāng)時(shí)，面積的最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)是
【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想解題時(shí)關(guān)鍵．
（）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)求二次函數(shù)解析式即可；
（）設(shè)的面積為，，則，列出關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解。
【詳解】（1）解：在中，令得，令得
，，
二次函數(shù)的圖象過、兩點(diǎn)，
，
解得
二次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）解：過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，

設(shè)的面積為，，則，
∴
∵，，
∴
∴當(dāng)時(shí)，面積的最大值為，，
點(diǎn)的坐標(biāo)是
7．（2024·甘肅隴南·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，過A，C兩點(diǎn)的拋物線與x軸交于另一點(diǎn)，拋物線對(duì)稱軸為直線l．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)M為直線下方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為D，E是l上一點(diǎn)．要使得以P，D，E為頂點(diǎn)的三角形與全等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)點(diǎn)坐標(biāo)為或或或
【分析】
（1）先求出的坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）過點(diǎn)作垂直于軸交于點(diǎn)，設(shè)，，則，由即可求解；
（3）拋物線對(duì)稱軸為直線．，，．設(shè)，則，分兩種情況當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)，求解即可．
【詳解】（1）解：把代入得；
把代入得．
，．
拋物線經(jīng)過三點(diǎn)，
，
解得．
拋物線的解析式為；
（2）過點(diǎn)作垂直于軸交于點(diǎn)，設(shè)，則，
則，
，
當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)．
當(dāng)坐標(biāo)為時(shí)，取得最大值．
（3）∵，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線．
∵過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為D，
∴，
∵，，
∴，．
設(shè)，則
當(dāng)，時(shí)，，
此時(shí)，
解得或．
∴點(diǎn)坐標(biāo)為或,
當(dāng)，時(shí)，，
此時(shí)，
解得或．
∴點(diǎn)坐標(biāo)為或,
綜上：或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)，最值問題等，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)，能準(zhǔn)確作出輔助線，并結(jié)合圖形列出相應(yīng)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
8．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線與x軸交于A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且．
(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)如圖1，點(diǎn)P為直線下方拋物線上一點(diǎn)，求的最大面積；
(3)如圖2，M、N是拋物線上異于B，C的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線與直線的交點(diǎn)始終在直線上，求證：直線必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)該函數(shù)表達(dá)式為，點(diǎn)A坐標(biāo)為
(2)
(3)直線恒過定點(diǎn)
【分析】
（1）求出點(diǎn)即可得拋物線的解析式，令可得點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)P作于D，P作軸于E，交于點(diǎn)F，求出直線的解析式，設(shè)，則；可證得，根據(jù)即可求解；
（3）設(shè)點(diǎn)，，直線，直線，直線，求出直線與直線的交點(diǎn)即可求解；
【詳解】（1）解：對(duì)于，令，則，
，
，
點(diǎn)，
，
，
即該函數(shù)表達(dá)式為，
令，則，
解得，，
點(diǎn)A坐標(biāo)為；
（2）解：過點(diǎn)P作于D，P作軸于E，交于點(diǎn)F，如圖1，
設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入得：，
解得：，
直線的解析式為，
設(shè)，則，
，
軸，
軸，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，的最大面積為：；
（3）證明：如圖2，設(shè)點(diǎn)，，
直線，直線，直線，
將點(diǎn)代入直線的解析式得：，
將點(diǎn)代入直線的解析式得：，
聯(lián)立直線與拋物線的解析式得：，
整理得：，則，，
同理：，，
，，
，，
，
，
聯(lián)立直線與直線的解析式得：，
解得：，
直線與直線的交點(diǎn)始終在直線上，
，化簡(jiǎn)得：，
，
直線，
不論為何值，均有時(shí)，，即：直線恒過定點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)與面積問題，掌握函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
9．（2024·四川廣元·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x 軸交于點(diǎn) B，，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求直線和拋物線的解析式．
(2)若點(diǎn) M 是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn) M，使得以 M，A，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是以為底的等腰三角形? 若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
(3)若點(diǎn) P 是第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．
【答案】(1)直線的解析式為；拋物線的解析式為；
(2)存在，
(3)
【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)圍城等腰三角形及最大面積問題：
（1）將點(diǎn)代入解析式求解即可得到答案；
（2）設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)等腰列式求解即可得到答案；
（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，表示出面積，結(jié)合新函數(shù)性質(zhì)求解即可得到答案；
【詳解】（1）解：設(shè)直線的解析式為：，將點(diǎn)，代入，得，
，，
解得：，，
∴直線的解析式為；拋物線的解析式為；
（2）解：存在，理由如下，
拋物線的對(duì)稱軸為：，
設(shè)點(diǎn)，
∵M(jìn)，A，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是以為底的等腰三角形，
∴，
∵，，
，
解得：，
∴；
（3）解：設(shè)，且，連接，
∴
，
，
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，最大為．
10．（2024·安徽安慶·一模）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)E為直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與此拋物線交于點(diǎn)F．
①若點(diǎn)E在第一象限，連接，求面積的最大值；
②此拋物線對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)D，連接，若為直角三角形，請(qǐng)直接寫出E點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)①；②或或或
【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．
（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）①先求出的解析式，設(shè)，將三角形的面積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，即可；
②分點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）解：把點(diǎn)、代入解析式，得：
，解得：；
∴；
（2）①∵，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
設(shè)的解析式為，把代入，得：，
∴，
設(shè)點(diǎn)，則：，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，面積的最大值為；
②∵，
∴對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，，
∴
設(shè)點(diǎn)，則：，
∴，
當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，則：，
∴，
解得：（舍去），或；
∴或
當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)：，
∴，
解得：（舍），（舍），或；
∴或；
綜上：或或或．
11．（2024·安徽合肥·一模）如圖，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)直接寫出當(dāng)時(shí)，x的取值范圍；
(3)點(diǎn)P是位于直線BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，連接．求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)；
【分析】（1）令直線解析式，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，令，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法直接代入求解即可；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象即可解答；
（3）過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，交直線于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，證明是等腰直角三角形，得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：時(shí)，，，
，
時(shí)，，
，
將，代入得：
解得，
；
（2）解：，，
時(shí)，
由函數(shù)圖象可得：；
（3）解：如圖，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，交直線BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，
設(shè)點(diǎn)，
則點(diǎn)，，
，
，
，軸，
是等腰直角三角形，，
，
，
∵P在直線下方，
，
，對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，圖像法解不等式，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．
12．（2024·天津西青·一模）已知拋物線（）與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左邊），與軸交于點(diǎn)．
(1)若點(diǎn)在拋物線上．
①求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
②連接，若點(diǎn)是直線上方的拋物線上一點(diǎn)，連接，，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及面積的最大值；
(2)已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在拋物線上，求拋物線的解析式．
【答案】(1)①，；②，最大值是
(2)
【分析】本題考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)性質(zhì)，三角形全等等知識(shí)，
（1）①把點(diǎn)坐標(biāo)代入，解得，即可求得拋物線的解析式，當(dāng)時(shí)，解得，，根據(jù)題意可求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（），設(shè)直線的解析式為，把，分別代入，即可求得直線的解析式為，過點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，則得點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)可得，即可求解；
（2）根據(jù)拋物線，可知對(duì)稱軸是，點(diǎn)坐標(biāo)為，可知點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸上，由線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，得，，分別過點(diǎn)，作直線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)，則，先證明，得點(diǎn)坐標(biāo)可表示為，把點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得，即可求解．
【詳解】（1）解：①把點(diǎn)坐標(biāo)代入，
有，解得．
拋物線的解析式為．
當(dāng)時(shí)，有，解得，．
根據(jù)題意知點(diǎn)的坐標(biāo)是
②設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（）
設(shè)直線的解析式為，把，分別代入，
得，解得
直線的解析式為．
如圖，過點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，
則點(diǎn)坐標(biāo)為．
．
即．
當(dāng)時(shí)，面積最大，最大值是．
此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．
（2）解：由拋物線解析式為，
可知其對(duì)稱軸是直線，點(diǎn)坐標(biāo)為，
故點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸上．
線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，
，．
如圖，分別過點(diǎn)，作直線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)，
則
．
．
．
，
點(diǎn)坐標(biāo)可表示為．
把點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，
解得（舍），．
拋物線的解析式為．
13 ．（2024·山東臨沂·二模）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)D在拋物線上．
(1)求拋物線的解析式；
(2)小明探究點(diǎn)D位置時(shí)發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)D在第一象限內(nèi)的拋物線上，連接，面積存在最大值，請(qǐng)幫助小明求出面積的最大值；
(3)小明進(jìn)一步探究點(diǎn)D位置時(shí)發(fā)現(xiàn)：如圖2，點(diǎn)D在拋物線上移動(dòng)，連接CD，存在，請(qǐng)幫助小明求出時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)面積的最大值是4
(3)點(diǎn)D的坐標(biāo)為或
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）先直線的解析式，設(shè)點(diǎn)，，根據(jù)三角形的面積公式列出函數(shù)解析式求解即可；
（3）分兩種情況求解：當(dāng)點(diǎn)D在x軸上方時(shí)和當(dāng)點(diǎn)D在x軸下方時(shí)．
【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，
∴
解得
∴求拋物線的解析式為；
（2）如答圖1，過點(diǎn)D做軸，交線段于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)F，
當(dāng)時(shí)，，則，
∵直線經(jīng)過點(diǎn)，，
設(shè)
∴，
解得：
∴直線的解析式為：，
設(shè)點(diǎn)，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴當(dāng)，面積最大，面積的最大值是4．
（3）如答圖2，當(dāng)點(diǎn)D在直線的上方的拋物線上時(shí)，
∵，
∴ ，
∴點(diǎn)C，D的縱坐標(biāo)相等，即點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2，
當(dāng)時(shí)，則，
解得，（舍去），
∴ ，
如答圖3，當(dāng)點(diǎn)D在直線的下方的拋物線上時(shí)，
設(shè)交x軸于點(diǎn)G，
∵，
∴．
設(shè)，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得：，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，平行線的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，二次函數(shù)與幾何綜合，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
14．（2024·廣東深圳·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于A，B點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)解析式；
(2)若P點(diǎn)在第一象限運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積最大？請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和面積的最大值；
(3)連接，并把沿翻折，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形為菱形；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積最大．
(3)存在，或
【分析】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法、二次函數(shù)圖象與面積問題、二次函數(shù)與特殊四邊形等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）設(shè)，求出直線的解析式為，設(shè)，得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；
（3）設(shè)點(diǎn)，交于點(diǎn)E，若四邊形是菱形，連接，則，，得到方程，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：將，代入，
得，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為．
（2）設(shè)，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)，
∴
當(dāng)時(shí)，的面積最大，
，
此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積最大值為．
（3）存在．如圖，設(shè)點(diǎn)，交于點(diǎn)E，
若四邊形是菱形，連接，則，，
∴，
解得，
∴或
15．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)．設(shè)P點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，橫坐標(biāo)為m．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)當(dāng)P點(diǎn)位于第四象限時(shí)，求面積的最大值，并求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)設(shè)此拋物線在點(diǎn)C與點(diǎn)P之間部分（含點(diǎn)C和點(diǎn)P）最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為 h．
① 求h關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫出自變量m的取值范圍；
② 根據(jù)h的不同取值，試探索點(diǎn)P的個(gè)數(shù)情況．
【答案】(1)
(2)面積最大值為；
(3)①；時(shí)，點(diǎn)只有1個(gè)；時(shí)，點(diǎn)有無數(shù)個(gè)；或時(shí)，點(diǎn)有2個(gè)
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)及二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，分類討論是解題的關(guān)鍵．
（1）將代入拋物線即可解答；
（2）設(shè)點(diǎn)P為，過點(diǎn)P作軸交直線于點(diǎn)Q，求出直線的解析式為，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；
（3）①出的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，根據(jù)m的取值范圍，求出函數(shù)解析式即可；②出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象解答即可．
【詳解】（1）把代入得到
解得
∴
（2）設(shè)點(diǎn)P為，過點(diǎn)P作軸交直線于點(diǎn)Q，
當(dāng)時(shí)，，
解得
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，
設(shè)直線的解析式為，則
解得
∴直線的解析式為，
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，面積有最大值，最大值為，
此時(shí)，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為
（3）①∵
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
②函數(shù)圖象如下：
根據(jù)函數(shù)圖象可知，
當(dāng)時(shí)，m的值只有一個(gè)，故點(diǎn)P只有一個(gè)，
當(dāng)時(shí)，m的值有無數(shù)個(gè)，故點(diǎn)P有無數(shù)個(gè)，
當(dāng)或時(shí)，m的值有2個(gè)，故點(diǎn)P有2個(gè)，
16．（22-23九年級(jí)下·重慶·階段練習(xí)）拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．該拋物線與直線相交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且位于x軸下方，直線軸，分別與x軸和直線交于點(diǎn) M、N．
(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
(2)連接，如圖1，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由；
(3)連接，過點(diǎn) C作垂足為點(diǎn) Q，如圖2，是否存在點(diǎn) P，使得與相似？若存在，求出滿足條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，的面積存在最大值，最大值為
(3)或
【分析】（1）由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）聯(lián)立拋物線與直線的解析式成方程組，通過解方程組可求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為，，根據(jù)三角形面積公式可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；
（3）利用相似三角形的性質(zhì)可得出：若與相似，則有或，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，進(jìn)而可得出，，，，將其代入或中即可求出x的值，結(jié)合即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，
，
解得，
該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為；
（2）解：聯(lián)立拋物線與直線的解析式成方程組，得：，
解得：，，
點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為，
，
，
當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，
在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，的面積存在最大值，最大值為．
（3）解：，
若與相似，則有或．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
，，，．
當(dāng)時(shí)，則，
解得：，舍去，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，有，
解得：，舍去，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
綜上所述：存在點(diǎn)P，使得與相似，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；（2）利用三角形的面積公式找出；（3）分、兩種情況求出x的值．
17．（2024·江蘇宿遷·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
(1)求出這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖2，點(diǎn)D是第一象限內(nèi)該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線軸，直線l與的外接圓相交于點(diǎn)E．
①僅用無刻度直尺找出圖2中外接圓的圓心P．
②連接、，與直線的交點(diǎn)記為Q，如圖3，設(shè)的面積為S，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，S是否存在最大值？如果存在，請(qǐng)求出S的最大值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)①圖見解析②存在，2
【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）①畫出對(duì)稱軸，根據(jù)三角形的外接圓在三邊的中垂線上，結(jié)合拋物線和圓的軸對(duì)稱性，得到兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接，得到，圓周角定理得到為圓的直徑，則與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)；
②連接，設(shè)相交于點(diǎn)，設(shè)，證明，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而表示出，利用，列出二次函數(shù)解析式，求最值即可。
【詳解】（1）解：把，代入二次函數(shù)解析式，得：
，解得：，
∴；
（2）①如圖所示，點(diǎn)即為所求；

