專題12 相似三角形四種模型 (教師版)-2025年中考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

通用的解題思路：
題型一：相似三角形基本模型（X字型）
【方法點撥】基本模型：

X字型（平行）反X字型（不平行）
題型二：相似三角形基本模型（A字型）
【方法點撥】基本模型：

A字型（平行）反A字型（不平行）
題型三：相似基本模型（K字型（一線三等角））
【方法點撥】基本模型：
如圖1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一線三等角）
如圖2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一線三等角）
如圖3，特別地，當D時BC中點時：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，F(xiàn)D平分∠EFC.
題型四：相似三角形基本模型（旋轉(zhuǎn)型（手拉手））
【方法點撥】基本模型：

旋轉(zhuǎn)放縮變換，圖中必有兩對相似三角形.
題型一：相似三角形基本模型（X字型）
1．（2024?韶關(guān)模擬）如圖1是一張折疊型方桌子，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，支架與交于點，測得，．
（1）若，求的長；
（2）將桌子放平后，兩條桌腿叉開角度，求距離地面的高．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)值，
【分析】（1）先證明，再由相似三角形的性質(zhì)求出的長即可；
（2）過點作于點，于點，在中，，在中，，，進而作答即可．
【解答】解：（1），，
與是等腰三角形，
，
，
，
，
，
即的長為；
（2）過點作于點，于點，如圖，
，與是等腰三角形，
，
在中，
，
在中，
，
，
距離地面的高為．
【點評】此題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線．
2．（2024?西安校級模擬）小明為了測量出一深坑的深度，采取如下方案：如圖，在深坑左側(cè)用觀測儀從觀測出發(fā)點觀測深坑底部，且觀測視線剛好經(jīng)過深坑邊緣點，在深坑右側(cè)用觀測儀從測出發(fā)點觀測深坑底部，且觀測視線恰好經(jīng)過深坑邊緣點，點，，，在同一水平線上．已知，，觀測儀高，觀測儀高，，，深坑寬度，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算深坑深度多少米？
【分析】過點作垂直，垂足為，然后根據(jù)已知證明，，得出，設(shè)，則，解得，再求即可．
【解答】解：過點作垂直，垂足為，如圖：
，，，
，，
，，
，，
，，
，
，，，，，
設(shè)，則，
，
，
，
深坑深度5.5米．
【點評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用及分析問題、解決問題的能力．利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．
3．（2024?常州模擬）圖1是凸透鏡成像示意圖，蠟燭發(fā)出的光線平行于直線，經(jīng)凸透鏡折射后，過焦點，并與過凸透鏡中心的光線交于點，從而得到像．其中，物距，像距，焦距，四邊形是矩形，，．
（1）如圖2，當蠟燭在離凸透鏡中心一倍焦距處時，即，請用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明此時“不成像”；
（2）若蠟燭的長為，物距，焦距，求像距和像的長．
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，從而可得，然后利用證明，從而利用全等三角形的性質(zhì)可得，進而可得，即可解答；
（2）根據(jù)垂直定義可得，然后證明8字模型相似，，從而利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答．
【解答】解：（1）四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
與沒有交點，
此時“不成像”；
（2），，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
像距為，像的長為．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023?浉河區(qū)校級三模）綜合與實踐
瑩瑩復(fù)習(xí)教材時，提前準備了一個等腰三角形紙片，如圖，，．為了找到重心，以便像教材上那樣穩(wěn)穩(wěn)用筆尖頂起，她先把點與點重疊對折，得折痕，展開后，她把點與點重疊對折，得折痕，再展開后連接，交折痕于點，則點就是的重心．
教材重現(xiàn)：
（1）初步觀察：
連接，則與的數(shù)量關(guān)系是：；
（2）初步探究：
請幫助瑩瑩求出的面積；
（3）猜想驗證；
瑩瑩通過測量驚奇地發(fā)現(xiàn)，．她的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請說明理由；
（4）拓展探究：
瑩瑩把剪下后得△，發(fā)現(xiàn)可以與拼成四邊形，且拼的過程中點不與點重合，直接寫出拼成四邊形時的長．
【分析】（1）利用折疊的性質(zhì)即可得到答案；
（2）由折疊可知，，，利用勾股定理求得，連接，易得為的中位線，則，，于是，得到，進而可得，則，根據(jù)三角形面積公式可得，代入計算即可求解；
（3）連接，易得為的中位線，則，，于是，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（4）連接，由（2）知，則，利用勾股定理求得，由折疊可知，，，易證，由相似三角形的性質(zhì)可求得，則，分兩種情況討論：當與點重合時，此時；當點與點重合時，利用勾股定理求出即可．
【解答】解：（1）點與點重疊對折，得折痕，
（折疊的性質(zhì)），
；
故答案為：；
（2）由折疊可知，，，
在中，，
如圖，連接，
點、分別為、的中點，
為的中位線，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）正確，理由如下：
如圖，連接，
點、分別為、的中點，
為的中位線，
，，
，，
，
，
，；
（4）如圖，連接，
由（2）知，，
，
在中，，
由折疊可知，，，，
，
，
，
，即，
，
，
當與點重合時，如圖①②，連接，
此時；
，，
，
此時拼成的圖形為三角形，不符合題意；
當點與點重合時，如圖③④，
在中，，
．
綜上，的長為或．
【點評】本題主要考查折疊的性質(zhì)、中線的定義、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是讀懂題意，熟知折疊的性質(zhì)，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想解決問題．
5．（2023?南關(guān)區(qū)四模）如圖，是的直徑，．動點從點出發(fā)，在上沿順時針方向運動到終點，速度為每秒個單位．同時動點從點出發(fā)，在上沿順時針方向運動，速度為每秒個單位．當點到達終點時，點也隨之停止運動．連結(jié)、．設(shè)點的運動時間為秒．
（1）的周長為；
（2）當點與點重合時，求所在的扇形的面積；
（3）當時，求的值；
（4）作半徑的垂直平分線交于點、，連結(jié)．當將線段分成的兩部分時，直接寫出的值．
【分析】（1）直接利用圓的周長公式計算即可；
（2）當點與點重合時，根據(jù)點走過的弧長弧的長點走過的弧長列出方程，求出值，于是可求出所在扇形的圓心角度數(shù)，進而利用扇形的面積公式求解即可；
（3）分兩種情況：當點與點重合前，當點與點重合前．根據(jù)兩點走過的弧長關(guān)系列出方程，求解即可；
（4）情況一：連接，，，，交于點，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)易得為等邊三角形，為等邊三角形，進而得到四邊形為菱形，易得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，由等邊三角形三線合一可知垂直平分，于是可得，則，利用此時的長點的運動速度即可得到時間；情況二：同情況一方法即可求解．
【解答】解：（1）的周長為；
故答案為：；
（2）當點與點重合時，
，
解得：，
點走過的圓心角度數(shù)為，
所在的扇形的面積為；
（3）當點與點重合前，，
則，
解得：；
當點與點重合后，，
，
解得：；
綜上，或；
（4）情況一：如圖，連接，，，，交于點，，
垂直平分，
，
，
，
為等邊三角形，
，
同理可得：為等邊三角形，
，，
，，
四邊形為菱形，
，
，
，即，
，
垂直平分，
，，
，，
，即，
，
，
；
情況二：連接，，，，交于點，，
同理可得：，
，
．
綜上，或．
【點評】本題主要考查圓的面積公式、扇形的面積公式、弧長公式、一元一次方程的應(yīng)用、線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)等，理清題意，學(xué)會利用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題關(guān)鍵．
6．（2023?海曙區(qū)校級三模）如圖1，在菱形中，，點是對角線上的動點，是的外接圓，，設(shè)的半徑為，．
（1）如圖2，當時，求證：是切線；
（2）延長交射線于點．
①如圖3，若為直徑，求的長；
②如圖4，若點、、三點共線，求的值；
（3）當時，直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式：．
【分析】（1）連接并延長交于點，連接，由此得，然后根據(jù)以及菱形的性質(zhì)可證：，據(jù)此可得，進而利用切線的判定可得出結(jié)論；
（2）①連接，根據(jù)已知條件可求出，進而根據(jù)和相似，然后列出比例式即可求出的長；
②延長與交于點，連接，，與交于，先證明，再證，根據(jù)已知條件分別求出，，可設(shè)，則，，然后在中，由勾股定理求出，進而求出的長和的長，最后根據(jù)和相似可得出答案；
（3）作的直徑，連接，連接交于點，由，則，在中，由勾股定理求出，再由得，進而得，最后在中，由勾股定理可得出與的函數(shù)關(guān)系式．
【解答】（1）證明：作的直徑，連接，
為的直徑，
，
，
又，
，
，
，
四邊形為菱形，
，
，
即：，
又為的半徑，
為的切線．
（2）解：①連接，
為的直徑，
，
四邊形為菱形，，
，
在中，，
即：，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，，
，，
由得：，
將代入，得：．
②延長與交于點，連接，，與交于，
四邊形為菱形，
，，且，，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
在中，，
即：，
設(shè)，則，
在中，，
即：，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，（不合題意，舍去），
，
又，
，
，
，
．
（3）解：．理由如下：
作的直徑，連接，連接交于點，
由（2）可知：，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
為直徑，
，，
，
，
在中，，
，
在中，由勾股定理得：，
即：，
，
，
．
故答案為：．
【點評】此題主要考查了圓周角的性質(zhì)，切線的判定，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)、勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的判定，直徑所對的圓周角是直角．構(gòu)造圓的直徑，利用直徑所對的圓周角是直角構(gòu)造直角三角形，并利用三角函數(shù)的定義找出相關(guān)線段的關(guān)系是解答此題的難點．
7．（2024?廬江縣一模）已知：如圖，和中，，，，且點、、在一條直線上，聯(lián)結(jié)、，與交于點．
（1）求證：；
（2）若，求的值．
【分析】（1）根據(jù)已知易證，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得，，從而可得，進而證明8字模型相似，最后利用相似三角形的性質(zhì)可得，等量代換得出，即可解答；
