（1）求證：AHCH=BHEH；
（2）當(dāng)CE∥AB時，求CE的長；
（3）當(dāng)△CFH是等腰三角形時，求CH的長．
2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y1＝ax2+3x+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)A（1，2），與x軸相交于另一點(diǎn)B．
（1）求：二次函數(shù)y1的解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若將拋物線y1以x＝3為對稱軸向右翻折后，得到一個新的二次函數(shù)y2，已知二次函數(shù)y2與x軸交于兩點(diǎn)，其中右邊的交點(diǎn)為C點(diǎn)．點(diǎn)P在線段OC上，從O點(diǎn)出發(fā)向C點(diǎn)運(yùn)動，過P點(diǎn)作x軸的垂線，交直線AO于D點(diǎn)，以PD為邊在PD的右側(cè)作正方形PDEF（當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時，點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F也隨之運(yùn)動）；
①當(dāng)點(diǎn)E在二次函數(shù)y1的圖象上時，求OP的長．
②若點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)向C點(diǎn)做勻速運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，同時線段OC上另一個點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)向O點(diǎn)做勻速運(yùn)動，速度為每秒2個單位長度（當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)時停止運(yùn)動，P點(diǎn)也同時停止運(yùn)動）．過Q點(diǎn)作x軸的垂線，與直線AC交于G點(diǎn)，以QG為邊在QG的左側(cè)作正方形QGMN（當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動時，點(diǎn)G、點(diǎn)M、點(diǎn)N也隨之運(yùn)動），若P點(diǎn)運(yùn)動t秒時，兩個正方形分別有一條邊恰好落在同一條直線上（正方形在x軸上的邊除外），求此刻t的值．
3．如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c（注：sin90°＝1）．
∵sinA=ac，sinB=bc，∴c=asinA，c=bsinB．∴asinA=bsinB=c．
∵sin90°＝1，∴asinA=bsinB=csinC．
拓展探究：
如圖2，在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．思考特例中的結(jié)論asinA=bsinB=csinC是否仍然成立？請說明理由．
解決問題：
如圖3，為測量點(diǎn)A到河對岸點(diǎn)B的距離，選取與點(diǎn)A在河岸同一側(cè)的點(diǎn)C，測得AC＝40m，∠A＝75°，∠C＝60°．請用前面的結(jié)論，求點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離（不取近似值）．
4．綜合實(shí)踐小組研究某個籃球自由落地和反彈現(xiàn)象．
實(shí)驗(yàn)探索：該小組把該籃球從不同的高度放開，讓其自由落下，測量其落地后反彈的高度，得到數(shù)據(jù)如表：
任務(wù)1：請選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型描述該籃球反彈高度與下落高度之間的關(guān)系，設(shè)出變量，求出函數(shù)解析式．
解決問題：該小組進(jìn)一步提出研究籃球各次反彈的最高點(diǎn)出現(xiàn)的時間間隔規(guī)律，經(jīng)查閱資料發(fā)現(xiàn)，籃球第一次從高度為h0（單位：m）處落下到達(dá)地面的運(yùn)動過程中，其高度h（單位：m）與運(yùn)動時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是?=?0?12gt2，其中g(shù)為重力加速度．第一次自由下落及以后每次反彈再落地的過程中，籃球離地高度都是運(yùn)動時間的二次函數(shù)，且它們的二次項(xiàng)系數(shù)相同．
任務(wù)2：根據(jù)任務(wù)1中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，求籃球從高為h0（單位：m）處下落到第一次反彈到最高點(diǎn)所用的時間（用只含已知量h0，g的式子表示）．
任務(wù)3：籃球從100cm處下落，g的值取10m/s2．當(dāng)籃球反彈高度小于2cm時，下次不再反彈．直接寫出籃球反彈的總次數(shù)，并用式子表示籃球從第n次反彈最高點(diǎn)運(yùn)動到第n+1次反彈最高點(diǎn)間隔的時間（用只含反彈次數(shù)n的式子表示）．
5．【發(fā)現(xiàn)問題】
小明在練習(xí)簿的橫線上取點(diǎn)O為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點(diǎn)，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)的位置有一定的規(guī)律．
