1．如圖，中，是的直徑，為弦的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接．
（1）求證：是的切線；
（2）的半徑為，，求的長(zhǎng)．
2．如圖，在等腰中，以為直徑作⊙O交于，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作于．
（1）求證：是⊙O的切線；
（2）若，求⊙O的直徑．
3．如圖所示，AB是⊙O直徑，OD⊥弦BC于點(diǎn)F，且交⊙O于點(diǎn)E，且∠AEC＝∠ODB．
（1）判斷直線BD和⊙O的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）當(dāng)AB＝10，BC＝8時(shí)，求△DFB的面積．
4．如圖，已知AB是的直徑，直線BC與相切于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A作AD//OC交于點(diǎn)D，連接CD．
（1）求證：CD是的切線．
（2）若，直徑，求線段BC的長(zhǎng)．
5．四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P為AD、BC延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，∠ADC＝90°＋∠P．
（1）求證：∠A＝∠B．
（2）如圖2，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，在線段AP上確定一點(diǎn)N，使M、N、A三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△AMC相似而不全等，并判斷在此情況下MN與⊙O的位置關(guān)系，證明你的結(jié)論．
6．如圖，是的直徑．四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線與交于點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使，連接．
（1）求證：是的切線；
（2）若，求的半徑．
7．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD平分∠BAC交BC邊于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，設(shè)⊙O的半徑為R，AF＝h．
（1）過(guò)點(diǎn)D作直線MN∥BC，求證：MN是⊙O的切線；
（2）求證：AB?AC＝2R?h；
（3）設(shè)∠BAC＝2α，求的值（用含α的代數(shù)式表示）．
8．如圖，在中，，點(diǎn)D在BC上，，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為E，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)．
（1）求證：AB是的直徑；
（2）判斷DE與的位置關(guān)系，并加以證明；
（3）若的半徑為6，，求DE的長(zhǎng)．
9．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠D＝60°，對(duì)角線AC⊥BC，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，與AC交于點(diǎn)M，連接AO并延長(zhǎng)與⊙O交于點(diǎn)F，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AB＝EB．
（1）求證：EC是⊙O的切線；
（2）若AD＝2，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．
10．如圖，為⊙O的直徑，為⊙O上一點(diǎn)，，垂足為，平分．
（1）求證：是⊙O的切線；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
11．如圖，直徑為AB的⊙O交的兩條直角邊BC，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，且，連接BF．
（1）求證CD為⊙O的切線；
（2）當(dāng)CF=1且∠D=30°時(shí)，求⊙O的半徑．

12．如圖，?ABCD中，∠ABC的平分線BO交邊AD于點(diǎn)O，OD＝4，以點(diǎn)O為圓心，OD長(zhǎng)為半徑作⊙O，分別交邊DA、DC于點(diǎn)M、N．點(diǎn)E在邊BC上，OE交⊙O于點(diǎn)G，G為的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形ABEO為菱形；
（2）已知cs∠ABC＝，連接AE，當(dāng)AE與⊙O相切時(shí)，求AB的長(zhǎng)．
13．平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)M，ΔABM的外接圓圓心O恰好落在AD邊上，若∠BCD=45°．
（1）求證：BC為⊙O切線；
（2）求∠ADB的度數(shù)．
14．如圖，是⊙的直徑，是⊙的弦，點(diǎn)是⊙外一點(diǎn)，連接．
（1）求證：是⊙的切線；
（2）連接，交于點(diǎn)，若，且，⊙的半徑為，求的長(zhǎng)．
15．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB上的一點(diǎn)，以CD為直徑的⊙O交AC于E，連接BE交CD于P，交⊙O于F，連接DF，∠ABC＝∠EFD．
(1)求證：AB與⊙O相切；
(2)若AD＝4，BD＝6，則⊙O的半徑＝ ；
(3)若PC＝2PF，BF＝a，求CP(用a的代數(shù)式表示)．