②存在；
連接，設(shè)相交于點(diǎn)，設(shè)，則：，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，S有最大值為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角形的外接圓，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于壓軸題，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．
18．（2024·新疆烏魯木齊·一模）如圖，在中，，于點(diǎn)D，，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段上以每秒的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，垂直于的直線m從底邊出發(fā)，以每秒的速度沿方向勻速平移，分別交、、于E、F、H，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C，點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
(1)__________，__________（用含t的式子表示）．
(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，所形成的的面積存在最大值，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求線段的長(zhǎng)；
(3)是否存在某一時(shí)刻t，使為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)刻t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)當(dāng)秒或秒時(shí)，為直角三角形
【分析】（1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)求出，證明，得出，求出即可；
（2）先求出的面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
（3）分三種情況，利用平行線分線段成比例及勾股定理求解即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知，，，
∵，
∴，
，
即，
解得：；
（2）解：，
當(dāng)秒時(shí)，存在最大值，最大值為，此時(shí)．
（3）解：存在，分三種情況，具體如下：
①若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，如圖：
此時(shí)，，，
，即，
此比例不成立，故不存在這種情況；
②若為直角頂點(diǎn)，如圖：
此時(shí)，，，，，
，
，即，
解得；
③若為直角頂點(diǎn)，如圖：
過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則：
，
，
，即
解得，
，
，
，即，
解得，
，
，
，
解得或（舍去）．
綜上，當(dāng)秒或秒時(shí)，為直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題是運(yùn)動(dòng)型的綜合題，考查動(dòng)點(diǎn)及動(dòng)線兩種運(yùn)動(dòng)類型，涉及相似三角形、圖形面積、二次函數(shù)極值和勾股定理等知識(shí)，重點(diǎn)考查分類討論數(shù)學(xué)思想．
19．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)連接，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，連接，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）中面積取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，是平移后的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)與的一個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)最大值為，點(diǎn)；
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）當(dāng)與的一個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，即或；當(dāng)時(shí)，在中，，，，用解直角三角形的方法求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解；當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)時(shí)，同理可解；當(dāng)時(shí)，求出直線的表達(dá)式為：，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得：
，解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：；
（2）解：由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別為：、、，
由點(diǎn)、、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，直線的表達(dá)式為：，
連接，設(shè)點(diǎn)，
∵，則，
則直線的表達(dá)式為：，
聯(lián)立直線和直線的表達(dá)式得：，
解得：，
則點(diǎn)，
則，
故面積的最大值為，此時(shí)，則點(diǎn)；
（3）解：該拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則相當(dāng)于將拋物線向左向上分別平移1個(gè)單位，
則新拋物線的表達(dá)式為：，
當(dāng)與的一個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，即或；
當(dāng)時(shí)，如下圖：
當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)，
設(shè)交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
在中，，，，
則設(shè)，則，
則，則，
則，
則點(diǎn)，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，
將上式和新拋物線的表達(dá)式聯(lián)立得：，
解得：（舍去）或，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)時(shí)，
則直線的表達(dá)式為：，
將上式和新拋物線的表達(dá)式聯(lián)立得：，
解得：（不合題意的值已舍去），
即點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，如下圖：
則直線的表達(dá)式為：，
將上式和新拋物線的表達(dá)式聯(lián)立得：，
解得：
即點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，主要考查二次函數(shù)性質(zhì)，三角形的面積．解直角三角形，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，分類討論思想等相關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是進(jìn)行正確的分類討論．
20．（2024·湖南衡陽(yáng)·一模）如圖，已知拋物線經(jīng)過三點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)D為第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值；
(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)的面積最大，最大面積為，此時(shí)
(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或
【分析】（1）將點(diǎn)代入解析式求解即可；
（2）過點(diǎn)向軸作垂線交于點(diǎn)Q，設(shè)，，得到的值，計(jì)算即可；
（3）設(shè)，直角三角形的性質(zhì)分類討論即可；
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，將點(diǎn)，代入，
可得，
解得，
拋物線的解析式為，
（2）解：連接，過點(diǎn)向軸作垂線交直線于點(diǎn)Q，垂足為G，

