通用的解題思路：
題型一：相似三角形基本模型（X字型）
【方法點(diǎn)撥】基本模型：

X字型（平行） 反X字型（不平行）
題型二：相似三角形基本模型（A字型）
【方法點(diǎn)撥】基本模型：

A字型（平行） 反A字型（不平行）
題型三：相似基本模型（K字型（一線三等角））
【方法點(diǎn)撥】基本模型：
如圖1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一線三等角）
如圖2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一線三等角）
如圖3，特別地，當(dāng)D時(shí)BC中點(diǎn)時(shí)：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，F(xiàn)D平分∠EFC.
題型四：相似三角形基本模型（旋轉(zhuǎn)型（手拉手））
【方法點(diǎn)撥】基本模型：

旋轉(zhuǎn)放縮變換，圖中必有兩對(duì)相似三角形.
題型一：相似三角形基本模型（X字型）
1．（2024?韶關(guān)模擬）如圖1是一張折疊型方桌子，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，支架與交于點(diǎn)，測(cè)得，．
（1）若，求的長(zhǎng)；
（2）將桌子放平后，兩條桌腿叉開角度，求距離地面的高．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)值，
2．（2024?西安校級(jí)模擬）小明為了測(cè)量出一深坑的深度，采取如下方案：如圖，在深坑左側(cè)用觀測(cè)儀從觀測(cè)出發(fā)點(diǎn)觀測(cè)深坑底部，且觀測(cè)視線剛好經(jīng)過深坑邊緣點(diǎn)，在深坑右側(cè)用觀測(cè)儀從測(cè)出發(fā)點(diǎn)觀測(cè)深坑底部，且觀測(cè)視線恰好經(jīng)過深坑邊緣點(diǎn)，點(diǎn)，，，在同一水平線上．已知，，觀測(cè)儀高，觀測(cè)儀高，，，深坑寬度，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算深坑深度多少米？
3．（2024?常州模擬）圖1是凸透鏡成像示意圖，蠟燭發(fā)出的光線平行于直線，經(jīng)凸透鏡折射后，過焦點(diǎn)，并與過凸透鏡中心的光線交于點(diǎn)，從而得到像．其中，物距，像距，焦距，四邊形是矩形，，．
（1）如圖2，當(dāng)蠟燭在離凸透鏡中心一倍焦距處時(shí)，即，請(qǐng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說明此時(shí)“不成像”；
（2）若蠟燭的長(zhǎng)為，物距，焦距，求像距和像的長(zhǎng)．
4．（2023?浉河區(qū)校級(jí)三模）綜合與實(shí)踐
瑩瑩復(fù)習(xí)教材時(shí)，提前準(zhǔn)備了一個(gè)等腰三角形紙片，如圖，，．為了找到重心，以便像教材上那樣穩(wěn)穩(wěn)用筆尖頂起，她先把點(diǎn)與點(diǎn)重疊對(duì)折，得折痕，展開后，她把點(diǎn)與點(diǎn)重疊對(duì)折，得折痕，再展開后連接，交折痕于點(diǎn)，則點(diǎn)就是的重心．
教材重現(xiàn)：
（1）初步觀察：
連接，則與的數(shù)量關(guān)系是： ；
（2）初步探究：
請(qǐng)幫助瑩瑩求出的面積；
（3）猜想驗(yàn)證；
瑩瑩通過測(cè)量驚奇地發(fā)現(xiàn)，．她的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請(qǐng)說明理由；
（4）拓展探究：
瑩瑩把 剪下后得△，發(fā)現(xiàn)可以與拼成四邊形，且拼的過程中點(diǎn)不與點(diǎn)重合，直接寫出拼成四邊形時(shí)的長(zhǎng)．
5．（2023?南關(guān)區(qū)四模）如圖，是的直徑，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在上沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)，速度為每秒個(gè)單位．同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在上沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒個(gè)單位．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．連結(jié)、．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
（1）的周長(zhǎng)為 ；
（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求所在的扇形的面積；
（3）當(dāng)時(shí)，求的值；
（4）作半徑的垂直平分線交于點(diǎn)、，連結(jié)．當(dāng)將線段分成的兩部分時(shí)，直接寫出的值．
6．（2023?海曙區(qū)校級(jí)三模）如圖1，在菱形中，，點(diǎn)是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，是的外接圓，，設(shè)的半徑為，．
（1）如圖2，當(dāng)時(shí)，求證：是切線；
（2）延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)．
①如圖3，若為直徑，求的長(zhǎng)；
②如圖4，若點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，求的值；
（3）當(dāng)時(shí)，直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式： ．
7．（2024?廬江縣一模）已知：如圖，和中，，，，且點(diǎn)、、在一條直線上，聯(lián)結(jié)、，與交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若，求的值．