【提出問題】
小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點(diǎn)，所描的點(diǎn)都在某二次函數(shù)圖象上．
【分析問題】
小明利用已學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn)，以圓心O為原點(diǎn)，過點(diǎn)O的橫線所在直線為x軸，過點(diǎn)O且垂直于橫線的直線為y軸，相鄰橫線的間距為一個單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示．當(dāng)所描的點(diǎn)在半徑為5的同心圓上時，其坐標(biāo)為 ．
【解決問題】
請幫助小明驗(yàn)證他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明繼續(xù)思考：設(shè)點(diǎn)P（0，m），m為正整數(shù)，以O(shè)P為直徑畫⊙M，是否存在所描的點(diǎn)在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，說明理由．
6．[綜合探究]運(yùn)用二次函數(shù)來研究植物幼苗葉片的生長狀況．在大自然里，有很多數(shù)學(xué)的奧秘．圖1是一片美麗的心形葉片，圖2是一棵生長的幼苗都可以看作把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成．
【探究一】確定心形葉片的形狀
（1）如圖3建立平面直角坐標(biāo)系，心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax﹣4a+1圖象的一部分，已知圖象過原點(diǎn)，求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
【探究二】研究心形葉片的寬度：
（2）如圖3，在（1）的條件下，心形葉片的對稱軸，即直線y＝x+1與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，拋物線與x軸交于另一點(diǎn)C，點(diǎn)C，C1是葉片上的一對對稱點(diǎn)，CC1交直線AB于點(diǎn)G．求葉片此處的寬度CC1；
【探究三】探究幼苗葉片的長度
（3）小李同學(xué)在觀察幼苗生長的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax﹣4a+1圖象的一部分；如圖4，幼苗葉片下方輪廓線正好對應(yīng)探究一中的二次函數(shù)．已知直線PD（點(diǎn)P為葉尖）與水平線的夾角為45°，求幼苗葉片的長度PD．
7．（1）如圖1，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D為BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，若BE＝3，則DE＝ ．
（2）如圖2，在銳角△ABC中（AB＜AC），∠C＝45°，AB＝4，AD為BC邊上的高，若S△ABD=94，求BC的長．
（3）如圖3，⊙O為△ABD的外接圓，已知⊙O的半徑為5，弦AC⊥BD于點(diǎn)H．且AC＝BD，DE為⊙O的一條直徑．M、N分別為BD、DE上一點(diǎn)，連MN、ME．若∠DMN＝∠BAD，S△ABH=72，求△EMN面積的最大值．
8．（1）【知識再現(xiàn)】我們知道，直角三角形中有6個元素——三個角，三條邊，由已知元素求出所有未知元素的過程叫解直角三角形，下列三個條件中，不能解直角三角形的是 ．
①已知兩條邊；②已知一條邊和一個銳角；③已知兩個角．
（2）【聯(lián)系拓展】擴(kuò)展開去，任意三角形中有6個元素——三個角，三條邊，由已知元素求出所有未知元素的過程叫解三角形．三角函數(shù)是三角形邊角關(guān)系的紐帶，也可以作為解三角形的常用工具．如圖1，已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝5+53，解這個三角形；
（3）【延伸應(yīng)用】如圖2，△ABC中，AC=23，csA=32，BC＝m，在解這個三角形時，若未知元素都有兩解的m的取值范圍是 ．
9．射水魚以陸生昆蟲為食物，它在捕食時，能從口中射出一股水流，準(zhǔn)確擊中2m以內(nèi)的昆蟲．如果不考慮空氣阻力，那么射水魚射出的水流可以看成一條拋物線的一部分（如圖）．在一次捕食時，射水魚射出的水流向上運(yùn)動的高度y（單位：cm）與向前運(yùn)動的水平距離x（單位：cm）的關(guān)系可以近似地表示為y＝﹣0.1x2+4x．
（1）如果這次射出的水流沒有遇到障礙物，它運(yùn)動的高度逐步上升時，水流向前運(yùn)動的水平距離x的范圍是 ，它運(yùn)動的高度逐步下降時，水流向前運(yùn)動的水平距離x的范圍是 ；
（2）假設(shè)要捕食的昆蟲位于射水魚正前方水平距離20cm，高度50cm處，那么這次射出的水流能否擊中這只昆蟲？
（3）假設(shè)捕食的昆蟲位于射水魚正前方30cm高度，并沿水平直線飛行，那么這次射出的水流要擊中這只昆蟲，可能在射水魚正前方多遠(yuǎn)處？
答案解析