（2）利用（1）的結(jié)論可得：，從而可得，進而可證字模型相似，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再利用（1）的結(jié)論可得：，從而可得，進而可得，最后根據(jù)黃金分割的定義可得點是的黃金分割點，從而可得，進而可得，進行計算即可解答．
【解答】證明：（1），，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：由（1）得：，
，
，
，
，
，
，
由（1）得：，
，
，
點是的黃金分割點，
，
，
，
的值為．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，黃金分割，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，黃金分割是解題的關(guān)鍵．
8．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級二模）四邊形內(nèi)接于，是的直徑，連結(jié)交于點，，垂足為．
（1）如圖1，若交于點．
①求證：；
②若的直徑為10，，，求的長．
（2）如圖2，若交于點，連結(jié)，若，，，求的直徑．
【分析】（1）①易得，利用同角的余角相等得，結(jié)合圓周角定理即可得證；
②過點作于點，由題意易得，，，，結(jié)合知，進而利用證明，得到，于是，
，最后利用勾股定理求解即可；
（2）設(shè)交于點，過點作于點，鏈接并延長交于點，延長交于點，連接，易得，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)依次得出，，，，，于是，則，易得，于是，，得到，設(shè)的半徑為，則，，以此列出方程求解即可．
【解答】（1）①證明：是的直徑，，
，
，，
，
又，
，
．
②解：如圖，過點作于點，
在中，，，
，
由勾股定理得，
，，
在中，，，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，即，
．
（3）解：如圖，設(shè)交于點，過點作于點，鏈接并延長交于點，延長交于點，連接，
，，
，
，
，，
又，
，
，
，
為的直徑，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，即，
設(shè)的半徑為，則，，
，
，
的直徑為．
【點評】本題主要考查圓周角定理、銳角三角形函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)等，屬于圓的綜合題，難度較大，是中考壓軸題．解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用平行線和相似三角形的性質(zhì)解決問題．
9．（2023?谷城縣模擬）在和中，，，點在線段上．
（1）【特例證明】如圖（1），當時，，證明：；
（2）【類比探究】如圖（2），當，點是線段上任一點時，證明：
①；
②；
（3）【拓展運用】如圖（3），當時，，，求長．
【分析】（1）證明，得到，進而推出，得到，推出，即可得證；
（2）①證明，得到，進而推出；②根據(jù)，得到，推出，即可得證；
（3）設(shè)，，證明，得到，求出，在等腰中，求出，在中，求出，在中求出，進而推出，求出的值，即可得解．
【解答】（1）證明：，
又，
，
，
，
，
，
，
；
（2）證明：①，
又，
，
，
，
；
②，
，
，
，
；
（3）解：，
設(shè)，，則，
，
又，
，
，
，
在等腰中，，
，
在中，，，
，
，
在等腰中，，
，
由（2）知，
在中，，，
，
，
，
．
【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
10．（2023?深圳模擬）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知四邊形是正方形，點為邊上一點（不與端點重合），連接，作點關(guān)于的對稱點，的延長線與的延長線交于點，連接，．
①小明探究發(fā)現(xiàn)：當點在上移動時，．并給出如下不完整的證明過程，請幫他補充完整．
證明：延長交于點．
②進一步探究發(fā)現(xiàn)，當點與點重合時， 22.5 ．
（2）【類比遷移】如圖②，四邊形為矩形，點為邊上一點，連接，作點關(guān)于的對稱點，的延長線與的延長線交于點，連接，，．當，，時，求的長；
（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，已知四邊形為菱形，，，點為線段上一動點，將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點落在菱形的邊上（頂點除外）時，如果，請直接寫出此時的長．
【分析】（1）①延長交于點，則由對稱可知，結(jié)合得到，由正方形的性質(zhì)得到、，從而證明；
②當點與點重合時，由對稱可知，然后由①得到；
（2）延長交于點，由對稱可知點是的中點、，結(jié)合得到，從而有是的中位線，得到點是的中點，從而求得，再由勾股定理求得的長；由（1）①得，得到，進而借助相似三角形的性質(zhì)求得的長，然后由中位線的性質(zhì)求得的長；
（3）以點為圓心，的長為半徑作圓弧，與和的交點即為點，然后分點在上和點在上討論，延長交于點，然后借助（1）（2）的思路求解．
【解答】（1）①證明：如圖①，延長由對稱可知，，
，
，
四邊形是正方形，
，，
在和中，
，
．
②解：如圖1，當點與點重合時，由對稱可知，
四邊形是正方形，
，
，
由①得到，
，
故答案為：．
（2）解：如圖2，延長交于點，
由對稱可知，點是的中點，，
，
，
是的中位線，
點是的中點，
，
，
由（1）①得，，，
，
，
，
，
，
是的中位線，
．
（3）以點為圓心，的長為半徑作圓弧，與和的交點即為點，
①如圖3，當點在上時，延長交于點，
由（1）①可得，，且，
四邊形為菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如圖4，當點在上時，延長交于點，則，，，
，
，
四邊形是菱形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
設(shè)，則，
在中，，
，
解得：，
，
綜上所述，的長為或．
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，解題的關(guān)鍵是通過菱形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理得到，從而得到相似三角形或全等三角形，難度較大，需要學(xué)生學(xué)會利用前面所學(xué)的知識解答后面的題目，具有很強的綜合性，是中考常考題型．
11．（2023?羅湖區(qū)二模）如圖1，已知：內(nèi)接于圓，，連接并延長，交于點．
（1）求證：；
（2）如圖2，過點作于點，交圓于點，交于點，連接、，求證：；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，，，求的長．
【分析】（1）連接、，證明是線段的垂直平分線，問題得證；
（2）先證明，進而證明，即可證明；
（3）連接，先求出，，再證明，得到，設(shè)，則，分別得到，，，證明，得到，求出，從而得到，根據(jù)，，即可求出．
【解答】（1）證明：如圖，連接、，
，，
點、都在線段的垂直平分線上，
是線段的垂直平分線，
；
（2）證明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如圖，連接，
，，
是線段的垂直平分線，
，
是線段的垂直平分線，
．
，
．
，，
，
，
，
．
設(shè)，則，
，
在中，，
，，
．
，，
，
，即，
，
整理得，
解得（不合題意，舍去），
，
，，
．
【點評】本題為圓的綜合題，考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，一元二次方程的應(yīng)用，直角三角形的性質(zhì)等知識，綜合性強，第（3）問難度較大，熟知相關(guān)性質(zhì)，并根據(jù)題目中已知條件靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
題型二：相似三角形基本模型（A字型）
1．（2023?無錫）如圖，是的直徑，為的切線，與相交于點．，交的延長線于點，．
（1）求的度數(shù)；
（2）若，求的半徑．
【分析】（1）連接，利用切線性質(zhì)和平行線性質(zhì)求得，再利用圓周角定理求得的度數(shù)，最后利用等邊對等角及三角形內(nèi)角和定理即可求得答案；
（2）結(jié)合（1）中所求易證得，再利用相似三角形性質(zhì)及勾股定理即可求得答案．
【解答】解：（1）如圖，連接，
為的切線，
，
，
，
，
，
；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
即的半徑為2．
【點評】本題考查圓與相似三角形的綜合應(yīng)用，（2）中利用相似三角形的判定及性質(zhì)求得是解題的關(guān)鍵．
2．（2024?武威一模）已知：如圖，點在三角形的邊上，交于點，，點在上，且．
求證：（1）；
（2）．
【分析】（1）利用已知可得，然后利用平行線分線段成比例證明即可；
（2）利用兩邊成比例且夾角相等來證明即可．
【解答】證明：（1），
，
；
（2），
，
由（1）得：，
．
，
．
【點評】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定，熟練掌握字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．
3．（2024?武漢模擬）如圖，是的外接圓，，，是的切線，切點分別為，．
（1）求證：；
（2）連接，與交于點，連接，，若，求的值．
【分析】（1）連接并延長交與點，由垂徑定理可得，再由切線的性質(zhì)即可得，根據(jù)平行線、三角形的性質(zhì)得出，即可得證；
（2）因為，所以，已知，設(shè)，可得、、、的長，因為，是的切線，所以垂直平分，即是的中點，可得、的長，因為，，，所以，可得四邊形是矩形，、，因為，，可得、、、的長，因為，，可得、、的長，由勾股定理可得的長，因為，所以，因為，可得，所以，因為是的中點，所以，即，，可得、、的長，由勾股定理求得的長，可得的值．
【解答】（1）證明：連接并延長交于點，
，
，
，
，是的切線，
，，
，．
，
，
，
即，
；
（2）過點作，交于點，過作，交延長線于點，
，
，
，
，
設(shè)，則，，，
，是的切線，
垂直平分，即是的中點，
，
，，，
，
四邊形是矩形，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的中點，
，即，，
，，，
，
，
故答案為：．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．
4．（2024?巴彥縣一模）為了加強視力保護意識，歡歡想在書房里掛一張測試距離為的視力表，但兩面墻的距離只有．在一次課題學(xué)習(xí)課上，歡歡向全班同學(xué)征集“解決空間過小，如何放置視力表問題”的方案，其中甲、乙兩位同學(xué)設(shè)計方案新穎，構(gòu)思巧妙．
（1）甲生的方案中如果大視力表中“”的高是，那么小視力表中相應(yīng)“”的高是多少？
（2）乙生的方案中如果視力表的全長為，請計算出鏡長至少為多少米．
【分析】（1）根據(jù)兩組對角相等證明，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解；
（2）作于點，延長線交于點，先證△，再根據(jù)相似三角形的相似比等于高的比列式求解．
【解答】解：（1）由題意知，，
，
又，
，
，
由題意知，，，，
，
解得，
即小視力表中相應(yīng)“”的高是；
（2）如圖，作于點，延長線交于點，
由題意知，，
，，
，
，
，，
△，
，
由題意知，，，
，
，
，
鏡長至少為．
【點評】本題考查相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2024?汝南縣一模）某“綜合與實踐”小組開展測量本校旗桿高度的實踐活動．他們制訂了測量方案，并利用課余時間完成了實地測量，測量報告如下．
請根據(jù)以上測量結(jié)果及該小組的思路．求學(xué)校旗桿的高度．
