通用的解題思路：
題型一：兩垂一圓構造直角三角形模型
平面內有兩點A，B，再找一點C，使得ABC 為直角三角形
分類討論:
若∠A=90°,則點C在過點A 且垂直于AB 的直線上(除點A外);
若∠B=90°,則點C在過點B且垂直于AB的直線上(除點B外);
若∠C=90°,則點C在以AB為直徑的圓上(除點A,B外).
以上簡稱“兩垂一圓”.
“兩垂一圓”上的點能構成直角三角形,但要除去A,B兩點.
題型二：兩圓一中垂構造等腰三角形模型
分類討論:
若AB=AC,則點C在以點A 為圓心,線段AB的長為半徑的圓上;
若BA=BC,則點C在以點B為圓心,線段AB的長為半徑的圓上;
若CA=CB,則點C在線段AB的垂直平分線PQ上以上簡稱“兩圓一中垂”
“兩圓一中垂”上的點能構成等腰三角形,但是要除去原有的點A,B,還要除去因共線無法構成三角形的點MN以及線段AB中點E(共除去5個點)需要注意細節(jié)
題型三：胡不歸模型
【模型解讀】一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V11，則提取系數(shù)，轉化為小于1的形式解決即可）。
【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短。
題型四：阿氏圓模型
【模型解讀】如圖 1 所示，⊙O的半徑為 r，點 A、B都在⊙O 外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB， 連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？
如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。
故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉化為 “PA+PC”的最小值，
其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小。如圖3所示：
注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：
在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．
【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短解題。
題型五：瓜豆原理模型（點在直線上）
【模型解讀】
瓜豆原理：若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點的運動路徑相同。
動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學進程影響，估只對瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。
主動點叫瓜，從動點叫豆，瓜在直線上運動，豆也在直線_上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。
古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。
模型1、運動軌跡為直線
1）如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當點P在BC上運動時，Q點軌跡是？

解析：當P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．
理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．
2）如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ為定值，當點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡？

解析：當AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。
理由：當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段。
【最值原理】動點軌跡為一條直線時，利用“垂線段最短”求最值。
1）當動點軌跡已知時可直接運用垂線段最短求最值；
2）當動點軌跡未知時，先確定動點軌跡，再垂線段最短求最值。
3）確定動點軌跡的方法（重點）
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①當某動點與定直線的端點連接后的角度不變時，該動點的軌跡為直線；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②當某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③當一個點的坐標以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點的軌跡為直線；
④觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等特殊位置考慮；
⑤若動點軌跡用上述方法不都合適，則可以將所求線段轉化（常用中位線、矩形對角線、全等、相似）為其他已知軌跡的線段求最值。
題型六：瓜豆原理模型（點在圓上）
【模型解讀】
模型1、運動軌跡為圓弧
模型1-1. 如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．Q點軌跡是？

如圖，連接AO，取AO中點M，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。
模型1-2. 如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當P在圓O運動時，Q點軌跡是？

如圖，連結AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。
則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。
模型1-3. 定義型：若動點到平面內某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動態(tài)翻折中）
如圖，若P為動點，但AB=AC=AP，則B、C、P三點共圓，
則動點P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。

模型1-4. 定邊對定角（或直角）模型
1）一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。?br>如圖，若P為動點，AB為定值，∠APB=90°，則動點P是以AB為直徑的圓或圓弧。
2）一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點軌跡是圓?。?br>如圖，若P為動點，AB為定值，∠APB為定值，則動點P的軌跡為圓弧。