1．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)F是線段CD上一點(diǎn)（不與C、D重合），過點(diǎn)B作BE⊥AF交AF的延長線于點(diǎn)E，AE與BC交于點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)CE．
（1）求證：AHCH=BHEH；
（2）當(dāng)CE∥AB時，求CE的長；
（3）當(dāng)△CFH是等腰三角形時，求CH的長．
【分析】（1）根據(jù)題意∠AEB＝∠ACB，∠AHC＝∠BHE，證明△ACH∽△BEH即可求證；
（2）根據(jù)題意可得△CHE∽△AHB，則有∠CEH＝∠ABH，由CE∥AB，得到AH＝BH，如圖所示，作HG⊥AB，垂足是G，由勾股定理、三角函數(shù)的計(jì)算得到AB=10，cs∠ABC=45，在Rt△BHG中，cs∠ABC=BGBH，則有5BH=45，得到BH=254，再根據(jù)CEAB=CHBH，即可求解；
（3）根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)分類討論：第一種情況：當(dāng)∠CFH＝∠CHF時，可證AH平分∠CAB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)即的計(jì)算可解得HG；第二種情況：當(dāng)∠CHF＝∠HCF時，可得tan∠CHF＝tan∠CAB，則ACCH=BCAC，即6CH=86，即可求解；第三種情況：當(dāng)∠HCF＝∠HFC時，結(jié)合（2）的計(jì)算即可求解．
【解答】（1）證明：∵BE⊥AF，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AEB＝∠ACB，
∵∠AHC＝∠BHE，
∴△ACH∽△BEH，
∴AHBH=CHEH即AHCH=BHEH；
（2）解：∵AHCH=BHEH，∠CHE＝∠AHB，
∴△CHE∽△AHB，
∴∠CEH＝∠ABH，
∵CE∥AB，
∴∠CEH＝∠HAB，
∴∠ABH＝∠HAB，
∴AH＝BH，
如圖所示，作HG⊥AB，垂足是G，
∵HG⊥AB，
∴BG=12AB，
在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，cs∠ABC=45，
∴BG＝5，
在Rt△BHG中，cs∠ABC=BGBH，
∴5BH=45，
∴BH=254，
∴CH=BC?BH=74，
∵CE∥AB，
∴CEAB=CHBH，即CE10=74254，
∴CE=145；
（3）解：①當(dāng)∠CFH＝∠CHF時，
∵∠CFH＝∠AFD，
∴∠CHF＝∠AFD，
∵∠CHF+∠CAH＝∠AFD+∠FAD＝90°，
∴∠CAH＝∠FAD，
∵∠ACB＝90°，即AC⊥BC，HG⊥AB，
∴CH＝HG，
∵AH＝AH，CH＝GH，
∴△ACH≌△AGH（HL），
∴AG＝AC＝6，
∴BG＝AB﹣AG＝4，
在Rt△BHG中，tan∠ABC=HGBG，
∴HG=4×34=3，即CH＝3；
②當(dāng)∠FHC＝∠FCH時，
∵∠HCF＝∠CAB，
∴∠CHF＝∠CAB，
∴tan∠CHF＝tan∠CAB，
∴ACCH=BCAC，即6CH=86，
∴CH=92；
③當(dāng)∠HCF＝∠HFC時，
∵∠CFH＝∠AFD，
∴∠HCF＝∠AFD，
∵∠HCF+∠ABC＝∠AFD+∠FAD＝90°，
∴∠ABC＝∠FAD，
∵∠ABC＝∠CEA，
∴∠FAD＝∠CEA，
∴CE∥AB，
由（2）可知，在Rt△BHG中，cs∠ABC=BGBH，
∴5BH=45，
∴BH=254，
∴CH=BC?BH=74，即CH=74；
綜上所述，CH＝3或92或74．
2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y1＝ax2+3x+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)A（1，2），與x軸相交于另一點(diǎn)B．
（1）求：二次函數(shù)y1的解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若將拋物線y1以x＝3為對稱軸向右翻折后，得到一個新的二次函數(shù)y2，已知二次函數(shù)y2與x軸交于兩點(diǎn)，其中右邊的交點(diǎn)為C點(diǎn)．點(diǎn)P在線段OC上，從O點(diǎn)出發(fā)向C點(diǎn)運(yùn)動，過P點(diǎn)作x軸的垂線，交直線AO于D點(diǎn)，以PD為邊在PD的右側(cè)作正方形PDEF（當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時，點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F也隨之運(yùn)動）；
①當(dāng)點(diǎn)E在二次函數(shù)y1的圖象上時，求OP的長．
②若點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)向C點(diǎn)做勻速運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，同時線段OC上另一個點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)向O點(diǎn)做勻速運(yùn)動，速度為每秒2個單位長度（當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)時停止運(yùn)動，P點(diǎn)也同時停止運(yùn)動）．過Q點(diǎn)作x軸的垂線，與直線AC交于G點(diǎn)，以QG為邊在QG的左側(cè)作正方形QGMN（當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動時，點(diǎn)G、點(diǎn)M、點(diǎn)N也隨之運(yùn)動），若P點(diǎn)運(yùn)動t秒時，兩個正方形分別有一條邊恰好落在同一條直線上（正方形在x軸上的邊除外），求此刻t的值．