設(shè)直線的解析式為，
，
解得：，
直線的解析式為，
設(shè)，，
，
當(dāng)時(shí)，最大，最大為，
，
∴最大時(shí)，的面積最大，最大面積為，此時(shí)；
（3）解：拋物線，
拋物線的對(duì)稱軸為，
設(shè)，
∵，，
，，
當(dāng)時(shí)，，
解得：或，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；
當(dāng)時(shí)，，
解得：，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，，
解得：，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P，使得為直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，特殊三角形與的存在問題，二次函數(shù)的面積問題，一次函數(shù)，利用分類討論組成直角三角形，應(yīng)用勾股定理構(gòu)造方程求點(diǎn)P坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
21．（2024·甘肅天水·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，開口向下的拋物線與軸交于兩點(diǎn)，是拋物線的頂點(diǎn)．為坐標(biāo)原點(diǎn)．兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是方程的兩根，且．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)作交拋物線于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的函數(shù)解析式；
(3)在（2）的條件下，在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)，使的面積最大？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)和的最大面積；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；
(2)，直線的解析式為．
(3)存在，，的面積最大面積為
【分析】（1）解出方程的兩根即可求出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用頂點(diǎn)式、兩根式或一般式求出二次函數(shù)的解析式．
（2）由（1）推得是等腰直角三角形，據(jù)此設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入拋物線即可求出的值，進(jìn)而求出、的坐標(biāo)，從而求出直線解析式；
（3）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)，則，，利用面積公式構(gòu)造二次函數(shù)即可得解．
【詳解】（1）解：解方程得，．
，．過作軸于，
是頂點(diǎn)，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
．
在中，
，
，
，
設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為，
把，，分別代入，得
解得：
拋物線的解析式為；
（2）解：，由（）得：
，作軸于，

∴是等腰直角三角形．
設(shè)（顯然，，
則，即，
點(diǎn)在拋物線上，
，
，
解之得：，（舍去），
，
設(shè)直線的方程為，代入、的坐標(biāo)，得
，
解之得：，
直線的解析式為．
（3）如下圖，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)，則，
∴，
∵，，
∴，
∴存在點(diǎn)，使得的面積最大，當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大面積為，此時(shí)．
【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的解析式，求直線的解析式，拋物線圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解直角三角形，熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
22．（2024·山東聊城·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（點(diǎn)不與兩端點(diǎn)重合），是否存在以、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，
(2)點(diǎn)
(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）作交于點(diǎn)，先求得直線的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)R的坐標(biāo)為，利用三角形面積公式列式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）分四種情況討論，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：將、代入得，
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：；
頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）解：作交于點(diǎn)，
令，則，
∴，
∵，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)R的坐標(biāo)為，
∴
，
∵，
∴時(shí)，有最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）解：∵點(diǎn)Q是線段上一點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
∵，，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，是等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
同理當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，是等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
如圖，當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，
∴，
解得或，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
如圖，當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，設(shè)，
同理，
∴，，，，
∴，，
∴，
解得，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，
∴，
解得（舍去）或，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性較強(qiáng)，具有一定的難度，熟練掌握二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，學(xué)會(huì)用代數(shù)的方法求解幾何問題，分類思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
23．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸、軸于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸垂線，垂足為，連接．現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，分別沿向終點(diǎn)和終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)時(shí)，__________；
(3)設(shè)的面積為，寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并求面積的最大值；
(4)當(dāng)為軸對(duì)稱圖形時(shí)，直接寫出的值．
【答案】(1)，
(2)1
(3)，（），．
(4)當(dāng)為軸對(duì)稱圖形，t的值是或或
【分析】（1）把，分別代入函數(shù)解析式，求出即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，即可求出答案；
（3）先證明，得到，根據(jù)列出y關(guān)于t的一元二次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)得性質(zhì)求解即可．
（4）當(dāng)為軸對(duì)稱圖形，即為等腰三角形或者等邊三角形，根據(jù)勾股定理分別求出、、的平方，分為三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，以及當(dāng)代入求出t值即可．
【詳解】（1）解：直線分別交軸、軸于、兩點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，．
（2），，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
；
故答案為：1．
（3）∵，，，，
∴，，，
∴，
即，
∵點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度．
∴，，
∴，
∵，
∴
∵
，
即，（）
∴當(dāng)時(shí)，．
（4）當(dāng)為軸對(duì)稱圖形，即為等腰三角形，
如圖1，過作，交于，交直線于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
分為四種種情況：①如圖2，當(dāng)時(shí)，，
（不滿足，舍去），；
②如圖2，
當(dāng)時(shí)，，
（舍去），；
③如圖3，

當(dāng)時(shí)，，，，，
由勾股定理得：，解得，
④當(dāng)時(shí)，
即，t無解．
故不存在這樣的t值．
故當(dāng)為軸對(duì)稱圖形時(shí)，的值是或或
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的面積綜合問題，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定以及性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，用了分類討論思想．
24．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)、點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求b，c的值．
(2)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)
①當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大？并求出面積的最大值；
②過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，再過點(diǎn)P作軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接，問：是否存在點(diǎn)P，使為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，
(2)①當(dāng)時(shí)，的面積由最大值，最大值為；
②當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，為等腰直角三角形
【分析】（1）將將、代入拋物線即可求解；
（2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式為，過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，交軸于點(diǎn)，易得，根據(jù)的面積，可得的面積，即可求解；
②由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為，則，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，即時(shí)，分別進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）解：將、代入拋物線中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
當(dāng)時(shí)，，即，
設(shè)的解析式為：，
將，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式為：，
過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，交軸于點(diǎn)，

∵，則，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)也為，則縱坐標(biāo)為，
∴，
的面積
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，最大值為；
②存在，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，為等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∵軸，
∴，，則，
當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，即時(shí)，
，當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合題意，舍去）
此時(shí)，即點(diǎn)；
當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，即時(shí)，
，當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合題意，舍去）
此時(shí)：，即點(diǎn)；
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，為等腰直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題二次函數(shù)綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象上的點(diǎn)的特點(diǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)行分類討論．
25．（2024·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與拋物線的形狀相同，且與軸交于點(diǎn)和．直線分別與軸、軸交于點(diǎn)，，與于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上的任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求面積的最大值；
(3)若拋物線與線段有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象請(qǐng)直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)面積的最大值為
(3)的取值范圍為或
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；
（2）求出直線與拋物線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由此用含的式子表示的面積，結(jié)合二次函數(shù)的最值計(jì)算方法即可求解；
（3）根據(jù)題意，分類討論：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；由此即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線與拋物線的形狀相同，
∴，
∵拋物線與軸交于點(diǎn)和，
∴，
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：當(dāng)時(shí)，直線的解析式為：，
聯(lián)立方程組，
解得或，
∴，，
過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)，
∴，，
∴，
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值．
∴面積的最大值為；
（3）解：令，則，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，
令，則，
解得，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，
若拋物線與線段有公共點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，如圖所示，
則，
解得；
當(dāng)時(shí)，如圖所示：
則，
解得；
綜上所述，的取值范圍為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的綜合，二次函數(shù)的最值問題，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，直線交y軸于點(diǎn)E．
(1)求拋物線的解析式．
(2)設(shè)點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，D兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)F，連接，，求面積的最大值．
(3)連接，在線段上是否存在點(diǎn)Q，使得？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
（1）將，代入拋物線，求出b，c的值，即可得到拋物線的解析式；
（2）先求出點(diǎn)D坐標(biāo)為，①設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，表示出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案；
（3）連接，先推出．再由，得到比例式，進(jìn)而即可求解
【詳解】（1）解：將，代入拋物線，
得，解得，
∴拋物線的解析式為．
（2）由（1）可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
當(dāng)時(shí)，，解得，，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
∴直線BD的解析式為．
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
∴，整理得，
∴當(dāng)時(shí)，．
（3）存在．理由如下：
如圖，連接，
則由勾股定理，得，，
，
∴，
∴．
設(shè)，過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)M，連接．
∵，
∴∽，
∴，
∴，解得，
此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．
∴在線段BD上存在點(diǎn)Q，使得，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．
27．（2024·江西萍鄉(xiāng)·一模）如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D．已知，，連接，．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限內(nèi)，連接，．設(shè)的面積為S，試求S的最大值．
【答案】(1)
(2)或或或
(3)
【分析】本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
（1）根據(jù)待定系數(shù)法解答即可；
（2）根據(jù)為頂點(diǎn)的三角形與相似，，得出或，列出等式解出，解答即可；
（3）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)位于第一象限，得出，解出直線的解析式，得出點(diǎn)的坐標(biāo)為，再根據(jù)列出式子并配方即可
【詳解】（1）∵拋物線經(jīng)過和兩點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式：；
（2）解：，
∴的坐標(biāo)是，，，
∵拋物線的對(duì)稱軸是，，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1，
∵為頂點(diǎn)的三角形與相似，，
∴或；
∴或，
∴或，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；
（3）如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵位于第一象限，
∴，
∵和，
∴直線的解析式為：，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故
，
∴S的最大值是．
28．（2024·四川廣元·二模）如圖1，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為，與y軸交于點(diǎn)C，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
(1)求拋物線和直線的解析式．
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得是以為底邊的等腰三角形？若存在，求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
(3)如圖2，以點(diǎn)B為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)P為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，求面積的最大值．
【答案】(1)拋物線的解析式為；直線的解析式為
(2)存在點(diǎn)M，坐標(biāo)為，
(3)
【分析】（1）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，可設(shè)拋物線的解析式為，將代入即可求得拋物線的解析式，設(shè)直線的解析式為，由待定系數(shù)法即可求解；
（2）由是以為底邊的等腰三角形，可得，由（1）可知連接交于點(diǎn)D，是線段的中垂線，的中點(diǎn)坐標(biāo)D，設(shè)的垂直平分線的解析式為由待定系數(shù)法可得直線解析式，聯(lián)立直線與拋物線即可求解；
（3）過點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，此時(shí)點(diǎn)P的位置使得的面積最大，由可得，由勾股定理即可求得，證明可得，由即可求解．
【詳解】（1）解∶拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線的解析式為．
將代入，
解得，
拋物線的解析式為．
令，
解得
當(dāng)，得，
．
設(shè)直線的解析式為，
將代入，
得，
直線的解析式為．
（2）存在點(diǎn)M，使得是以為底邊的等腰三角形．
是以為底邊的等腰三角形．
，
，
，
連接交于點(diǎn)D如圖：
，
是中垂線，
是中點(diǎn)，
，
設(shè)直線為，
將代入可得
直線為，
聯(lián)立，
解得或，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，．
（3）如圖2，過點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，此時(shí)點(diǎn)P的位置使得的面積最大．
，
．
．
，
．
，
．
．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形等知識(shí)，解題關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求滿足條件的M點(diǎn)坐標(biāo)，的面積最大時(shí)P的位置．
29．（2023·山東青島·中考真題）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為．以為鄰邊的平行四邊形的邊與交于點(diǎn)E．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問題：