【模型原理】動點的軌跡為定圓時，可利用：“一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差”的性質求解。
題型一：兩垂一圓構造直角三角形模型
1．（2023?安溪縣二模）如圖，是半圓的直徑，，與半圓相切于點，連接并延長，交的延長線于點．
（1）求證：；
（2）若的半徑為5，，求的長．
2．（2023?平房區(qū)二模）如圖1，內接于中，為直徑，點在弧上，連接，．
（1）求證：；
（2）如圖2，連接交于點，若，求證：；
（3）在（2）的條件下，如圖3，點在線段上，連接，交于點，若，，，求線段的長．
3．（2022?蔡甸區(qū)校級模擬）如圖，點是正方形邊上一點（點不與、重合），連接交對角線于點，的外接圓交邊于點，連接、．
（1）求的度數(shù)；
（2）若，求．
4．（2023?懷化）如圖，是的直徑，點是外一點，與相切于點，點為上的一點．連接、、，且．
（1）求證：為的切線；
（2）延長與的延長線交于點，求證：；
（3）若，，求陰影部分的面積．
5．（2023?廣陵區(qū)二模）如圖，頂點為的二次函數(shù)圖象經過原點，點在該圖象上，交其對稱軸于點，點、關于點對稱，連接，．
（1）求該二次函數(shù)的表達式；
（2）若點的坐標是，求的面積；
（3）當點在對稱軸左側的二次函數(shù)圖象上運動時，請解答下面問題：
①求證：；
②若為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．
6．（2024?寶安區(qū)二模）“海之躍”摩天輪是某地區(qū)的城市名片．濱城學校九年級（3）班的項目式學習團隊計劃在摩天輪上測量一座寫字樓的高度．
【素材一】如圖1，“海之躍”摩天輪共有24個轎廂，均勻分布在圓周上．擬測算的寫字樓與摩天輪在同一平面內．
【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和鉛錘，制作測角儀器（如圖．
【素材三】若學生身高和轎廂大小忽略不計，如圖3，摩天輪的最高高度為128米，半徑為60米，該團隊分成三組分別乘坐1號、4號和10號轎廂，當1號轎廂運動到摩天輪最高點時，三組隊員同時使用測角儀觀測寫字樓最高處點，觀測數(shù)據如表（觀測誤差忽略不計）．
【任務一】初步探究，獲取基礎數(shù)據
（1）如圖3，請連接、，則 ；
（2）求出1號轎廂運動到最高點時，4號轎廂所在位置點的高度．（結果保留根號）
【任務二】推理分析，估算實際高度
（3）根據觀測數(shù)據，計算寫字樓的實際高度．（結果用四舍五入法取整數(shù)，
7．（2022?江北區(qū)一模）如圖1，四邊形是的內接四邊形，其中，對角線、相交于點，在上取一點，使得，過點作交于點、．
（1）證明：．
（2）如圖2，若，且恰好經過圓心，求的值．
（3）若，，設的長為．
①如圖3，用含有的代數(shù)式表示的周長．
②如圖4，恰好經過圓心，求內切圓半徑與外接圓半徑的比值．
題型二：兩圓一中垂構造等腰三角形模型
1．（2022?開州區(qū)模擬）如圖，在等腰中，，是的中點，為邊上任意一點，連接，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接，交于點．
（1）如圖1，若，，求的長；
（2）如圖2，點恰好是的中點，連接，求證：；
（3）如圖3，若，連接，當取得最小值時．請直接寫出的值．
2．（2023春?璧山區(qū)校級期中）如圖，直線經過點和兩點，將沿直線對折使點和點重合，直線與軸交于點與交于點，點的縱坐標為2，連接．
（1）求直線的解析式；
（2）若點在軸的負半軸上，且的面積為10，求的周長；
（3）已知軸上有一點，若以點，，為頂點的三角形是等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的點的坐標．
題型三：胡不歸模型
1．（2023?湘潭縣校級三模）如圖，拋物線與軸相交于點，，與軸交于點，連接．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點為軸上一個動點，連接，求的最小值；
（3）連接，在軸上是否存在一點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