【分析】（1）利用二次函數(shù)y1＝ax2+3x+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)A（1，2），分別代入求出a，c的值即可；
（2）①過A點(diǎn)作AH⊥x軸于H點(diǎn)，根據(jù)DP∥AH，得出△OPD∽△OHA，進(jìn)而求出OP的長；
②分別利用當(dāng)點(diǎn)F、點(diǎn)N重合時，當(dāng)點(diǎn)F、點(diǎn)Q重合時，當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)N重合時，當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q重合時，求出t的值即可．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y1＝ax2+3x+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)A（1，2），
∴將（0，0），代入得出：
c＝0，
將（1，2）代入得出：
a+3＝2，
解得：a＝﹣1，
故二次函數(shù)解析式為：y1＝﹣x2+3x，
∵圖象與x軸相交于另一點(diǎn)B，
∴0＝﹣x2+3x，
解得：x＝0或3，
則B（3，0）；
（2）①由已知可得C（6，0）
如圖：過A點(diǎn)作AH⊥x軸于H點(diǎn)，
∵DP∥AH，
∴△OPD∽△OHA，
∴OPPD=OHAH，
即aPD=12，
∴PD＝2a，
∵正方形PDEF，
∴E（3a，2a），
∵E（3a，2a）在二次函數(shù)y1＝﹣x2+3x的圖象上，
∴a=79；
即OP=79．
②如圖1：
當(dāng)點(diǎn)F、點(diǎn)N重合時，有OF+CN＝6，
∵直線AO過點(diǎn)（1，2），
故直線解析式為：y＝2x，
當(dāng)OP＝t，
則AP＝2t，
∵直線AC過點(diǎn)（1，2），（6，0），
代入y＝ax+b，
a+b=26a+b=0，
解得：a=?25b=125，
故直線AC的解析式為：y=?25x+125，
∵當(dāng)OP＝t，QC＝2t，
∴QO＝6﹣2t，
∴GQ=?25（6﹣2t）+125=45t，
即NQ=45t，
∴OP+PN+NQ+QC＝6，
則有3t+2t+45t＝6，
解得：t=3029；
如圖2：
當(dāng)點(diǎn)F、點(diǎn)Q重合時，有OF+CQ＝6，則有3t+2t＝6，
解得：t=65；
如圖3：
當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)N重合時，有OP+CN＝6，則有t+2t+45t＝6，
解得：t=3019，
如圖4：
當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q重合時，有OP+CQ＝6，則有t+2t＝6，
解得：t＝2．
故此刻t的值為：t1=3029，t2=65，t3=3019，t4＝2．
3．如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c（注：sin90°＝1）．
∵sinA=ac，sinB=bc，∴c=asinA，c=bsinB．∴asinA=bsinB=c．
∵sin90°＝1，∴asinA=bsinB=csinC．
拓展探究：
如圖2，在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．思考特例中的結(jié)論asinA=bsinB=csinC是否仍然成立？請說明理由．
解決問題：
如圖3，為測量點(diǎn)A到河對岸點(diǎn)B的距離，選取與點(diǎn)A在河岸同一側(cè)的點(diǎn)C，測得AC＝40m，∠A＝75°，∠C＝60°．請用前面的結(jié)論，求點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離（不取近似值）．
【分析】拓展研究：仍然成立，理由：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，先根據(jù)正弦的定義可得sinB=CDBC=CDa，sin∠BAC=CDAC=CDb，從而可得asin∠BAC=bsinB，同樣的方法可得bsinB=csin∠BCA，由此即可得；
解決問題：先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠CBA＝45°，再根據(jù)拓展研究的結(jié)論求解即可得．
【解答】解：拓展探究：結(jié)論asinA=bsinB=csinC仍然成立．
理由如下：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，
在Rt△ABE中，sinB=AEAB=AEc，
在Rt△BCD中，sinB=CDBC=CDa，
在Rt△ACD中，sin∠BAC=CDAC=CDb，
∴CD＝asinB，CD＝bsin∠BAC，
∴asinB＝bsin∠BAC，
∴asin∠BAC=bsinB，
