1．（2025?白銀區(qū)開(kāi)學(xué)）如圖是用★擺出一組有規(guī)律的“人”字圖形，第1個(gè)“人”字圖形中有4顆★，第2個(gè)“人”字圖形中有7顆★，第3個(gè)“人”字圖形中有10顆★，…，按照這樣的規(guī)律擺下去．
（1）第5個(gè)“人”字圖形中有 16 顆★；
（2）用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)“人”字圖形中★的顆數(shù)，并求第100個(gè)“人”字圖形中★的數(shù)量；
（3）若第n個(gè)“人”字圖形中有2026顆★，求n的值．
2.【規(guī)律探索】觀察以下等式：
第1個(gè)等式：222?1=11?13，
第2個(gè)等式：242?1=13?15，
第3個(gè)等式：262?1=15?17，
…
按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出第6個(gè)等式： ，由此可計(jì)算222?1+242?1+?+2122?1的結(jié)果為 ；
（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．
3．【觀察思考】觀察個(gè)位上的數(shù)字是5的自然數(shù)的平方（任意一個(gè)個(gè)位數(shù)字為5的自然數(shù)n5可用代數(shù)式10n+5來(lái)表示，其中n為正整數(shù)），會(huì)發(fā)現(xiàn)一些有趣的規(guī)律．請(qǐng)你仔細(xì)觀察，探索其規(guī)律，并歸納猜想出一般結(jié)論．
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】
第1個(gè)等式：152＝（1×2）×100+25；
第2個(gè)等式：252＝（2×3）×100+25；
第3個(gè)等式：352＝（3×4）×100+25；
…
【規(guī)律應(yīng)用】
（1）寫(xiě)出第4個(gè)等式： ；寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式： （用含n的等式表示）；
（2）根據(jù)以上的規(guī)律直接寫(xiě)出結(jié)果：2024×2025×100+25＝ 2；
（3）若n52與100n的差為4925，求n的值．
4．（2024秋?江北區(qū)期末）花窗映蛇歲，新春共歡顏．如圖為“盤(pán)長(zhǎng)如意”花窗，中間圖案是由若干個(gè)小平行四邊形按一定規(guī)律組成，其中第①個(gè)圖形共有8個(gè)小平行四邊形；第②個(gè)圖形共有15個(gè)小平行四邊形；第③個(gè)圖形共有22個(gè)小平行四邊形；……
（1）第⑤個(gè)圖形共有 36 個(gè)小平行四邊形．
（2）第?個(gè)圖形共有 （7n+1） 個(gè)小平行四邊形（用n的代數(shù)式表示）．
（3）循此規(guī)律，是否存在由2025個(gè)小平行四邊形組成的圖形？若存在，請(qǐng)求出是第幾個(gè)圖形；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
5．觀察以下等式．
第1個(gè)等式：1×32=21?11×2；
第2個(gè)等式：12×83=32?12×3；
第3個(gè)等式：13×154=43?13×4；
第4個(gè)等式：14×245=54?14×5；
…
按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題．
（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式： ；
（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式： （用含n的式子表示），并證明．
6．我國(guó)南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家楊輝是錢(qián)塘人，如圖所示的圖表是他在《詳解九章算術(shù)》中記載的“楊輝三角”．
此圖揭示了（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）、的展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，由此規(guī)律可解決如下問(wèn)題：（1）多項(xiàng)式（a+b）5展開(kāi)式共有 6 項(xiàng)，第二項(xiàng)的系數(shù)為 5 ，各項(xiàng)系數(shù)和為 32 ；
（2）如圖，在“楊輝三角”中，選取部分?jǐn)?shù)1，3，6，…，記a1＝1，a2＝3，a3＝6，…，請(qǐng)完成下列問(wèn)題：
①計(jì)算a6；
②計(jì)算1a1+1a2+?+1a7．
7．先觀察下列等式，再回答問(wèn)題：
①1+112+122=1+11?12；
②1+122+132=1+12?13；
③1+132+142=1+13?14；
…
（1）請(qǐng)你利用上述規(guī)律計(jì)算3736+149（仿照上式寫(xiě)出過(guò)程）；
（2）請(qǐng)你按照上面各等式反映的規(guī)律，寫(xiě)出一個(gè)用n（n為正整數(shù)）表示的等式 1+1n2+1(n+1)2= ；
（3）請(qǐng)你利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：
1+112+122+1+122+132+1+132+142+?+1+120242+120252?2026 .