8．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)二模）四邊形內(nèi)接于，是的直徑，連結(jié)交于點(diǎn)，，垂足為．
（1）如圖1，若交于點(diǎn)．
①求證：；
②若的直徑為10，，，求的長(zhǎng)．
（2）如圖2，若交于點(diǎn)，連結(jié)，若，，，求的直徑．
9．（2023?谷城縣模擬）在和中，，，點(diǎn)在線段上．
（1）【特例證明】如圖（1），當(dāng)時(shí)，，證明：；
（2）【類比探究】如圖（2），當(dāng)，點(diǎn)是線段上任一點(diǎn)時(shí)，證明：
①；
②；
（3）【拓展運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)時(shí)，，，求長(zhǎng)．
10．（2023?深圳模擬）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知四邊形是正方形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，．
①小明探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，．并給出如下不完整的證明過程，請(qǐng)幫他補(bǔ)充完整．
證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)．
②進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)， ．
（2）【類比遷移】如圖②，四邊形為矩形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，，．當(dāng)，，時(shí)，求的長(zhǎng)；
（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，已知四邊形為菱形，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在菱形的邊上（頂點(diǎn)除外）時(shí)，如果，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的長(zhǎng)．
11．（2023?羅湖區(qū)二模）如圖1，已知：內(nèi)接于圓，，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、，求證：；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，，，求的長(zhǎng)．
題型二：相似三角形基本模型（A字型）
1．（2023?無錫）如圖，是的直徑，為的切線，與相交于點(diǎn)．，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．
（1）求 的度數(shù)；
（2）若，求的半徑．
2．（2024?武威一模）已知：如圖，點(diǎn)在三角形的邊上，交于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，且．
求證：（1）；
（2）．
3．（2024?武漢模擬）如圖，是的外接圓，，，是的切線，切點(diǎn)分別為，．
（1）求證：；
（2）連接，與交于點(diǎn)，連接，，若，求的值．
4．（2024?巴彥縣一模）為了加強(qiáng)視力保護(hù)意識(shí)，歡歡想在書房里掛一張測(cè)試距離為的視力表，但兩面墻的距離只有．在一次課題學(xué)習(xí)課上，歡歡向全班同學(xué)征集“解決空間過小，如何放置視力表問題”的方案，其中甲、乙兩位同學(xué)設(shè)計(jì)方案新穎，構(gòu)思巧妙．
（1）甲生的方案中如果大視力表中“”的高是，那么小視力表中相應(yīng)“”的高是多少？
（2）乙生的方案中如果視力表的全長(zhǎng)為，請(qǐng)計(jì)算出鏡長(zhǎng)至少為多少米．
5．（2024?汝南縣一模）某“綜合與實(shí)踐”小組開展測(cè)量本校旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng)．他們制訂了測(cè)量方案，并利用課余時(shí)間完成了實(shí)地測(cè)量，測(cè)量報(bào)告如下．
請(qǐng)根據(jù)以上測(cè)量結(jié)果及該小組的思路．求學(xué)校旗桿的高度．
6．（2024?雁塔區(qū)校級(jí)二模）陽光明媚的一天實(shí)踐課上，亮亮準(zhǔn)備用所學(xué)知識(shí)測(cè)量教學(xué)樓前一座假山的高度，如圖，亮亮在地面上的點(diǎn)處，眼睛貼地觀察，看到假山頂端、教學(xué)樓頂端在一條直線上．此時(shí)他起身在處站直，發(fā)現(xiàn)自己的影子末端和教學(xué)樓的影子末端恰好重合于點(diǎn)處，測(cè)得米，亮亮的身高為1.6米．假山的底部處因有花園圍欄，無法到達(dá)，但經(jīng)詢問和進(jìn)行部分測(cè)量后得知，米，點(diǎn)、、、在一條直線上，，，，已知教學(xué)樓的高度為16米，請(qǐng)你求出假山的高度．
7．（2024?錦江區(qū)模擬）如圖，為了測(cè)量山坡的護(hù)坡石壩壩頂與壩腳之間的距離，把一根長(zhǎng)為6米的竹竿斜靠在石壩旁，量出竿長(zhǎng)1米處距離地面的高度為0.6米，又測(cè)得石壩與地面的傾斜角為．求石壩壩頂與壩腳之間的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，
8．（2024?西安校級(jí)模擬）為了測(cè)量物體的高度，小小帶著工具進(jìn)行測(cè)量，方案如下：如圖，小小在處放置一平面鏡，她從點(diǎn)沿后退，當(dāng)退行2米到處時(shí)，恰好在鏡子中看到物體頂點(diǎn)的像，此時(shí)測(cè)得小小眼睛到地面的距離為1.5米；然后，小小在處豎立了一根高1.8米的標(biāo)桿，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)、標(biāo)桿頂點(diǎn)和物體頂點(diǎn)在一條直線上，此時(shí)測(cè)得為2.6米，為3.5米，已知，，，點(diǎn)、、、、在一條直線上．請(qǐng)根據(jù)以上所測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算的高度．