【分析】根據(jù)題意可得：，，，，從而可得，然后證明字模型相似，從而利用相似三角形的性質(zhì)求出的長，最后利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答．
【解答】解：由題意得：，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
學(xué)校旗桿的高度．
【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．
6．（2024?雁塔區(qū)校級二模）陽光明媚的一天實踐課上，亮亮準備用所學(xué)知識測量教學(xué)樓前一座假山的高度，如圖，亮亮在地面上的點處，眼睛貼地觀察，看到假山頂端、教學(xué)樓頂端在一條直線上．此時他起身在處站直，發(fā)現(xiàn)自己的影子末端和教學(xué)樓的影子末端恰好重合于點處，測得米，亮亮的身高為1.6米．假山的底部處因有花園圍欄，無法到達，但經(jīng)詢問和進行部分測量后得知，米，點、、、在一條直線上，，，，已知教學(xué)樓的高度為16米，請你求出假山的高度．
【分析】依據(jù)，可得，進而得出米．再根據(jù)，可得，進而得出假山的高度為8米．
【解答】解：，，
，
，
，即，
解得．
，，
，
，
，即，
解得，
假山的高度為8米．
【點評】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．
7．（2024?錦江區(qū)模擬）如圖，為了測量山坡的護坡石壩壩頂與壩腳之間的距離，把一根長為6米的竹竿斜靠在石壩旁，量出竿長1米處距離地面的高度為0.6米，又測得石壩與地面的傾斜角為．求石壩壩頂與壩腳之間的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，
【分析】過點作，垂足為，根據(jù)垂直定義可得，然后證明字模型相似，從而利用相似三角形的性質(zhì)可求出的長，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．
【解答】解：過點作，垂足為，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
在中，，
（米，
石壩壩頂與壩腳之間的距離約為3.8米．
【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
8．（2024?西安校級模擬）為了測量物體的高度，小小帶著工具進行測量，方案如下：如圖，小小在處放置一平面鏡，她從點沿后退，當退行2米到處時，恰好在鏡子中看到物體頂點的像，此時測得小小眼睛到地面的距離為1.5米；然后，小小在處豎立了一根高1.8米的標桿，發(fā)現(xiàn)地面上的點、標桿頂點和物體頂點在一條直線上，此時測得為2.6米，為3.5米，已知，，，點、、、、在一條直線上．請根據(jù)以上所測數(shù)據(jù)，計算的高度．
【分析】根據(jù)題意可得：，再根據(jù)垂直定義可得，從而可得，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得，再證明字模型相似，從而利用相似三角形的性質(zhì)進行計算，即可解答．
【解答】解：由題意得：，
，，，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
解得：，
的高度為72.9米．
【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．（2024?西安校級四模）每到三月就會讓人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的標志性景點，為了測出雷峰塔的高度，初三學(xué)生小白設(shè)計出了下面的測量方法：已知塔前有一4米高的小樹，發(fā)現(xiàn)水平地面上點、樹頂和塔頂恰好在一條直線上，測得米，、之間有一個花圃無法測量，然后在處放置一個平面鏡，沿后退．退到處恰好在平面中看到樹頂?shù)南瘢藭r米，測量者眼睛到地面的距離為1.6米，求出塔高．
【分析】根據(jù)題意可得：，，，，從而可得，然后證明，從而利用相似三角形的性質(zhì)求出的長，再證明字模型相似，從而利用相似三角形的性質(zhì)進行計算，即可解答．
【解答】解：由題意得：，，，，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
解得：，
塔高為．
【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
10．（2024?鹽城模擬）《海島算經(jīng)》是我國魏晉時期的著名數(shù)學(xué)家劉徽所撰，該書研究的對象全是有關(guān)高與距離的測量，因首題測算海島的高、遠，故而書名由此而來，它是中國最早的一部測量數(shù)學(xué)著作，亦為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．書中第四題為：今有望深谷，偃距岸上，令勾高六尺，從勺端望谷底，入下股九尺一寸，又設(shè)重矩于上，其矩間相去三丈尺），更從勺端望谷底，入上股八尺五寸，問谷深幾何？大致譯文如下：現(xiàn)在要測量谷的深度，拿一個高為6尺的“矩尺” 仰放在岸上，從處望向谷底在上），下股為9.1尺，在的延長線上重新放置“矩尺” ，其中尺，尺，從處望向谷底在上），下股為8.5尺，求谷的深度．（已知、、
【分析】先證明字模型相似三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，進而可得，然后證明字模型相似三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，進而可得，最后可得，進行計算即可解答．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
谷的深度為419尺．
【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，數(shù)學(xué)常識，熟練掌握字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．
11．（2024?河南一模）“度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望．觸類而長之，則雖幽遐詭伏，靡所不入”就是說，使用多次測量傳遞的方法，就可以測量出各點之間的距離和高度差．
——劉徽《九章算術(shù)注序》
某市科研考察隊為了求出某海島上的山峰的高度，如圖，在同一海平面的處和處分別樹立標桿和，標桿的高都是5.5米，兩處相隔80米，從標桿向后退11米的處，可以看到頂峰和標桿頂端在一條直線上；從標桿向后退13米的處，可以看到頂峰和標桿頂端在一條直線上．求山峰的高度及它和標桿的水平距離．
注：圖中各點都在一個平面內(nèi)．
【分析】根據(jù)題意可得：，，，從而可得，然后證明字模型相似，，從而利用相似三角形的性質(zhì)進行計算，即可解答．
【解答】解：由題意得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
解得：，
山峰的高度為225.5米，它和標桿的水平距離為440米．
【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．
12．（2023?益陽）如圖，在中，，，點在邊上，將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，線段交于點，作于點，與線段交于點，連接，．
（1）求證：△；
（2）求證：；
（3）若，，當平分四邊形的面積時，求的長．
【分析】（1）利用證明；
（2）要證，也就是證明，但“兩個角對應(yīng)相等”的條件不夠，所以想到“夾角相等，對應(yīng)邊成比例”，只要證明即可．
（3）設(shè)，利用建立方程求解．
【解答】（1）證明：，，
，
，，
△；
（2）證明：，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
設(shè)，則，，
，
，
△△，
，
，
，
，平分四邊形的面積，
，
，
，（舍，
．
【點評】本題考查了三角形全等和相似，對應(yīng)（3），設(shè)，利用什么等量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵．
13．（2024?沭陽縣校級模擬）圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，小華和小芳對等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)變換進行了研究．如圖①，已知和均為等腰直角三角形，點，分別在線段，上，且．
（1）觀察猜想小華將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，連接，，設(shè)的延長線交于點，如圖②，當點與點重合時：
①的值為；
②的度數(shù)為度；
（2）類比探究：如圖③，小芳在小華的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，連接，，（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；
（3）拓展延伸：若，，當所在的直線垂直于時，直接寫出的長．
【分析】（1）①如圖②中，設(shè)交于點．證明，推出；
②依據(jù)，推導(dǎo)出，進而得到，可得結(jié)論；
（2）如圖③中，設(shè)交于點．證明，可得結(jié)論；
（3）分兩種情形：如圖④中，當于時，如圖④中，當時，延長交于．分別求出，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）①如圖②中，設(shè)交于點．
，都是等腰直角三角形，
，，，
，；
，
；
②，
，
，
，
故答案為：，45；
（2），仍然成立，理由如下：
如圖③中，設(shè)交于點．
，都是等腰直角三角形，
，，，
，，
，
，，
，
，
，；
（3）如圖中，當于時，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
如圖④中，當時，延長交于．
同理可得，，，
，
綜上所述，的長為或．
【點評】本題考查了相似形綜合應(yīng)用，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．
14．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級二模）四邊形內(nèi)接于，是的直徑，連結(jié)交于點，，垂足為．
（1）如圖1，若交于點．
①求證：；
②若的直徑為10，，，求的長．
（2）如圖2，若交于點，連結(jié)，若，，，求的直徑．
【分析】（1）①易得，利用同角的余角相等得，結(jié)合圓周角定理即可得證；
②過點作于點，由題意易得，，，，結(jié)合知，進而利用證明，得到，于是，
，最后利用勾股定理求解即可；
（2）設(shè)交于點，過點作于點，鏈接并延長交于點，延長交于點，連接，易得，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)依次得出，，，，，于是，則，易得，于是，，得到，設(shè)的半徑為，則，，以此列出方程求解即可．
【解答】（1）①證明：是的直徑，，
，
，，
，
又，
，
．
②解：如圖，過點作于點，
在中，，，
，
由勾股定理得，
，，
在中，，，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，即，
．
（3）解：如圖，設(shè)交于點，過點作于點，鏈接并延長交于點，延長交于點，連接，
，，
，
，
，，
又，
，
，
，
為的直徑，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，即，
設(shè)的半徑為，則，，
，
，
的直徑為．
【點評】本題主要考查圓周角定理、銳角三角形函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)等，屬于圓的綜合題，難度較大，是中考壓軸題．解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用平行線和相似三角形的性質(zhì)解決問題．
15．（2024?黃埔區(qū)一模）如圖，在矩形和矩形中，，，，．矩形繞著點旋轉(zhuǎn)，連接，，，．
（1）求證：；
（2）當?shù)拈L度最大時，
①求的長度；