8．觀察以下等式：
第1個(gè)等式：(12+1)×(4?1)=92，
第2個(gè)等式：(12+12)×(9?1)=8，
第3個(gè)等式：(12+13)×(16?1)=252，
第4個(gè)等式：(12+14)×(25?1)=18，
…
按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式： ；
（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并證明．
9．觀察以下等式：
第1個(gè)等式：；
第2個(gè)等式：；
第3個(gè)等式：；
第4個(gè)等式：；
……
按照以上規(guī)律，解答下列問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式： ；
（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式： （用含n的等式表示），并證明．
10．觀察下列等式：
第1個(gè)等式：＝1；
第2個(gè)等式：＝3；
第3個(gè)等式：＝5；
…
根據(jù)上述規(guī)律，解決下列問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式 ；
（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式： （n是正整數(shù)，用含n的等式表示），并證明．
11.觀察下列等式：
第1個(gè)等式：；
第2個(gè)等式：；
第3個(gè)等式：；
第4個(gè)等式：；
……
按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：
（1）各等式都成立時(shí)，______；
（2）在（1）的條件下，寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．
12．觀察以下等式：
第1個(gè)等式：++×＝1，
第2個(gè)等式：++×＝1，
第3個(gè)等式：++×＝1，
第4個(gè)等式：++×＝1，
第5個(gè)等式：++×＝1，
……
按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出第6個(gè)等式： ；
（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式： （用含n的等式表示），并證明．
13．我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．如圖，這個(gè)三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（a+b）n（n為正整數(shù)）的展開(kāi)式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)（a+b）2＝a2+2ab+b2展開(kāi)式中的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展開(kāi)式中的系數(shù)．
根據(jù)上面的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：
（1）圖中第6行的第4個(gè)數(shù)是 10 ；
（2）若（a+b）4＝am+4a3b+6a2bn+4ab3+b4（m，n是常數(shù)）．則m＝ 4 ，n＝ 2 ；
（3）已知（x+y）3＝x3﹣3×2x2+3×4x﹣8，則y＝ ﹣2 ；
（4）若（2x﹣1）2025＝a1x2025+a2x2024+?+a2024x2+a2025x+a2026，求a1+a2+?+a2024+a2025的值．
14．觀察以下等式：
第1個(gè)等式：32?124=1+1；
第2個(gè)等式：42?224=1+2；
第3個(gè)等式：52?324=1+3；
第4個(gè)等式：62?424=1+4；
第5個(gè)等式：72?524=1+5；
……
按照以上規(guī)律，解答下列問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出第6個(gè)等式： ；
（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式： （用含n的式子表示），并證明．
15．觀察下列算式，第一個(gè)式子1x(x+1)=(1x?1x+1)×1；
第二個(gè)式子1x(x+2)=(1x?1x+2)×12；
第三個(gè)式子1x(x+3)=(1x?1x+3)×13；
第四個(gè)式子1x(x+4)=(1x?1x+4)×14；
…
根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決下列問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出第n個(gè)算式： （n為正整數(shù)）；
（2）1(x+m)(x+n)= （n，m為正整數(shù)且m≠n）；
（3）若|b﹣2|+（a﹣1）2＝0，試求1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+?+1(a+2025)(b+2025)的值．
16.觀察以下等式：
第1個(gè)等式：2×1+2＝22+1×1﹣1；
第2個(gè)等式：4×2+6＝32+2×3﹣1；
第3個(gè)等式：6×3+12＝42+3×5﹣1；
第4個(gè)等式：8×4+20＝52+4×7﹣1；
…
按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式： ；
（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的式子表示），并證明．
17．類(lèi)比是探索發(fā)展的重要途徑，是發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、新結(jié)論的重要方法．閱讀材料：
設(shè)x2+px+q＝0的兩個(gè)根為x1和x2，那么x2+px+q＝（x﹣x1）（x﹣x2）＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2
比較系數(shù)，可得x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
類(lèi)比推廣，回答問(wèn)題：設(shè)x3+px2+qx+r＝0的三個(gè)根為x1，x2，x3，那么x3+px2+qx+r＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝x3+（ ）x2+（ ）x+（ ）
比較系數(shù)，可以得到一元三次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：
x1+x2+x3＝ ， ＝q，x1x2x3＝ ．
18．觀察以下等式：
第1個(gè)等式：23﹣3×1×2＝13+1
第2個(gè)等式：33﹣3×2×3＝23+1
第3個(gè)等式：43﹣3×3×4＝33+1
第4個(gè)等式：53﹣3×4×5＝43+1
…
按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式： ；
（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．
19．觀察下列等式：
a1=11×2×3+12=21×3；
a2=12×3×4+13=32×4；
a3=13×4×5+14=43×5；
…
（1）猜想并寫(xiě)出第6個(gè)等式a6＝ 16×7×8+17=76×8． ；
（2）猜想并寫(xiě)出第n個(gè)等式an＝ 1n(n+1)(n+2)+1n+1=n+1n(n+2) ；
