?考向一 一次函數(shù)圖象的應(yīng)用
1.（2024?濟(jì)南）某公司生產(chǎn)了兩款新能源電動(dòng)汽車．如圖，分別表示款，款新能源電動(dòng)汽車充滿電后電池的剩余電量與汽車行駛路程的關(guān)系．當(dāng)兩款新能源電動(dòng)汽車的行駛路程都是時(shí)，款新能源電動(dòng)汽車電池的剩余電量比款新能源電動(dòng)汽車電池的剩余電量多 ．
【答案】12
【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)“電動(dòng)汽車每干米的耗電量剩余電量的減少量行駛路程”分別計(jì)算、兩款新能源電動(dòng)汽車每千米的耗電量，由此寫出圖象的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)“電動(dòng)汽車每干米的耗電量剩余電量的減少量行駛路程”分別計(jì)算、兩款新能源電動(dòng)汽車每千米的耗電量，由此寫出圖象的函數(shù)關(guān)系式，將分別代入，求出對(duì)應(yīng)函數(shù)值并計(jì)算二者之差即可．
【詳解】解：款新能源電動(dòng)汽車每千米的耗電量為，
款新能源電動(dòng)汽車每千米的耗電量為，
∴圖象的函數(shù)關(guān)系式為，
圖象的函數(shù)關(guān)系式為，
當(dāng)時(shí)，，
，
∴當(dāng)兩款新能源電動(dòng)汽車的行駛路程都是時(shí)，款新能源電動(dòng)汽車電池的剩余電量比款新能源電動(dòng)汽車電池的剩余電量多．
故答案為：12．
?考向二 求一次函數(shù)解析式
1.（2024?濟(jì)寧）某商場(chǎng)以每件80元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，在一段時(shí)間內(nèi)，銷售量y（單位：件）與銷售單價(jià)x（單位：元/件）之間是一次函數(shù)關(guān)系，其部分圖象如圖所示．
(1)求這段時(shí)間內(nèi)y與x之間的函數(shù)解析式；
【答案】(1)這段時(shí)間內(nèi)y與x之間的函數(shù)解析式為
【分析】（1）設(shè)這段時(shí)間內(nèi)y與x之間的函數(shù)解析式為，函數(shù)經(jīng)過，，可以利用待定系數(shù)法建立二元一次方程組，即可求出解析式；
【詳解】（1）解：設(shè)這段時(shí)間內(nèi)y與x之間的函數(shù)解析式為，
由圖象可知，函數(shù)經(jīng)過，，
可得，解得，
這段時(shí)間內(nèi)y與x之間的函數(shù)解析式為；
4．（2024?自貢）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是2023，OA＝OB，則點(diǎn)B表示的數(shù)是（ ）
A．2023B．﹣2023C．D．﹣
【分析】結(jié)合已知條件，根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的對(duì)應(yīng)關(guān)系即可求得答案．
【解析】解：∵OA＝OB，點(diǎn)A表示的數(shù)是2023，
∴OB＝2023，
∵點(diǎn)B在O點(diǎn)左側(cè)，
∴點(diǎn)B表示的數(shù)為：0﹣2023＝﹣2023，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸的對(duì)應(yīng)關(guān)系，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
?考向三 一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
1.（2024?德州）某校開設(shè)棋類社團(tuán)，購買了五子棋和象棋．五子棋比象棋的單價(jià)少8元，用1000元購買的五子棋數(shù)量和用1200元購買的象棋數(shù)量相等．
(1)兩種棋的單價(jià)分別是多少？
(2)學(xué)校準(zhǔn)備再次購買五子棋和象棋共30副，根據(jù)學(xué)生報(bào)名情況，購買五子棋數(shù)量不超過象棋數(shù)量的3倍．問購買兩種棋各多少副時(shí)費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少？
【答案】(1)五子棋的單價(jià)是40元，象棋的單價(jià)是元
(2)購買五子棋22副，象棋8副時(shí)，費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是1264元
【分析】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用．理解題意，找出數(shù)量關(guān)系，列出等式或不等式是解題關(guān)鍵．
（1）設(shè)購買五子棋的單價(jià)是x元，則購買象棋的單價(jià)是元，根據(jù)用1000元購買的五子棋數(shù)量和用1200元購買的象棋數(shù)量相等．列出分式方程求解并檢驗(yàn)即可；
（2）設(shè)購買兩種棋的費(fèi)用為w元，購買五子棋m副，則購買象棋副，根據(jù)購買五子棋數(shù)量不超過象棋數(shù)量的3倍，列出不等式，求出m的取值范圍；再列出購買兩種棋的費(fèi)用的關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)購買五子棋的單價(jià)是x元，則購買象棋的單價(jià)是元，根據(jù)題意得：
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是所列分式方程的解，且符合題意，
∴．
答：五子棋的單價(jià)是40元，象棋的單價(jià)是元；
（2）解：設(shè)購買兩種棋的費(fèi)用為w元，購買五子棋m副，則購買象棋副，根據(jù)題意得：
，
解得：，
，
，
隨的增大而減小，
在中，
為正整數(shù)，
