1.【規(guī)律探索】觀察以下等式：
第1個等式：222?1=11?13，
第2個等式：242?1=13?15，
第3個等式：262?1=15?17，
…
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第6個等式： ，由此可計(jì)算222?1+242?1+?+2122?1的結(jié)果為 ；
（2）寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．
2．【觀察思考】觀察個位上的數(shù)字是5的自然數(shù)的平方（任意一個個位數(shù)字為5的自然數(shù)n5可用代數(shù)式10n+5來表示，其中n為正整數(shù)），會發(fā)現(xiàn)一些有趣的規(guī)律．請你仔細(xì)觀察，探索其規(guī)律，并歸納猜想出一般結(jié)論．
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】
第1個等式：152＝（1×2）×100+25；
第2個等式：252＝（2×3）×100+25；
第3個等式：352＝（3×4）×100+25；
…
【規(guī)律應(yīng)用】
（1）寫出第4個等式： ；寫出你猜想的第n個等式： （用含n的等式表示）；
（2）根據(jù)以上的規(guī)律直接寫出結(jié)果：2024×2025×100+25＝ 2；
（3）若n52與100n的差為4925，求n的值．
3．觀察以下等式．
第1個等式：1×32=21?11×2；
第2個等式：12×83=32?12×3；
第3個等式：13×154=43?13×4；
第4個等式：14×245=54?14×5；
…
按照以上規(guī)律，解決下列問題．
（1）寫出第5個等式： ；
（2）寫出你猜想的第n個等式： （用含n的式子表示），并證明．
4．觀察以下等式：
第1個等式：(12+1)×(4?1)=92，
第2個等式：(12+12)×(9?1)=8，
第3個等式：(12+13)×(16?1)=252，
第4個等式：(12+14)×(25?1)=18，
…
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第5個等式： ；
（2）寫出你猜想的第n個等式（用含n的等式表示），并證明．
5．觀察以下等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：；
……
按照以上規(guī)律，解答下列問題：
（1）寫出第5個等式： ；
（2）寫出你猜想的第n個等式： （用含n的等式表示），并證明．
6．觀察下列等式：
第1個等式：＝1；
第2個等式：＝3；
第3個等式：＝5；
…
根據(jù)上述規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第5個等式 ；
（2）寫出你猜想的第n個等式： （n是正整數(shù)，用含n的等式表示），并證明．
7.觀察下列等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：；
……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）各等式都成立時，______；
（2）在（1）的條件下，寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．
8．觀察以下等式：
第1個等式：++×＝1，
第2個等式：++×＝1，
第3個等式：++×＝1，
第4個等式：++×＝1，
第5個等式：++×＝1，
……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第6個等式： ；
（2）寫出你猜想的第n個等式： （用含n的等式表示），并證明．
9．觀察以下等式：
第1個等式：32?124=1+1；
第2個等式：42?224=1+2；
第3個等式：52?324=1+3；
第4個等式：62?424=1+4；
第5個等式：72?524=1+5；
……
按照以上規(guī)律，解答下列問題：
（1）寫出第6個等式： ；
（2）寫出你猜想的第n個等式： （用含n的式子表示），并證明．
10.觀察以下等式：
第1個等式：2×1+2＝22+1×1﹣1；
第2個等式：4×2+6＝32+2×3﹣1；
第3個等式：6×3+12＝42+3×5﹣1；
第4個等式：8×4+20＝52+4×7﹣1；
…
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第5個等式： ；
（2）寫出你猜想的第n個等式：（用含n的式子表示），并證明．
11．類比是探索發(fā)展的重要途徑，是發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法．閱讀材料：
設(shè)x2+px+q＝0的兩個根為x1和x2，那么x2+px+q＝（x﹣x1）（x﹣x2）＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2
比較系數(shù)，可得x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
類比推廣，回答問題：設(shè)x3+px2+qx+r＝0的三個根為x1，x2，x3，那么x3+px2+qx+r＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝x3+（ ）x2+（ ）x+（ ）
比較系數(shù)，可以得到一元三次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：
x1+x2+x3＝ ， ＝q，x1x2x3＝ ．
12．觀察以下等式：
第1個等式：23﹣3×1×2＝13+1