9．（2024?西安校級(jí)四模）每到三月就會(huì)讓人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的標(biāo)志性景點(diǎn)，為了測(cè)出雷峰塔的高度，初三學(xué)生小白設(shè)計(jì)出了下面的測(cè)量方法：已知塔前有一4米高的小樹，發(fā)現(xiàn)水平地面上點(diǎn)、樹頂和塔頂恰好在一條直線上，測(cè)得米，、之間有一個(gè)花圃無法測(cè)量，然后在處放置一個(gè)平面鏡，沿后退．退到處恰好在平面中看到樹頂?shù)南?，此時(shí)米，測(cè)量者眼睛到地面的距離為1.6米，求出塔高．
10．（2024?鹽城模擬）《海島算經(jīng)》是我國(guó)魏晉時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家劉徽所撰，該書研究的對(duì)象全是有關(guān)高與距離的測(cè)量，因首題測(cè)算海島的高、遠(yuǎn)，故而書名由此而來，它是中國(guó)最早的一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作，亦為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．書中第四題為：今有望深谷，偃距岸上，令勾高六尺，從勺端望谷底，入下股九尺一寸，又設(shè)重矩于上，其矩間相去三丈尺），更從勺端望谷底，入上股八尺五寸，問谷深幾何？大致譯文如下：現(xiàn)在要測(cè)量谷的深度，拿一個(gè)高為6尺的“矩尺” 仰放在岸上，從處望向谷底在上），下股為9.1尺，在的延長(zhǎng)線上重新放置“矩尺” ，其中尺，尺，從處望向谷底在上），下股為8.5尺，求谷的深度．（已知、、
11．（2024?河南一模）“度高者重表，測(cè)深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望．觸類而長(zhǎng)之，則雖幽遐詭伏，靡所不入”就是說，使用多次測(cè)量傳遞的方法，就可以測(cè)量出各點(diǎn)之間的距離和高度差．
——?jiǎng)⒒铡毒耪滤阈g(shù)注序》
某市科研考察隊(duì)為了求出某海島上的山峰的高度，如圖，在同一海平面的處和處分別樹立標(biāo)桿和，標(biāo)桿的高都是5.5米，兩處相隔80米，從標(biāo)桿向后退11米的處，可以看到頂峰和標(biāo)桿頂端在一條直線上；從標(biāo)桿向后退13米的處，可以看到頂峰和標(biāo)桿頂端在一條直線上．求山峰的高度及它和標(biāo)桿的水平距離．
注：圖中各點(diǎn)都在一個(gè)平面內(nèi)．
12．（2023?益陽）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，線段交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)，連接，．
（1）求證：△；
（2）求證：；
（3）若，，當(dāng)平分四邊形的面積時(shí)，求的長(zhǎng)．
13．（2024?沭陽縣校級(jí)模擬）圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，小華和小芳對(duì)等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行了研究．如圖①，已知和均為等腰直角三角形，點(diǎn)，分別在線段，上，且．
（1）觀察猜想小華將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，設(shè)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，如圖②，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)：
①的值為 ；
②的度數(shù)為 度；
（2）類比探究：如圖③，小芳在小華的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，連接，，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；
（3）拓展延伸：若，，當(dāng)所在的直線垂直于時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．
14．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)二模）四邊形內(nèi)接于，是的直徑，連結(jié)交于點(diǎn)，，垂足為．
（1）如圖1，若交于點(diǎn)．
①求證：；
②若的直徑為10，，，求的長(zhǎng)．
（2）如圖2，若交于點(diǎn)，連結(jié)，若，，，求的直徑．
15．（2024?黃埔區(qū)一模）如圖，在矩形和矩形中，，，，．矩形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接，，，．
（1）求證：；
（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最大時(shí)，
①求的長(zhǎng)度；
②在內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得的值最小？若存在，求的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
題型三：相似基本模型（K字型（一線三等角））
1．（2022?郴州）如圖1，在矩形中，，．點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）如圖2，連接，過點(diǎn)作，垂足為，連接．點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接．
①求的最小值；
②當(dāng)取最小值時(shí)，求線段的長(zhǎng)．