當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為（元），
則（副）
答：購買五子棋22副，象棋8副時(shí)，費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是1264元．
2.（2024?東營）在彈性限度內(nèi)，彈簧的長度是所掛物體質(zhì)量的一次函數(shù)．一根彈簧不掛物體時(shí)長12.5cm，當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為2kg時(shí)，彈簧長13.5cm．當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為5kg時(shí)，彈簧的長度為 cm，
【答案】
【分析】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、由自變量求函數(shù)值的知識(shí)點(diǎn)，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，由待定系數(shù)法求出解析式，并把代入解析式求出對(duì)應(yīng)的值即可．
【詳解】解：設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，
由題意，得，
解得：，
故與之間的關(guān)系式為：，
當(dāng)時(shí)，．
故答案為：．
3.（2024?東營）隨著新能源汽車的發(fā)展，東營市某公交公司計(jì)劃用新能源公交車淘汰“冒黑煙”較嚴(yán)重的燃油公交車．新能源公交車有型和型兩種車型，若購買型公交車輛，型公交車輛，共需萬元；若購買型公交車輛，型公交車輛，共需萬元．
(1)求購買型和型新能源公交車每輛各需多少萬元？
(2)經(jīng)調(diào)研，某條線路上的型和型新能源公交車每輛年均載客量分別為萬人次和萬人次．公司準(zhǔn)備購買10輛型、型兩種新能源公交車，總費(fèi)用不超過萬元．為保障該線路的年均載客總量最大，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)購買方案，并求出年均載客總量的最大值．
【答案】(1)購買型新能源公交車每輛需萬元，購買型新能源公交車每輛需萬元；
(2)方案為購買型公交車輛，型公交車輛時(shí)．線路的年均載客總量最大，最大在客量為萬人．
【分析】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式及一次函數(shù)的應(yīng)用，注意理解題意，找出題目蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，列出方程組及一次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)購買型公交車每輛需萬元，購買型公交車每輛需萬元，根據(jù)“購買型公交車輛，型公交車輛，共需萬元；若購買型公交車輛，型公交車輛，共需萬元”列出方程組解決問題即可；
（2）設(shè)購買型公交車輛，則型公交車輛，由“公司準(zhǔn)備購買10輛型、型兩種新能源公交車，總費(fèi)用不超過萬元”列出不等式求得的取值，再求出線路的年均載客總量為與的關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)購買型新能源公交車每輛需萬元，購買型新能源公交車每輛需萬元，
由題意得：，
解得，
答：購買型新能源公交車每輛需萬元，購買型新能源公交車每輛需萬元；
（2）解：設(shè)購買型公交車輛，則型公交車輛，該線路的年均載客總量為萬人，
由題意得，
解得：，
∵，
∴，
∵是整數(shù)，
∴，，10；
∴線路的年均載客總量為與的關(guān)系式為，
∵，
∴隨的增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，線路的年均載客總量最大，最大載客量為（萬人次）
∴（輛）
∴購買方案為購買型公交車輛，則型公交車輛，此時(shí)線路的年均載客總量最大時(shí)，且為760萬人次，
4.（2024?濟(jì)南）近年來光伏建筑一體化廣受關(guān)注．某社區(qū)擬修建A，B兩種光伏車棚．已知修建2個(gè)A種光伏車棚和1個(gè)B種光伏車棚共需投資8萬元，修建5個(gè)A種光伏車棚和3個(gè)B種光伏車棚共需投資21萬元．
(1)求修建每個(gè)A種，B種光伏車棚分別需投資多少萬元？
(2)若修建A，B兩種光伏車棚共20個(gè)，要求修建的A種光伏車棚的數(shù)量不少于修建的B種光伏車棚數(shù)量的2倍，問修建多少個(gè)A種光伏車棚時(shí)，可使投資總額最少？最少投資總額為多少萬元？
【答案】(1)修建一個(gè)種光伏車棚需投資3萬元，修建一個(gè)種光伏車棚需投資2萬元
(2)修建種光伏車棚14個(gè)時(shí)，投資總額最少，最少投資總額為54萬元
【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式．
（1）設(shè)修建一個(gè)種光伏車棚需投資萬元，修建一個(gè)種光伏車棚需投資萬元，根據(jù)修建2個(gè)A種光伏車棚和1個(gè)B種光伏車棚共需投資8萬元，修建5個(gè)A種光伏車棚和3個(gè)B種光伏車棚共需投資21萬元列出方程組，解方程組即可；
（2）設(shè)修建種光伏車棚個(gè)，則修建種光伏車棚個(gè)，修建種和種光伏車棚共投資萬元，先根據(jù)修建的A種光伏車棚的數(shù)量不少于修建的B種光伏車棚數(shù)量的2倍，列出不等式，求出m的范圍，然后W關(guān)于m的關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果即可．
【詳解】（1）解：設(shè)修建一個(gè)種光伏車棚需投資萬元，修建一個(gè)種光伏車棚需投資萬元，根據(jù)題意，得，
解得
答：修建一個(gè)種光伏車棚需投資3萬元，修建一個(gè)種光伏車棚需投資2萬元．
（2）解：設(shè)修建種光伏車棚個(gè)，則修建種光伏車棚個(gè)，修建種和種光伏車棚共投資萬元，根據(jù)題意，得，