(1)當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，求t的值；
(2)連接．設(shè)的面積為，求S與t的函數(shù)關(guān)系式和S的最大值；
(3)是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)B在的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)；的最大值為
(3)
【分析】（1）證明，則，即可求解；
（2）由即可求解；
（3）當(dāng)點(diǎn)在的平分線上時(shí)，則，在中，，即可求解．
【詳解】（1）∵平行四邊形，
∴，，，
由題意得∶，，
如下圖，點(diǎn)在上時(shí)，

∵，，，
∴，
∴，
則即
解得：
（2）如上圖，
∵，
∴，
∵四邊形是菱形，
則，
∴，
∴為等腰三角形，則
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
則
即解得∶ ，
則，
設(shè)中邊上的高為，則
即：
，故有最大值，
當(dāng)時(shí)，的最大值為；
（3）存在，理由∶
如下圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)在的平分線上時(shí)，則
，
在中，
，
解得：
【點(diǎn)睛】本題為四邊形綜合題，涉及到特殊四邊形性質(zhì)、三角形相似、解直角三角形、函數(shù)的表達(dá)式確定等，綜合性強(qiáng)，難度適中．
30．（2023·湖南懷化·中考真題）如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，作直線，連接、，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)設(shè)直線交拋物線于點(diǎn)、，求證：無論為何值，平行于軸的直線上總存在一點(diǎn)，使得為直角．
【答案】(1)
(2)面積的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為
(3)見解析
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，得出直線的解析式為，設(shè)，則，得出，當(dāng)取得最大值時(shí)，面積取得最大值，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）設(shè)、，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，聯(lián)立，消去，整理得：，得出，則，設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，依題意，，，得出，則，，點(diǎn)總在上，為直徑，且與相切，即可得證．
【詳解】（1）解：將代入，得
，
解得：，
∴拋物線解析式為：；
（2）解：如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

由，令，
解得：，
∴，
設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得，，
解得：，
∴直線的解析式為，
設(shè)，則，
∴
，
當(dāng)時(shí)，的最大值為
∵
∴當(dāng)取得最大值時(shí)，面積取得最大值
∴面積的最大值為，
此時(shí)，
∴
（3）解：設(shè)、，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
聯(lián)立，消去，整理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，
∵、，
∴，
∴
∴，
∴

∴，
∴點(diǎn)總在上，為直徑，且與相切，
∴為直角．
∴無論為何值，平行于軸的直線上總存在一點(diǎn)，使得為直角．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，切線的性質(zhì)與判定，直角所對(duì)的弦是直徑，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
31．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·一模）如圖，已知拋物線，與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)．

圖1 圖2
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖1，點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
①當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大？并求出最大面積；
②當(dāng)為何值時(shí)，是直角三角形？
(3)如圖2，過作軸于，若是軸上一動(dòng)點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)①當(dāng)時(shí)，的最大面積為；②為1或
(3)
【分析】（1）將的坐標(biāo)代入即可得到拋物線的解析式；
（2）①根據(jù)拋物線求點(diǎn)的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求直線的解析式，設(shè)，用代數(shù)式表示，進(jìn)而求出的最大面積；②先確定，分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，直接利用勾股定理建立方程即可求出的值；當(dāng)時(shí)，過作軸于，作軸于，證明，根據(jù)列出方程即可求出的值；
（3）首先過C作于H點(diǎn)，則，然后分別從點(diǎn)M在左側(cè)與M在右側(cè)時(shí)去分析求解即可求得答案．
【詳解】（1）解：∵拋物線，與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線為：；
（2）①過作軸交于，如圖1，
在中，令得，
∴，而點(diǎn)和點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，將代入得
直線解析式為
設(shè)
，
當(dāng)時(shí)，的最大面積為；
②
當(dāng)時(shí)，設(shè)，
∴，，，
∴，
解得：（舍去），；
當(dāng)時(shí)，如下圖
過作軸于，作軸于，
∴四邊形為矩形，
∴，
∴，而，
∴，
解得，（負(fù)根舍去）
∴，
綜上所述，為1或．
（3）∵為拋物線的頂點(diǎn)，
∴，
∴，，而，
過C作于H點(diǎn)，則，
如圖，當(dāng)M在左側(cè)時(shí)，
∵，
同理可得：，
∴，設(shè)，則，
∴，即，
由關(guān)于n的方程有解，可得，
得且；
當(dāng)M與F重合時(shí)，；
如圖，當(dāng)M在右側(cè)時(shí)，中，，，即，
作交x軸于點(diǎn)M，則，
∵，
∴，即N為點(diǎn)E時(shí)，，
∴，
綜上，m的變化范圍為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值問題、判別式的應(yīng)用以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．
32．（2024·四川成都·一模）如圖，直線分別交x軸，y軸于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸正半軸上．拋物線過A，B，C三點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)過點(diǎn)B作交y軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)F．若點(diǎn)P為直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，連接，求的最大值及最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，將原拋物線進(jìn)行平移，使其頂點(diǎn)為原點(diǎn)，進(jìn)而得到新拋物線，直線與新拋物線交于O，G兩點(diǎn)，點(diǎn)H是線段的中點(diǎn)，過H作直線（不與重合）與新拋物線交于R，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)R在點(diǎn)Q左側(cè)．直線與直線交于點(diǎn)T，點(diǎn)T是否在某條定直線上？若是，請(qǐng)求出該定直線的解析式，若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)的最大值為2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
(3)點(diǎn)T在定直線上，該直線解析式為
【分析】（1）由題意易得，然后利用待定系數(shù)法可求解函數(shù)解析式；
（2）由（1）可得，則有直線的解析式為，連接，過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)，則，則，然后根據(jù)鉛垂法及二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解；
（3）由題意可知平移后的二次函數(shù)解析式為，則有，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，設(shè)點(diǎn)，然后可得直線的解析式為，直線的解析式為，直線的解析式為，進(jìn)而可聯(lián)立函數(shù)解析式進(jìn)行求解．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，則有，即；當(dāng)時(shí)，則有；
∴，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：由（1）可知拋物線解析式為，
當(dāng)時(shí)，則有，解得：，
∴，
由可設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)代入得：，
∴直線的解析式為，
∴當(dāng)時(shí)，則有，即，
連接，過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)M，如圖所示：
設(shè)點(diǎn)，則，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，開口向下，
∴當(dāng)時(shí)，則取得最大值，最大值為2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）解：點(diǎn)T在某條定直線上，理由如下：
由題意可知平移后的二次函數(shù)解析式為，則聯(lián)立方程得：，
解得：，
∴，
∵點(diǎn)H是線段的中點(diǎn)，
∴根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，即，
設(shè)點(diǎn)，直線的解析式為，則有：
，
解得：，
∴直線的解析式為，
代入點(diǎn)H得：，
∴，
同理可得直線的解析式為，
直線的解析式為，
聯(lián)立上述兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式得：
，
解得：，
∴代入直線的解析式得，
∴，
設(shè)點(diǎn)T在直線，則有：
∴，即，
整理得：，
比較系數(shù)得：，
∴當(dāng)時(shí)，無論m、n為何值時(shí)，都符合題設(shè)條件，
∴點(diǎn)T在定直線上．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、鉛垂法及設(shè)而不求的思想是解題的關(guān)鍵．
33．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)分別為，，其中（），且，與軸的交點(diǎn)為，直線軸，在軸上有一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線軸，與拋物線、直線的交點(diǎn)分別為．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)時(shí)，求面積的最大值；
(3)當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)當(dāng)時(shí)，面積有最大值，為
(3)、或
【分析】（1）根據(jù)拋物線對(duì)稱性得到，再由得到，聯(lián)立方程組求解得到，，利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式即可得到答案；
（2）由（1）中所求解析式，得到，，求出直線：，根據(jù)在軸上有一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線軸，與拋物線的交點(diǎn)為，分二種情況：①當(dāng)在軸之間時(shí)；②當(dāng)在軸右邊時(shí)；利用平面直角坐標(biāo)系中三角形面積的表示方法，最后結(jié)合拋物線圖象與性質(zhì)求解即可得到答案；
（3）分兩種情況：點(diǎn)在上方；點(diǎn)在下方；當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，如圖所示，，當(dāng)以為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，分兩種情況：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案；同理，當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，如圖所示，，當(dāng)以為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，分兩種情況：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：拋物線，
對(duì)稱軸為，
拋物線與軸的交點(diǎn)分別為，，其中（），且，
，，則，解得，
，，
將代入得，解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：由得：，
設(shè)直線：，將，代入得，解得，
直線：，
在軸上有一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線軸，與拋物線、直線的交點(diǎn)分別為，根據(jù)，，則分二種情況：①當(dāng)在軸之間時(shí)；②當(dāng)在軸右邊時(shí)；
當(dāng)在軸之間時(shí)，如圖所示：
，，
，
，，
拋物線開口向下，當(dāng)時(shí)，有最大值，為；
當(dāng)在軸右邊時(shí)，過作軸，如圖所示：
，，
，
，對(duì)稱軸為，，
拋物線開口向上，則當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，即當(dāng)時(shí)，有最大值，為；
，
當(dāng)時(shí)，面積有最大值，為；
（3）解：由（1）知，當(dāng)時(shí)，，解得或，
，
當(dāng)在上方，即時(shí)，如圖所示：
，
當(dāng)以為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，分兩種情況：①；②；
由（1）（2）可知，，，且，，
當(dāng)時(shí)，，
，
，即，解得（舍去）或；
當(dāng)時(shí)，，
，
，即，解得（舍去）或（舍去）；
當(dāng)在下方，即時(shí)，如圖所示：
，
當(dāng)以為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，分兩種情況：①；②；
由（1）（2）可知，，，且，，
當(dāng)時(shí)，，
，
，即，解得（舍去）或；
當(dāng)時(shí)，，
，
，即，解得（舍去）或；
綜上所述，存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的三角形與相似，此時(shí)，、或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式、二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、拋物線與三角形面積問題、拋物線與三角形相似、解一元二次方程等知識(shí)，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)綜合題型的解法，分類討論是解決問題的關(guān)鍵．
題型02 四邊形面積最值問題
34．（2024·安徽阜陽(yáng)·一模）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn) P，使的周長(zhǎng)最小，求的周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)若M為拋物線在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，求出四邊形的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】(1)；
(2)的周長(zhǎng)的最小值為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
(3)的最大值為，此時(shí)．
【分析】
題目主要考查二次函數(shù)的綜合問題，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，最短周長(zhǎng)及最大面積問題，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，利用勾股定理以及待定系數(shù)法求得直線的解析式，據(jù)此求解即可；
（3）連接，設(shè)，根據(jù)列得二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：∵，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)，此時(shí)，取得最小值，最小值為的長(zhǎng)，
令，則，
∴，
∵，，
∴，，
∴的周長(zhǎng)的最小值為，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得,
∴直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）解：連接，設(shè)，
依題意得
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，此時(shí)．
35．（2024·山東臨沂·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上方的拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求線段長(zhǎng)的最大值；
(3)連接，請(qǐng)直接寫出四邊形的面積最大值為________．
【答案】(1)
(2)4
(3)36
【分析】此題分別考查了拋物線與軸的交點(diǎn)、待定系數(shù)法求解析式及拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，二次函數(shù)中套用二次函數(shù)，綜合性比較強(qiáng)．
（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后利用坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)即可求解．
（3）根據(jù)當(dāng)取最大值時(shí)，四邊形的面積最大即可求解；
【詳解】（1）解：依題意將點(diǎn)和點(diǎn)代入，
得，
，
；
（2）當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴點(diǎn)坐標(biāo)，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
故直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
當(dāng)時(shí)，線段有最大值，最大值為4．
（3）
四邊形的面積
，
故當(dāng)取最大值時(shí)，四邊形的面積最大，
故四邊形的面積的最大值．
36．（2024·山西運(yùn)城·一模）綜合與探究
如圖，拋物線與x軸交于、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)P是拋物線在第四象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作交直線于點(diǎn)Q，連接、、，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得，若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，或
【分析】（1）待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)四邊形的面積等于的面積加上的面積，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；
（3）取的中點(diǎn)，連接，作，勾股定理求出的長(zhǎng)，等積法求出的長(zhǎng)，根據(jù)斜邊上的中線和三角形的外角推出，進(jìn)而求出，根據(jù)，得到，設(shè)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，分點(diǎn)在的上方和下方，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）把，代入解析式，得：
，解得，
∴；
（2）∵，當(dāng)時(shí)，，解得：，
∴，
設(shè)直線的解析式為，則：
，解得：，
∴，
∵點(diǎn)P是拋物線在第四象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作交直線于點(diǎn)Q，
∴，
∴，
設(shè)與交于點(diǎn)，
則：四邊形的面積
，
∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，為；此時(shí)；
（3）存在；
∵，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵，
∴，
取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，
則：，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則：，，
∴，
當(dāng)在下方時(shí)：，
解得：（舍去）或，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解；
∴；
當(dāng)在上方時(shí)：，
解得：（舍去）或，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解；
∴；
綜上：或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，分割法求面積，二次函數(shù)求最值，斜邊上的中線，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，屬于壓軸題，正確的求出解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
37．（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)．拋物線與軸交于兩點(diǎn)，直線：與拋物線交于兩點(diǎn)，且，．
(1)求的值；
(2)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，，且點(diǎn)在的左邊．過點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)．過點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．
當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
記以為頂點(diǎn)的四邊形面積為，求的最大值．
【答案】(1)，，；
(2)或；．
【分析】（）利用待定系數(shù)法解答即可求解；
（）由（）可得，拋物線解析式為，直線解析式為，設(shè)點(diǎn)（），則，，，，由點(diǎn)，由圖象可知，點(diǎn)必在點(diǎn)的下方，得，，根據(jù)以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，得到，解方程即可求解；
由圖可知，四邊形始終為梯形，得到，分別求出時(shí)和時(shí)函數(shù)的最大值即可求解；
本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，函數(shù)的最值問題，正確畫出圖形，運(yùn)用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：把，代入拋物線得，
，
解得，
把代入直線得，
，
解得，
∴，，；
（2）解：由（）可得，拋物線解析式為，直線解析式為，
根據(jù)題意，可畫出如下圖形，
設(shè)點(diǎn)（），
則由題意可得，，，，
∵點(diǎn)，
由圖象可知，點(diǎn)必在點(diǎn)的下方，
∴，，
∵軸，軸，
∴，
∴當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，，
∴，
當(dāng)時(shí)，
解得，
∴；
當(dāng)時(shí)，
整理得，，
解得（不合，舍去）或，
∴；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
由圖可知，四邊形始終為梯形，
∴,
當(dāng)時(shí)，
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，；
當(dāng)時(shí)，
，
∵，，
∴當(dāng)，有最大值，；
綜上，的最大值為．
38．（2024·安徽蚌埠·一模）如圖1，已知直線與坐標(biāo)軸相交于A、B，點(diǎn)C坐標(biāo)是，拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．點(diǎn)P 是拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，與直線交于點(diǎn)D，與x軸相交于點(diǎn)F．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，連接交于點(diǎn)E，連接，如圖2所示；
①求的值；
②設(shè)四邊形的面積為S，則點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在面積S的最大值，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)①；②當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，不存在S的最大值，理由見解析
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，根據(jù)，求出，得出，求出，最后求出結(jié)果即可；
②根據(jù)，得出對(duì)稱軸為，拋物線開口向上，根據(jù)，說明即可．
【詳解】（1）解：把代入得：，
∴點(diǎn)，
把代入得：，解得：
∴點(diǎn)，
又∵點(diǎn)，
∴可設(shè)此拋物線的解析式為，
把點(diǎn)A代入可得:，
解得：
∴，
即：此拋物線的解析式為．
（2）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為．
①在和中，，
∴，
∴，
∴，
由點(diǎn)D的坐標(biāo)為得：，
∴；
②不存在．理由如下：

