類型1　見半徑，證垂直1．如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點A，PB的延長線與AC的延長線交于點M，∠BOC＝∠APB.求證：PB是⊙O的切線．證明：∵PA切⊙O于A，∴∠PAO＝90°.∵∠BOC＋∠AOB＝180°，且∠BOC＝∠APB，∴∠APB＋∠AOB＝180°，∴在四邊形AOBP中，∠OBP＝360°－90°－180°＝90°，∴OB⊥PB.∵OB是⊙O的半徑，∴PB是⊙O的切線．2．如圖，AB是⊙O的直徑，C為的中點，延長AC到點D，使CD＝AC，連結(jié)BD.[來源:學科網(wǎng)ZXXK](1)求∠A的度數(shù)；[來源:Z,xx,k.Com](2)求證：BD與⊙O相切．解：(1)連結(jié)OC.∵AB是⊙O的直徑，C為的中點，∴∠BOC＝90°.∵∠A＝∠BOC，∴∠A＝45°.(2)證明：∵OA＝OB，AC＝CD，∴OC∥BD，∴∠BOC＋∠ABD＝180°，∴∠ABD＝180°－∠BOC＝90°，∴AB⊥BD.∵點B在⊙O上，∴BD與⊙O相切．類型2　連半徑，證垂直3．(2019·湖南邵陽二模)如圖，AB是⊙O的直徑，圓心為點O，點C為⊙O上一點，OM⊥AB于點O交AC于點D，MC＝MD.求證：MC為⊙O的切線．證明：如圖，連結(jié)OC.∵MC＝MD，OA＝OC，∴∠MCD＝∠MDC，∠A＝∠OCD.∵MO⊥AB，∴∠A＋∠ADO＝90°.又∠ADO＝∠MDC，∴∠MCD＋∠A＝90°，即∠MCD＋∠DCO＝90°，∴OC⊥MC，∴MC為⊙O的切線．4．如圖，已知⊙O的直徑AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E.(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)求DE的長．解：(1)證明：如圖，連結(jié)OD.∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線．(2)如圖，過點O作OF⊥AC于點F，∴AF＝CF＝AC＝3，[來源:學科網(wǎng)ZXXK]∴OF＝＝＝4.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四邊形OFED是矩形．∴DE＝OF＝4.[來源:Zxxk.Com]5．如圖，已知⊙O的半徑為4，OA為半徑，CD為弦，OA與CD交于點M，將弧CD沿著CD翻折后，點A與圓心O重合，延長OA至P，使AP＝OA，連結(jié)PC.(1)求CD的長；(2)求證：PC是⊙O的切線．解：(1)如圖，連結(jié)OC.∵弧CD沿CD翻折后，點A與點O重合，∴OM＝OA＝2，CD⊥OA.∵OC＝4，∴CD＝2CM＝2＝2×＝4.(2)證明：∵PA＝OA＝4，AM＝OM＝2，CM＝2，∠CMP＝∠OMC＝90°，∴PC＝＝＝4.∵OC＝4，PO＝4＋4＝8，∴PC2＋OC2＝(4)2＋42＝82＝PO2，∴∠PCO＝90°.∵OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線．6．如圖，已知AB為⊙O的直徑，AB⊥AC，BC交⊙O于點D，E是AC的中點，ED與AB的延長線相交于點F.(1)求證：DE為⊙O的切線；(2)若BF＝2，tan∠BDF＝，求⊙O的半徑．解：(1)證明：如圖，連結(jié)AD，OD.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∵E是AC的中點，∴EA＝ED，∴∠EDA＝∠EAD.∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠EDO＝∠EAO.∵AB⊥AC，∴∠EAO＝90°，∴∠EDO＝90°，∴DE為⊙O的切線．(2)∵DE為⊙O的切線，AB為直徑，∴∠ODF＝∠FDB＋∠ODB＝∠FAD＋∠OBD＝90°.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠FDB＝∠FAD.∵tan∠BDF＝，∴tan∠FAD＝＝.又∵∠F為公共角，∴△FDB∽△FAD，∴＝＝＝.又∵BF＝2，∴DF＝4，AF＝8.∴AB＝AF－BF＝8－2＝6.∴⊙O的半徑是3.類型3　作垂直，證半徑7．(2018·北京通州區(qū)三模)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于點E，∠ADC的平分線交AE于點O，以點O為圓心，OA為半徑的圓經(jīng)過點B，交BC于另一點F.求證：CD與⊙O相切．證明：如圖，過點O作OG⊥DC，垂足為G.∵AD∥BC，AE⊥BC，∴OA⊥AD.∴∠OAD＝∠OGD＝90°.∵OD平分∠ADC，∴OA＝OG.∴DC是⊙O的切線，即CD與⊙O相切．8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，O為BC的中點，AC與半圓O相切于點D.(1)求證：AB是半圓O所在圓的切線；(2)若cos∠ABC＝，AB＝12，求半圓O所在圓的半徑．解：(1)證明：如圖，作OE⊥AB于點E，連結(jié)OD，則OD⊥AC.∵AB＝AC，O為BC的中點，[來源:學_科_網(wǎng)]∴∠CAO＝∠BAO.∵OD⊥AC，OE⊥AB，∴OD＝OE.∵點D在圓上，∴AB是半圓O所在圓的切線．(2)由cos∠ABC＝，AB＝12，得OB＝8.由勾股定理，得AO＝＝4.由三角形的面積，得S△AOB＝AB·OE＝OB·AO，解得OE＝＝，∴半圓O所在圓的半徑是.

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