解得，
，
，
隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)（萬元），
答：修建種光伏車棚14個(gè)時(shí)，投資總額最少，最少投資總額為54萬元．
5.（2024?青島）為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生的動(dòng)手能力，某校計(jì)劃購買一批航空、航海模型．已知商場(chǎng)某品牌航空模型的單價(jià)比航海模型的單價(jià)多35元，用2000元購買航空模型的數(shù)量是用1800元購買航海模型數(shù)量的．
(1)求航空和航海模型的單價(jià)；
(2)學(xué)校采購時(shí)恰逢該商場(chǎng)“六一兒童節(jié)”促銷：航空模型八折優(yōu)惠．若購買航空、航海模型共120個(gè)，且航空模型數(shù)量不少于航海模型數(shù)量的，請(qǐng)問分別購買多少個(gè)航空和航海模型，學(xué)校花費(fèi)最少？
【答案】(1)航空模型的單價(jià)為125元，則航海模型的單價(jià)為元；
(2)當(dāng)購買航空模型40個(gè)，購買航海模型80個(gè)時(shí)，學(xué)?；ㄙM(fèi)最少
【難度】0.65
【分析】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用：
（1）設(shè)航空模型的單價(jià)為x元，則航海模型的單價(jià)為元，根據(jù)用2000元購買航空模型的數(shù)量是用1800元購買航海模型數(shù)量的列出方程求解即可；
（2）設(shè)購買航空模型m個(gè)，花費(fèi)為y元，則購買航海模型個(gè)，先根據(jù)航空模型數(shù)量不少于航海模型數(shù)量的列出不等式求出m的取值范圍，再列出y關(guān)于m的一次函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)航空模型的單價(jià)為x元，則航海模型的單價(jià)為元，
由題意得，，
解得，
檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，
∴是原方程的解，且符合題意，
∴，
答：航空模型的單價(jià)為125元，則航海模型的單價(jià)為元；
（2）解：設(shè)購買航空模型m個(gè)，花費(fèi)為y元，則購買航海模型個(gè)，
由題意得，，
解得，
，
∵，
∴y隨m增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，y有最小值，最小值為，
此時(shí)有，
答：當(dāng)購買航空模型40個(gè)，購買航海模型80個(gè)時(shí)，學(xué)?；ㄙM(fèi)最少．
6.（2024?日照）【問題背景】2024年4月23日是第18個(gè)“世界讀書日”，為給師生提供更加良好的閱讀環(huán)境，學(xué)校決定擴(kuò)大圖書館面積，增加藏書數(shù)量，現(xiàn)需購進(jìn)20個(gè)書架用于擺放書籍．
【素材呈現(xiàn)】
素材一：有兩種書架可供選擇，A種書架的單價(jià)比B種書架單價(jià)高；
素材二：用18000元購買A種書架的數(shù)量比用9000元購買B種書架的數(shù)量多6個(gè)；
素材三：A種書架數(shù)量不少于B種書架數(shù)量的．
【問題解決】
(1)問題一：求出兩種書架的單價(jià)；
(2)問題二：設(shè)購買a個(gè)A種書架，購買總費(fèi)用為w元，求w與a的函數(shù)關(guān)系式，并求出費(fèi)用最少時(shí)的購買方案；
(3)問題三：實(shí)際購買時(shí)，商家調(diào)整了書架價(jià)格，A種書架每個(gè)降價(jià)m元，B種書架每個(gè)漲價(jià)元，按問題二的購買方案需花費(fèi)21120元，求m的值．
【答案】(1)1200元；1000元
(2)；購買A種書架8個(gè)，B種書架12個(gè)
(3)120
【分析】本題考查運(yùn)用分式方程，一次函數(shù)，一元一次方程解決實(shí)際問題．
（1）設(shè)B種書架的單價(jià)為x元，則A種書架的單價(jià)為元，用18000元購買A種書架個(gè)，用9000元購買B種書架個(gè)，根據(jù)素材二即可列出方程，求解并檢驗(yàn)即可解答；
（2）根據(jù)總費(fèi)用＝A種書架的總費(fèi)用＋B種書架的總費(fèi)用即可列出函數(shù)，根據(jù)資料三求出自變量a的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性即可求出總費(fèi)用的最小值；
（3）根據(jù)總費(fèi)用＝A種書架的總費(fèi)用＋B種書架的總費(fèi)用列出一元一次方程，求解即可解答．
【詳解】（1）解：設(shè)B種書架的單價(jià)為x元，則A種書架的單價(jià)為元．
由題意得，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，且符合題意，
．
答：兩種書架的單價(jià)分別為1200元，1000元．
（2）解：購買a個(gè)A種書架時(shí)，購買總費(fèi)用，
即，
由題意得，a應(yīng)滿足：，解得．
，
∴w隨著a的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，w的值最小，最小值為，
費(fèi)用最少時(shí)購買A種書架8個(gè)，B種書架12個(gè)．
（3）解：由題意得
，
解得．
?考向四 一次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
1.（2024?日照）已知一次函數(shù)和，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方，則a的取值范圍為
【答案】