16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)O在BC上，以O(shè)B為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交BC于點(diǎn)D，連接AD，AD＝CD．
（1）求證：AC為⊙O的切線；
（2）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)F，連接BF，交⊙O于點(diǎn)E，連接DE，若AF＝4，BF＝5，求⊙O的半徑．
17．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)P是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AP=AC．
試求：（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若PD=3，求⊙O的直徑．
18．AB是△ABC的外接圓⊙O的直徑，P是半徑OB上一點(diǎn)，PE⊥AB交BC于F，交AC的延長(zhǎng)線于E，D是EF的中點(diǎn)，連接CD，
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）連OD交BC于G，若G為OD的中點(diǎn)，AC＝6，求CE的長(zhǎng)．
19．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，∠BAD的平分線交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C的直線與AD互相垂直，垂足為點(diǎn)E，直線EC與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，連接BC，已知PB∶PC=1∶．
（1）求證：CP是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為r，試探究線段PB與r的數(shù)量關(guān)系并證明．
20．如圖，四邊形中，.以為圓心，以為半徑作．
求證：是的切線．
連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)延長(zhǎng)交于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)
①補(bǔ)全圖形；
②若，求證：．
參考答案
1．解：
（1）點(diǎn)是的中點(diǎn)，
即
是的半徑，
是的切線
（2）連接
，
，
是的直徑
，
，
由勾股定理可知：
2．解：（1）證明：連接，
是的直徑
又為等腰三角形
又
是的半徑
是的切線
（2）由（1）在等腰中，
于點(diǎn)．
即
的直徑為．
3．
（1）解：直線BD和⊙O的位置關(guān)系是相切
證明：∵∠AEC＝∠ABC，∠AEC＝∠ODB，
∴∠ABC＝∠ODB，
∵OD⊥弦BC，
∴∠OFB＝90°，
∴∠DOB＋∠ABC＝90°，
∴∠BOD＋∠D＝90°，
∴∠OBD＝180°﹣90°＝90°，
∵OB是半徑，
∴直線BD是⊙O的切線，
即直線BD和⊙O的位置關(guān)系是相切
（2）解：∵OD⊥BC，OE是⊙O的半徑，BC＝8，
∴BF＝CF＝BC＝4，∠DFB＝90°，連接AC，
∵AB是圓的直徑，
∴∠ACB＝∠DFB＝90°，
∵∠D＝∠ABC，
∴△ACB∽△BFD，
∴，
∵△ABC的面積是×6×8＝24，
∴△DFB的面積是，
答：△DFB的面積是．
4．解：
（1）如圖，連接OD，則
直線BC與相切于點(diǎn)B
在和中，
又是的半徑
是的切線；
（2）如圖，連接BD
由圓周角定理得：
，
，
在和中，
，即
解得．
5．
（1）證明：∵∠ADC＝∠P＋∠DCP， 又∠ADC＝90°＋∠P．
∴∠P＋∠DCP＝90°＋∠P． 化簡(jiǎn)得，∠DCP＝90°－∠P，
又∠PDC＝180°－（90°＋∠P）＝90°－∠P，
∴∠DCP＝∠PDC， ∴PD＝PC，
又∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠ADC＋∠B＝∠ADC＋∠PDC＝180°，
∴∠PDC＝∠B ，
同理，∠DCP＝∠A， 所以，∠A＝∠B．
（2）解：點(diǎn)M為的中點(diǎn)，∴∠CAM＝∠MAP，
當(dāng)∠AMN1＝∠AMC時(shí)，△AMN1≌△AMC，不合題意，舍去．當(dāng)∠AMN2＝∠ACM時(shí)，此時(shí)△AMN2∽△ACM且不全等． MN2為⊙O的切線．如圖所示輔助線，EM為直徑，∴∠ECM＝90°＝∠ECA＋∠ACM，
又∠ECA＝∠EMA，
∠EMN2＝∠EMA＋∠AMN2＝∠ECA＋∠ACM＝90°，OM為半徑，
∴MN2為⊙O的切線．
6．解：證明：是的直徑，
，
又，
，
．
，
，
，
是的切線．
如圖，連接，交于，
，
，
，
，
在中，，
設(shè)的半徑為r，
在中，ME=r－3，
∴，
，
解得：r=，
∴的半徑為．
7．解：（1）證明：如圖1，連接OD，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，
又∵OD是半徑，∴OD⊥BC，
∵M(jìn)N∥BC，∴OD⊥MN，∴MN是⊙O的切線；
（2）證明：如圖2，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于H，
∵AH是直徑，∴∠ABH＝90°＝∠AFC，
又∵∠AHB＝∠ACF，
∴△ACF∽△AHB，
∴，
∴AB?AC＝AF?AH＝2R?h；
（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延長(zhǎng)線于P，連接CD，
∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝α，∴＝，∴BD＝CD，
∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP，
∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP，
∵DQ＝DP，AD＝AD，
∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），∴AQ＝AP，
∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，
∵cs∠BAD＝，∴AD＝，∴＝＝2csα．
（1）連接OD，由角平分線的性質(zhì)可得∠BAD＝∠CAD，可得＝，由垂徑定理可得OD⊥BC，可證OD⊥MN，可得結(jié)論；（2）連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于H，通過(guò)證明△ACF∽△AHB，可得，可得結(jié)論；（3）由“HL”可證Rt△DQB≌Rt△DPC，Rt△DQA≌Rt△DPA，可得BQ＝CP，AQ＝AP，可得AB+AC＝2AQ，由銳角三角函數(shù)可得AD＝，即可求解．
8．
（1）證明：連接AD，
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AB為圓O的直徑；
（2）DE與圓O相切，
理由為：連接OD，
∵O、D分別為AB、BC的中點(diǎn)，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD為圓的半徑，
∴DE與圓O相切；
（3）解：∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC=BC=12，
連接BF，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠AFB=∠DEC=90°，
∴AF=CF=6，DE∥BF，
∵D為BC中點(diǎn)，
∴E為CF中點(diǎn)，即DE為△BCF中位線，
在Rt△ABF中，AB=12，AF=6，根據(jù)勾股定理得：
BF=6，則DE=BF=3．
9．（1）證明：連接OB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC＝∠D＝60°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵BE＝AB，
∴∠E＝∠BAE，
∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°，
∴∠E＝∠BAE＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠OAB＝30°，
∴∠OBC＝30°+60°＝90°，
∴OB⊥CE，
∴EC是⊙O的切線；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC＝AD＝2，
過(guò)O作OH⊥AM于H，
則四邊形OBCH是矩形，
∴OH＝BC＝2，
∴OA＝＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°，
∴的長(zhǎng)度＝＝．
10．
（1）證明：連接OC，
∵
∴∠ADC=90°
∴∠1+∠4=90°
∵AC平分∠DAB
∴∠1=∠2
又AO=OC，
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3
∴∠4+∠3=90°
即∠OCD=90°
故OC⊥CD，OC是半徑
∴是⊙O的切線；
（2）連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°
∵AC平分∠DAB，∠1=∠2
在Rt△ADC中，cs∠1=∠CAB=
又AD=4
∴AC=5
在Rt△ABC中，cs∠CAB=
∴AB=．
11．解：(1)連接OF，
∵ eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(AF)) = eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(EF)) ，
∴∠CBF=∠FBA，
∵OF=OB，
∴∠FBO=∠OFB，
∵點(diǎn)A、O、B三點(diǎn)共線,
∴∠CBF=∠OFB，
∴BC∥OF，
∴∠OFC+∠C=180°，
∵∠C=90°，
∴∠OFC=90°，即OF⊥DC，
∴CD為⊙O的切線；
(2) 連接AF，
∵AB為直徑，
∴∠AFB=90°，
∵∠D=30°，
∴∠CBD=60°，
∵ eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(AF)) = eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(EF)) ，
∴∠CBF=∠DBF=∠CBD=30°，
在，CF=1，∠CBF=30°，
∴BF=2CF=2，
在,∠ABF=30°，BF=2，
∴AF=AB，
∴AB2=(AB)2+BF2，
即AB2=4，
∴，
⊙O的半徑為；
12．
解：（1）證明：∵G為的中點(diǎn)，
∴∠MOG＝∠MDN．
∵四邊形ABCD是平行四邊形．
∴AO∥BE，∠MDN+∠A＝180°，
∴∠MOG+∠A＝180°，
∴AB∥OE，
∴四邊形ABEO是平行四邊形．
∵BO平分∠ABE，
∴∠ABO＝∠OBE，
又∵∠OBE＝∠AOB，
∴∠ABO＝∠AOB，
∴AB＝AO，
∴四邊形ABEO為菱形；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥BC于點(diǎn)Q，設(shè)AE交OB于點(diǎn)F，
則∠PAO＝∠ABC，
設(shè)AB＝AO＝OE＝x，則
∵cs∠ABC＝，
∴cs∠PAO＝，
∴＝，
∴PA＝x，
∴OP＝OQ＝x
當(dāng)AE與⊙O相切時(shí)，由菱形的對(duì)角線互相垂直，可知F為切點(diǎn)，