，
∴對(duì)稱軸為，
，
∴拋物線開口向上，
又∵點(diǎn)P在第一象限，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn) P 在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，
S隨m的減小而增大，且無限趨近時(shí)S的值，但無法等于；
當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，S隨m的增大而增大，且無限趨近時(shí)S的值最大，但無法等于；
∴當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，不存在S的最大值．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的綜合，求二次函數(shù)解析式，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
39．（2024·安徽馬鞍山·一模）如圖，過原點(diǎn)的二次函數(shù)的圖象與x軸正半軸交于點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該函數(shù)交于，與y軸交于點(diǎn)．
(1)分別求此二次函數(shù)與直線的解析式．
(2)點(diǎn)P是第四象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)E，與直線交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．
①當(dāng)時(shí)，求t的值；
②當(dāng)點(diǎn)P在直線下方時(shí)，連接，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)Q，與交于點(diǎn)F，連接，求四邊形面積的最大值．
【答案】(1)直線的函數(shù)表達(dá)式為，二次函數(shù)表達(dá)式為
(2)①的值為2或3或②面積最大值為
【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求得直線的函數(shù)表達(dá)式，再求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)表達(dá)式求出即可；
（2）①分當(dāng)點(diǎn)在直線上方和點(diǎn)在直線下方時(shí)，兩種情況討論，根據(jù)列一元二次方程求解即可；
②證明，推出，再證明四邊形為矩形，利用矩形面積公式得到二次函數(shù)的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為．
將兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，
得，
解得，
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為．
將代入，得．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為；
將兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，
得，
解得，
∴二次函數(shù)表達(dá)式為；
（2）①解：點(diǎn)在第一象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上，且軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為．
∴點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．
∴．
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴．
∵，
∴．
如圖，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，．

∵，
∴．
解得，
∵，
∴；
如圖，當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，．

∵，
∴．
解得，
綜上所述，的值為2或3或；
②解：如圖，由（1）得，．

∵軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
∴．
∵點(diǎn)在直線下方，
∴．
∵軸于點(diǎn)，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四邊形為平行四邊形．
∵軸，
∴四邊形為矩形．
∴．
即．
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，S的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知識(shí)點(diǎn)，第二問難度較大，需要分情況討論，畫出大致圖形，用含t的代數(shù)式表示出是解題的關(guān)鍵．
40．（2024·山東濟(jì)南·一模）如圖，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，且交軸于另一點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)在直線上方的拋物線上有一點(diǎn)，求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)將線段繞軸上的動(dòng)點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，若線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)，
(3)當(dāng)或時(shí)，線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)
【分析】（1）令，由，得點(diǎn)坐標(biāo)，令，由，得點(diǎn)坐標(biāo)，將、的坐標(biāo)代入拋物線的解析式便可求得拋物線的解析式，進(jìn)而由二次函數(shù)解析式；
（2）連接，設(shè)，求出，得到，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值，便可得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，求得點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，令點(diǎn)和點(diǎn)在拋物線上時(shí)，求出的最大和最小值便可．
【詳解】（1）解：令，得，
∴，
令，得，解得，，
∴，
把、兩點(diǎn)代入得，
，解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）連接，如圖，

設(shè)，
令，得，
解得：，或，
∴；
則
，
∴當(dāng)時(shí)，四邊形面積最大，其最大值為，
此時(shí)M的坐標(biāo)為；
（3）∵將線段繞x軸上的動(dòng)點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，如圖，