②在內(nèi)是否存在一點，使得的值最??？若存在，求的最小值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)題意，計算出，，然后求得，即可證明；
（2）①當，，三點共線時，，的長度最大，由（1）知，，，，，可得，，因此．
②如圖3，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，且使，連接，根據(jù)邊角關(guān)系，可得；同理將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，且使，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)，可得，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等可得：，因此，由于，即，因此當，，，四點共線時，最小，由題意可知：，，，，過點作垂直的延長線于點，可得，可知，，在中，根據(jù)勾股定理得，因此的最小值為．
【解答】（1）證明：四邊形為矩形，，，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：①如圖2，，當，，三點共線時，，的長度最大，
由（1）知，，，，，
，，
．
解：②如圖3，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，且使，連接，
根據(jù)邊角關(guān)系，可得；
同理將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，且使，連接，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)，可得，
根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等可得：，
，
，即，
當，，，四點共線時，最小，
由題意可知，，，，過點作垂直的延長線于點，可得，
，，
在中，根據(jù)勾股定理得，
的最小值為．
【點評】本題考查的是相似形綜合題，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
題型三：相似基本模型（K字型（一線三等角））
1．（2022?郴州）如圖1，在矩形中，，．點是線段上的動點（點不與點，重合），連接，過點作，交于點．
（1）求證：；
（2）如圖2，連接，過點作，垂足為，連接．點是線段的中點，連接．
①求的最小值；
②當取最小值時，求線段的長．
【分析】（1）由矩形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)證出，根據(jù)相似三角形的判定可得出結(jié)論；
（2）①連接，由直角三角形的性質(zhì)得出，則點在以點為圓心，3為半徑的圓上，當，，三點共線時，，此時，取得最小值，由勾股定理求出，則可得出答案；
②方法一：過點作交于點，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，則，得出，證明，得出比例線段，列出方程，解得，求出，由（1）得，設(shè)，則，得出方程，解得或，則可得出答案．
方法二：過點作交于點，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，求出，，證明，得出，求出，則可得出，后同方法一可求出的長．
【解答】（1）證明：四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①連接，如圖2，
，
是直角三角形，
點是的中點，
，
點在以點為圓心，3為半徑的圓上，
當，，三點不共線時，由三角形兩邊之和大于第三邊得：，
當，，三點共線時，，
此時，取得最小值，
在中，，
的最小值為5．
②方法一：
如圖3，過點作交于點，
，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
由（2）可知的最小值為5，
即，
又，
，
，
解得，
即，
由（1）得，
設(shè)，則，
，
解得：或，
，，
或．
方法二：
如圖4，過點作交于點，
，
，
由（2）可知的最小值為5，
即，
又，
，
，，
由得，
，
即，
解得，
．
由（1）得，
設(shè)，則，
，
解得：或，
，，
或．
【點評】本題是相似形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2024?太白縣一模）為完成社會實踐活動，曉玲打算去測量大雁塔南廣場上佇立著的玄奘雕塑．曉玲自制了一個矩形紙板，按如圖所示在地面固定紙板，使得雕塑頂端在的延長線上，并在頂點處懸掛一個鉛錘，恰好交于點，測得點到雕塑的距離為，，，點到地面的距離為，，，于點，所有點都在一個平面內(nèi)，請求出玄奘雕塑的高．
【分析】根據(jù)垂直定義可得，再利用平行線的性質(zhì)可得，從而可得，然后利用矩形的性質(zhì)可得，從而可得，再利用同角的余角相等可得，從而可證，最后利用相似三角形的性質(zhì)進行計算，即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
點到地面的距離為，
，
，
玄奘雕塑的高為．
【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，熟練掌握一線三等角模型是解題的關(guān)鍵．
3．（2023?武昌區(qū)模擬）【問題背景】（1）如圖1，點，，在同一直線上，，求證：；
【問題探究】（2）在（1）條件下，若點為的中點，求證：；
【拓展運用】（3）如圖2，在中，，點是的內(nèi)心、若，，則的長為 10 ．
【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得，即可證明結(jié)論；
（2）由，得，可說明，進而證明結(jié)論成立；
（3）過點作交于點，交于點，可知是等腰直角三角形，再說明，可得和的長，最后利用勾股定理求出的長．
【解答】（1）證明：，，
，
，
；
（2）證明：，
，
，
又，
，
，
；
（3）解：如圖所示，過點作交于點，交于點，
點是的內(nèi)心，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
為直角三角形，
，
故答案為：10．
【點評】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，勾股定理等知識，熟練掌握一線三等角基本模型是解題的關(guān)鍵．
4．（2023?灞橋區(qū)校級四模）問題提出：（1）如圖①，在等邊中，，為三等分點，連接，在右側(cè)作，求的長；
問題解決：（2）如圖②，在矩形場地中，米，米，為對角線，現(xiàn)在要在邊上設(shè)置一個門，在上安裝一個掃描儀器，該掃描儀的范圍為（即，經(jīng)過測試將掃描范圍設(shè)置為時，效果最佳，以、、、四點為頂點搭建一個帳篷，則將掃描儀放置距離多長距離時，四邊形面積最大，最大面積為多少？
【分析】（1）先利用等邊三角形的性質(zhì)可得，，從而可得，根據(jù)已知易得，從而可得，再利用平角定義可得，從而可得，然后證明，從而利用相似三角形的性質(zhì)進行計算可求出的長，進而求出的長，即可解答；
（2）過點作，垂足為，延長到點，使，連接，可得是的垂直的平分線，從而可得米，進而可得，再利用矩形的性質(zhì)可得，從而在中，利用勾股定理可得米，進而可得，，然后根據(jù)已知可得，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，再設(shè)米，則米，最后證明，從而利用相似三角形的性質(zhì)可求出米，進而可得米，再根據(jù)四邊形的面積矩形的面積的面積，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．
【解答】解：（1）是等邊三角形，
，，
，
為三等分點，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的長為7；
（2）過點作，垂足為，延長到點，使，連接，
是的垂直的平分線，
米，
，
四邊形是矩形，
，
米，米，
（米，
，，
，
，
，
在中，（米，
（米，
設(shè)米，則米，
，，
，
，
，
，
米，
米，
四邊形的面積矩形的面積的面積
，
當時，四邊形的面積最大，最大值為98400平方米，
將掃描儀放置距離米時，四邊形面積最大，最大面積為98400平方米．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
5．（2022?赤峰）同學(xué)們還記得嗎？圖①，圖②是人教版八年級下冊教材“實驗與探究”中我們研究過的兩個圖形．受這兩個圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個問題，請你回答：
【問題一】如圖①，正方形的對角線相交于點，點又是正方形的一個頂點，交于點，交于點，則與的數(shù)量關(guān)系為；
【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線、經(jīng)過正方形的對稱中心，直線分別與、交于點、，直線分別與、交于點、，且，若正方形邊長為8，求四邊形的面積；
【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形的頂點在正方形的邊上，頂點在的延長線上，且，．在直線上是否存在點，使為直角三角形？若存在，求出的長度；若不存在，說明理由．
【分析】【問題一】利用判斷出，即可得出答案；
（2）先求出，再利用判斷出，即可求出答案；
【問題三】分三種情況：利用三垂線構(gòu)造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．
【解答】解：【問題一】正方形的對角線相交于點，
，，，
四邊形是正方形，
，
，
，
，
故答案為：；
【問題二】如圖③，
連接，，
點是正方形的中心，
，
點是正方形的中心，
，，，
，
，
，
，
，
；
【問題三】在直線上存在點，使為直角三角形，
①當時，如圖④，延長，相交于點，
四邊形和四邊形是正方形，
，，
四邊形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②當時，如圖⑤，
同①的方法得，，
，
，
，
或；
③當時，如圖⑥，
過點作的平行線交的延長線于，延長，相交于，
同①的方法得，四邊形是矩形，
，，，
同①的方法得，四邊形是矩形，
，，
，
同①的方法得，，
，
，
，
，
即的長度為2或3或6或7．
【點評】此題是幾何變換綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出相似三角形和全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
6．（2024?濱海縣一模）【感知】如圖①，在正方形中，為邊上一點，連結(jié)，過點作交于點．易證：．（不需要證明）
【探究】如圖②，在矩形中，為邊上一點，連結(jié)，過點作交于點．
（1）求證：．
（2）若，，為的中點，求的長．
【應(yīng)用】如圖③，在中，，，．為邊上一點（點不與點、重合），連結(jié)，過點作交于點．當為等腰三角形時，的長為或2 ．
【分析】【探究】（1）利用同角的余角相等得，從而證明結(jié)論；
（2）由（1）知，得，代入計算即可；
【應(yīng)用】如果，則，，則點與點重合，點與點重合，不符合題意；如果，利用證明，得，可得答案；如果，則，則，則，從而解決問題．
【解答】【探究】（1）證明：四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
又，
；
（2）解：為的中點，
，
由（1）知，
，
即，
；
【應(yīng)用】解：如果，則，，則點與點重合，點與點重合，不符合題意，
②如果，則，
為的外角，
，
，，
，
，
，
，
又，，
，
，
，，，
，
；
如果，則，
，
在中，，
，
，
又，
點為的中點，
，
綜上，的長為或2，
故答案為：或2．
【點評】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，運用分類思想是解決【應(yīng)用】的關(guān)鍵．
7．（2023?武漢模擬）點在的延長線上，且．
（1）如圖（1），若，求證：；
（2）如圖（2），若，，若，則的值為；（直接寫出）
（3）如圖（3），連接，若，，求證：．
【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，從而證明結(jié)論；