同理可得：bsinB=csin∠BCA，
∴asin∠BAC=bsinB=csin∠BCA．
解決問題：在△ABC中，∠CBA＝180°﹣∠A﹣∠C＝45°，
∵ABsinC=ACsin∠CBA，AC＝40m，
∴ABsin60°=40sin45°，
∴AB＝40sin60°×sin45°＝206（m），
答：點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為206m．
4．綜合實(shí)踐小組研究某個籃球自由落地和反彈現(xiàn)象．
實(shí)驗(yàn)探索：該小組把該籃球從不同的高度放開，讓其自由落下，測量其落地后反彈的高度，得到數(shù)據(jù)如表：
任務(wù)1：請選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型描述該籃球反彈高度與下落高度之間的關(guān)系，設(shè)出變量，求出函數(shù)解析式．
解決問題：該小組進(jìn)一步提出研究籃球各次反彈的最高點(diǎn)出現(xiàn)的時間間隔規(guī)律，經(jīng)查閱資料發(fā)現(xiàn)，籃球第一次從高度為h0（單位：m）處落下到達(dá)地面的運(yùn)動過程中，其高度h（單位：m）與運(yùn)動時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是?=?0?12gt2，其中g(shù)為重力加速度．第一次自由下落及以后每次反彈再落地的過程中，籃球離地高度都是運(yùn)動時間的二次函數(shù)，且它們的二次項(xiàng)系數(shù)相同．
任務(wù)2：根據(jù)任務(wù)1中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，求籃球從高為h0（單位：m）處下落到第一次反彈到最高點(diǎn)所用的時間（用只含已知量h0，g的式子表示）．
任務(wù)3：籃球從100cm處下落，g的值取10m/s2．當(dāng)籃球反彈高度小于2cm時，下次不再反彈．直接寫出籃球反彈的總次數(shù)，并用式子表示籃球從第n次反彈最高點(diǎn)運(yùn)動到第n+1次反彈最高點(diǎn)間隔的時間（用只含反彈次數(shù)n的式子表示）．
【分析】任務(wù)1：由表格數(shù)據(jù)知，對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為一次函數(shù)；
任務(wù)2：令?=?0?12gt2=0，則t=2?0g，反彈時，y＝0.5x，則此時高度為12h0，同理可得：t=?0g，即可求解；
任務(wù)3：y=12x，100×（12）6=2516＜2，故反彈的次數(shù)為6次，參考任務(wù)2，即可求解．
【解答】解：任務(wù)1：設(shè)下落的高度為x cm，反彈的高度為y cm，
設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為：y＝kx+b，
將（80，40）、（90，45）代入上式得：
40=80k+b45=90k+b，解得：k=0.5b=0，
故函數(shù)的表達(dá)式為：y＝0.5x；
任務(wù)2：令?=?0?12gt2=0，則t=2?0g，
反彈時，y＝0.5x，則此時高度為12h0，
同理可得：t=?0g，
則總時間為：t=2?0g+?0g；
任務(wù)3：100cm＝1m，
∵y=12x，100×（12）6=2516＜2，
故反彈的次數(shù)為6次，
由（2）知，開始的時間t=2?0g=2×110=55，
第一次反彈t=?0g=55×22，
則第n次反彈t=?0g=55×（22）n，
第（n+1）次反彈t=?0g=55×（22）n+1，
則從第n次反彈最高點(diǎn)運(yùn)動到第n+1次反彈最高點(diǎn)間隔的時間=55×（22）n+55×（22）n+1=25+1010（22）n．
5．【發(fā)現(xiàn)問題】
小明在練習(xí)簿的橫線上取點(diǎn)O為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點(diǎn)，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)的位置有一定的規(guī)律．
【提出問題】
小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點(diǎn)，所描的點(diǎn)都在某二次函數(shù)圖象上．
【分析問題】
小明利用已學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn)，以圓心O為原點(diǎn)，過點(diǎn)O的橫線所在直線為x軸，過點(diǎn)O且垂直于橫線的直線為y軸，相鄰橫線的間距為一個單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示．當(dāng)所描的點(diǎn)在半徑為5的同心圓上時，其坐標(biāo)為 （﹣3，4）或（3，4） ．
【解決問題】
請幫助小明驗(yàn)證他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明繼續(xù)思考：設(shè)點(diǎn)P（0，m），m為正整數(shù)，以O(shè)P為直徑畫⊙M，是否存在所描的點(diǎn)在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，說明理由．