∴，，
∴，，
當(dāng)在拋物線上時(shí)，有，
解得，，
當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，有，
解得，，
∴當(dāng)或時(shí)，線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，求函數(shù)的最大值，三角形的面積公式，第（3）關(guān)鍵是確定，點(diǎn)的坐標(biāo)與位置．
41．（2024·四川廣元·二模）如圖，二次函數(shù)的圖象與x 軸交于原點(diǎn)O 和點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該函數(shù)圖象交于另一點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求直線的函數(shù)解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)．
(2)點(diǎn)P是拋物線上位于直線上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)E，與直線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)F，連接，與交于點(diǎn)G，連接．求四邊形面積的最大值．
(3)拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，然后計(jì)算出與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）運(yùn)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，可以得到四邊形為矩形，然后根據(jù)配方找到頂點(diǎn)坐標(biāo)即可解題；
（3）如圖，連接，過點(diǎn)B作軸，垂足為N，過點(diǎn)A作軸，兩線相交于點(diǎn)M，在線段上取點(diǎn)H，使，連接，，則與拋物線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)Q，得到，則有，且即可得到方程解題即可．
【詳解】（1）設(shè)直線的函數(shù)解析式為．
將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入中，
得解得
∴直線的函數(shù)解析式為
將代入，得，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為
（2）由題可知，拋物線過三點(diǎn)，
解得
,
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，
則，解得
∴直線的解析式為
∵直線為，
∴．
∵軸，交直線于點(diǎn)D，
∴．
∴．
∴軸．
∴四邊形為矩形．
∴，
，
∵，對(duì)稱軸為直線，
∴當(dāng)時(shí)，最大為；
（3）存在．如圖，連接，過點(diǎn)B作軸，垂足為N，過點(diǎn)A作軸，兩線相交于點(diǎn)M，在線段上取點(diǎn)H，使，連接，，則與拋物線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)Q．理由如下：
∵點(diǎn)，
∴．
又點(diǎn)，
∴點(diǎn)．
∴．
又，，
∴．
∴，且．
∴．
∴與拋物線的交點(diǎn)Q即為所求的點(diǎn)．
∵，
∴點(diǎn)．
∴直線的解析式為．
令．
解得（舍去），．
．
∴點(diǎn) Q的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與幾何圖形面積的綜合，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
42．（2024·廣東珠海·一模）如圖，拋物線和直線交于，點(diǎn)，點(diǎn)B在直線上，直線與x軸交于點(diǎn)C．
(1)求的度數(shù)．
(2)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．以為邊作矩形，使點(diǎn)N在直線上．
①當(dāng)t為何值時(shí)，矩形的面積最?。坎⑶蟪鲎钚∶娣e；
②直接寫出當(dāng)為何值時(shí)，恰好有矩形的頂點(diǎn)落在拋物線上．
【答案】(1)
(2)①，矩形面積的最小值為②、或2
【分析】（1）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，得到，即可得出結(jié)果；
（2）①分別用t表示，證明，表示及，列出矩形面積與t的函數(shù)關(guān)系式問題可解；
②由①利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，表示點(diǎn)坐標(biāo)，分別討論M、N、Q在拋物線上時(shí)的情況，并分別求出t值即可．
【詳解】（1）解：設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，如圖：
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①如圖，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，
∵，P點(diǎn)速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴，，，
∵點(diǎn)為直線與x軸的交點(diǎn)，
∴，，
∴t秒時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為，Q點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
∵矩形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴矩形的面積，
∵，
∴，
當(dāng)時(shí)，
矩形的面積最小：；
②由①點(diǎn)Q坐標(biāo)為，，，
∵，
∴，
∴，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵矩形對(duì)邊平行且相等，Q，，N，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為
當(dāng)M在拋物線上時(shí)，則有
，
解得：，
當(dāng)點(diǎn)Q到A時(shí)，Q在拋物線上，此時(shí)，
當(dāng)N在拋物線上時(shí)，重合：
∴，
∴，
綜上所述當(dāng)、或2時(shí)，矩形的頂點(diǎn)落在拋物線上．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)求最值等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，屬于壓軸題，熟練掌握相關(guān)知識(shí)以及應(yīng)用數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．
43．（2024·安徽宿州·二模）如圖1，拋物線（a，b是常數(shù)且）與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，是拋物線的對(duì)稱軸且交x軸于點(diǎn).
(1)求a，b的值；
(2)點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)且位于點(diǎn)A和點(diǎn)D之間．
（i）如圖2，連接，，，求四邊形面積的最大值；
（ii）如圖3，連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接交于點(diǎn)E，求的值.
【答案】(1)
(2)（i）9；（ii）8
【分析】此題考查了二次函數(shù)綜合題，還考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意得到，解方程組即可得到答案；
（2）（i）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)是，則，過點(diǎn)P作軸，交線段于點(diǎn)Q，求出點(diǎn)的 D的坐標(biāo)是，得到，可得，求出直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則，得到，得到四邊形面積，由，即可得答案；
（ii）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求出直線的解析式為，求出，則，求出直線的解析式為，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是，求出，即可求出定值．
【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入得到，①
∵是拋物線的對(duì)稱軸且交x軸于點(diǎn).
∴，②
聯(lián)立①②得，
解得
（2）（i）由（1）可得，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，解得，，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是，
∴，
過點(diǎn)P作軸，交線段于點(diǎn)Q，
∵
∴點(diǎn)的 D的坐標(biāo)是，
∴
∴，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∴四邊形面積，
∵點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)且位于點(diǎn)A和點(diǎn)D之間．
∴，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為9；
（ii）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
設(shè)設(shè)直線的解析式為，
則，
解得，
∴直線的解析式為，
∴
∴，
設(shè)的解析式為，
則，
解得，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是，
∴，
∴
44．（2024·安徽·二模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上，橫坐標(biāo)為，將該拋物線兩點(diǎn)之間（包括兩點(diǎn)）的部分記為圖象．
(1)求拋物線的解析式；
(2)圖象的最大值與最小值的差為4時(shí)，求的值；
(3)如圖2，若點(diǎn)位于下方，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)或
(3)面積的最大值為18，
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，分為當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，三種情況討論即可；
（3）根據(jù)，得到，求出直線的解析式，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)，則，根據(jù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值即可．
【詳解】（1）解：代入
得，解得
（2）解：，
當(dāng)時(shí)，，
，
點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為
①當(dāng)時(shí)，，
，
，
的值不存在
②當(dāng)時(shí)，，
，
，
，解得或（舍）
③當(dāng)時(shí)，，
，
，
此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，
綜上所述，的值為或；
（3）解：，
，
，
設(shè)直線的解析式為，則，
解得，
過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，
設(shè)，則
，
，開口向下，對(duì)稱軸為直線，
又，
當(dāng)時(shí)，的最大值為8，
四邊形面積的最大值為18，此時(shí)
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及運(yùn)用鉛垂法求與二次函數(shù)相關(guān)的面積最值，熟練掌握待定系數(shù)法與鉛錘法是解題的關(guān)鍵．
45．（2024·四川廣安·二模）如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式．
(2)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作軸的垂線，與交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，連接、，求四邊形的面積的最大值．
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、C、M為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；
(2)四邊形的面積最大為16；
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的方法和步驟，以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
（1）把，代入，求出b和c的值，即可得出函數(shù)解析式；
（2）易得，設(shè)，則，求出，則，根據(jù)四邊形的面積，結(jié)合二次函數(shù)的增減性，即可解答；
（3）設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式得出，，，然后分情況根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：把，代入得∶
，
解得：，
∴該二次函數(shù)的解析式；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
代入得，，
解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)，則，
∴，
∴，
∴四邊形的面積，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大為16；
（3）解：設(shè)，
∵，，
∴，，，
當(dāng)斜邊為時(shí)，，
即，整理得：，
無解；
當(dāng)斜邊為時(shí)，，
即，
解得：；
∴
當(dāng)斜邊為時(shí)，，
即，
解得：；
∴
綜上：點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
46．（23-24九年級(jí)上·重慶渝北·期末）二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)C，點(diǎn)D分別二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)和頂點(diǎn)，點(diǎn)M為二次函數(shù)圖象上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)如圖1，連接，過點(diǎn)作的平行線交二次函數(shù)于點(diǎn)，連接，，，．求四邊形面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)四邊形的面積有最大值18，此時(shí)
(3)或．
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式；
（2）求出直線的解析式，再由平行線的性質(zhì)求出直線的解析式從而確定點(diǎn)坐標(biāo)，再由直線的解析式求出直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出的面積，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，設(shè)，則，可得，從而求出四邊形面積的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）求出，，設(shè)，則，則，，再由，求出（舍或或，即可求點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)，點(diǎn)代入，
，
解得，
二次函數(shù)的解析式為；
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
，
∵點(diǎn)，
，
設(shè)的解析式為，代入，，
得，解得：，
直線的解析式為，
∵，，則設(shè)直線的解析式為，
代入，得，解得，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，解得或，
，
設(shè)的直線解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
直線與軸的交點(diǎn)為，
，
過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，
設(shè)，則，
，
，
四邊形的面積，
∵，
當(dāng)時(shí)，四邊形的面積有最大值18，此時(shí)；
（3）解：∵，
∴，
∵軸，則當(dāng)時(shí)，，
∴，
設(shè)，則，
，，
∵，
，
解得（舍去）或或，
∴或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式，平行線的性質(zhì)，鉛錘法求面積是解題的關(guān)鍵．
題型03面積比最值問題
47．（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于A、 B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．
(1)求a的值；
(2)點(diǎn)D為第四象限拋物線上一點(diǎn)
①求的面積最大值
②連接交于點(diǎn)E，連接，記的面積為，的面積為，求的最大值；
【答案】(1)
(2)①4；②
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）①先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線解析式，如圖所示，過點(diǎn)D作軸交于E，設(shè)，則，則，由，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
②過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，得到，則，求出，設(shè)，則，則，可得．則當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值是．
【詳解】（1）解：把代入中得，
∴；
（2）解：①由（1）得拋物線解析式為，
∴點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得，
∴直線的解析式為，
如圖所示，過點(diǎn)D作軸交于E，
設(shè)，則，
∴，
∴
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為4；
②過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，當(dāng)時(shí)，，
∴
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴．
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值是．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合，通過把求面積的最值問題轉(zhuǎn)換成求線段的最值問題是解題的關(guān)鍵．
48．（2023·四川遂寧·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，對(duì)稱軸過點(diǎn)，，直線過點(diǎn)，且垂直于軸．過點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)、，交直線于點(diǎn)，其中點(diǎn)、Q在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)恰好在軸上時(shí)，為直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，其中交于點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為．求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）過點(diǎn)作，垂足為根據(jù)已知條件得出，進(jìn)而列出方程，解方程，即可求解；
（3）先求得直線的解析式為，設(shè)，得出直線的解析式為，聯(lián)立得出，根據(jù)等底兩三角形的面積比等于高之比，得出，進(jìn)而得出關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，對(duì)稱軸過點(diǎn)，，
∴
解得：
∴拋物線解析式為；
（2）解：如圖所示，過點(diǎn)作對(duì)稱軸的垂線，垂足為，