（2）過點作交于點，由（1）可得，則，設(shè)，則，，，即可得出答案；
（3）延長到點，使得，連接，同理得，得，證明，說明，進而解決問題．
【解答】（1）證明：，，
，
，
；
（2）解：如圖（2），過點作交于點，
，
，，
，
，
，
，
，
，
由（1）可得，
，
設(shè)，則，，
，
，
故答案為：；
（3）證明：如圖（3），延長到點，使得，連接，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，，，
，
，
又，
，
，
．
【點評】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造一線三等角基本模型是解題的關(guān)鍵．
8．（2023?榆次區(qū)一模）問題情境：
在綜合實踐課上，同學(xué)們以“正方形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展活動．如圖①，四邊形和四邊形都是正方形，邊長分別是12和13，將頂點與頂點重合，正方形繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，連接，．
初步探究：
（1）試猜想線段與的關(guān)系，并加以證明；
問題解決：
（2）如圖②，在正方形的旋轉(zhuǎn)過程中，當點恰好落在邊上時，連接，求線段的長；
（3）在圖②中，若與交于點，請直接寫出線段的長．
【分析】（1）先判斷出，，，進而判斷出，得出，，最后用等角的余角相等，即可得出結(jié)論；
（2）先求出，再判斷出，得出，，再判斷出，即可得出答案；
（3）先判斷出，得出，即可求出答案．
【解答】解：（1），，
證明：如圖1，
四邊形和四邊形是正方形，
，，，
，
，
，
，，
延長，相交于點，的延長線交于，
，
，
，
，
，
即，；
（2）在中，，，
根據(jù)勾股定理得，，
如圖2，過點作，交的延長線于，
四邊形是正方形，
，，
，
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
；
（3）如圖2，由（2）知，，
四邊形是正方形，
，
，
，
由（2）知，，，
，
．
【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，同角的余角相等，勾股定理，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形和解（2）（3）的關(guān)鍵．
9．（2023?商丘二模）綜合與實踐
【動手操作】如圖①，四邊形是一張矩形紙片，，．先將矩形對折，使與重合，折痕為，沿剪開得到兩個矩形．矩形保持不動，將矩形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點為．
【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖②，當點與點重合時，交于點，交于點，此時兩個矩形重疊部分四邊形的形狀是菱形，面積是；
（2）如圖③，當點落在邊上時，恰好經(jīng)過點，與交于點，求兩個矩形重疊部分四邊形的面積；
【引申探究】（3）當點落在矩形的對角線所在的直線上時，直線與直線交于點，請直接寫出線段的長．
【分析】（1）證四邊形是平行四邊形，再證，得，則平行四邊形是菱形，因此，設(shè)，則，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可解決問題；
（2）由勾股定理得，則，，再證，得，即可解決問題；
（3）分兩種情況，①點在線段上時，②點在線段的延長線上時，由相似三角形的性質(zhì)分別求出的長即可．
【解答】解：（1）四邊形是矩形，
，，，
由折疊的性質(zhì)得：四邊形和四邊形是矩形，
，，，，，
四邊形是平行四邊形，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，
，
即，
，
，
平行四邊形是菱形，
，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
，
故答案為：菱形，；
（2）在中，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）分兩種情況：
①點在線段上時，如圖④，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
②點在線段的延長線上時，如圖⑤，
，
，，
，
，
即，
解得：；
綜上所述，線段的長為或．
【點評】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，本題綜合性強，熟練掌握矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
10．（2023?金山區(qū)二模）如圖，已知在中，，點是邊中點，在邊上取一點，使得，延長交延長線于點．
（1）求證：；
（2）設(shè)的中點為點，
①如果為經(jīng)過、、三點的圓的一條弦，當弦恰好是正十邊形的一條邊時，求的值；
②經(jīng)過、兩點，聯(lián)結(jié)、，當，，時，求的半徑長．
【分析】（1）根據(jù)等邊對等角可得，再利用三角形的內(nèi)角和定理得到結(jié)論；
（2）①連接，根據(jù)正十邊形的中心角可得，推出，根據(jù)對應(yīng)邊成比例解題即可；
②由，得，過點作于點，則，等量代換得到的值，然后根據(jù)，求出的長，再利用勾股定理求出半徑長即可．
相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，中位線定理和正多邊形，
【解答】（1）證明：，，
，
，，
；
（2）①連接，
是的中點，，
，
為圓的直徑，
連接，設(shè)經(jīng)過、、三點的圓半徑為，
弦恰好是正十邊形的一條邊，
，
，
又、是、的中點，
，，
，
，
，
，，
，
則，即，
解得：（舍，
，
②，
，
又，
，，
，
設(shè)，
由①可知，，
，
，
，即，
如圖，過點作于點，
在中，，
，
解得，
，，
，是所在圓的半徑，
，
又，
，
，
，
，
，即，
解得：，
連接，
，
的半徑長為．
【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，中位線定理和正多邊形，綜合性較強，是壓軸題，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造三角形相似．
11．（2024?鐘樓區(qū)校級模擬）在同一平面內(nèi)，具有一條公共邊且不完全重合的兩個全等三角形，我們稱這兩個三角形叫做“共邊全等”．
（1）下列圖形中兩個三角形不是“共邊全等”是 ③ ；
（2）如圖1，在邊長為6的等邊三角形中，點在邊上，且，點、分別在、邊上，滿足和為“共邊全等”，求的長；
（3）如圖2，在平面直角坐標系中，直線分別與直線、軸相交于、兩點，點是的中點，、在的邊上，當以、、為頂點的三角形與 “共邊全等”時，請直接寫出點的坐標．
【分析】（1）由于第③個圖不符合共邊要求，所以圖③即為答案；
（2）為兩個全等三角形的公共邊，由于點在邊上，在邊上，兩個三角形的位置可以如圖②，在公共邊異側(cè)，構(gòu)成一個軸對稱圖形，也可以構(gòu)成一個平行四邊形（將圖③的兩條最長邊重合形成），分兩類討論，畫出圖形，按照圖②構(gòu)圖，會得到一個一線三等角模型，利用相似，列出方程來解決，按照平行四邊形構(gòu)圖，直接得到為等邊三角形，計算邊長即可求得；
（3）由題目要求，可以知道兩個全等三角形的公共邊為邊，由于要構(gòu)成，所以點只能在和邊上，當在邊上，兩個三角形可以在同側(cè)，也可以在異側(cè)，當在異側(cè)構(gòu)圖時，可以得到圖3和圖4，在圖3中，當在同側(cè)構(gòu)圖時，可以得到圖6，當在邊上時，只能落在上，得到圖7，利用已知條件，解三角形，即可求出點坐標．
【解答】解：（1）①②均符合共邊全等的特點，只有③，沒有公共邊，所以③不符合條件，
答案是③；
（2）①如圖1，當，且是共邊全等時，
，
，
是等邊三角形，
是等邊三角形，
，
，
，
②如圖2，當，且是共邊全等時，
，
，，
，
又，
，
又，
，
，
設(shè)，則，
，
解得，
，，
，
綜上所述，或；
（3）聯(lián)立，解得，
，
令，得，
，
，
為中點，
，
，
由題可得，點只能在邊和上，
①在上時，如圖3，，
，，
，
四邊形為平行四邊形，
為中點，
為中點，
又，
為中點，
，
②當在邊上，如圖4，，
，
如圖5，過作于，則，，
，
，
過作于，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
，
③當在邊上，在邊上時，如圖6，，
，，
過作于，
，，
，
，
設(shè)，
，
，
，
，
④當在上，在上時，，如圖7，
，
過，分別作得垂線，垂足分別為，，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
為中點，
為中點，
，
綜上所述，或或或．
【點評】此題是一道一次函數(shù)和三角形的綜合題，充分利用第一問的構(gòu)圖是此題的突破口，當點所在的位置不確定時，要注意分類討論，同時，利用已知數(shù)據(jù)解三角形是解決此題的基本能力要求．
12．（2023?梁溪區(qū)校級二模）如圖，以矩形的頂點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，已知，，將矩形繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn) 得到矩形．
（1）當點恰好落在軸上時，如圖1，求點的坐標；
（2）當點恰好落在矩形的對角線上時，求點的坐標；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，點是直線與直線的交點，點是直線與直線的交點，若，請直接寫出點的坐標．
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，再由勾股定理求出的長，即可得出結(jié)論；
（2）分兩種情況，①當點恰好落在矩形的對角線上時，設(shè)交于點，連接交于點，連接，證，得，，再證點、、三點共線，即可解決問題；
②當點恰好落在矩形的對角線上上時，過點作軸于點，過點作于點，證，求出，，同理，求出，，即可解決問題；
（3）分兩種情況討論，由面積法可求，再由勾股定理求出的值，即可解決問題．
【解答】解：（1）四邊形是矩形，
，，，
將矩形繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形，
，，，
，
點的坐標；
（2）分兩種情況：
①如圖2，當點恰好落在矩形的對角線上時，
設(shè)交于點，連接交于點，連接，
四邊形是矩形，
，，，
，
，
將矩形繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形，
，，，，，，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
點、、三點共線，
，，
點、點關(guān)于對稱，
，
點的坐標為；
②如圖3，當點恰好落在矩形的對角線上上時，過點作軸于點，過點作于點，
則，
將矩形繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
即，
解得：，，
同理：，
，
即，
解得：，，
，，
點的坐標為，；
綜上所述，點的坐標為或，；
（3）分兩種情況：
①如圖4，當點在點右側(cè)時，連接，過點作于點，
，
設(shè)，則，，
，，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
解得：（負值已舍去），
，
，
點的坐標為，；
②如圖5，當點在點左側(cè)時，連接，過點作于點，
，
設(shè)，則，，
，，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
點的坐標為，；
綜上所述，點的坐標為，或，．
【點評】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積以及分類討論等知識，本題綜合性強，熟練掌握矩形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
題型四：相似三角形基本模型（旋轉(zhuǎn)型（手拉手））
1．（2024?新都區(qū)模擬）如圖，已知矩形和矩形共用頂點，點在線段上，連接，，且．