（3）證明（2）中你猜想的正確性．
20．很多代數(shù)公式都可以通過(guò)表示幾何圖形面積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋?zhuān)纾浩椒讲罟?、完全平方公式等?br>【提出問(wèn)題】如何用表示幾何圖形面積的方法計(jì)算：13+23+33+?+n3＝？
【規(guī)律探究】觀察下面表示幾何圖形面積的方法：
13＝12，13+23＝32，13+23+33＝ ；
【解決問(wèn)題】請(qǐng)用上面表示幾何圖形面積的方法寫(xiě)出13+23+33+?+n3＝ （用含n的代數(shù)式表示）；
【拓展應(yīng)用】根據(jù)以上結(jié)論，計(jì)算：23+43+63+?+（2n）3．
21．用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形，拼如圖的方式拼圖，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息完成下列的問(wèn)題：
圖1 圖2 圖3
（1）在圖2中用了 塊白色正方形，在圖3中用了 塊白色正方形；
（2）按如圖的規(guī)律繼續(xù)鋪下去，那么第n個(gè)圖形要用 塊白色正方形；
（3）如果有足夠多的黑色正方形，能不能恰好用完2024塊白色正方形，拼出具有以上規(guī)律的圖形？如果可以請(qǐng)說(shuō)明它是第幾個(gè)圖形；如果不能，說(shuō)明你的理由．
22．【觀察思考】欲求1+2+22+23+24+…+230的值，可以按照如下步驟進(jìn)行：
令S＝1+2+22+23+24+…+230①，等式兩邊同時(shí)乘2，得2S＝2+22+23+4+25+…+231②；由①得2+22+23+24+…+230＝S﹣1，代入②中得2S＝S﹣1+231，解得S＝231﹣1．所以1+2+22+23+24+…+230＝231﹣1．
【嘗試解答】根據(jù)以上解題過(guò)程，并解決問(wèn)題：
（1）計(jì)算：①1+3+32+33+34+…+3100．
②1+12+（12）2+（12）3+（12）4+…+（12）2025．
【拓展應(yīng)用】（2）用上面學(xué)到的方法，將無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.5151515151…寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式（寫(xiě)出解答過(guò)程）．
23.【觀察思考】
【規(guī)律總結(jié)】
（1）每增加一個(gè)圖案，則正八邊形的頂點(diǎn)上“★”增加 個(gè)，“▲”增加 個(gè)；
（2）第n個(gè)圖案中“★”有 個(gè)，“▲”有 個(gè)；
【規(guī)律應(yīng)用】
（2）在第2025個(gè)圖案中，求“★”的數(shù)量比“▲”的數(shù)量多多少個(gè)？
24．【觀察思考】
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】
請(qǐng)用含n的式子填空：
（1）第5個(gè)圖案中“△”的個(gè)數(shù)為 ；
（2）第n（n為正整數(shù)）個(gè)圖案中“〇”的個(gè)數(shù)為 ，“△”的個(gè)數(shù)為 ；（用含n的式子表示）
【規(guī)律應(yīng)用】
（3）結(jié)合上面圖案中“〇”和“△”的排列方式及規(guī)律，求正整數(shù)n，使得“〇”比“△”的個(gè)數(shù)多28．
25．閱讀：
第1個(gè)等式：1?34=14=(12)2=12；
第2個(gè)等式：1?59=49=(23)2=23；
第3個(gè)等式：1?716=916=(34)2=34；
…
（1）1?925= 1625=(45)2=45 ，1?1564= 4964=(78)2=78 ．
（2）根據(jù)你的觀察、猜想，寫(xiě)一個(gè)第n（n為正整數(shù)）個(gè)等式表示該規(guī)律，不用證明．
（3）利用這一規(guī)律計(jì)算：(1?34)(1?59)(1?716)?(1?19910000).（寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）
26．合肥近幾年城市發(fā)展迅速，交通便利，2024年計(jì)劃再筑公路533公里，深入推進(jìn)“1155”大交通計(jì)劃．修路的主要材料之一是瀝青，瀝青中含稠環(huán)芳香烴，其中偶數(shù)個(gè)苯環(huán)可視為同系物．注：最簡(jiǎn)單的稠環(huán)芳香烴是萘，它的分子結(jié)構(gòu)圖與結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式如下：
【觀察思考】觀察右側(cè)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式的分子式回答下列問(wèn)題：
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】
（1）圖（4）的分子中含 個(gè)C原子；
（2）圖（n）的分子中含 個(gè)C原子；
【規(guī)律運(yùn)用】
（3）若圖（m）和圖（m+1）的分子中共含有242個(gè)C原子，求m的值．
27.【觀察思考】
如圖，第1個(gè)圖案是由邊長(zhǎng)為1的兩個(gè)等邊三角形組成的1個(gè)菱形（包含兩條對(duì)角線(xiàn)），第2個(gè)圖案由2個(gè)相同的菱形組成，第3個(gè)圖案由3個(gè)相同的菱形組成，以此類(lèi)推…
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】
請(qǐng)用含的式子填空：
（1）第n個(gè)圖案中含有長(zhǎng)為1的線(xiàn)段條數(shù)是 ；
（2）第1個(gè)圖案中含有三角形個(gè)數(shù)可表示為10×1﹣2；第2個(gè)圖案中含有三角形個(gè)數(shù)可表10×2﹣2；第3個(gè)圖案中含有三角形個(gè)數(shù)可表示為28＝30﹣2＝10×3﹣2；…第n個(gè)圖案中含有三角形個(gè)數(shù)可表示為 ；
【規(guī)律應(yīng)用】
（3）結(jié)合圖案中長(zhǎng)為1的線(xiàn)段條數(shù)和三角形個(gè)數(shù)的規(guī)律，每個(gè)圖案中三角形個(gè)數(shù)都比長(zhǎng)為1的線(xiàn)段條數(shù)多嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
28.高樂(lè)同學(xué)在手工課上利用等邊三角形、白色正方形和彩色正方形按一定規(guī)律搭建圖形，觀察圖形，回答下列問(wèn)題：
（1）圖1的彩色正方形有：1+1＝1+1×(1+1)2；
圖2的彩色正方形有：1+1+2＝1+2×(1+2)2；
圖3的彩色正方形有：1+1+2+3＝1+3×(1+3)2；
圖4的彩色正方形有：1+1+2+3+4＝1+4×(1+4)2；…，
圖n的彩色正方形有： ；
（2）圖1中，白色正方形比彩色正方形多1個(gè)；圖2中，白色正方形比彩色正方形多2個(gè)；圖3中，白色正方形比彩色正方形多3個(gè)；…；圖n的白色正方形有 個(gè)．
（3）若圖n中彩色正方形的個(gè)數(shù)比等邊三角形的個(gè)數(shù)多45個(gè)，求圖n中白色正方形的個(gè)數(shù)．
29. 某公園中的一條小路使用六邊形、正方形、三角形三種地磚按照如圖方式鋪設(shè)，圖1為有塊六邊形地磚時(shí)，正方形地磚有塊，三角形地磚有塊；圖2為有塊六邊形地磚時(shí)，正方形地磚有塊，三角形地磚有塊；….