2．（2024?太白縣一模）為完成社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，曉玲打算去測(cè)量大雁塔南廣場(chǎng)上佇立著的玄奘雕塑．曉玲自制了一個(gè)矩形紙板，按如圖所示在地面固定紙板，使得雕塑頂端在的延長(zhǎng)線上，并在頂點(diǎn)處懸掛一個(gè)鉛錘，恰好交于點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)到雕塑的距離為，，，點(diǎn)到地面的距離為，，，于點(diǎn)，所有點(diǎn)都在一個(gè)平面內(nèi)，請(qǐng)求出玄奘雕塑的高．
3．（2023?武昌區(qū)模擬）【問題背景】（1）如圖1，點(diǎn)，，在同一直線上，，求證：；
【問題探究】（2）在（1）條件下，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：；
【拓展運(yùn)用】（3）如圖2，在中，，點(diǎn)是的內(nèi)心、若，，則的長(zhǎng)為 ．
4．（2023?灞橋區(qū)校級(jí)四模）問題提出：（1）如圖①，在等邊中，，為三等分點(diǎn)，連接，在右側(cè)作，求的長(zhǎng)；
問題解決：（2）如圖②，在矩形場(chǎng)地中，米，米，為對(duì)角線，現(xiàn)在要在邊上設(shè)置一個(gè)門，在上安裝一個(gè)掃描儀器，該掃描儀的范圍為（即，經(jīng)過測(cè)試將掃描范圍設(shè)置為時(shí)，效果最佳，以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)搭建一個(gè)帳篷，則將掃描儀放置距離多長(zhǎng)距離時(shí)，四邊形面積最大，最大面積為多少？
5．（2022?赤峰）同學(xué)們還記得嗎？圖①，圖②是人教版八年級(jí)下冊(cè)教材“實(shí)驗(yàn)與探究”中我們研究過的兩個(gè)圖形．受這兩個(gè)圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個(gè)問題，請(qǐng)你回答：
【問題一】如圖①，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系為 ；
【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線、經(jīng)過正方形的對(duì)稱中心，直線分別與、交于點(diǎn)、，直線分別與、交于點(diǎn)、，且，若正方形邊長(zhǎng)為8，求四邊形的面積；
【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形的頂點(diǎn)在正方形的邊上，頂點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，．在直線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，說明理由．
6．（2024?濱海縣一模）【感知】如圖①，在正方形中，為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．易證：．（不需要證明）
【探究】如圖②，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．
（1）求證：．
（2）若，，為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
【應(yīng)用】如圖③，在中，，，．為邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連結(jié)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為 ．
7．（2023?武漢模擬）點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且．
（1）如圖（1），若，求證：；
（2）如圖（2），若，，若，則的值為 ；（直接寫出）
（3）如圖（3），連接，若，，求證：．
8．（2023?榆次區(qū)一模）問題情境：
在綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以“正方形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展活動(dòng)．如圖①，四邊形和四邊形都是正方形，邊長(zhǎng)分別是12和13，將頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接，．
初步探究：
（1）試猜想線段與的關(guān)系，并加以證明；
問題解決：
（2）如圖②，在正方形的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，連接，求線段的長(zhǎng)；
（3）在圖②中，若與交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．
9．（2023?商丘二模）綜合與實(shí)踐
【動(dòng)手操作】如圖①，四邊形是一張矩形紙片，，．先將矩形對(duì)折，使與重合，折痕為，沿剪開得到兩個(gè)矩形．矩形保持不動(dòng)，將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．
【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，此時(shí)兩個(gè)矩形重疊部分四邊形的形狀是 ，面積是 ；
（2）如圖③，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，恰好經(jīng)過點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求兩個(gè)矩形重疊部分四邊形的面積；
【引申探究】（3）當(dāng)點(diǎn)落在矩形的對(duì)角線所在的直線上時(shí)，直線與直線交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．