（1）求證：；
（2）若，，，求的長．
【分析】（3）利用同角的余角相等可得，結(jié)合條件即可證明，以此即可得證；
（2）易得，結(jié)合（1）中結(jié)論并根據(jù)等角加等角相等得，再由勾股定理求得的長，于是得出的長，由可求出的長，最后再利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）證明：四邊形和四邊形均為矩形，
，即，
，
又，
，
．
（2）解：四邊形為矩形，
，，
，
，
，即，
在中，，，
，
，，
由（1）知，，
，，
，
，
在中，．
【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理，解題關(guān)鍵：（1）由同角的余角相等得到；（2）根據(jù)角之間的關(guān)系推理證明．
2．（2023?平遙縣二模）（1）【問題呈現(xiàn)】如圖1，和都是等邊三角形，連接，．請判斷與的數(shù)量關(guān)系：．
（2）【類比探究】如圖2，和都是等腰直角三角形，．連接，．請寫出與的數(shù)量關(guān)系：．
（3）【拓展提升】如圖3，和都是直角三角形，，且．連接，．
①求的值；
②延長交于點，交于點．求的值．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，證明，即可得解；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，直角邊與斜邊的關(guān)系，證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊的比等于相似比，即可求解；
（3）①根據(jù)，，可證，可得，在中，求出，在中，求出，再證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
②由①得：，由此可證，得，在中，根據(jù)余弦的計算方法即可求解．
【解答】解：（1）和都是等邊三角形，
，
，
在，中，
，
，
，
故答案為：．
（2）結(jié)論：或，理由如下：
和都是等腰直角三角形，，
，
，
，且，
，
，
或，
故答案為：或；
（3）①，，
，
，即，
，
設(shè)，，
在中，，
同理，在中，設(shè)，，則，
，，即，
，
；
②由①得：，
，
，
，
，
，
在中，
，
．
【點評】本題主要考查等邊三角形，等腰直角三角形，直角三角形，全等三角形，相似三角形的綜合，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023?山陰縣模擬）在學(xué)習(xí)鏡面反射后，小明知道了當入射光線與鏡面垂直時，反射光線將與入射光線重合，沿原路返回．他利用此現(xiàn)象設(shè)計了一個測量物體高度的工具．
在一次實際測量過程中，小明測得測高工具與建筑物的水平距離米，請計算建筑物的高度（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)．
【分析】通過過點作和的垂線，構(gòu)造相似三角形，再把所得線段相加，即可求得的長．
【解答】解：過點作垂線，垂足為，過點作垂線，垂足為，交于點．
，，且．
四邊形為矩形．
，
又，且，
．
．
又，且為中點，
，．
又
．
，得，
又．
．
又，
所以．
故建筑物的高度約為4.8米．
【點評】本題考查了用相似三角形解決實際問題，理解題意以及構(gòu)造出合適的相似三角形是解決本題的關(guān)鍵．
4．（2023?海城市校級三模）已知：點、、在同一條直線上，，線段、交于點．
（1）如圖1，若，
①問線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
②求的大?。ㄓ帽硎荆?br>（2）如圖2，若，，則線段與的數(shù)量關(guān)系為，（用表示）；
（3）在（2）的條件下，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，在備用圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），連接并延長交于點．則（用表示）．
【分析】（1）①先根據(jù)等腰三角形等角對等邊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出，則，再根據(jù)證明，從而得出；
②先由全等三角形的對應(yīng)角相等得出，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出；
（2）先根據(jù)等腰三角形等角對等邊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出，則，再由，，得出，則根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似證出，得出，，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出；
（3）先在備用圖中利用作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，再根據(jù)等腰三角形等角對等邊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出，由，，得出，從而證出，得出，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出．
【解答】解：（1）如圖1．
①，理由如下：
，，
，
，
同理可得：，
，
，
即：．
在與中，
，
，
；
②，
，
，
；
（2）如圖2．
，，
，
同理可得：，
，
，
即：．
，，
．
在與中，
，，
，
，，
；
，
．
故答案為：，；
（3）如圖．
，，
，
同理可得：，
，即．
，，
．
在與中，
，，
，
，
，，
．
故答案為：．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作圖旋轉(zhuǎn)變換，綜合性較強，有一定難度．由于全等是相似的特殊情況，所以做第二問可以借助第一問的思路及方法，做第三問又可以遵照第二問的做法，本題三問由淺入深，層層遞進，做好第一問是關(guān)鍵．
5．（2023?市中區(qū)校級四模）問題提出如圖1，在等邊內(nèi)部有一點，，，，求的度數(shù)．
數(shù)學(xué)思考當圖形中有一組鄰邊相等時，通過旋轉(zhuǎn)可以將分數(shù)的條件集中起來解決問題．
嘗試解決將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，則為等邊三角形．
，又，，．
△為直角三角形，
的度數(shù)為．
類比探究如圖2，在中，，，其內(nèi)部有一點，若，，，求的度數(shù)．
聯(lián)想拓展如圖3，在中，，，其內(nèi)部有一點，若，，，求的度數(shù)．
【分析】類比探究類比上面的例題，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△，利用勾股定理說明△為直角三角形；
聯(lián)想拓展，直接旋轉(zhuǎn)行不通，因為，所以旋轉(zhuǎn)后再放縮即可，利用三角形相似解決．
【解答】解：嘗試解決直角，；
類比探究將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，則為等腰直角三角形，
，
又，，
，
△為直角三角形，
，
．
聯(lián)想拓展如圖，在的左側(cè)構(gòu)造三角形，使，，
，，
，，
△，
，
，
，，
，
，
，
，
在△中，，，
，
，
．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的知識，是手拉手的變式，滲透了類比的思想，對于聯(lián)想拓展，因為，直接旋轉(zhuǎn)行不通，因為，所以想到三角形相似．
6．（2023?江漢區(qū)校級模擬）如圖，和都是直角三角形，，．
（1）如圖1，證明：；
（2）如圖2，延長，交于點，是的中點，連接，證明：；
（3）如圖3，若，，繞點旋轉(zhuǎn)，當點、、共線時，直接寫出的長或．
【分析】（1）由題意易得，利用相似三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)同角加等角相等可得，以此即可證明；
（2）由可得，以此可證、、、四點共圓（若線段同側(cè)兩點到線段兩端點連線夾角相等，那么這兩點和線段兩端點四點共圓），由圓周角定理得到是該圓的直徑，進而得到為圓心，以此即可證明；
（3）分兩種情況：當在的延長線上時，連接，由含30度角的直角三角形性質(zhì)可得，，，再利用勾股定理求出，則，由，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出；當在的延長線上時，連接，同理可得：，，，，此時，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】（1）證明：，．
，
，
，
，即，
，
；
（2）證明：，
，即，
、、、四點共圓，
，
是以、、、四點共圓的直徑，
為的中點，
是以、、、四點共圓的圓心，
；
解：（3）當在的延長線上時，如圖，連接，
，，
，，
，
，，
在中，，
在中，，
，
，
，即，
；
當在的延長線上時，如圖，連接，
同理可得：，，，，
，
，
，即，
．
綜上，的長為或．
故答案為：或．
【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、四點共圓、圓周角定理、含角的直角三角形、勾股定理，熟練掌握判定三角形相似的方法和相似三角形的性質(zhì)，并學(xué)會利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．
7．（2023?亳州二模）如圖1，在和中，，．
（1）①求證：；
②若，試判斷的形狀，并說明理由；
（2）如圖2，旋轉(zhuǎn)，使點落在邊上，若，．求證：．
【分析】（1）①根據(jù)兩個角相等可得，得，再根據(jù)，可證明結(jié)論；
②由①知，當時，，則是等腰三角形；
（2）同理證明，得，再利用直角三角形的兩個銳角互余，即可證明結(jié)論．
【解答】（1）①證明：，，
，
，
即，
又，
，
即，
；
②解：是等腰三角形，理由如下：
由①知，，
，
，
是等腰三角形；
（2）證明：，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點評】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（2024?邳州市校級一模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，和均為等邊三角形，點，，在同一直線上，連接．
①線段，之間的數(shù)量關(guān)系為；
②的度數(shù)為．
（2）拓展探究：
如圖2，和均為等腰直角三角形，，點，，在同一直線上，連接，求的值及的度數(shù)；
（3）解決問題：
如圖3，在正方形中，，若點滿足，且，請直接寫出點到直線的距離．
【分析】（1）①由“”可證，由全等三角形的性質(zhì)可求；
②由全等三角形的性質(zhì)可得，即可求解；
（2）首先證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，，即可求解；
（3）由題意可得點在以為圓心，為半徑的圓上，同時點也在以為直徑的圓上，即點是兩圓的交點，分兩種情況討論，由勾股定理即可求點到的距離．
【解答】解：（1）①和均為等邊三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
；
②，
，
，
，
；
故答案為：①，②；
（2）和均為等腰直角三角形，
，，，
，即，
，
，，
，
，
，
，
故，；
（3）點滿足，
點在以為圓心，為半徑的圓上，
，
點在以為直徑的圓上，
如圖3，點是兩圓的交點，若點在上方，連接，過點作于，過點作于，
，
，
，
，
，，
，四邊形是矩形，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
在中，，
即，
解得：或．
點到直線的距離為或．
【點評】本題是四邊形形綜合題，考查的是等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵．
9．（2023?開陽縣模擬）【特例感知】
（1）如圖①，和是等腰直角三角形，，點在上，點在的延長線上，連接，，寫出圖中一對你認為全等的三角形；