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)綜合．熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)與不等式，分類討論，是解決問題的關(guān)鍵．
可知過原點(diǎn)，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)， ；當(dāng)與平行時(shí)，，由函數(shù)圖象知， ．
【詳解】解：可知過原點(diǎn)，
∵中，時(shí)，，
∴當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，，
得；
當(dāng)與平行時(shí)，
得．
由函數(shù)圖象知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方，a的取值范圍為：．
故答案為： ．
2.（2024?濰坊）請(qǐng)寫出同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)： ．
①隨著的增大而減?。虎诤瘮?shù)圖象與軸正半軸相交．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)中的隨著的增大而減小可得，再根據(jù)函數(shù)圖象與軸正半軸相交可得，據(jù)此即可求解，掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵隨著的增大而減小，
∴一次函數(shù)的比例系數(shù)，
又∵函數(shù)圖象與軸正半軸相交，
∴，
∴同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的一次函數(shù)可以是，
故答案為：（答案不唯一）．
1.（2024?濰坊）2024年6月，某商場(chǎng)為了減少夏季降溫和冬季供暖的能源消耗，計(jì)劃在商場(chǎng)的屋頂和外墻建造隔熱層，其建造成本（萬元）與隔熱層厚度滿足函數(shù)表達(dá)式：．預(yù)計(jì)該商場(chǎng)每年的能源消耗費(fèi)用（萬元）與隔熱層厚度滿足函數(shù)表達(dá)式：，其中．設(shè)該商場(chǎng)的隔熱層建造費(fèi)用與未來8年能源消耗費(fèi)用之和為（萬元）．
(1)若萬元，求該商場(chǎng)建造的隔熱層厚度；
(2)已知該商場(chǎng)未來8年的相關(guān)規(guī)劃費(fèi)用為（萬元），且，當(dāng)時(shí)，求隔熱層厚度的取值范圍．
【答案】(1)該商場(chǎng)建造的隔熱層厚度為
(2)
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)以及解一元二次方程，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)以及解一元二次方程，弄清楚題意是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意可以得出，再令，解一元二次方程求解即可；
（2）將（1）中代入，可得出與的關(guān)系式，然后利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出的取值范圍．
【詳解】（1）由題意得：
整理得，
當(dāng)時(shí)，則，
解得：．
，
不符合題意，舍去，
該商場(chǎng)建造的隔熱層厚度為6．
（2）由（1）得，
，
．
，
隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得；
的取值范圍為．
一、單選題
1．（23-24九年級(jí)上·山東聊城·期末）已知直線在x軸上的截距為1，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．2或B．2或C．或D．或
【答案】A
【分析】本題的考點(diǎn)是直線在坐標(biāo)軸上的截距的定義，即求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，由題意，令代入直線方程求出x的值，即是在x軸上截距1再求出m．
【詳解】解：由題意知，令，得在x軸上截距為，
即，
解得，或．
經(jīng)檢驗(yàn)均為方程的根，且符合題意，
故選：A．
2．（23-24七年級(jí)上·山東威?！て谀┮淮魏瘮?shù)圖象如圖所示，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．解析式為B．是圖象上的點(diǎn)
C．該圖象隨的增大而減小D．時(shí)，
【答案】B
【分析】用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式可判斷A，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可判斷B，利用圖象可判斷C和D．
【詳解】解：A．設(shè)函數(shù)解析式為，把和代入，得，解得，∴，故A正確；
B．當(dāng)時(shí)，，故B不正確；
C．由圖象可知，隨的增大而減小，故C正確；
D． 由圖象可知，時(shí)，，故D正確．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，利用一次函數(shù)圖象解不等式，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．
3．（22-23七年級(jí)上·山東淄博·期末）如圖，直線l是一次函數(shù)的圖象，且直線l過點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．
B．直線l過坐標(biāo)為的點(diǎn)
C．若點(diǎn)，在直線l上，則
D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可知，即得出，可判斷A；將點(diǎn)代入，即得出，即直線l的解析式為，由當(dāng)時(shí)，，即可判斷B；由圖象可知該函數(shù)y的值隨x的增大而減小，從而即可得出，可判斷C正確；由該函數(shù)y的值隨x的增大而減小，且當(dāng)時(shí)，，即得出當(dāng)時(shí)，，從而可判斷D．