第2個等式：33﹣3×2×3＝23+1
第3個等式：43﹣3×3×4＝33+1
第4個等式：53﹣3×4×5＝43+1
…
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第5個等式： ；
（2）寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．
13．觀察下列等式：
a1=11×2×3+12=21×3；
a2=12×3×4+13=32×4；
a3=13×4×5+14=43×5；
…
（1）猜想并寫出第6個等式a6＝ 16×7×8+17=76×8． ；
（2）猜想并寫出第n個等式an＝ 1n(n+1)(n+2)+1n+1=n+1n(n+2) ；
（3）證明（2）中你猜想的正確性．
類型2 圖形規(guī)律探索14．很多代數(shù)公式都可以通過表示幾何圖形面積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．例如：平方差公式、完全平方公式等．
【提出問題】如何用表示幾何圖形面積的方法計(jì)算：13+23+33+?+n3＝？
【規(guī)律探究】觀察下面表示幾何圖形面積的方法：
13＝12，13+23＝32，13+23+33＝ ；
【解決問題】請用上面表示幾何圖形面積的方法寫出13+23+33+?+n3＝ （用含n的代數(shù)式表示）；
【拓展應(yīng)用】根據(jù)以上結(jié)論，計(jì)算：23+43+63+?+（2n）3．
第14題圖
15．用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形，拼如圖的方式拼圖，請根據(jù)圖中的信息完成下列的問題：
圖1 圖2 圖3
第15題圖
（1）在圖2中用了 塊白色正方形，在圖3中用了 塊白色正方形；
（2）按如圖的規(guī)律繼續(xù)鋪下去，那么第n個圖形要用 塊白色正方形；
（3）如果有足夠多的黑色正方形，能不能恰好用完2024塊白色正方形，拼出具有以上規(guī)律的圖形？如果可以請說明它是第幾個圖形；如果不能，說明你的理由．
16.【觀察思考】
第16題圖
【規(guī)律總結(jié)】
（1）每增加一個圖案，則正八邊形的頂點(diǎn)上“★”增加 個，“▲”增加 個；
（2）第n個圖案中“★”有 個，“▲”有 個；
【規(guī)律應(yīng)用】
（2）在第2025個圖案中，求“★”的數(shù)量比“▲”的數(shù)量多多少個？
17．【觀察思考】
第17題圖
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】
請用含n的式子填空：
（1）第5個圖案中“△”的個數(shù)為 ；
（2）第n（n為正整數(shù)）個圖案中“〇”的個數(shù)為 ，“△”的個數(shù)為 ；（用含n的式子表示）
【規(guī)律應(yīng)用】
（3）結(jié)合上面圖案中“〇”和“△”的排列方式及規(guī)律，求正整數(shù)n，使得“〇”比“△”的個數(shù)多28．
18．合肥近幾年城市發(fā)展迅速，交通便利，2024年計(jì)劃再筑公路533公里，深入推進(jìn)“1155”大交通計(jì)劃．修路的主要材料之一是瀝青，瀝青中含稠環(huán)芳香烴，其中偶數(shù)個苯環(huán)可視為同系物．注：最簡單的稠環(huán)芳香烴是萘，它的分子結(jié)構(gòu)圖與結(jié)構(gòu)簡式如下：
第18題圖
【觀察思考】觀察右側(cè)結(jié)構(gòu)簡式的分子式回答下列問題：
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】
（1）圖（4）的分子中含 個C原子；
（2）圖（n）的分子中含 個C原子；
【規(guī)律運(yùn)用】
（3）若圖（m）和圖（m+1）的分子中共含有242個C原子，求m的值．
19.【觀察思考】
如圖，第1個圖案是由邊長為1的兩個等邊三角形組成的1個菱形（包含兩條對角線），第2個圖案由2個相同的菱形組成，第3個圖案由3個相同的菱形組成，以此類推…
第19題圖
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】
請用含的式子填空：
（1）第n個圖案中含有長為1的線段條數(shù)是 ；
（2）第1個圖案中含有三角形個數(shù)可表示為10×1﹣2；第2個圖案中含有三角形個數(shù)可表10×2﹣2；第3個圖案中含有三角形個數(shù)可表示為28＝30﹣2＝10×3﹣2；…第n個圖案中含有三角形個數(shù)可表示為 ；
【規(guī)律應(yīng)用】
（3）結(jié)合圖案中長為1的線段條數(shù)和三角形個數(shù)的規(guī)律，每個圖案中三角形個數(shù)都比長為1的線段條數(shù)多嗎？請說明理由．
20.高樂同學(xué)在手工課上利用等邊三角形、白色正方形和彩色正方形按一定規(guī)律搭建圖形，觀察圖形，回答下列問題：
（1）圖1的彩色正方形有：1+1＝1+1×(1+1)2；
圖2的彩色正方形有：1+1+2＝1+2×(1+2)2；
圖3的彩色正方形有：1+1+2+3＝1+3×(1+3)2；
圖4的彩色正方形有：1+1+2+3+4＝1+4×(1+4)2；…，
圖n的彩色正方形有： ；
（2）圖1中，白色正方形比彩色正方形多1個；圖2中，白色正方形比彩色正方形多2個；圖3中，白色正方形比彩色正方形多3個；…；圖n的白色正方形有 個．
（3）若圖n中彩色正方形的個數(shù)比等邊三角形的個數(shù)多45個，求圖n中白色正方形的個數(shù)．
第20題圖
21. 某公園中的一條小路使用六邊形、正方形、三角形三種地磚按照如圖方式鋪設(shè)，圖1為有塊六邊形地磚時，正方形地磚有塊，三角形地磚有塊；圖2為有塊六邊形地磚時，正方形地磚有塊，三角形地磚有塊；….