2．（2023?徐州二模）拋物線與直線相交于、兩點，與軸相交于點，點在軸的負半軸上．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式及頂點的坐標；
（2）如圖1，直線上方的拋物線上有一動點，過點作于點，求垂線段的最大值；
（3）如圖2，當點運動到拋物線對稱軸右側時，連接，交拋物線的對稱軸于點，當最小時，直接寫出此時的長度．
3．（2023?丘北縣一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，連接．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點是線段上方拋物線上一動點，點是軸上的動點，連接、，當?shù)拿娣e最大時，求的最小值．
4．（2019?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，（點在點的左側），交軸于點，點為拋物線的頂點，對稱軸與軸交于點．
（1）連接，點是線段上一動點（點不與端點，重合），過點作，交拋物線于點（點在對稱軸的右側），過點作軸，垂足為，交于點，點是線段上一動點，當取得最大值時，求的最小值；
（2）在（1）中，當取得最大值，取得最小值時，把點向上平移個單位得到點，連接，把繞點順時針旋轉一定的角度，得到△，其中邊交坐標軸于點．在旋轉過程中，是否存在一點，使得？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
5．（2023?江城區(qū)三模）如圖，拋物線交軸于，兩點（點在點左側），交軸于點，直線經過點、，點是線段上的一動點（不與點，重合）．
（1）求，兩點的坐標；
（2）當點，關于拋物線的對稱軸對稱時，求的最小值及此時點的坐標；
（3）連接，當與相似時，求出點的坐標．
6．（2024?宿遷模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，（點在點的左側），交軸于點，點的坐標為，點為拋物線的頂點，對稱軸與軸交于點．
（1）填空： ，點的坐標是 ；
（2）連接，點是線段上一動點（點不與端點，重合），過點作，交拋物線于點（點在對稱軸的右側），過點作軸，垂足為，交于點，點是線段上一動點，當?shù)闹荛L取得最大值時，求的最小值；
（3）在（2）中，當?shù)闹荛L取得最大值時，取得最小值時，如圖2，把點向下平移個單位得到點，連接，把繞點順時針旋轉一定的角度，得到△，其中邊交坐標軸于點．在旋轉過程中，是否存在一點，使得？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
7．（2023?南山區(qū)三模）如圖，在中，，，經過點，且圓的直徑在線段上．
（1）試說明是的切線；
（2）若中邊上的高為，試用含的代數(shù)式表示的直徑；
（3）設點是線段上任意一點（不含端點），連接，當?shù)淖钚≈禐?時，求的直徑的長．
題型四：阿氏圓模型
1．（2024?長沙模擬）閱讀材料，回答下列小題．
閱讀材料
調和是射影幾何重要不變量交比的一種特殊形式，早在古希臘，數(shù)學家們便發(fā)現(xiàn)了一組具有特殊比例關系的點列：調和點列．
我們定義：若一直線上依次存在四點，，，，滿足，則稱，，，為調和點列．從直線外一點引射線，，，，則稱，，，為調和線束．
（1）如圖1，過圓外一點作圓的切線，，并引圓的割線，設與交于點．
①求證：，，，是調和點列．
②求證：．
閱讀材料2：阿波羅尼斯圓：對于平面上的兩定點，和平面上一動點，若到和的距離之比為定值，則點的軌跡是一個圓，我們稱該圓是點關于的“阿氏圓”．
（2）根據閱讀材料1，2，回答①②小題．（本題圖未給出）
①證明阿波羅尼斯圓，并確定該圓圓心的位置．
②若點關于的“阿氏圓”交于，，求證：，，，為調和點列．
（3）如圖2，是平行四邊形，是三角形的重心，點，在直線上，滿足與垂直，與垂直．求證：平分．
2．（2024?萊蕪區(qū)校級模擬）在中，，．若點為上一點，連接，將繞點順時針旋轉得到，連接，交于點．
（1）如圖1，若，，求的長；
（2）如圖2，點為的中點，連接交于點．若，猜想線段與線段的數(shù)量關系，并寫出證明過程；
（3）如圖3，若，為的中點，將繞點旋轉得△，連接、，當最小時，求．
3．（2023?萬州區(qū)模擬）如圖，在等腰直角三角形中，，過點作交過點的直線于點，，直線交于．