【詳解】∵該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，且與y軸的交點(diǎn)位于x軸下方，
∴，
∴，故A正確，不符合題意；
將點(diǎn)代入，得：，
∴，
∴直線l的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴直線l過坐標(biāo)為的點(diǎn)，故B正確，不符合題意；
由圖象可知該函數(shù)y的值隨x的增大而減小，
又∵，
∴，故C正確，不符合題意；
∵該函數(shù)y的值隨x的增大而減小，且當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，，即，故D錯(cuò)誤，符合題意．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．由圖象確定出，y的值隨x的增大而減小是解題關(guān)鍵．
二、填空題
4．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）2024年五一期間，小亮一家駕車前往青島旅游，在行駛過程中，汽車離青島嶗山景區(qū)的路程y（）與所用時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，那么小亮從家到青島嶗山景區(qū)一共用了 小時(shí)．
【答案】3
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及求一次函數(shù)自變量，根據(jù)函數(shù)圖像設(shè)的解析式為：，用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再求出當(dāng)時(shí)，x的值即可．
【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖像可知，為一次函數(shù)，且過點(diǎn)，，
設(shè)的解析式為：，
則，
解得：，
∴的解析式為：，
當(dāng)時(shí)， 則，
解得：，
∴小亮從家到青島嶗山景區(qū)一共用了3個(gè)小時(shí)．
故答案為：3．
5．（23-24七年級(jí)上·山東青島·期末）點(diǎn)在一次函數(shù)圖象上，則該直線經(jīng)過 象限．
【答案】一，二，四．
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)， 以及一次函數(shù)經(jīng)過的象限，把點(diǎn)代入，求出k的值，再根據(jù)，可得出該直線經(jīng)過一，二，四象限．
【詳解】解：把點(diǎn)代入，
得出：，
解得：，
∴一次函數(shù)的解析式為：，
∵，，
∴該直線經(jīng)過一，二，四象限，
故答案為：一，二，四．
6．（22-23八年級(jí)下·山東青島·開學(xué)考試）請(qǐng)寫出一個(gè)符合下列要求的m的值：
（1）當(dāng) 時(shí)，一次函數(shù)的值隨x值的增大而減?。?br>（2）當(dāng) 時(shí)，一次函數(shù)的圖象與的圖象平行；
（3）當(dāng) 時(shí)，一次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)位于正半軸．
【答案】 （答案不唯一，即可） （答案不唯一，即可）
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)時(shí)，y的值隨x值的增大而減小即可，寫出符合的m的值即可；
（2）根據(jù)兩直線平行k值相等即可得到答案；
（3）根據(jù)一次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)位于正半軸，判斷，寫出符合的m的值即可．
【詳解】（1）由一次函數(shù)的值隨x值的增大而減小，得，
∴m可取，
故答案為：（答案不唯一，即可）；
（2）由兩直線平行k值相等，得，
故答案為：；
（3）由一次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)位于正半軸，一次函數(shù)經(jīng)過，
得y的值隨x值的增大而增大，
∴，
∴m可取，
故答案為：（答案不唯一，即可）．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
7．（23-24七年級(jí)下·山東威?！て谀┮阎c(diǎn)在直線上，過點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)．
(1)求的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)分別在直線，直線AB上．若，判斷是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)的值為，
(2)存在，最大值
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知，利用待定系數(shù)法即可解答；
（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)可知隨的增大而減小即可．本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，熟練運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：∵將代入，得：，
∴，
∴設(shè)直線AB解析式為，
將代入，
得，
解得：，
∴直線AB解析式為；
（2）解：存在最大值，理由如下：
∵點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，
∴，
∴，
∵，
∴隨的增大而減小，
∵，
∴，
∴存在最大值．