設(shè)，則，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∵其中點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)．
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得：或，
∴；
（3）解：依題意，點(diǎn)恰好在軸上，則，
設(shè)直線的解析式為，
將代入得，
解得：，
∴直線的解析式為，
設(shè)，設(shè)直線的解析式為，
則，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得：，
∴，
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，平行線分線段比例，面積問題，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
49．（2024·湖北省直轄縣級(jí)單位·一模）拋物線與直線交于原點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)，頂點(diǎn)為．
(1)求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖①，連接，為軸的負(fù)半軸上的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖②，是點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為，連接，，與直線交于點(diǎn)，設(shè)和的面積分別為和，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）令，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將函數(shù)化為頂點(diǎn)式，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，可得，推出，由點(diǎn)為軸的負(fù)半軸上的一點(diǎn)，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則是等腰三角形，可得，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理求出值，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，即可求解；
（3）分別過點(diǎn)，作軸的平行線，交直線于點(diǎn)，，則，，由點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可表達(dá)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：令，
解得或，
；
，
頂點(diǎn)；
（2）如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
，，
，
，
，
為軸的負(fù)半軸上的一點(diǎn)，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則是等腰三角形，
，
設(shè)，則，，
在中，，
解得：，
，
設(shè)直線的解析式為：，將點(diǎn)、代入得：
，
解得：，
直線的解析式為：，
令，則，
解得：，
；
（3）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
，
如圖，分別過點(diǎn)，作軸的平行線，交直線于點(diǎn)，，
，，
點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
，，
，
，，
，
，
當(dāng)時(shí)，的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，一次函數(shù)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)．
50．（2023·湖南永州·中考真題）如圖1，拋物線（，，為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，軸于H，且．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖1，直線交于點(diǎn)，求的最大值；
(3)如圖2，四邊形為正方形，交軸于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于，且，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)式坐標(biāo)公式和待定系數(shù)法分別求出，，值，即可求出拋物線解析式．
（2）利用拋物線的解析式可知道點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線的解析式，從而設(shè)，根據(jù)直線的解析式可推出，從而可以用表達(dá)長(zhǎng)度，在觀察圖形可知，將其和長(zhǎng)度代入，即可將面積比轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的形式，根據(jù)橫坐標(biāo)取值范圍以及此二次函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求出的最大值．
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)和可求出，再利用相似和可推出，設(shè)，即可求出直線的解析式，用表達(dá)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，最后代入拋物線解析式，求出的值即可求出點(diǎn)橫坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：拋物線（，，為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
，，，
，
，
拋物線的解析式為：．
故答案為：．
（2）解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖所示，

拋物線的解析式為：，且與軸交于，兩點(diǎn)，
，
，
設(shè)直線的解析式為：，則，
，
直線的解析式為：．
在直線上，，
在直線上，的解析式為：，
，
．
，
．
，
．
，，
當(dāng)時(shí)，有最大值，且最大值為：．
故答案為：．
（3）解:∵＋，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，，
，
拋物線的解析式為：，且與軸交于，兩點(diǎn)，
．
設(shè)直線的解析式為：，則，
，
直線的解析式為：．
，在直線上，
，
，
，
，
（十字相乘法），
由，得：，
，
，
，即，
解得：，，
，
，
點(diǎn)橫坐標(biāo)為：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用題，屬于壓軸題，解題的關(guān)鍵在于能否將面積問題和二次函數(shù)有效結(jié)合．
51．（2024·四川南充·一模）拋物線與軸分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，拋物線對(duì)稱軸為，點(diǎn)是拋物線在第一象限上動(dòng)點(diǎn)，連接，．
(1)求拋物線和直線的解析式；
(2)如圖，連接，交于點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)拋物線的解析式為，直線的解析式為；
(2)的最小值為，．
【分析】（）利用待定系數(shù)法及二次函數(shù)對(duì)稱軸公式即可求解；
（）作，交于，可證得，從而得出，設(shè) ，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的幾何應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：由題意可得，
，
解得，
∴拋物線的解析式為，
由得，
，，
∴，
設(shè)直線的解析式為，把、代入得，
，
解得，
∴直線的解析式為；
（2）解：如圖，作，交于，
∴，
∴，
設(shè)，
由得，，
∴，
∵，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，的最大值為，
∴的最小值為，
當(dāng)時(shí)，，
∴．
52．（2024·湖北孝感·一模）如圖1，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，連接．
(1)求，的值及直線的解析式；
(2)如圖1，點(diǎn)是拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
(ⅰ)若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，
(ⅱ)連接，，記的面積為，的面積為，求的最大值；
(3)如圖2，將拋物線位于軸下方面的部分不變，位于軸上方面的部分關(guān)于軸對(duì)稱，得到新的圖形，將直線向下平移個(gè)單位，得到直線，若直線與新的圖形有四個(gè)不同交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)(ⅰ)；(ⅱ)
(3)
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，先求得拋物線解析式，得出點(diǎn)，然后待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可求解；
（2）（i）設(shè) ，則，，得出，是等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，建立方程，解方程，即可求解；
（ii）過作軸，交于點(diǎn)，則，得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出面積比，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．
（3）先求得折疊部分的拋物線解析式為，觀察函數(shù)圖象，可得當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，當(dāng)與只有一個(gè)交點(diǎn)，直線與新的圖形有三個(gè)不同交點(diǎn)，進(jìn)而求得的值，根據(jù)函數(shù)圖象，即可求解．
【詳解】（1）解：依題可得：
解得：
∴，
令，得，即
設(shè)直線的解析式為，將，代入得：
解得：
直線的解析式為
（2）設(shè) ，則，
（i），
是等腰直角三角形
，
，
是等腰直角三角形，
，解得，舍
點(diǎn)的坐標(biāo)為
（ii）如圖，
過作軸，交于點(diǎn)，則，
∴
，