【類比遷移】
（2）如圖②，將圖1中的繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，那么第（1）問的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，說明理由．
【方法運用】
（3）如圖③，若，點是線段外一動點，，連接．若將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，是否有最小值，若有請求出最小值；若沒有，請說明理由．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)證明，可得結(jié)論；
（2）與（1）同理可證明（1）中結(jié)論成立；
（3）過點作，使得，連接，．判定，即可得到的長為定值，進而得出點的運動軌跡為以為圓心，長為半徑的圓，故當點在線段上時，存在最小值．
【解答】解：（1）和是等腰直角三角形，
，，
，
，
故答案為：；
（2）仍然成立．
，
，
和是等腰直角三角形，
，，
；
（3）有最小值．
如圖，過點作，使得，連接，，
與都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
點的運動軌跡為以為圓心，長為半徑的圓，
，
當點在線段上時，的最小值為．
【點評】本題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識的綜合運用．作輔助線構(gòu)造相似三角形是解決問題（3）的關(guān)鍵；確定點的運動軌跡為以為圓心，長為半徑的圓是難點所在．
10．（2023?獲嘉縣模擬）在中，，，為上的一點（不與端點重合），過點作交于點，得到．
（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，當時，為的中點時，與的數(shù)量關(guān)系為；
（2）【類比探究】如圖2，當時，繞點順時針旋轉(zhuǎn)，連接，，則在旋轉(zhuǎn)過程中與之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請說明理由；
（3）【拓展延伸】在（2）的條件下，已知，，當繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，，三點共線時，請直接寫出線段的長．
【分析】（1）當時，，可得，由，得出，可得，推出，即可得出答案；
（2）通過證明，可得，即可求解；
（3）分兩種情況討論，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）當時，，
，
，
為的中點，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案為：；
（2）的數(shù)量關(guān)系不變，理由如下：
當時，，
則，
，，
由勾股定理可得：，
，
，
，，
，
由旋轉(zhuǎn)得：，
即，
，
，
，
；
（3），，
，，
由勾股定理可得：，，
繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，，三點共線，
，，
，
，
當旋轉(zhuǎn)至直線上方時，如圖，
則；
當旋轉(zhuǎn)至直線下方時，如圖，
則；
綜上所述，線段的長為或．
【點評】本題是相似形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵．
11．（2023?順城區(qū)三模）如圖，是等邊三角形，將線段繞點旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，的角平分線交直線于點，連接．
（1）如圖1，當時，猜想線段，，三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想；
（2）如圖2，當時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請完成證明，若不成立，請寫出正確的結(jié)論并說明理由；
（3）若，時，請直接寫出的長．
【分析】（1）延長到，使，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出判定的條件，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出判定的條件，判定全等后推出是等邊三角形，根據(jù)對應(yīng)線段之間的關(guān)系即可得到線段，，三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）在線段上截取，使，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出判定的條件，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出判定的條件，判定全等后推出是等邊三角形，根據(jù)對應(yīng)線段之間的關(guān)系即可得到線段，，三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）分①在內(nèi)部和外部兩種情況進行分析，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可求出的長．
【解答】解：（1）．
理由如下：
如圖1，延長到，使，連接，
是等邊三角形，
，
繞點旋轉(zhuǎn)得到，
，
，
平分，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，即，
是等邊三角形，
，
，
；
（2）不成立，正確結(jié)論為：．
理由如下：
如圖2，在線段上截取，使，連接，
是等邊三角形，
，，
繞點旋轉(zhuǎn)得到，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，即，
是等邊三角形，
，
，
；
（3）如圖3，當在內(nèi)部時，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
過點作于，
且，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
；
當在外部時，
，，
，
，
，
，
△是等邊三角形，
平分，
，
，
，
，
綜上，的長為6或．
【點評】本題是幾何變換綜合題，主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形以及等邊三角形的性質(zhì)等知識點，深入理解題意是解決問題的關(guān)鍵．
12．（2023?郴州模擬）如圖1，在中，，，，點是上一點（不與點，重合），作，交于點．如圖2，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)度，連接，，．在旋轉(zhuǎn)過程中，完成以下問題，：
（1）如圖2，求證：；
（2）如圖3，若點，，分別是，，的中點，求的值；
（3）如圖2，若，求面積的最小值．
【分析】（1）由，得，再說明，可得；
（2）由三角形中位線定理知．同理，．由（1）知，進而解決問題；
（3）根據(jù) 繞點旋轉(zhuǎn)，則是的半徑，要使達到最小值，即：使以為底，點到上的距離達到最小值．過點作于點．當點，，三點共線時，有最小值，即，進而解決問題．
【解答】（1）證明：如圖1，繞點旋轉(zhuǎn)前，，
，
，
即，
如圖2，繞點順時針旋轉(zhuǎn)度過程中，
，
，
，
．
（2）解：點，，分別是，，的中點，
是的中位線，
．同理，．
由（1）得，且，．
，
；
（3）解：如圖，
．
，
．
繞點旋轉(zhuǎn)，則是的半徑，
要使達到最小值，即：使以為底，點到上的距離達到最小值．
過點作于點．
在繞點順時針旋轉(zhuǎn)度的過程中，的三邊關(guān)系有：，
當點，，三點共線時，有最小值，即，
，
，
，
．
即面積的最小值為24．
【點評】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，確定點的運動路徑是解題的關(guān)鍵．
13．（2023?南山區(qū)校級二模）已知正方形，將邊繞點順時針旋轉(zhuǎn)至線段，的平分線所在直線與直線相交于點．
【探索發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1，當為銳角時，請先用“尺規(guī)作圖”作出的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法），再依題意補全圖形，求證：；
【深入探究】
（2）在（1）的條件下，
①的度數(shù)為；
②連接，猜想線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
【拓展思考】
（3）若正方形的邊長，當以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出線段的長度．
【分析】（1）依題意補全圖形，連接，由正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，由角平分線的定義可得，再通過證明即可求解；
（2）①設(shè)，則，由可得，由可得，再根據(jù)計算即可求解；
②連接、和，易得和為等腰直角三角形，，，由等角減同角相等可得，以此可證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）分兩種情況：當為對角線時此時，；當為對角線時，連接，同（1）可證：，得到，由可得，，由四邊形內(nèi)角和定理得到，進而求得，于是是等腰直角三角形，同（2）②可證：，，設(shè)，則，，在中，利用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：（1）“尺規(guī)作圖”補全圖形如圖：
證明：如圖，連接，
四邊形是正方形，
，
由旋轉(zhuǎn)知，，
，
平分，
，
在和中，
，
，
；
（2）①設(shè)，
，
，
四邊形為正方形，
，
，
，
，
；
故答案為：；
②，理由如下：
如圖，連接、和，
，，
為等腰直角三角形，，
，
四邊形為正方形，
為等腰直角三角形，
，，
，
，即，
，
，
；
（3）當為對角線時，如圖，
此時，；
當為對角線時，如圖，連接，
四邊形為邊長為6的正方形，
，
同（1）可證：，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
同（2）②可證：，且，
設(shè)，則，
四邊形為平行四邊形，
，
，
，
在中，，
，
解得：或（舍去），
．
綜上，或．
【點評】本題主要考查尺規(guī)作圖、正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，正確作出輔助線，靈活應(yīng)用相關(guān)知識解決問題是解題關(guān)鍵．
14．（2023?靜安區(qū)校級一模）在等腰直角中，，，點為射線上一動點（點不與點、重合），以為腰且在的右側(cè)作等腰直角，，射線與射線交于點，聯(lián)結(jié)．
（1）如圖所示，當點在線段上時，
①求證：；
②設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；
（2）當時，求的長．
【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性質(zhì)和兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似解答即可；
②過點作于點，設(shè)，利用相似三角形的拍等于性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可；
（2）利用分類討論的思想方法，畫出圖形，列出關(guān)于的方程，解方程即可得出結(jié)論．
【解答】（1）①證明：和是等腰直角三角形，
，，．
，，
；
②解：過點作于點，如圖，
是等腰直角三角形，
，
，
．
設(shè)，則，
．
，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
由①知：，
．
，
．
，
．
．
，
，
，
關(guān)于的函數(shù)解析式，的取值范圍：；
（2）①解：當點在線段上時，如圖，
由（1）②知：．
．
，，
，
，
．
△，
此方程沒有實數(shù)根，
當點在線段上時，不存在；
②當點在線段的延長線上時，如圖，
過點作于點，
和是等腰直角三角形，
，，．