8．（23-24八年級(jí)下·山東臨沂·期末）如圖是小明做“探究拉力與斜面高度的關(guān)系”的實(shí)驗(yàn)裝置，一個(gè)高度可自動(dòng)調(diào)節(jié)的斜面上，斜面的初始高度為，實(shí)驗(yàn)時(shí)他用彈簧測(cè)力計(jì)拉著同一物塊沿粗糙程度相同的斜面向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)．實(shí)驗(yàn)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：
(1)根據(jù)上面數(shù)據(jù)分析，在彈性范圍內(nèi)，拉力與高度的變化規(guī)律是_______函數(shù)，斜坡越陡，越_______（選填“省力”或“費(fèi)力”）．
(2)求拉力與高度之間的函數(shù)解析式；
(3)若彈簧測(cè)力計(jì)的最大量程是，求裝置高度的取值范圍．
【答案】(1)一次函數(shù)，費(fèi)力
(2)與的函數(shù)解析式為
(3)裝置高度h的取值范圍為
【分析】（）根據(jù)表格數(shù)據(jù)即可判斷求解；
（）利用待定系數(shù)法解答即可求解；
（）根據(jù)題意可得，即得，解不等式即可求解；
本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意，判斷出于的函數(shù)關(guān)系并求出它們的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：由表格可知，當(dāng)斜面高度由增加到時(shí)，拉力增加了，
當(dāng)斜面高度由增加到時(shí)，拉力增加了，
∴拉力是高度的一次函數(shù)，
由表格可知，斜坡越陡，越費(fèi)力，
故答案為：一次，費(fèi)力；
（2）解：設(shè)，把和代入得，
，
解得，
∴；
（3）解：∵彈簧測(cè)力計(jì)的最大量程是，
∴，
∴，
解得，
又∵斜面的初始高度為，
∴裝置高度的取值范圍．
9．（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）材料：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)G為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為
已知：如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)B，與過點(diǎn)A的一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)．
(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在直線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過P作軸，交于Q，若，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
(3)若一次函數(shù)的圖象為，且不能圍成三角形，直接寫出k的值；
(4)在平面內(nèi)有一點(diǎn)M，其縱坐標(biāo)為5，直線上有一點(diǎn)N，若以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接寫出所有滿足條件的N的坐標(biāo)
【答案】(1)
(2)或
(3)或或
(4)或或
【分析】（1）先求出的坐標(biāo)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出直線的解析式；
（2）根據(jù)，列出方程進(jìn)行求解即可；
（3）分過點(diǎn)或或，三種情況進(jìn)行討論求解即可；
（4）分為對(duì)角線，為對(duì)角線和為對(duì)角線三種情況，進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，，
∵點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，
∴，
設(shè)直線的解析式為：，
則：，解得：，
∴直線的解析式為：．
（2）設(shè)，則，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
（3）∵一次函數(shù)的圖象為，且不能圍成三角形，
則：交于一點(diǎn)或或，
當(dāng)交于一點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，則：，
當(dāng)時(shí)，則：；
綜上：或或；
（4）當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，則：，
∴，
當(dāng)時(shí)，，解得：，
∴；
當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，則：，
∴，
當(dāng)時(shí)，，解得：，
∴；
當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，則：，
∴，
當(dāng)時(shí)，，解得：，
∴；
綜上：或或．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象的平移，平行四邊形的性質(zhì)，掌握中點(diǎn)坐標(biāo)公式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
10．（23-24七年級(jí)下·山東濰坊·期末）為促進(jìn)生產(chǎn)，某年畫加工坊提供了兩種員工月報(bào)酬的方案，設(shè)員工每月加工年畫的數(shù)量為（幅），獲得的月報(bào)酬為（元），兩種方案對(duì)應(yīng)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
(1)在平面直角坐標(biāo)系中分別描出表中方案一和方案二對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，畫出函數(shù)和的圖象；