當(dāng)時(shí)，有最大值為
（3）解：依題意，
新的圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
則新的拋物線解析式為
設(shè)平移后的直線解析式為
當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)，即
解得：，
當(dāng)與只有一個(gè)交點(diǎn)，
則
消去得，
即
∴
解得：
結(jié)合函數(shù)圖象可得：
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，一次函數(shù)的平移，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型04 面積和最值問題
53．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，連結(jié)、．點(diǎn)在該拋物線上，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連結(jié)、、．設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，的面積為，的面積為．
(1)求a，b的值；
(2)設(shè)拋物線上D、B兩個(gè)點(diǎn)和它們之間的部分為圖象G，當(dāng)圖象G的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)與m無關(guān)時(shí)，求m的取值范圍；
(3)當(dāng)點(diǎn)D在第一象限時(shí)，求＋的最大值；
(4)當(dāng)時(shí)，直接寫出m的值．
【答案】(1)a的值為，b的值為2，見解析
(2)或，見解析
(3)
(4)或
【分析】（1）由待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，即可求解；
（2）分、、時(shí)，三種情況分別討論即可求解；
（3）證明的面積的面積，則，即可求解；
（4）當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，證明，求出點(diǎn)，，即可求解；當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，同理可解．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，
則，
則，
解得：，；
（2）解：由（1）可得：二次函數(shù)解析式為：，
當(dāng)時(shí)，圖象的最高點(diǎn)為原拋物線的頂點(diǎn)，
此時(shí)最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，與無關(guān)；
當(dāng)時(shí)，圖象的最高點(diǎn)為點(diǎn)，此時(shí)最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，與有關(guān)；
當(dāng)時(shí)，圖象的最高點(diǎn)為點(diǎn)，此時(shí)最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，與無關(guān)．
綜上，當(dāng)圖象的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)與無關(guān)時(shí)，的取值范圍是或；
（3）解：連接，
，
的面積的面積，
過點(diǎn)D作軸，交與點(diǎn)F，
令，則，即，
∵，
∴的解析式為：，
∴，
∴
，
當(dāng) 時(shí)，有最大值，最大值為；
（4）解：設(shè)交于點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，
過點(diǎn)、分別作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、，則，
，
則，
，
，
則，
則，
則點(diǎn)，，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，
，
設(shè)直線的表達(dá)式為：，代入，得：，
解得：，
則直線的表達(dá)式為：，
聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式得：，
解得：（不合題意的值已舍去）；
當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，
同理可得：點(diǎn)，
則直線的表達(dá)式為：，
聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式得：，
解得：（不合題意的值已舍去）；
綜上，或．
【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到三角形相似、面積的計(jì)算、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，分類求解是解題的關(guān)鍵．
題型05 面積差最值問題
54．（2024·安徽合肥·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對(duì)稱軸為直線，且與軸相交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖2，點(diǎn)在軸上（在的右側(cè)），且，過點(diǎn)，分別作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．
①求的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）；
②若的面積記作的面積記作，記，則是否有最大值，若有請(qǐng)求出，若沒有，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)①；②有最大值，最大值為
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式：
（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；
（2）①先求出點(diǎn)，點(diǎn)，再直線的解析式，可得點(diǎn)，即可求解；②分別過點(diǎn)作，垂足分別為M，N，則，可得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，且與軸相交于點(diǎn)．
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：①∵，
∴，
∴點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)，
∴；
②有最大值，最大值為，
如圖，分別過點(diǎn)作，垂足分別為M，N，則，
∴，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，S取得最大值，最大值為．
55．（2024·安徽合肥·一模）已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過點(diǎn)A．
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若直線與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E．
①若點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)，求a的值；
②若點(diǎn)E在第四象限并且在拋物線的上方，記的面積為，記的面積為，，求S與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值．
【答案】(1)，
(2)①；②；S的最大值為．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，數(shù)形結(jié)合，靈活運(yùn)用分類討論的思想是正確解答此類題的關(guān)鍵．
（1）令，解方程，即可求解；
（2）①先求得直線解析式為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)直線過點(diǎn)，列式計(jì)算即可求解；
②根據(jù)題意畫出示意圖，利用三角形面積公式列式得到，，再求得，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：令，則有：
，
即，
，，
，；
（2）解：直線經(jīng)過，
，
，
直線解析式為：，
拋物線配方得，
其頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
①當(dāng)E為頂點(diǎn)時(shí)：即過，
，
，（舍去），
；
②根據(jù)題意可畫出示意圖，
設(shè)直線交y軸于F，交拋物線對(duì)稱軸于E點(diǎn)，且點(diǎn)E在第四象限并且在拋物線的上方，
則，，，
又，
，
，
．
，
∵，
∴當(dāng)，S的最大值為．
56．（2024·安徽淮北·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線（為常數(shù)，且）與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)．
(1)如圖1，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，試求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖2，若，試確定的值；
(3)如圖3，在（1）的情形下，連接，點(diǎn)為拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，試求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為
【分析】（1）令，則，求出，，將代入一次函數(shù)求出，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再將的坐標(biāo)代入二次函數(shù)即可得解；
（2）由（1）得：，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入一次函數(shù)解析式得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再將的坐標(biāo)代入二次函數(shù)即可得解；
（3）由（1）知：，，，得出，求出點(diǎn)的坐標(biāo)得出，根據(jù)，得出關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．
【詳解】（1）解：在中，令，則，
解得：，，
，，
將代入得：，
解得：，
，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
當(dāng)時(shí)，，
，
將代入拋物線解析式得：，
解得：，
；
（2）解：由（1）得：，，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
為的中點(diǎn)，
在軸上，
，
，
在中，當(dāng)時(shí)，，
，
將代入拋物線解析式得：，
解得：；
（3）解：由（1）知：，，，
，
在中，當(dāng)時(shí)，，
，
，
設(shè)，
，
，
當(dāng)時(shí)，的值最大，此時(shí)．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問題、二次函數(shù)綜合—面積問題，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
57．（2024·廣東廣州·一模）綜合應(yīng)用
如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)直線與拋物線在第二象限交于點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)首次落在軸上時(shí)記為點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，判斷的大小是否發(fā)生變化？并說明理由．
(3)在（）的條件下，連接，記的外接圓的最小面積為，記的外接圓的最大面積為，試求的值（結(jié)果保留）．
【答案】(1)；
(2)大小不變，理由見解析；
(3)．
【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；
（）大小不變．過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)，可得，即可證明，得到，得到，進(jìn)而得到，即可求證；
（）連接，結(jié)合由（）可得為等腰直角三角形，故得的外接圓是以為直徑的圓，設(shè)圓的半徑為，則，得，根據(jù)圓的面積公式可知，最小時(shí)，圓的面積為，最大時(shí)，圓的面積為，由時(shí)，最小，此時(shí)，與重合，及當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最大，分別求出半徑，得出
的值即可求解．
【詳解】（1）解：把、代入得，
，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：大小不變，理由如下：
過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
∵點(diǎn)在直線上，
∴設(shè)，
∴，，
∴，
又由旋轉(zhuǎn)可得，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴大小不變，為；
（3）解：連接，
由（）得，，
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴的外接圓是以為直徑的圓，
設(shè)圓的半徑為，則，
∵，
∴，
∵圓的面積，
∴最小時(shí)，圓的面積為，最大時(shí)，圓的面積為，
當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，與重合，
∴，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最大，最大，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形的外接圓，最值問題，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
58．（2023·湖北荊州·中考真題）已知：關(guān)于的函數(shù)．

(1)若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，且，則的值是___________；
(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，并與動(dòng)直線交于點(diǎn)，連接，，，，其中交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．設(shè)的面積為，的面積為．
①當(dāng)點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，求的面積；
②探究直線在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)0或2或
(2)①6，②存在，
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)情況，分情況討論函數(shù)為一次函數(shù)和二次函數(shù)的時(shí)候，按照?qǐng)D像的性質(zhì)以及與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的情況即可求出值．
（2）①根據(jù)和的坐標(biāo)點(diǎn)即可求出拋物線的解析式，即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出長(zhǎng)度，再利用和的坐標(biāo)點(diǎn)即可求出的直線解析式，結(jié)合即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出長(zhǎng)度，最后利用面積法即可求出的面積．
②觀察圖形，用值表示出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平行線分線段成比例求出長(zhǎng)度，利用割補(bǔ)法表示出和，將二者相減轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，利用取值范圍即可求出的最小值．
【詳解】（1）解：函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，
，
，
，
當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，，
．
當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，
，
若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，即與軸，軸分別只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
，
．
當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，即其中一點(diǎn)經(jīng)過原點(diǎn)，
，
，
．
綜上所述，或0．
故答案為：0或2或．
（2）解：①如圖所示，設(shè)直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．

依題意得：，解得：
拋物線的解析式為：．
點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，，，
，，
由，得直線的解析式為，
在直線上，且在直線上，則的橫坐標(biāo)等于的橫坐標(biāo)，
，
，，
，
．
故答案為：6．
②存在最大值，理由如下：
如圖，設(shè)直線交軸于．
由①得：，，，，，
，
，，
，
，
即，
，，
，
，
，，
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，二次函數(shù)與面積問題，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵在于分情況討論函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，以及二次函數(shù)最值問題．
59．（2024·安徽·一模）已知拋物線為常數(shù)，且與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)B的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為點(diǎn)D，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)．
(1)如圖1，若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3，試求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖2，若，試確定a的值；
(3)如圖3，在（1）的情形下，連接，，點(diǎn)P為拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，連接交于點(diǎn)Q，當(dāng)取最大值時(shí)，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令，則，求出，，將代入一次函數(shù)求出，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再將的坐標(biāo)代入二次函數(shù)即可得解；
（2）由（1）得：，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，代入一次函數(shù)解析式得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再將的坐標(biāo)代入二次函數(shù)即可得解；
（3）由（1）知：，，，得出，求出點(diǎn)的坐標(biāo)得出，根據(jù)，得出關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．
【詳解】（1）解：在中，令，則，
解得：，，
，，
將代入得：，
解得：，
，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
當(dāng)時(shí)，，
，
將代入拋物線解析式得：，
解得：，
；
（2）解：由（1）得：，，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
為的中點(diǎn)，
在軸上，
，
，
在中，當(dāng)時(shí)，，
，
將代入拋物線解析式得：，
解得：；
（3）解：由（1）知：，，，
，
在中，當(dāng)時(shí)，，
，
，
設(shè)，
，
，
當(dāng)時(shí)，的值最大，此時(shí)．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問題、二次函數(shù)綜合—面積問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象性質(zhì)．熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
題型06 五邊形面積最值問題
60．（2024·安徽宣城·一模）如圖，已知拋物線與x軸的交點(diǎn)為，與y軸交點(diǎn)為C．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，在拋物線的A~B段上存在點(diǎn)P，求五邊形面積的最大值；
(3)問該拋物線上是否還存在與點(diǎn)P不重合的點(diǎn)Q，使以A、B、C、D、Q五點(diǎn)為頂點(diǎn)的凸五邊形面積等于題（2）中五邊形面積的最大值，若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再求出直線解析式，過點(diǎn)P作軸交于E，設(shè)，則，則，根據(jù)進(jìn)行求解即可；
（3）由對(duì)稱性可知，點(diǎn)P與對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)一定符合題意，即此時(shí)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為；求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，可得頂點(diǎn)與B、C組成的三角形面積為，再由四邊形，則頂點(diǎn)與A、B、C、D組成的五邊形面積為，即當(dāng)點(diǎn)Q與頂點(diǎn)重合時(shí)，符合題意，即此時(shí)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1；當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，只需要滿足即可，求出此時(shí)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：把代入中得：，
∴，
∴拋物線解析式為；
（2）解：在中，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵與x軸的交點(diǎn)為，
∴對(duì)稱軸為直線，
∵點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，
∴；
設(shè)直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線解析式為，
過點(diǎn)P作軸交于E，設(shè)，則，
∴，
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，的面積有最大值；
（3）解：由（2）可知，的面積最大時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，
由對(duì)稱性可知，點(diǎn)P與對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)一定符合題意，即此時(shí)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為；
∵拋物線解析式為，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴頂點(diǎn)與B、C組成的三角形面積為，
又∵四邊形，
∴頂點(diǎn)與A、B、C、D組成的五邊形面積為，
∴當(dāng)點(diǎn)Q與頂點(diǎn)重合時(shí)，符合題意，即此時(shí)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1；
當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，只需要滿足即可，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，解得，
∴此時(shí)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為；
綜上所述，符合題意的點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為或．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多