10．（2023?金山區(qū)二模）如圖，已知在中，，點(diǎn)是邊中點(diǎn)，在邊上取一點(diǎn)，使得，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，
①如果為經(jīng)過、、三點(diǎn)的圓的一條弦，當(dāng)弦恰好是正十邊形的一條邊時(shí)，求的值；
②經(jīng)過、兩點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，當(dāng)，，時(shí)，求的半徑長(zhǎng)．
11．（2024?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）在同一平面內(nèi)，具有一條公共邊且不完全重合的兩個(gè)全等三角形，我們稱這兩個(gè)三角形叫做“共邊全等”．
（1）下列圖形中兩個(gè)三角形不是“共邊全等”是 ；
（2）如圖1，在邊長(zhǎng)為6的等邊三角形中，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)、分別在、邊上，滿足和為“共邊全等”，求的長(zhǎng)；
（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與直線、軸相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、在的邊上，當(dāng)以、、為頂點(diǎn)的三角形與 “共邊全等”時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
12．（2023?梁溪區(qū)校級(jí)二模）如圖，以矩形的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，已知，，將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 得到矩形．
（1）當(dāng)點(diǎn)恰好落在軸上時(shí)，如圖1，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)恰好落在矩形的對(duì)角線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
題型四：相似三角形基本模型（旋轉(zhuǎn)型（手拉手））
1．（2024?新都區(qū)模擬）如圖，已知矩形和矩形共用頂點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，連接，，且．
（1）求證：；
（2）若，，，求的長(zhǎng)．
2．（2023?平遙縣二模）（1）【問題呈現(xiàn)】如圖1，和都是等邊三角形，連接，．請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系： ．
（2）【類比探究】如圖2，和都是等腰直角三角形，．連接，．請(qǐng)寫出與的數(shù)量關(guān)系： ．
（3）【拓展提升】如圖3，和都是直角三角形，，且．連接，．
①求的值；
②延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求的值．
3．（2023?山陰縣模擬）在學(xué)習(xí)鏡面反射后，小明知道了當(dāng)入射光線與鏡面垂直時(shí)，反射光線將與入射光線重合，沿原路返回．他利用此現(xiàn)象設(shè)計(jì)了一個(gè)測(cè)量物體高度的工具．
在一次實(shí)際測(cè)量過程中，小明測(cè)得測(cè)高工具與建筑物的水平距離米，請(qǐng)計(jì)算建筑物的高度（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)．
4．（2023?海城市校級(jí)三模）已知：點(diǎn)、、在同一條直線上，，線段、交于點(diǎn)．
（1）如圖1，若，
①問線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
②求的大?。ㄓ帽硎荆?br>（2）如圖2，若，，則線段與的數(shù)量關(guān)系為 ， （用表示）；
（3）在（2）的條件下，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在備用圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則 （用表示）．
5．（2023?市中區(qū)校級(jí)四模）問題提出如圖1，在等邊內(nèi)部有一點(diǎn)，，，，求的度數(shù)．
數(shù)學(xué)思考當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，通過旋轉(zhuǎn)可以將分?jǐn)?shù)的條件集中起來解決問題．
嘗試解決將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，則為等邊三角形．
，又，，．
△為 三角形，
的度數(shù)為 ．
類比探究如圖2，在中，，，其內(nèi)部有一點(diǎn)，若，，，求的度數(shù)．
聯(lián)想拓展如圖3，在中，，，其內(nèi)部有一點(diǎn)，若，，，求的度數(shù)．
6．（2023?江漢區(qū)校級(jí)模擬）如圖，和都是直角三角形，，．
（1）如圖1，證明：；
（2）如圖2，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，證明：；
（3）如圖3，若，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，直接寫出的長(zhǎng) ．
（2023?亳州二模）如圖1，在和中，，．
（1）①求證：；
②若，試判斷的形狀，并說明理由；
（2）如圖2，旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在邊上，若，．求證：．
8．（2024?邳州市校級(jí)一模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)，，在同一直線上，連接．
①線段，之間的數(shù)量關(guān)系為 ；
②的度數(shù)為 ．
（2）拓展探究：
如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)，，在同一直線上，連接，求的值及的度數(shù)；