第21題圖
（1）按照規(guī)律，每增加一塊六邊形地磚，正方形地磚會增加______塊，三角形地磚會增加______塊；
（2）若鋪設(shè)這條小路共用去塊六邊形地磚，分別用含的代數(shù)式表示正方形地磚、三角形地磚的數(shù)量；
（3）當(dāng)時，求此時正方形地磚和三角形地磚的總數(shù)量．
22．（1）觀察下列圖形與等式的關(guān)系，并填空
第22題圖1
（2）觀察下圖，根據(jù)（1）中結(jié)論，計(jì)算圖中黑球的個數(shù)，用含有n的代數(shù)式填空：
第22題圖2
1+3+5+…+（2n﹣1）+（ ）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝ ．
23．觀察與思考：我們知道1+2+3+?+n=n(n+1)2，那么13+23+33+…+n3結(jié)果等于多少呢？
請你仔細(xì)觀察，找出下面圖形與算式的關(guān)系，解決下列問題：?
（1）嘗試：第5個圖形可以表示的等式是 ；
（2）概括：13+23+33+…+n3＝ ；
（3）拓展應(yīng)用：求13+23+?+202331+2+3+?+2023的值．
第23題圖
24.用同樣規(guī)格的黑、白兩種顏色的正方形瓷磚按如圖所示的方式鋪寬為1.5米的小路．
第24題圖
鋪第6個圖形用黑色正方形瓷磚 塊，用白色正方形瓷
磚 塊；
（2）鋪第n個圖形用黑色正方形瓷磚 塊，用白色正方形瓷
磚 塊；
（3）若黑、白兩種顏色的瓷磚規(guī)格都為（長為0.5米×寬0.5米），若按照此方式鋪滿一段總面積為24.75平方米的小路，求此時是第多少個圖形？
25．圖1是由若干個小圓圈推成的一個形如等邊三角形的圖案，最上面一層有一個圓圈，以下各層均比上一層多一個圓圈，一共推了n層．
將圖1倒置后與原圖1排成圖2的形狀，這樣圖2中每一行的圓圈數(shù)都是n+1．
我們可以利用“倒序相加法”算出圖1中所有圓圈的個數(shù)為：．
（1）按照圖1的規(guī)則擺放到第12層時，共用了 個圓圈；
（1）按照圖2的規(guī)則擺放到第n層時，共用了 個圓圈；
（3）按照圖1的規(guī)則擺放到第19層，每個圓圈都按圖3的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)：1，2，3，4，……，則第19層從左邊數(shù)第二個圓圈中的數(shù)字是 多少？
第25題圖
參考答案
1.解：（1）2122?1=111?113，2122?1=111?113，1213.
（2）猜想：2(2n)2?1=12n?1?12n+1，
證明：右邊=2n+1(2n?1)(2n+1)?2n?1(2n?1)(2n+1)
=2n+1?2n+1(2n?1)(2n+1)
=2(2n)2?1
＝左邊，
故猜想成立．
2.解：（1）452＝（4×5）×100+25，（10n+5）2＝100n（n+1）+25．
（2）20245．
（3）由n52與100n的差為4925得，
100n（n+1）+25﹣100n＝4925，
解得n＝7（舍負(fù)），
故n的值為7．
3.解：（1）15×356=65?15×6.