（1）按照規(guī)律，每增加一塊六邊形地磚，正方形地磚會(huì)增加______塊，三角形地磚會(huì)增加______塊；
（2）若鋪設(shè)這條小路共用去塊六邊形地磚，分別用含的代數(shù)式表示正方形地磚、三角形地磚的數(shù)量；
（3）當(dāng)時(shí)，求此時(shí)正方形地磚和三角形地磚的總數(shù)量．
30．已知：一列數(shù)S1＝1，S2＝1+2，S3＝1+2+3，?，Sn＝1+2+?+n，則S1+S2可以用圖1表示，S2+S3可以用圖2表示，S3+S4可以用圖3表示，?，依此規(guī)律．那么：
（1）S5﹣S4＝ 5 ，S5+S4＝ 25 ；
（2）Sn﹣Sn﹣1＝ n ，Sn+Sn﹣1＝ n2 （用含有n的式子表示）；
（3）由（2）的結(jié)論求S，及S20252026的值．
31．（1）觀察下列圖形與等式的關(guān)系，并填空
（2）觀察下圖，根據(jù)（1）中結(jié)論，計(jì)算圖中黑球的個(gè)數(shù)，用含有n的代數(shù)式填空：
1+3+5+…+（2n﹣1）+（ ）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝ ．
32．觀察與思考：我們知道1+2+3+?+n=n(n+1)2，那么13+23+33+…+n3結(jié)果等于多少呢？
請(qǐng)你仔細(xì)觀察，找出下面圖形與算式的關(guān)系，解決下列問(wèn)題：?
（1）嘗試：第5個(gè)圖形可以表示的等式是 ；
（2）概括：13+23+33+…+n3＝ ；
（3）拓展應(yīng)用：求13+23+?+202331+2+3+?+2023的值．
33.用同樣規(guī)格的黑、白兩種顏色的正方形瓷磚按如圖所示的方式鋪寬為1.5米的小路．
鋪第6個(gè)圖形用黑色正方形瓷磚 塊，用白色正方形瓷
磚 塊；
（2）鋪第n個(gè)圖形用黑色正方形瓷磚 塊，用白色正方形瓷
磚 塊；
（3）若黑、白兩種顏色的瓷磚規(guī)格都為（長(zhǎng)為0.5米×寬0.5米），若按照此方式鋪滿(mǎn)一段總面積為24.75平方米的小路，求此時(shí)是第多少個(gè)圖形？
34．圖1是由若干個(gè)小圓圈推成的一個(gè)形如等邊三角形的圖案，最上面一層有一個(gè)圓圈，以下各層均比上一層多一個(gè)圓圈，一共推了n層．
將圖1倒置后與原圖1排成圖2的形狀，這樣圖2中每一行的圓圈數(shù)都是n+1．
我們可以利用“倒序相加法”算出圖1中所有圓圈的個(gè)數(shù)為：．
（1）按照?qǐng)D1的規(guī)則擺放到第12層時(shí)，共用了 個(gè)圓圈；
（1）按照?qǐng)D2的規(guī)則擺放到第n層時(shí)，共用了 個(gè)圓圈；
（3）按照?qǐng)D1的規(guī)則擺放到第19層，每個(gè)圓圈都按圖3的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)：1，2，3，4，……，則第19層從左邊數(shù)第二個(gè)圓圈中的數(shù)字是 多少？
35．《見(jiàn)微知著》中說(shuō)到：從一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)典問(wèn)題出發(fā)，從特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜；從部分到整體，由低維到高維，知識(shí)與方法上的類(lèi)比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門(mén)發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、新結(jié)論的重要方法．
請(qǐng)觀察以下等式：
第1個(gè)等式：11×21+1×(1+12)=2；
第2個(gè)等式：12×22+1×(2+22)=2；
第3個(gè)等式：13×23+1×(3+32)=2；
第4個(gè)等式：14×24+1×(4+42)=2；
第5個(gè)等式：15×25+1×(5+52)=2；
…
按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出第7個(gè)等式： 17×27+1×(7+72)=2 ；