【分析】【分析問題】根據(jù)題意可知：該點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，利用勾股定理，即可求出該點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；
【解決問題】設(shè)所描的點(diǎn)在半徑為n（n為正整數(shù)）的同心圓上，則該點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（n﹣1），利用勾股定理可得出該點(diǎn)的坐標(biāo)為（?2n?1，n﹣1）或（2n?1，n﹣1），結(jié)合點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)間的關(guān)系，可得出該點(diǎn)在二次函數(shù)y=12x2?12的圖象上，進(jìn)而可證出小明的猜想正確；
【深度思考】設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為（±2n?1，n﹣1），結(jié)合⊙M的圓心坐標(biāo)，利用勾股定理，即可用含n的代數(shù)式表示出m的值，再結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可得出m，n的值．
【解答】【分析問題】解：根據(jù)題意，可知：所描的點(diǎn)在半徑為5的同心圓上時，其縱坐標(biāo)y＝5﹣1＝4，
∵橫坐標(biāo)x＝±52?42=±3，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，4）或（3，4）．
【解決問題】證明：設(shè)所描的點(diǎn)在半徑為n（n為正整數(shù)）的同心圓上，則該點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（n﹣1），
∴該點(diǎn)的橫坐標(biāo)為±n2?(n?1)2=±2n?1，
∴該點(diǎn)的坐標(biāo)為（?2n?1，n﹣1）或（2n?1，n﹣1）．
∵（±2n?1）2＝2n﹣1，n﹣1=2n?1?12，
∴該點(diǎn)在二次函數(shù)y=12（x2﹣1）=12x2?12的圖象上，
∴小明的猜想正確．
【深度思考】解：設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為（±2n?1，n﹣1），⊙M的圓心坐標(biāo)為（0，12m），
∴(±2n?1?0)2+(n?1?12m)2=12m，
∴m=n2n?1=(n?1+1)2n?1=(n?1)2+2(n?1)+1n?1=n﹣1+2+1n?1．
又∵m，n均為正整數(shù)，
∴n﹣1＝1，
∴m＝1+2+1＝4，
∴存在所描的點(diǎn)在⊙M上，m的值為4．
6．[綜合探究]運(yùn)用二次函數(shù)來研究植物幼苗葉片的生長狀況．在大自然里，有很多數(shù)學(xué)的奧秘．圖1是一片美麗的心形葉片，圖2是一棵生長的幼苗都可以看作把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成．
【探究一】確定心形葉片的形狀
（1）如圖3建立平面直角坐標(biāo)系，心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax﹣4a+1圖象的一部分，已知圖象過原點(diǎn)，求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
【探究二】研究心形葉片的寬度：
（2）如圖3，在（1）的條件下，心形葉片的對稱軸，即直線y＝x+1與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，拋物線與x軸交于另一點(diǎn)C，點(diǎn)C，C1是葉片上的一對對稱點(diǎn)，CC1交直線AB于點(diǎn)G．求葉片此處的寬度CC1；
【探究三】探究幼苗葉片的長度
（3）小李同學(xué)在觀察幼苗生長的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax﹣4a+1圖象的一部分；如圖4，幼苗葉片下方輪廓線正好對應(yīng)探究一中的二次函數(shù)．已知直線PD（點(diǎn)P為葉尖）與水平線的夾角為45°，求幼苗葉片的長度PD．
【分析】（1）把原點(diǎn)（0，0）代入解析式y(tǒng)＝ax2﹣4ax﹣4a+1，求得a值，將拋物線化成頂點(diǎn)式即可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），再求出CC1的解析式為：y＝﹣x+4．然后求出點(diǎn)G的坐標(biāo)為(32，52)，最后求出結(jié)果即可；
（3）作PF⊥拋物線的對稱軸于點(diǎn)F，則∠PFD＝90°，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，得出PF＝FD＝2﹣x，根據(jù)點(diǎn)P在拋物線上，列出方程1?x=14x2?x，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，3），最后求出PD即可．
【解答】解：（1）心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax﹣4a+1圖象的一部分，且圖象過原點(diǎn)，將（0，0）代入得：
﹣4a+1＝0．
解得：a=14．