，，
．
．
是等腰直角三角形，
，
．
，
．
設(shè)，則，
．
，
，
，
，
．
，
，
，
，
．
．
．
，，
．
，
，
解得：，
，
．
．
綜上，當時，的長為．
【點評】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，函數(shù)的解析式，一元二次方程的解法，本題是相似三角形的綜合題，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2023?霍林郭勒市校級三模）已知正方形，動點在上運動，過點作射線于點，連接．
（1）如圖1，在上取一點，使，連接，求證：；
（2）如圖2，點在延長線上，求證：；
（3）如圖3，若把正方形改為矩形，且，其他條件不變，請猜想，和的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不必證明．
【分析】（1）先判斷出，利用等角的余角相等判斷出，進而判斷出，即可得出結(jié)論；
（2）利用四邊形的內(nèi)角和定理和鄰補角的定義判斷出，進而判斷出，再判斷出，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出，同（1）的方法得，，得出，得出比例式，進而得出，，再用勾股定理得出，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）證明：如圖2，
過點作交的延長線于，
，
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：；
證明：如圖3，
過點作交于，
，
四邊形是矩形，
，
，
同（1）的方法得，，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，，
在中，根據(jù)勾股定理得，，
，
，
．
【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，同角的余角相等，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形和相似三角形是解本題的關(guān)鍵．
16．（2021?日照）問題背景：
如圖1，在矩形中，，，點是邊的中點，過點作交于點．
實驗探究：
（1）在一次數(shù)學(xué)活動中，小王同學(xué)將圖1中的繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，得到結(jié)論：① ；②直線與所夾銳角的度數(shù)為．
（2）小王同學(xué)繼續(xù)將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置．請問探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，當旋轉(zhuǎn)至、、三點共線時，則的面積為．
【分析】（1）通過證明，可得，，即可求解；
（2）通過證明，可得，，即可求解；
拓展延伸：分兩種情況討論，先求出，的長，即可求解．
【解答】解：（1）如圖1，，，，
，
如圖2，設(shè)與交于點，與交于點，
繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，
，
，
，，
又，
，
直線與所夾銳角的度數(shù)為，
故答案為：，；
（2）結(jié)論仍然成立，
理由如下：如圖3，設(shè)與交于點，與交于點，
將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，
，
又，
，
，，
又，
，
直線與所夾銳角的度數(shù)為．
拓展延伸：如圖4，當點在的上方時，過點作于，
，，點是邊的中點，，
，，，
，，
，
、、三點共線，
，
，
，
，
由（2）可得：，
，
，
的面積；
如圖5，當點在的下方時，過點作，交的延長線于，
同理可求：的面積；
故答案為：或．
【點評】本題是幾何變換綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．
17．（2023?沙坪壩區(qū)校級一模）如圖，在中，，點為邊上一點，連接．
（1）如圖1，若，，，求線段的長；
（2）如圖2，若，為邊上一點且，為上一點且，為的中點，連接，，，．猜想與之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）如圖3，當，時，將繞著點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．點、點分別是線段、上的兩個動點，連接、．點為延長線上一點，連接，將沿直線翻折到同一平面內(nèi)的，連接．在、運動過程中，當取得最小值且，時，請直接寫出四邊形的面積．
【分析】（1）看已知條件：，，明顯是等腰直角三角形，可以用旋轉(zhuǎn)解決．
（2）在等邊三角形中有垂直，有中點（中線），又觀察圖形的形況，猜倍的關(guān)系．已知為中點，，聯(lián)想到相似三角形對應(yīng)邊成比例．邊中線與的比剛好是，所以以為邊構(gòu)造的相似三角形．
（3）經(jīng)過簡單推理可知：，，能找到點關(guān)于的對稱點．這樣，取得最小值時的、位置可以確定．再根據(jù)題意繪出相應(yīng)的圖形，求面積即可．
【解答】解：（1），．
將繞順時針旋轉(zhuǎn)得，如圖
由旋轉(zhuǎn)可得：，，，．
，
在、中，根據(jù)勾股定理得：
，
即：；解得．
．
（2）猜想．
過作于，找到中點，連接、．如圖
為等邊三角形，
又，得：；
又，
，
．
，得．
，得；
；
、分別為、的中點
，得；，得；
，又；得，；
；
；
；
．
即．
（3）將繞著點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到；
，又，
．
在上找到，使；連接．
△；
，可得：．
當、、共線且時取得最小值，如圖：
，，
．
；
，；
．
根據(jù)題意將沿直線翻折到同一平面內(nèi)的，得，
，
；
；
．
，；
；
；．
，．
，．
；
；
；即．
；
．
．
【點評】本題第一問考查旋轉(zhuǎn)的簡單應(yīng)用、第二問考查構(gòu)造圖形的能力，靈感來自于對等邊三角形的熟悉．第三問同時考查對稱和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，需要對兩種變換有深入的理解．處理點到直線最小值是關(guān)鍵中的關(guān)鍵．
18．（2023?沈河區(qū)校級模擬）如圖1，四邊形中，，，于點，交于點，．
（1）判斷線段與的關(guān)系，并說明理由；
（2）若，求的度數(shù)；
（3）如圖2，在（2）的條件下，線段與交于點，點是內(nèi)一點，，，將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得，點對應(yīng)點為，點的對應(yīng)點為，且點，，在一條直線上直接寫出的值．
【分析】（1）連接，可證得，進而得出，運用直角三角形性質(zhì)可得，進而得出，推出，由平行線的判定定理可得，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)可得，．
（2）根據(jù)已知條件可得出是等邊三角形，，，進而可得四邊形是菱形，利用菱形性質(zhì)可得，再由，即可求得答案；
（3）由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得：，，，得出是等邊三角形，，進而可得四邊形是圓內(nèi)接四邊形，得出，過點作于點，可證得，利用相似三角形性質(zhì)和解直角三角形可得，即，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可得，推出，即可求得答案．
【解答】解：（1），．理由如下：
如圖1，連接，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，．
（2），，
，
，
是等邊三角形，
，，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是菱形，
，
；
（3）將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得，
，，，
是等邊三角形，
，
由（2）知：是等邊三角形，
，，
與重合，點與點重合，
，，
四邊形是菱形，
，
，
四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
，
如圖2，過點作于點，
則，
，
，
，
是等邊三角形，，
，
，
，
．
【點評】本題是幾何綜合題，考查了等腰三角形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，運用相似三角形的判定和性質(zhì)解決問題，屬于中考壓軸題．
19．（2024?沙坪壩區(qū)校級一模）和是以點為公共頂點的等腰三角形，其中，，，連接．
（1）如圖1，當，點在的延長線上時，點為中點，連接．若，，求的長；
（2）如圖2，點為中點，連接，，交于點．點是上一點，連接．延長，相交于點．若，求證：；
（3）如圖3，當，點在的延長線上時，延長至點，使得．延長至點，使得，連接．若，當?shù)拈L度取最小值時，請直接寫出的面積．
【分析】（1）運用等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理即可求得答案；
（2）延長至點，使，連接，，延長、交于點，設(shè)與交于點，可證得，得出，，再證得，得出，再證得，得出，推出，可得，再運用等腰三角形性質(zhì)即可證得結(jié)論；
（3）設(shè)，，則，，利用勾股定理得①，過點作于，可證得，得出，即，可得，，運用勾股定理可得，當，即時，最小，得出②，聯(lián)立①②，可求得，代入①，可得，再利用三角形面積公式即可求得答案．
【解答】（1）解：，，
，
，，
和均為等腰直角三角形，
，，
，，
，，
，
在中，，
點為中點，
；
（2）證明：如圖，延長至點，使，連接，，延長、交于點，
設(shè)與交于點，
點為中點，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
在等腰中，，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3），，
，
，，
和均為等腰直角三角形，
，，，
，
設(shè)，，則，，
，
，
即①，
如圖，過點作于，
則，
，
，
，即，
，，
，
，
在中，，
當，即時，最小，
②，
聯(lián)立①②，得，
，或（舍去），
，
代入①，可得，
此時，，
．
【點評】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．
如圖，用鉛筆可以支起一張均勻的三角形卡片．你知道怎樣確定這個點的位置嗎？
在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線．如圖，是的邊上的中線．
讓我們先看看三角形的中線有什么特點．
甲
乙
圖例

方案
如圖①是測試距離為的大視力表，可以用硬紙板制作一個測試距離為的小視力表②．通過測量大視力表中“”的高度的長），即可求出小視力表中相應(yīng)的“”的高度的長）
使用平面鏡成像的原理來解決房間小的問題．如圖，在相距的兩面墻上分別懸掛視力表與平面鏡，由平面鏡成像原理，作出了光路圖，通過調(diào)整人的位置，使得視力表的上、下邊沿，發(fā)出的光線經(jīng)平面鏡的上下邊沿反射后射入人眼處，通過測量視力表的全長就可以計算出鏡長
課題
測量旗桿的高度
成員
組長：
組員：，，
測量工具
皮尺，標桿
測量示意圖

說明：在水平地面上直立一根標桿，觀測者沿著直線后退到點，使眼睛、標桿的頂端、旗桿的頂端在同一直線上．
測量數(shù)據(jù)
觀測者與標桿的距離
觀測者與旗桿的距離
標桿的長
觀測者的眼睛離地面的距離
問題解決
如圖，過點作于點，交于點．
項目
圖例
說明
測量工具橫截面圖

直角三角形中，，米，點為的中點，在點處固定一面平面鏡，矩形為支架，在支架底部安裝輪子，方便移動，支架的高度（包含輪子的高度）米．
測量示意圖

在建筑物的頂端處安裝紅外線燈以及一塊白色紙板，紙板大小忽略不計，將測高工具放置在與建筑物同一平面上，在地面上移動工具，當紅外線燈照射到點處，且反射光線落在白色紙板上時，停止移動測高工具．
待測數(shù)據(jù)
的長

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