（1）如圖1，若，求的長；
（2）如圖2，過點作交于點，交的延長線于，取線段的中點，連接，求證：．
（3）在（2）的條件下，過點作交于點，若點是線段上任一點，連接，將沿折疊，折疊后的三角形記為△，當取得最小時，直接寫出的值．
4．（2022?從化區(qū)一模）已知，是的直徑，，．
（1）求弦的長；
（2）若點是下方上的動點（不與點，重合），以為邊，作正方形，如圖1所示，若是的中點，是的中點，求證：線段的長為定值；
（3）如圖2，點是動點，且，連接，，一動點從點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿線段勻速運動到點，再以每秒1個單位的速度沿線段勻速運動到點，到達點后停止運動，求點的運動時間的最小值．
5．（2022?市中區(qū)校級模擬）如圖，在 與中，，，，點在上．
（1）如圖1，若點在的延長線上，連接，探究線段、、之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；
（2）如圖2，若點與點重合，且，，將繞點旋轉，連接，點為的中點，連接，在旋轉的過程中，求的最小值；
（3）如圖3，若點為的中點，連接、交于點，交于點，且，請直接寫出的值．
題型五：瓜豆原理模型（點在直線上）
1．（2022?沈陽）【特例感知】
（1）如圖1，和是等腰直角三角形，，點在上，點在的延長線上，連接，，線段與的數(shù)量關系是 ；
【類比遷移】
（2）如圖2，將圖1中的繞著點順時針旋轉，那么第（1）問的結論是否仍然成立？如果成立，證明你的結論；如果不成立，說明理由．
【方法運用】
（3）如圖3，若，點是線段外一動點，，連接．
①若將繞點逆時針旋轉得到，連接，則的最大值是 ；
②若以為斜邊作，，三點按順時針排列），，連接，當時，直接寫出的值．
2．（2021?武進區(qū)模擬）如圖①，二次函數(shù)的圖象與軸交于點、，與軸交于點，連接，點是拋物線上一動點．
（1）求二次函數(shù)的表達式．
（2）當點不與點、重合時，作直線，交直線于點，若的面積是面積的4倍，求點的橫坐標．
（3）如圖②，當點在第一象限時，連接，交線段于點，以為斜邊向外作等腰直角三角形，連接，的面積是否變化？如果不變，請求出的面積；如果變化，請說明理由．
題型六：瓜豆原理模型（點在圓上）
1．（2023?崖州區(qū)一模）若，以點為圓心，2為半徑作圓，點為該圓上的動點，連接．
（1）如圖1，取點，使為等腰直角三角形，，將點繞點順時針旋轉得到．
①點的軌跡是 （填“線段”或者“圓” ；
②的最小值是 ；
（2）如圖2，以為邊作等邊（點、、按照順時針方向排列），在點運動過程中，求的最大值．
（3）如圖3，將點繞點逆時針旋轉，得到點，連接，則的最小值為 ．
2．（2024?昆山市一模）如圖1，在平面直角坐標系中，直線與軸，軸分別交于、兩點，拋物線經過、兩點，與軸的另一交點為．
（1）求拋物線解析式；
（2）若點為軸下方拋物線上一動點，當點運動到某一位置時，的面積等于面積的，求此時點的坐標；
（3）如圖2，以為圓心，2為半徑的與軸交于、兩點在右側），若點是上一動點，連接，以為腰作等腰，使、、三點為逆時針順序），連接．求長度的取值范圍．
3．（2023?海淀區(qū)校級三模）在平面直角坐標系中，給定圖形和點，若圖形上存在兩個點，滿足且，則稱點是圖形的關聯(lián)點．
已知點，，．
（1）在點，，，，，中， 是線段的關聯(lián)點；
（2）是以點為圓心，為半徑的圓．
①當時，若線段上任一點均為的關聯(lián)點，求的取值范圍；
②記線段與線段組成折線，若存在，使折線的關聯(lián)點都是的關聯(lián)點，直接寫出的最小值．
4．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）在中，，，，點是邊上任意一點，點是直線上一動點，連接，將繞點順時針旋轉，旋轉角為，得到線段，連接．
（1）如圖1，，，點在射線上，求的長；
（2）如圖2，，于點，，猜想線段，，之間存在的數(shù)量關系，并證明你的猜想；
（3）如圖3，，點在射線上，點是上一點且滿足，連接，直接寫出當最小時，點到的距離．
1號轎廂測量情況
4號轎廂測量情況
10號轎廂測量情況



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