∴拋物線的解析式為y=14x2?x=14(x?2)2?1，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣1）；
（2）∵拋物線與x軸交于另一點(diǎn)C，點(diǎn)C，C1是葉片上的一對對稱點(diǎn)，
當(dāng)y＝0時得：0=14x2?x，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），
∴設(shè)CC1的解析式為y＝﹣x+b．將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：
﹣4+b＝0．
解得：b＝4．
∴CC1的解析式為y＝﹣x+4．
聯(lián)立得：y=?x+4y=x+1，
解得：x=32y=52，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(32，52)，
∴CG=(4?32)2+(0?52)2=522，
∴CC′=2CG=52；
（3）作PF⊥拋物線的對稱軸于點(diǎn)F，則∠PFD＝90°，
∵直線PD與水平線的夾角為45°，
∴PF＝FD．
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，
∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，
∴PF＝FD＝2﹣x．
∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣1），
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣1+2﹣x＝1﹣x．
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴1?x=14x2?x，
解得：x＝±2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，3），
∴PD=(?2?2)2+(?1?3)2=42．
7．（1）如圖1，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D為BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，若BE＝3，則DE＝ 94 ．
（2）如圖2，在銳角△ABC中（AB＜AC），∠C＝45°，AB＝4，AD為BC邊上的高，若S△ABD=94，求BC的長．
（3）如圖3，⊙O為△ABD的外接圓，已知⊙O的半徑為5，弦AC⊥BD于點(diǎn)H．且AC＝BD，DE為⊙O的一條直徑．M、N分別為BD、DE上一點(diǎn)，連MN、ME．若∠DMN＝∠BAD，S△ABH=72，求△EMN面積的最大值．
【分析】（1）根據(jù)同角的正切即可解答；
（2）先根據(jù)勾股定理得：AD2+BD2＝AB2，由S△ABD=94得：12?BD?AD=94，兩式結(jié)合變形后即可解答；
（3）如圖3，連接EB，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理證明∠ENM＝90°，過點(diǎn)O作OP⊥AC于P，作OQ⊥BD于Q，證明四邊形OPHQ是正方形，設(shè)HQ＝a，BH＝x，利用勾股定理列方程a2+（a+x）2＝52，結(jié)合S△ABH=72和二次函數(shù)的最值即可解答．
【解答】解：（1）如圖1，∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴tanB=DEBE=ACBC，
∵AC＝3，BC＝4，BE＝3，
∴DE3=34，
∴DE=94；
故答案為：94；
（2）如圖2，∵AD為BC邊上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
由勾股定理得：AD2+BD2＝AB2，
∵AB＝4，
∴AD2+BD2＝16，
∵∠C＝45°，
∴AD＝CD，
∵S△ABD=94，
∴12?BD?AD=94，
∴AD?BD=92，
∴（AD+BD）2﹣2AD?BD＝16，
∴BC2﹣9＝16，
∴BC2＝25，
∴BC＝5（負(fù)值舍）；
（3）如圖3，連接EB，
∵∠BED＝∠BAD，∠BAD＝∠DMN，
∴∠DMN＝∠BED，
∵∠DMN+∠BMN＝180°，
∴∠BED+∠BMN＝180°，
∴∠EBD+∠ENM＝180°，
∵ED是⊙O的直徑，
∴∠EBD＝90°，
∴∠ENM＝90°，
過點(diǎn)O作OP⊥AC于P，作OQ⊥BD于Q，
∴BQ＝DQ，CP＝AP，
∵AC＝BD，
∴OP＝OQ，AP＝CP＝BQ＝DQ，
∵∠OPH＝∠OQH＝∠PHQ＝90°，
∴四邊形OPHQ是正方形，
∴PH＝HQ，
設(shè)HQ＝a，BH＝x，
∴DQ＝BQ＝AP＝a+x，
∵⊙O的半徑為5，
∴a2+（a+x）2＝52，
∴2a2+2ax+x2＝25，
∵S△ABH=72，
∴12?BH?AH=72，即12?x?（2a+x）=72，
∴2ax+x2＝7，
∴2a2+7＝25，
∴a＝3（負(fù)值舍），
∴OQ＝3，
∵OD＝5，
∴DQ＝4，
∴tan∠QDO=OQDQ=MNDN=34，
∴設(shè)MN＝3m，DN＝4m，則EN＝10﹣4m，
∴△EMN面積=12?MN?EN=12?3m?（10﹣4m）＝﹣6m2+15m＝﹣6（m?54）2+758，
∴△EMN面積的最大值是758．
8．（1）【知識再現(xiàn)】我們知道，直角三角形中有6個元素——三個角，三條邊，由已知元素求出所有未知元素的過程叫解直角三角形，下列三個條件中，不能解直角三角形的是 ③ ．
①已知兩條邊；②已知一條邊和一個銳角；③已知兩個角．