(2)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；
(3)已知員工可以任選一種方案與公司簽訂合同，如果你是勞務(wù)服務(wù)部門的工作人員，你如何指導(dǎo)員工根據(jù)自己的月加工數(shù)量選擇合適的方案．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)當(dāng)時(shí)，應(yīng)選擇方案一；當(dāng)時(shí)，選擇方案一或方案二均可；當(dāng)時(shí)，應(yīng)選擇方案二
【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式及比較函數(shù)值的大小是解題的關(guān)鍵．
（1）描點(diǎn)并將它們用平滑曲線連接起來即可；
（2）利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）分別討論、、對(duì)應(yīng)的取值范圍，選擇函數(shù)值較大的對(duì)應(yīng)的方案即可．
【詳解】（1）解：描點(diǎn)及函數(shù)圖象如圖所示：
（2）解：設(shè)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為為常數(shù)，且．
將坐標(biāo)代入，
得，
解得，
關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為．
（3）解：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，應(yīng)選擇方案一；當(dāng)時(shí)，選擇方案一或方案二均可；當(dāng)時(shí)，應(yīng)選擇方案二．
11．（2023·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于的函數(shù)： 為常數(shù))交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)．
(1)求的取值范圍；
(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，求直線的函數(shù)解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了求一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題；
（1）根據(jù)一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系求解；
（2）根據(jù)三角形的面積列方程求解．
【詳解】（1）解：函數(shù)可化為：，
函數(shù)交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，
；
（2）∵函數(shù)交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，則
當(dāng)x=0時(shí)，，則
∴，
解得： ，
∴直線l的函數(shù)解析式為：．
12．（23-24八年級(jí)下·山東臨沂·期末）請(qǐng)用描點(diǎn)法研究函數(shù)圖象與性質(zhì)，并用它完成下列各題．
①列表：
②描點(diǎn)③連線．
(1)_______，并畫出函數(shù)的圖象；
(2)當(dāng)時(shí)，最大值_______，最小值_______；
(3)求出函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)；
(4)直接寫出的解集．
【答案】(1)，畫圖見解析
(2)3，
(3)交點(diǎn)坐標(biāo)為，
(4)或
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求函數(shù)值，畫函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．
（1）將，代入求出，然后根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫圖即可；
（2）首先得到當(dāng)時(shí)，，然后根據(jù)圖象求解即可；
（3）分別得到和時(shí)函數(shù)的表達(dá)式，然后分別和函數(shù)聯(lián)立求解即可；
（4）首先畫出的圖象，然后由（3）得結(jié)論求解即可．
【詳解】（1）將，代入
得，，
畫圖如下：
（2）當(dāng)時(shí)，
∴由圖象可得，當(dāng)時(shí)，最大值，最小值；
（3）當(dāng)時(shí)，
∴聯(lián)立和得，
解得
∴和的交點(diǎn)坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，
∴聯(lián)立和得，
解得
∴和的交點(diǎn)坐標(biāo)為；
綜上所述，函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為，；
（4）如圖所示，
∵函數(shù)與函數(shù)交于點(diǎn)，
∴由圖象可得，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)圖象在函數(shù)圖象上面
∴的解集為或．
13．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）某公司生產(chǎn)了一款新能源電動(dòng)汽車，該款汽車充滿電后電池的剩余電量是其行駛路程的一次函數(shù)．已知該款汽車的行駛路程為時(shí)，剩余電量為；行駛路程為時(shí)，剩余電量為．
(1)求與之間的函數(shù)表達(dá)式；
(2)當(dāng)電池電量低于時(shí)，該款汽車將會(huì)發(fā)出電量警報(bào)，提示及時(shí)充電．行駛多少千米后，該款汽車將會(huì)發(fā)出電量警報(bào)？