（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并加以證明；
（3）應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律，計(jì)算：14050×22025+1×(2025+20252)= 1 ．
規(guī)律探究 專(zhuān)項(xiàng) 參考答案
1.解：（1）由所給圖形可知，
第1個(gè)“人”字圖形中★的顆數(shù)為：4＝1×3+1；
第2個(gè)“人”字圖形中★的顆數(shù)為：7＝2×3+1；
第3個(gè)“人”字圖形中★的顆數(shù)為：10＝3×3+1；
…，
所以第n個(gè)“人”字圖形中★的顆數(shù)為（3n+1）顆．
當(dāng)n＝5時(shí)，
3n＝1＝3×5+1＝16（顆），
即第5個(gè)“人”字圖形中★的顆數(shù)為16顆．
故答案為：16．
（2）由（1）知，
第n個(gè)“人”字圖形中★的顆數(shù)為（3n+1）顆．
當(dāng)n＝100時(shí)，
3n＝1＝3×100+1＝301（顆），
即第100個(gè)“人”字圖形中★的顆數(shù)為301顆．
（3）令3n+1＝2026，
解得n＝675，
所以n的值為675．
2.解：（1）2122?1=111?113，2122?1=111?113，1213.
（2）猜想：2(2n)2?1=12n?1?12n+1，
證明：右邊=2n+1(2n?1)(2n+1)?2n?1(2n?1)(2n+1)
=2n+1?2n+1(2n?1)(2n+1)
=2(2n)2?1
＝左邊，
故猜想成立．
3.解：（1）452＝（4×5）×100+25，（10n+5）2＝100n（n+1）+25．
（2）20245．
（3）由n52與100n的差為4925得，
100n（n+1）+25﹣100n＝4925，
解得n＝7（舍負(fù)），
故n的值為7．
4.解：（1）由所給圖形可知，
第①個(gè)圖形中小平四邊形的個(gè)數(shù)為：8＝1×7+1；
第②個(gè)圖形中小平四邊形的個(gè)數(shù)為：15＝2×7+1；
第③個(gè)圖形中小平四邊形的個(gè)數(shù)為：22＝3×7+1；
…，
所以第?個(gè)圖形中小平四邊形的個(gè)數(shù)為（7n+1）個(gè)．
當(dāng)n＝5時(shí)，
7n+1＝36（個(gè)），
即第⑤個(gè)圖形中小平四邊形的個(gè)數(shù)為36個(gè)．
故答案為：36．
（2）由（1）知，
第?個(gè)圖形中小平四邊形的個(gè)數(shù)為（7n+1）個(gè)．
故答案為：（7n+1）．
（3）不存在，理由如下：
令7n+1＝2025，
解得n=20247，
因?yàn)?0247不是整數(shù)，
所以不存在由2025個(gè)小平行四邊形組成的圖形．
5.解：（1）15×356=65?15×6.
（2）1n×(n+1)2?1n+1=n+1n?1n×(n+1)，
證明：等式左邊=1n×(n+1)2?1n+1
=1n×n2+2n+1?1n+1=1n×n2+2nn+1=1n×n(n+2)n+1=n+2n+1，
等式右邊n+1n?1n×(n+1)=(n+1)2n(n+1)?1n×(n+1)
=(n+1)2?1n×(n+1)=n2+2n+1?1n×(n+1)
=n2+2nn×(n+1)=n×(n+2)n×(n+1)=n+2n+1，
∴等式左邊＝等式右邊，
∴猜想成立．
6.解：（1）根據(jù)“楊輝三角”可知：
第2行，（a+b）1展開(kāi)后，各項(xiàng)的系數(shù)和為21，
第3行，（a+b）2展開(kāi)后，各項(xiàng)的系數(shù)依次為：1、2、1，各項(xiàng)的系數(shù)和為：1+2+1＝4＝22，
第4行，（a+b）3展開(kāi)后，各項(xiàng)的系數(shù)依次為：1、3、3、1，各項(xiàng)的系數(shù)和為：1+3+3+1＝8＝23，
第5行，（a+b）4展開(kāi)后，各項(xiàng)的系數(shù)依次為：1、4、6、4、1，各項(xiàng)的系數(shù)和為：1+4+6+4+1＝16＝24，
第6行，（a+b）5展開(kāi)后，各項(xiàng)的系數(shù)依次為1、5、10、10、5、1，各項(xiàng)的系數(shù)和和為1+5+10+10+5+1＝32＝25，