（2）【聯(lián)系拓展】擴(kuò)展開去，任意三角形中有6個元素——三個角，三條邊，由已知元素求出所有未知元素的過程叫解三角形．三角函數(shù)是三角形邊角關(guān)系的紐帶，也可以作為解三角形的常用工具．如圖1，已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝5+53，解這個三角形；
（3）【延伸應(yīng)用】如圖2，△ABC中，AC=23，csA=32，BC＝m，在解這個三角形時，若未知元素都有兩解的m的取值范圍是 3＜m＜23 ．
【分析】（1）根據(jù)解直角三角形的定義得到結(jié)論；
（2）過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)CD＝x，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AD=3x，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BD＝CD＝x，求得x＝5，于是得到∠ACB＝180°﹣30°﹣45°＝105°，AC＝2CD＝2×5＝10，BC=2CD＝52；
（3）過點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)D，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=12AC=3．當(dāng)BC＝CD＝m或BC≥AC時，BC有唯一解，當(dāng)CD＜BC＜AC時，即3＜m＜23時，BC有兩個解，于是得到結(jié)論．
【解答】解：（1）解直角三角形中，在已知的兩個元素中，至少含有一條邊，故答案為：③；
（2）過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，
設(shè)CD＝x，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，tanA=CDAD，
∴xAD=33，
∴AD=3x，
在Rt△ACD中，∠B＝45°，
∴∠BCD＝45°＝∠B，
∴BD＝CD＝x，
∵AB＝5+53，
∴x+3x＝5+53，
∴x＝5，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣45°＝105°，AC＝2CD＝2×5＝10，BC=2CD＝52；
（3）過點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)D，
△RtABC中，AC＝23，csA=32，BC＝m，
∴∠A＝30°，
∴CD=12AC=3．
當(dāng)BC＝CD＝m或BC≥AC時，BC有唯一解，
當(dāng)CD＜BC＜AC時，即3＜m＜23時，BC有兩個解，
故答案為：3＜m＜23．
9．射水魚以陸生昆蟲為食物，它在捕食時，能從口中射出一股水流，準(zhǔn)確擊中2m以內(nèi)的昆蟲．如果不考慮空氣阻力，那么射水魚射出的水流可以看成一條拋物線的一部分（如圖）．在一次捕食時，射水魚射出的水流向上運(yùn)動的高度y（單位：cm）與向前運(yùn)動的水平距離x（單位：cm）的關(guān)系可以近似地表示為y＝﹣0.1x2+4x．
（1）如果這次射出的水流沒有遇到障礙物，它運(yùn)動的高度逐步上升時，水流向前運(yùn)動的水平距離x的范圍是 0＜x＜20 ，它運(yùn)動的高度逐步下降時，水流向前運(yùn)動的水平距離x的范圍是 20＜x＜40 ；
（2）假設(shè)要捕食的昆蟲位于射水魚正前方水平距離20cm，高度50cm處，那么這次射出的水流能否擊中這只昆蟲？
（3）假設(shè)捕食的昆蟲位于射水魚正前方30cm高度，并沿水平直線飛行，那么這次射出的水流要擊中這只昆蟲，可能在射水魚正前方多遠(yuǎn)處？
【分析】（1）求得拋物線y＝﹣0.1x2+4x的對稱軸為直線x=?42×(?0.1)=20，于是得到結(jié)論；
（2）把x＝20代入函數(shù)解析式得到y(tǒng)＝﹣0.1×202+4×20＝40＜50，于是得到這次射出的水流不能擊中這只昆蟲；
（3）把y＝30代入函數(shù)解析式得到0＝﹣0.1x2+4x，解方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）拋物線y＝﹣0.1x2+4x的對稱軸為直線x=?42×(?0.1)=20，
∴它運(yùn)動的高度逐步上升時，水流向前運(yùn)動的水平距離x的范圍是0＜x＜20，它運(yùn)動的高度逐步下降時，水流向前運(yùn)動的水平距離x的范圍是20＜x＜40，
故答案為：0＜x＜20，20＜x＜40；
（2）當(dāng)x＝20時，y＝﹣0.1×202+4×20＝40＜50，
∴這次射出的水流不能擊中這只昆蟲；
（3）當(dāng)y＝30時，0＝﹣0.1x2+4x，
解得x1＝10，x2＝30，
∴這次射出的水流要擊中這只昆蟲，可能在射水魚正前方10m或30m處．試次
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
下落高度/cm
80
90
100
110
120
反彈高度/cm
40
45
50
56
60
試次
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
下落高度/cm
80
90
100
110
120
反彈高度/cm
40
45
50
56
60

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