（3）解決問題：
如圖3，在正方形中，，若點(diǎn)滿足，且，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)到直線的距離．
9．（2023?開陽縣模擬）【特例感知】
（1）如圖①，和是等腰直角三角形，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，，寫出圖中一對(duì)你認(rèn)為全等的三角形 ；
【類比遷移】
（2）如圖②，將圖1中的繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，那么第（1）問的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，說明理由．
【方法運(yùn)用】
如圖③，若，點(diǎn)是線段外一動(dòng)點(diǎn)，，連接．若將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，是否有最小值，若有請(qǐng)求出最小值；若沒有，請(qǐng)說明理由．
10．（2023?獲嘉縣模擬）在中，，，為上的一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），過點(diǎn)作交于點(diǎn)，得到．
（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系為 ；
（2）【類比探究】如圖2，當(dāng)時(shí)，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，則在旋轉(zhuǎn)過程中與之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由；
（3）【拓展延伸】在（2）的條件下，已知，，當(dāng)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，，三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．
11．（2023?順城區(qū)三模）如圖，是等邊三角形，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，的角平分線交直線于點(diǎn)，連接．
（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段，，三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的猜想；
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)完成證明，若不成立，請(qǐng)寫出正確的結(jié)論并說明理由；
（3）若，時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．
12．（2023?郴州模擬）如圖1，在中，，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），作，交于點(diǎn)．如圖2，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，連接，，．在旋轉(zhuǎn)過程中，完成以下問題，：
（1）如圖2，求證：；
（2）如圖3，若點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，求的值；
（3）如圖2，若，求 面積的最小值．
13．（2023?南山區(qū)校級(jí)二模）已知正方形，將邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段，的平分線所在直線與直線相交于點(diǎn)．
【探索發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1，當(dāng)為銳角時(shí)，請(qǐng)先用“尺規(guī)作圖”作出的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法），再依題意補(bǔ)全圖形，求證：；
【深入探究】
（2）在（1）的條件下，
①的度數(shù)為 ；
②連接，猜想線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
【拓展思考】
（3）若正方形的邊長(zhǎng)，當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)度．
14．（2023?靜安區(qū)校級(jí)一模）在等腰直角中，，，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），以為腰且在的右側(cè)作等腰直角，，射線與射線交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．
（1）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，
①求證：；
②設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
15．（2023?霍林郭勒市校級(jí)三模）已知正方形，動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作射線于點(diǎn)，連接．
（1）如圖1，在上取一點(diǎn)，使，連接，求證：；
（2）如圖2，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，求證：；
（3）如圖3，若把正方形改為矩形，且，其他條件不變，請(qǐng)猜想，和的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不必證明．
16．（2021?日照）問題背景：
如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．
實(shí)驗(yàn)探究：