故答案為：6，5，32；
（2）①根據(jù)題意可知：a1＝1，a2＝1+2＝3，a3＝1+2+3＝6，
∴an＝1+2+3+4...+n=n(n+1)2，
當(dāng)n＝6時(shí)，a6=6×72=21；
②由①知：an=n(n+1)2，
∴1a1+1a2+?+1a7
=21×2+22×3+...+27×8
＝2×（11×2+12×3+...+17×8）
＝2×（1?12+12?13+...+17?18）
＝2×（1?18）
＝2×78
=74．
7.解：（1）由題意得，3736+149=1+136+149=1+162+172=1+16?17=1142；
（2）由題意得，1+1n2+1(n+1)2=1+1n?1n+1；
（3）1+112+122+1+122+132+1+132+142+?+1+120242+120252?2026
=1+11?12+1+12?13+1+13?14+?+1+12024?12025?2026
＝2025?12025?2026
=?1?12025
=?20262025．
8.解：（1）根據(jù)所給的四個(gè)等式反映的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)，第5個(gè)等式為：(12+15)×(62?1)=492，
故答案為：(12+15)×(62?1)=492；
（2）根據(jù)所給的四個(gè)等式反映的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)，第n個(gè)等式為：(12+1n)×[(n+1)2?1]=(n+2)22，
證明：左邊=n+22n×(n2+2n+1?1)
=n+22n×(n2+2n)
=n+22n?n(n+2)
=(n+2)22=右邊，
∴(12+1n)×[(n+1)2?1]=(n+2)22．
9.解：（1）；
（2），
證明：左邊＝＝＝＝＝3﹣＝右邊，
故猜想成立．
10.解：（1）＝﹣＝9；
（2）﹣＝2n﹣1（n是正整數(shù)）；
證明：﹣＝﹣＝n2+﹣（n﹣1）2﹣＝n2﹣n2+2n﹣1＝2n﹣1，
即﹣＝2n﹣1（n是正整數(shù)）.
11.解：（1） .
（2）猜想的第n個(gè)等式為：，
證明：左邊
右邊
，
∴左邊右邊．
12.解：（1）
（2）
證明：＝
∴等式成立.
13.解：（1）第6行的數(shù)字依次為1，5，10，10，5，1，
第6行的第4個(gè)數(shù)是10，
故答案為：10；
（2）根據(jù)“楊輝三角”得到系數(shù)，以及a，b的指數(shù)變化規(guī)律，
得到（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
∵（a+b）4＝am+4a3b+6a2bn+4ab3+b4（m，n是常數(shù)），
∴m＝4，n＝2，
故答案為：4，2；
（3）根據(jù)楊輝三角，得到（x+y）3＝x3+3x2y+3xy2+y3，
∵（x+y）3＝x3﹣3×2x2+3×4x﹣8，
∴y3＝﹣8，
∴y＝﹣2，
故答案為：﹣2；
（4）（2x﹣1）2025＝a1x2025+a2x2024+?+a2024x2+a2025x+a2026，
∵當(dāng)x＝1時(shí)，左邊＝（2x﹣1）2025＝1，右邊＝a1+a2+……+a2024+a2025+a2026，
∴a1+a2+……+a2024+a2025+a2026＝1，
∵當(dāng)x＝0時(shí)，左邊＝（﹣1）2025＝﹣1，右邊＝a2026，
∴a2026＝﹣1，
∴a1+a2+?+a2024+a2025
＝（a1+a2+……+a2024+a2025+a2026）﹣a2026
＝1﹣（﹣1）
＝2．
14.解：（1）82?624=1+6.
（2）(n+2)2?n24=1+n，
證明：左邊=(n+2)2?n24
=n2+4n+4?n24
=4n+44
＝n+1＝右邊，
∴左邊＝右邊，
∴等式成立．
15.解：（1）1x(x+n)=(1x?1x+n)×1n．
（2）(1x+m?1x+n)×1n?m．
（3）因?yàn)閨b﹣2|+（a﹣1）2＝0，
所以a＝1，b＝2.
則原式=12×3+13×4+?+12026×2027
=12?13+13?14+?+12026?12027
=12?12027
=20254054．
16.解：（1） 10×5+30＝62+5×9﹣1.