【答案】(1)
(2)行駛320千米后，該款汽車會(huì)發(fā)出電量警報(bào)
【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂題意，準(zhǔn)確求出與之間的函數(shù)表達(dá)式是解決問題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意，利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式即可得到答案；
（2）由（1）中求得的與之間的函數(shù)表達(dá)式，求出滿電量，得到報(bào)警電量，代入表達(dá)式解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：設(shè)，
根據(jù)題意得，解得，
與之間的函數(shù)表達(dá)式為：；
（2）解：當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，解得，
行駛320千米后，該款汽車會(huì)發(fā)出電量警報(bào)．
14．（23-24七年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）甲、乙兩個(gè)物流公司分別在A、B兩地之間進(jìn)行貨物交換，C地為兩車的貨物中轉(zhuǎn)站，假設(shè)A、B、C三地在同一條直線上，甲車以的速度從A地出發(fā)趕往C地，乙車從B地出發(fā)也趕往C地，兩車同時(shí)出發(fā)，在C地利用一段時(shí)間交換貨物，然后各自按原速返回自己的出發(fā)地，假設(shè)兩車在行駛過程中各自速度保持不變，設(shè)兩車行駛的時(shí)間為，兩車的距離為，圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系．
(1)A、B兩地的距離為 ；
(2)求乙的速度；
(3)求出線段所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
(4)直接寫出兩車相距時(shí)的行駛時(shí)間．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)兩車相距時(shí)行駛時(shí)間為小時(shí)或小時(shí)
【分析】此題考查了一次函數(shù)和一元一次方程的應(yīng)用．
（1）直接根據(jù)圖象和題意即可得到答案；
（2）根據(jù)路程及行駛時(shí)間列方程并解方程即可求出答案；
（3）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（4）分兩車相向而行和兩車各自返回兩種情況，分別列方程并解方程即可求出答案．
【詳解】（1）解：由題意，根據(jù)函數(shù)圖象可知，A、B兩地的距離為，
故答案為：
（2）解：設(shè)乙的速度為，則
，
解得，
答：乙的速度為；
（3）解：設(shè)線段所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，把點(diǎn)，代入得，
解得，，
∴線段所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；
（4）兩車相距分兩種情況：
①設(shè)兩車相向而行時(shí)，兩車相距時(shí)行駛時(shí)間為t小時(shí)，
則，
解得，
②設(shè)兩車各自返回時(shí)，兩車相距時(shí)行駛時(shí)間為n小時(shí)，
則
解得，
答：兩車相距時(shí)行駛時(shí)間為小時(shí)或小時(shí)．
15．（2024·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）某中學(xué)組織學(xué)生研學(xué)，計(jì)劃租用，兩種客車共輛，種客車每輛可坐乘客人，種客車每輛可坐乘客人．
(1)若至少有名學(xué)生參加研學(xué)，種客車最多能租多少輛？
(2)在（1）的條件下，若種客車租金為每輛元，種客車租金為每輛元，應(yīng)該怎樣租車最省錢？
【答案】(1)種客車最多能租輛
(2)租用輛種客車，輛種客車
【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
（1）設(shè)租用輛種客車，則租用（）輛種客車，根據(jù)參加研學(xué)的學(xué)生不少于人，可列出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)租用輛客車所需租金為元，利用總租金每輛種客車的租金租用種客車的數(shù)量每輛種客車的租金租用種客車的數(shù)量，可找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．
【詳解】（1）解：設(shè)租用輛種客車，則租用輛種客車，
根據(jù)題意得：，
解得：，
∴的最大值為．
答：種客車最多能租輛；
（2）解：設(shè)租用輛客車所需租金為元，則，
即，
∵，
∴隨的增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，取得最小值．此時(shí)，（輛）
答：當(dāng)租用輛種客車，輛種客車時(shí)．課標(biāo)要求
考點(diǎn)
考向
1．結(jié)合具體情境體會(huì)一次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的表達(dá)式;會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式．
2．能畫一次函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表達(dá)式探索并理解k >0 和k 0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k

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