（1）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小王同學(xué)將圖1中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，得到結(jié)論：① ；②直線與所夾銳角的度數(shù)為 ．
（2）小王同學(xué)繼續(xù)將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置．請(qǐng)問探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至、、三點(diǎn)共線時(shí)，則的面積為 ．
17．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)一模）如圖，在中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接．
（1）如圖1，若，，，求線段的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若，為邊上一點(diǎn)且，為上一點(diǎn)且，為的中點(diǎn)，連接，，，．猜想與之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）如圖3，當(dāng)，時(shí)，將繞著點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．點(diǎn)、點(diǎn)分別是線段、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、．點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，將沿直線翻折到同一平面內(nèi)的，連接．在、運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)取得最小值且，時(shí)，請(qǐng)直接寫出四邊形的面積．
18．（2023?沈河區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，四邊形中，，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，．
（1）判斷線段與的關(guān)系，并說明理由；
（2）若，求的度數(shù)；
（3）如圖2，在（2）的條件下，線段與交于點(diǎn)，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，，，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且點(diǎn)，，在一條直線上直接寫出的值．
19．（2024?沙坪壩區(qū)校級(jí)一模）和是以點(diǎn)為公共頂點(diǎn)的等腰三角形，其中，，，連接．
（1）如圖1，當(dāng)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接．若，，求的長(zhǎng)；
（2）如圖2，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)．點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接．延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)．若，求證：；
（3）如圖3，當(dāng)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得．延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接．若，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度取最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫出的面積．
如圖，用鉛筆可以支起一張均勻的三角形卡片．你知道怎樣確定這個(gè)點(diǎn)的位置嗎？
在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的中線．如圖，是的邊上的中線．
讓我們先看看三角形的中線有什么特點(diǎn)．
甲
乙
圖例


方案
如圖①是測(cè)試距離為的大視力表，可以用硬紙板制作一個(gè)測(cè)試距離為的小視力表②．通過測(cè)量大視力表中“”的高度的長(zhǎng)），即可求出小視力表中相應(yīng)的“”的高度的長(zhǎng)）
使用平面鏡成像的原理來解決房間小的問題．如圖，在相距的兩面墻上分別懸掛視力表與平面鏡，由平面鏡成像原理，作出了光路圖，通過調(diào)整人的位置，使得視力表的上、下邊沿，發(fā)出的光線經(jīng)平面鏡的上下邊沿反射后射入人眼處，通過測(cè)量視力表的全長(zhǎng)就可以計(jì)算出鏡長(zhǎng)
課題
測(cè)量旗桿的高度
成員
組長(zhǎng)：
組員：，，
測(cè)量工具
皮尺，標(biāo)桿
測(cè)量示意圖

說明：在水平地面上直立一根標(biāo)桿，觀測(cè)者沿著直線后退到點(diǎn)，使眼睛、標(biāo)桿的頂端、旗桿的頂端在同一直線上．
測(cè)量數(shù)據(jù)
觀測(cè)者與標(biāo)桿的距離
觀測(cè)者與旗桿的距離
標(biāo)桿的長(zhǎng)
觀測(cè)者的眼睛離地面的距離
問題解決
如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
項(xiàng)目
圖例
說明
測(cè)量工具橫截面圖

直角三角形中，，米，點(diǎn)為的中點(diǎn)，在點(diǎn)處固定一面平面鏡，矩形為支架，在支架底部安裝輪子，方便移動(dòng)，支架的高度（包含輪子的高度）米．
測(cè)量示意圖

在建筑物的頂端處安裝紅外線燈以及一塊白色紙板，紙板大小忽略不計(jì)，將測(cè)高工具放置在與建筑物同一平面上，在地面上移動(dòng)工具，當(dāng)紅外線燈照射到點(diǎn)處，且反射光線落在白色紙板上時(shí)，停止移動(dòng)測(cè)高工具．
待測(cè)數(shù)據(jù)
的長(zhǎng)

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