（2）1n×(n+1)2?1n+1=n+1n?1n×(n+1)，
證明：等式左邊=1n×(n+1)2?1n+1
=1n×n2+2n+1?1n+1=1n×n2+2nn+1=1n×n(n+2)n+1=n+2n+1，
等式右邊n+1n?1n×(n+1)=(n+1)2n(n+1)?1n×(n+1)
=(n+1)2?1n×(n+1)=n2+2n+1?1n×(n+1)
=n2+2nn×(n+1)=n×(n+2)n×(n+1)=n+2n+1，
∴等式左邊＝等式右邊，
∴猜想成立．
4.解：（1）根據(jù)所給的四個等式反映的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)，第5個等式為：(12+15)×(62?1)=492，
故答案為：(12+15)×(62?1)=492；
（2）根據(jù)所給的四個等式反映的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)，第n個等式為：(12+1n)×[(n+1)2?1]=(n+2)22，
證明：左邊=n+22n×(n2+2n+1?1)
=n+22n×(n2+2n)
=n+22n?n(n+2)
=(n+2)22=右邊，
∴(12+1n)×[(n+1)2?1]=(n+2)22．
5.解：（1）；
（2），
證明：左邊＝＝＝＝＝3﹣＝右邊，
故猜想成立．
6.解：（1）＝﹣＝9；
（2）﹣＝2n﹣1（n是正整數(shù)）；
證明：﹣＝﹣＝n2+﹣（n﹣1）2﹣＝n2﹣n2+2n﹣1＝2n﹣1，
即﹣＝2n﹣1（n是正整數(shù)）.
7.解：（1） .
（2）猜想的第n個等式為：，
證明：左邊
右邊
，
∴左邊右邊．
8.解：（1）
（2）
證明：＝
∴等式成立.
9.解：（1）82?624=1+6.
（2）(n+2)2?n24=1+n，
證明：左邊=(n+2)2?n24
=n2+4n+4?n24
=4n+44
＝n+1＝右邊，
∴左邊＝右邊，
∴等式成立．
10.解：（1） 10×5+30＝62+5×9﹣1.
（2）2n×n+n（n+1）＝（n+1）2+n×（2n﹣1）﹣1，
證明：等式左邊＝2n2+n2+n＝3n2+n，
等式右邊＝n2+2n+1+2n2﹣n﹣1＝3n2+n，
∴等式左邊＝等式右邊，即2n×n+n（n+1）＝（n+1）2+n×（2n﹣1）﹣1．
11.解：∵（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）
＝[x2﹣（x1+x2）x+x1x2]（x﹣x3）
＝x3+（﹣x1﹣x2﹣x3）x2+（x1x2+x2x3+x3x1）x+（﹣x1x2x3），
∴x3+px2+qx+r＝x3+（﹣x1﹣x2﹣x3）x2]+（x1x2+x2x3+x3x1）x+（﹣x1x2x3），
比較系數(shù)得：x1+x2+x3＝﹣p，x1x2+x2x3+x3x1＝q，x1x2x3＝﹣r，
故答案為：﹣x1﹣x2﹣x3；x1x2+x2x3+x3x1；x1x2x3；﹣p；x1x2+x2x3+x3x1；﹣r．
12.解：（1）∵第1個等式：23﹣3×1×2＝13+1，
第2個等式：33﹣3×2×3＝23+1，
第3個等式：43﹣3×3×4＝33+1，
第4個等式：53﹣3×4×5＝43+1，
∴第5個等式：63﹣3×5×6＝53+1，
故答案為：63﹣3×5×6＝53+1；
（2）猜想的第n個等式為：（n+1）3﹣3×（n+1）×n﹣1＝n3；證明如下：
（n+1）3﹣3×（n+1）×n﹣1
＝n3+3n2+3n+1﹣3n2﹣3n﹣1
＝n3．
13.解：（1）由題意得：第6個等式a6=16×7×8+17=76×8．
故答案為：16×7×8+17=76×8；
（2）由題意得：第n個等式an=1n(n+1)(n+2)+1n+1=n+1n(n+2)．
故答案為：1n(n+1)(n+2)+1n+1=n+1n(n+2)；
（3）（2）中的等式左邊=1n(n+1)(n+2)+n(n+2)n(n+1)(n+2)
=1+n2+2nn(n+1)(n+2)
=(n+1)2n(n+1)(n+2)
=n+1n(n+2)
＝右邊．
故猜想成立．
14.解：【規(guī)律探究】62．
【解決問題】14n2（n+1）2．
【拓展應(yīng)用】23+43+63+?+（2n）3
＝23×（13+23+33+?+n3）
＝8×14n2（n+1）2
＝2n2（n+1）2．
15.解：（1）8，11.
（2）（3n+2）.