（2）2n×n+n（n+1）＝（n+1）2+n×（2n﹣1）﹣1，
證明：等式左邊＝2n2+n2+n＝3n2+n，
等式右邊＝n2+2n+1+2n2﹣n﹣1＝3n2+n，
∴等式左邊＝等式右邊，即2n×n+n（n+1）＝（n+1）2+n×（2n﹣1）﹣1．
17.解：∵（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）
＝[x2﹣（x1+x2）x+x1x2]（x﹣x3）
＝x3+（﹣x1﹣x2﹣x3）x2+（x1x2+x2x3+x3x1）x+（﹣x1x2x3），
∴x3+px2+qx+r＝x3+（﹣x1﹣x2﹣x3）x2]+（x1x2+x2x3+x3x1）x+（﹣x1x2x3），
比較系數(shù)得：x1+x2+x3＝﹣p，x1x2+x2x3+x3x1＝q，x1x2x3＝﹣r，
故答案為：﹣x1﹣x2﹣x3；x1x2+x2x3+x3x1；x1x2x3；﹣p；x1x2+x2x3+x3x1；﹣r．
18.解：（1）∵第1個(gè)等式：23﹣3×1×2＝13+1，
第2個(gè)等式：33﹣3×2×3＝23+1，
第3個(gè)等式：43﹣3×3×4＝33+1，
第4個(gè)等式：53﹣3×4×5＝43+1，
∴第5個(gè)等式：63﹣3×5×6＝53+1，
故答案為：63﹣3×5×6＝53+1；
（2）猜想的第n個(gè)等式為：（n+1）3﹣3×（n+1）×n﹣1＝n3；證明如下：
（n+1）3﹣3×（n+1）×n﹣1
＝n3+3n2+3n+1﹣3n2﹣3n﹣1
＝n3．
19.解：（1）由題意得：第6個(gè)等式a6=16×7×8+17=76×8．
故答案為：16×7×8+17=76×8；
（2）由題意得：第n個(gè)等式an=1n(n+1)(n+2)+1n+1=n+1n(n+2)．
故答案為：1n(n+1)(n+2)+1n+1=n+1n(n+2)；
（3）（2）中的等式左邊=1n(n+1)(n+2)+n(n+2)n(n+1)(n+2)
=1+n2+2nn(n+1)(n+2)
=(n+1)2n(n+1)(n+2)
=n+1n(n+2)
＝右邊．
故猜想成立．
20.解：【規(guī)律探究】62．
【解決問(wèn)題】14n2（n+1）2．
【拓展應(yīng)用】23+43+63+?+（2n）3
＝23×（13+23+33+?+n3）
＝8×14n2（n+1）2
＝2n2（n+1）2．
21.解：（1）8，11.
（2）（3n+2）.
（3）能恰好用完2024塊白色正方形，理由如下：
假設(shè)第n個(gè)圖形恰好能用完2021塊白色正方形，則3n+2＝2024，
解得：n＝674，
即第674個(gè)圖形中恰好用完2024塊白色正方形．
22.解：（1）①令S＝1+3+32+33+34+…+3100①，
則3S＝3+32+33+34+…+3100+3101②，
②﹣①得，
2S＝3101﹣1，
解得S=3101?12，
所以1+3+32+33+34+…+3100=3101?12．
②令S＝1+12+（12）2+（12）3+（12）4+…+（12）2025①，
則12S=12+（12）2+（12）3+（12）4+…+（12）2025+(12)2026②
①﹣②得，
12S=1?(12)2026，
解得S=2?(12)2025，
所以1+12+（12）2+（12）3+（12）4+…+（12）2025=2?(12)2025．
（2）令x＝0.5151515151…，
則100x＝51.51515151…，
所以100x﹣51＝x，
解得x=1733，
所以0.5151515151?=1733．
23.解：（1）4，3.
（2）4n，1+3n．
（3）第2025個(gè)圖案中，“★”的數(shù)量為：4×2025＝8100（個(gè)），
“▲”的數(shù)量為：1+3×2025＝6076（個(gè)），
8100﹣6076＝2024（個(gè)），
答：在第2025個(gè)圖案中，“★”的數(shù)量比“▲”的數(shù)量多2024個(gè)．
24.解：（1）26.
（2）n2+2，4n+6．
（3）由題意知，
n2+2﹣（4n+6）＝28，
解得，n1＝8，n2＝﹣4．
∵n為正整數(shù)，
∴n＝8．
故正整數(shù)n的值為8．
25.解：（1）1?925=1625=(45)2=45，
1?1564=4964=(78)2=78，
故答案為：1625=(45)2=45；4964=(78)2=78；
（2）由已知等式可得第n（n為正整數(shù)）個(gè)等式為1?2n+1(n+1)2=n2(n+1)2=(nn+1)2=nn+1；
（3）原式=1?34?1?59?1?716?…?1?19910000
=12×23×34×?×99100
=1100．
26.解：（1）由所給分子結(jié)構(gòu)圖及結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式可知，
圖（1）的分子中含C原子的個(gè)數(shù)為：10＝1×6+4；
圖（2）的分子中含C原子的個(gè)數(shù)為：16＝2×6+4；
圖（3）的分子中含C原子的個(gè)數(shù)為：22＝3×6+4；
…，
所以圖（n）的分子中含C原子的個(gè)數(shù)為（6n+4）個(gè)．
當(dāng)n＝4時(shí)，
6n+4＝28（個(gè)），
即圖（4）的分子中含C原子的個(gè)數(shù)為28個(gè)．
故答案為：28．
（2）由（1）知，
圖（n）的分子中含C原子的個(gè)數(shù)為（6n+4）個(gè)．
故答案為：（6n+4）．
（3）由題知，
6m+4+6（m+1）+4＝242，
解得m＝19，
所以m的值為19．
27.解：（1）4n+1.