∴由勾股定理得：，
解得：x＝2．
∴AB的長(zhǎng)為2．
13．
（1）證明：連接OB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD=∠BCD=45°，
∴∠BOD=2∠BAD=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DOB+∠OBC=180°，
∴∠OBC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC為⊙O切線；
（2）解：連接OM，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BM=DM，
∵∠BOD=90°，
∴OM=BM，
∵OB=OM，
∴OB=OM=BM，
∴∠OBM=60°，
∴∠ADB=30°．
14．
解：（1）證明：連接OB，如圖所示：
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切線；
（2）解：∵⊙O的半徑為2，
∴OB=2，AC=4，
∵OP∥BC，
∴∠CBO=∠BOP，
∵OC=OB，
∴∠C=∠CBO，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
，即
∴．
15．
解：（1）∵∠ACB=90°
∴∠CBE+∠CEB=90°
∵∠ABC=∠EFD，
∠ABC=∠CBE+∠FBD
∠EFD=∠FDB+∠FBD
∴∠CBE=∠FDB
∵∠CEB=∠CDF
∴∠CDF+∠FDB=90°
即∠CDB=90°
∴AB與⊙O相切．
（2）∵∠ACD+∠BCD=90°
∠ACD+∠A=90°
∴∠BCD=∠A
∵∠BCD=∠ADC=90°
∴△CBD∽△ADC
∴
∴CD2=ADBD=4×6=24
∴CD=2
即⊙O的直徑為2
∴⊙O的半徑為．
故答案為．
（3）∵CD是⊙O的直徑
∴∠CFD=90°
∴∠CDF+∠DCF=90°
∵∠CDB=90°
∴∠CDF+∠FDB=90°
∴∠DCF=∠FDB
∵∠EBC=∠FDB
∴∠EBC=∠DCF
∴△PCF∽△PBC
∴
∴PB=2PC=4PF
∵PB=BF+PF
∴PF=BF=a
∴PC=2PF=a
故答案為．
16．
解：（1）證明：如圖，連接OA．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C．
∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠ABC＝∠DAC
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵BD是直徑，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠ODA＝90°，
∴∠DAC+∠OAD＝90°，即∠OAC＝90°，
∴OA⊥CA，
∵OA是⊙O的半徑，
∴AC為⊙O的切線．
（2）在Rt△ABF中，由勾股定理得：，
∴AC＝AB＝3．
∵∠AOD＝2∠ABC，∠ABC＝∠C，
∴∠AOD＝2∠ACB，
∵∠OAC＝90°，
∴∠AOD+∠ACB＝90°，
∴∠C＝30°．
在Rt△OAC中，∠OAC＝90°，
∴tanC＝，
∴OA＝AC?tanC
＝3tan30°
＝，
∴⊙O的半徑為．
17．
（1）證明：連接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切線；
（2）在Rt△OAP中，
∵∠P=30°，
∴PO=2OA=OD+PD，
又∵OA=OD，
∴PD=OA，
∵PD=3，
∴2OA=2PD=6，
∴⊙O的直徑為6．
18．
（1）證明：連接OC，
∵AB是△ABC的外接圓⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵D是EF的中點(diǎn)，
∴DC＝DE，
∴∠E＝∠ECD，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∵PE⊥AB，
∴∠APE＝90°，
∴∠E+∠A＝90°，
∴∠ACO+∠ECD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切線．
（2）解：連接BE，PC，OC．
∵∠OCD＝∠OPD＝90°，
∴O，P，D，C四點(diǎn)共圓，
∠COD＝∠CPD，
∵∠ECB＝∠EPB＝90°，
∴E，C，P，B四點(diǎn)共圓，
∴∠CPE＝∠CBE，
∴∠COD＝∠CBE，
∵∠OCD＝90°，OG＝GD，
∴CG＝GO＝GD，
∴∠COD＝∠OCG，
∵OC＝OB，
∴∠OCG＝∠OBC，
∴∠ABC＝∠CBE，
∵∠A+∠ABC＝90°，∠E+∠CBE＝90°，
∴∠A＝∠E，
∴BA＝BE，
∵BC⊥AE，
∴EC＝AE＝6．
19．解：
（1）連接OC，
∴OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC是∠BAD的平分線，
∴∠CAE=∠CAB，
∴∠CAE=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵PC⊥AE，
∴PC⊥OC，
∵點(diǎn)C在⊙O上，
∴PC是⊙O的切線；
（2）PB=r，
理由：由（1）知，∠PCB＋∠OCB=90°， ∠OCB＋∠OCA=90°， ∠OAC=∠OCA，
∴∠PCB=∠PAC，
∵∠A=∠A，
∴△PBC∽△PCA，
∴，
∵PB∶PC=1∶．
∴設(shè)PB=x，則PC=x，
∴，
∴PA=3x，
∴PA=PB＋AB=x＋2r=3x，
∴r=x，
∴PB=r．
20．
證明：連接
和都是直角三角形．
，
，
，
，
是切線．
補(bǔ)全圖形如下：
證明：如圖，
．
為的直徑，
，
．
．
是的切線，切點(diǎn)為
．
．
．

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