（3）能恰好用完2024塊白色正方形，理由如下：
假設(shè)第n個圖形恰好能用完2021塊白色正方形，則3n+2＝2024，
解得：n＝674，
即第674個圖形中恰好用完2024塊白色正方形．
16.解：（1）4，3.
（2）4n，1+3n．
（3）第2025個圖案中，“★”的數(shù)量為：4×2025＝8100（個），
“▲”的數(shù)量為：1+3×2025＝6076（個），
8100﹣6076＝2024（個），
答：在第2025個圖案中，“★”的數(shù)量比“▲”的數(shù)量多2024個．
17.解：（1）26.
（2）n2+2，4n+6．
（3）由題意知，
n2+2﹣（4n+6）＝28，
解得，n1＝8，n2＝﹣4．
∵n為正整數(shù)，
∴n＝8．
故正整數(shù)n的值為8．
18.解：（1）由所給分子結(jié)構(gòu)圖及結(jié)構(gòu)簡式可知，
圖（1）的分子中含C原子的個數(shù)為：10＝1×6+4；
圖（2）的分子中含C原子的個數(shù)為：16＝2×6+4；
圖（3）的分子中含C原子的個數(shù)為：22＝3×6+4；
…，
所以圖（n）的分子中含C原子的個數(shù)為（6n+4）個．
當(dāng)n＝4時，
6n+4＝28（個），
即圖（4）的分子中含C原子的個數(shù)為28個．
故答案為：28．
（2）由（1）知，
圖（n）的分子中含C原子的個數(shù)為（6n+4）個．
故答案為：（6n+4）．
（3）由題知，
6m+4+6（m+1）+4＝242，
解得m＝19，
所以m的值為19．
19.解：（1）4n+1.
（2）10n﹣2．
（3）每個圖案中三角形個數(shù)都比長為1的線段條數(shù)多．
理由：第n個圖案中三角形個數(shù)與長為1的線段條數(shù)之差為10 n﹣2﹣（4 n+1）＝6 n﹣3．
∵n為正整數(shù)，
∴6n﹣3＞0，
∴每個圖案中三角形個數(shù)都比長為1的線段條數(shù)多．
20.解：（1）1+1+2+3+…+n＝1+n(n+1)2．
（2）[1+n+n(n+1)2]．
（3）由所給圖形可知，
圖1中，等邊三角形的個數(shù)為2；
圖2中，等邊三角形的個數(shù)為3；
圖3中，等邊三角形的個數(shù)為4；…，
∴圖n中，等邊三角形的個數(shù)為（n+1）個．
∵圖n中彩色正方形的個數(shù)比等邊三角形的個數(shù)多45個，
∴1+n(n+1)2?（n+1）＝45，
解得n＝10（舍負(fù)），
則1+n+n(n+1)2=1+10+10×112=66（個），
即白色正方形的個數(shù)為66個．
化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
21.解：（1），.
（2）根據(jù)第個圖，六邊形的個數(shù)為塊，正方形地磚有塊，三角形地磚有塊，
∴用去塊六邊形地磚時，正方形地磚有塊，三角形地磚有塊；
（3）當(dāng)時，正方形地磚有：（塊），三角形地磚有：（塊），
∴（塊），
∴正方形地磚和三角形地磚的總數(shù)量為塊．
22.解：（1）42；n2．
（2）2n+1；2n2+2n+1．
【解法提示】觀察圖形發(fā)現(xiàn)：圖中黑球可分三部分，1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，即1+3+5+…+（2n﹣1）+（2（n+1）﹣1）+（2n﹣1）+…+5+3+1，
＝1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1，
＝an﹣1+（2n+1）+an﹣1，
＝n2+2n+1+n2，
＝2n2+2n+1．
23.解：（1）13+23+33+43+53＝152；
（2）n2(n+1)24；
（3）13+23+?+202331+2+3+?+2023
=(1+2+3+?+2023)21+2+3+?+2023
＝1+2+3+…+2023
=2023×20242
＝2047276．
24.解：（1）25，14；
（2）（1+4n）,2（n+1）;
（3）第n個圖形中有（1+4n）+2（n+1）＝（6n+3）個正方形瓷磚，
∴（6n+3）×（0.5×0.5）＝24.75，
解得n＝16，
∴此時是第16個圖形．
25.解：（1）78；
（2）n(n+1);
（3）圖3中，第18層最右邊的數(shù)字是：18×(18+1)2=171（個），
則圖3中第19層從左邊數(shù)第二個圓圈中的數(shù)字是：171+2＝173（個）.

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