（2）10n﹣2．
（3）每個(gè)圖案中三角形個(gè)數(shù)都比長(zhǎng)為1的線(xiàn)段條數(shù)多．
理由：第n個(gè)圖案中三角形個(gè)數(shù)與長(zhǎng)為1的線(xiàn)段條數(shù)之差為10 n﹣2﹣（4 n+1）＝6 n﹣3．
∵n為正整數(shù)，
∴6n﹣3＞0，
∴每個(gè)圖案中三角形個(gè)數(shù)都比長(zhǎng)為1的線(xiàn)段條數(shù)多．
28.解：（1）1+1+2+3+…+n＝1+n(n+1)2．
（2）[1+n+n(n+1)2]．
（3）由所給圖形可知，
圖1中，等邊三角形的個(gè)數(shù)為2；
圖2中，等邊三角形的個(gè)數(shù)為3；
圖3中，等邊三角形的個(gè)數(shù)為4；…，
∴圖n中，等邊三角形的個(gè)數(shù)為（n+1）個(gè)．
∵圖n中彩色正方形的個(gè)數(shù)比等邊三角形的個(gè)數(shù)多45個(gè)，
∴1+n(n+1)2?（n+1）＝45，
解得n＝10（舍負(fù)），
則1+n+n(n+1)2=1+10+10×112=66（個(gè)），
即白色正方形的個(gè)數(shù)為66個(gè)．
化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
29.解：（1），.
（2）根據(jù)第個(gè)圖，六邊形的個(gè)數(shù)為塊，正方形地磚有塊，三角形地磚有塊，
∴用去塊六邊形地磚時(shí)，正方形地磚有塊，三角形地磚有塊；
（3）當(dāng)時(shí)，正方形地磚有：（塊），三角形地磚有：（塊），
∴（塊），
∴正方形地磚和三角形地磚的總數(shù)量為塊．
30.解：（1）由條件可知S4＝1+2+3+4，S5＝1+2+3+4+5，
∴S5﹣S4＝1+2+3+4+5﹣（1+2+3+4）＝5，S5+S4＝1+2+3+4+5+（1+2+3+4）＝25，
故答案為：5，25；
（2）由（1）得：Sn﹣Sn﹣1＝1+2+3+4+5+?+n﹣1+n﹣（1+2+3+4+?+n﹣1）＝n，Sn+Sn?1=1+2+3+4+5+?+n?1+n+(1+2+3+4+?+n?1)=n2，
故答案為：n，n2；
（3）由（2）得Sn﹣Sn﹣1＝n①，Sn+Sn?1=n2②，
①+②得：2Sn=n2+n，
∴Sn=n2+n2，
當(dāng)n＝2025時(shí)，Sn=20252+20252=2025×1013，
∴S20252026=2025×10132026=20252．
31.解：（1）42；n2．
（2）2n+1；2n2+2n+1．
【解法提示】觀察圖形發(fā)現(xiàn)：圖中黑球可分三部分，1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，即1+3+5+…+（2n﹣1）+（2（n+1）﹣1）+（2n﹣1）+…+5+3+1，
＝1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1，
＝an﹣1+（2n+1）+an﹣1，
＝n2+2n+1+n2，
＝2n2+2n+1．
32.解：（1）13+23+33+43+53＝152；
（2）n2(n+1)24；
（3）13+23+?+202331+2+3+?+2023
=(1+2+3+?+2023)21+2+3+?+2023
＝1+2+3+…+2023
=2023×20242
＝2047276．
33.解：（1）25，14；
（2）（1+4n）,2（n+1）;
（3）第n個(gè)圖形中有（1+4n）+2（n+1）＝（6n+3）個(gè)正方形瓷磚，
∴（6n+3）×（0.5×0.5）＝24.75，
解得n＝16，
∴此時(shí)是第16個(gè)圖形．
34.解：（1）78；
（2）n(n+1);
（3）圖3中，第18層最右邊的數(shù)字是：18×(18+1)2=171（個(gè)），
則圖3中第19層從左邊數(shù)第二個(gè)圓圈中的數(shù)字是：171+2＝173（個(gè)）.
35.解：（1）由題知，
因?yàn)榈?個(gè)等式：11×21+1×(1+12)=2；
第2個(gè)等式：12×22+1×(2+22)=2；
第3個(gè)等式：13×23+1×(3+32)=2；
第4個(gè)等式：14×24+1×(4+42)=2；
第5個(gè)等式：15×25+1×(5+52)=2；
…，
所以第n個(gè)等式可表示為：1n×2n+1×(n+n2)=2．
當(dāng)n＝7時(shí)，
第7個(gè)等式為：17×27+1×(7+72)=2．
故答案為：17×27+1×(7+72)=2．
（2）由（1）知，
第n個(gè)等式可表示為：1n×2n+1×(n+n2)=2．
證明如下：
左邊=1n×2n+1×n×(n+1)=2＝右邊，
所以此等式成立．
（3）由（2）知，
當(dāng)n＝2025時(shí)，
12025×22025+1×(2025+20252)=2，
所以22025+1×(2025+20252)=4050，
則原式=14050×4050=1．
故答案為：1．
第一行
1
（a+b）0＝1
第二行
1 1
（a+b）1＝a+b
各項(xiàng)系數(shù)和為1+1＝2
第三行
1 2 1
（a+b）2＝a2+2ab+b2
各項(xiàng)系數(shù)和為1+2+1＝4
第四行
1 3 3 1
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
各項(xiàng)系數(shù)和為1+3+3+1＝8
…
…
…
…

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