?考向一 列舉法求概率
1.（2024?東營）如圖，四邊形是平行四邊形，從①，②，③，這三個條件中任意選取兩個，能使是正方形的概率為（ ）
A．B．C．D．
2.（2024?濟南）如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被等分成四個扇形，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在紅色區(qū)域的概率為 ．
?考向二 樹狀圖、列表法求概率
1.（2024?德州）衣中掛著3套不同顏色的服裝，同一套服裝的上衣與褲子的顏色相同，若從衣櫥中各任取一件上衣和一條褲子，它們?nèi)∽酝惶椎母怕适? ．
2.（2024?濟南）3月14日是國際數(shù)學(xué)節(jié)、某學(xué)校在今年國際數(shù)學(xué)節(jié)策劃了“競速華容道”“玩轉(zhuǎn)幻方”和“巧解魯班鎖”三個挑戰(zhàn)活動，如果小紅和小麗每人隨機選擇參加其中一個活動，則她們恰好選到同一個活動的概率是（ ）
A．B．C．D．
3.（2024?泰安）某學(xué)校在4月23日世界讀書日舉行“書香校園，全員閱讀”活動．小明和小穎去學(xué)校圖書室借閱書籍，小明準備從《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》中隨機選擇一本，小潁準備從《西游記》、《駱駝祥子》、《朝花夕拾》中隨機選擇一本，小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率是 ．
4. （2024?濰坊）小瑩在做手抄報時，用到了紅色、黃色、藍色三支彩筆，這三支彩筆的筆帽和筆芯顏色分別一致．完成手抄報后，她隨機地將三個筆帽分別蓋在三支彩筆上，每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的概率是 ．
5.（2024?山東）某校課外活動期間開展跳繩、踢毽子、韻律操三項活動，甲、乙兩位同學(xué)各自任選其中一項參加，則他們選擇同一項活動的概率是（ ）
A．B．C．D．
?考向三 公平性問題
1.（2024?青島）學(xué)校擬舉辦慶?！敖▏?5周年”文藝匯演，每班選派一名志愿者，九年級一班的小明和小紅都想?yún)⒓?，于是兩人決定一起做“摸牌”游戲，獲勝者參加．規(guī)則如下：將牌面數(shù)字分別為1，2，3的三張紙牌（除牌面數(shù)字外，其余都相同）背面朝上，洗勻后放在桌面上，小明先從中隨機摸出一張，記下數(shù)字后放回并洗勻，小紅再從中隨機摸出一張．若兩次摸到的數(shù)字之和大于4，則小明勝；若和小于4，則小紅勝；若和等于4，則重復(fù)上述過程．
(1)小明從三張紙牌中隨機摸出一張，摸到“1”的概率是______；
(2)請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲?qū)﹄p方是否公平．
?考向四 統(tǒng)計與概率的綜合
1.（2024?東營）為貫徹教育部《大中小學(xué)勞動教育指導(dǎo)綱要（試行）》文件精神，東營市某學(xué)校舉辦“我參與，我勞動，我快樂，我光榮”活動．為了解學(xué)生周末在家勞動情況，學(xué)校隨機調(diào)查了八年級部分學(xué)生在家勞動時間（單位：小時），并進行整理和分析（勞動時間分成五檔：A檔：；B檔：；C檔：；D檔：；E檔：）．調(diào)查的八年級男生、女生勞動時間的不完整統(tǒng)計圖如下：
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
(1)本次調(diào)查中，共調(diào)查了_______名學(xué)生，補全條形統(tǒng)計圖；
(2)調(diào)查的男生勞動時間在C檔的數(shù)據(jù)是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．則調(diào)查的全部男生勞動時間的中位數(shù)為_______小時．
(3)學(xué)校為了提高學(xué)生的勞動意識，現(xiàn)從E檔中選兩名學(xué)生作勞動經(jīng)驗交流，請用列表法或畫樹狀圖的方法求所選兩名學(xué)生恰好都是女生的概率．
2.（2024?濟寧）為做好青少年安全教育工作，某校開展了主題為“珍愛生命，牢記安全”的知識競賽（共20題，每題5分，滿分100分）．該校從學(xué)生成績都不低于80分的八年級（1）班和（3）班中，各隨機抽取了20名學(xué)生成績進行整理，繪制了不完整的統(tǒng)計表、條形統(tǒng)計圖及分析表．
【收集數(shù)據(jù)】
八年級（1）班20名學(xué)生成績：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年級（3）班20名學(xué)生成績：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述數(shù)據(jù)】
八年級（1）班20名學(xué)生成績統(tǒng)計表
【分析數(shù)據(jù)】
八年級（1）班和（3）班20名學(xué)生成績分析表
【應(yīng)用數(shù)據(jù)】
根據(jù)以上信息，回答下列問題．
(1)請補全條形統(tǒng)計圖：
(2)填空：______，______；
(3)你認為哪個班級的成績更好一些？請說明理由；
(4)從上面5名得100分的學(xué)生中，隨機抽取2名學(xué)生參加市級知識競賽．請用列表法或畫樹狀圖法求所抽取的2名學(xué)生恰好在同一個班級的概率．
3.（2024?日照）為進一步推動陽光體育運動，提高學(xué)生身體素質(zhì)，今年月學(xué)校舉行健美操比賽，最終有甲、乙、丙三個班級進入團體決賽．團體決賽需要分別進行五個單項比賽，計分規(guī)則如下表：
現(xiàn)將參加比賽的甲、乙、丙三個班級的得分數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析，并繪制統(tǒng)計圖表，部分信息如下：
．甲、乙兩班五個單項得分折線圖：
．丙班五個單項得分表：
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
(1)已知丙班第二個單項比賽中，五名裁判的打分分別為，，，，，求丙班第二個單項的得分；
(2)若團體最終成績相同，則整體發(fā)揮穩(wěn)定性最好的班級排名靠前，那么獲得團體比賽冠軍的是_______班；（填“甲”“乙”或“丙”）
(3)獲得團體決賽前兩名的班級可得到一套圖書獎勵，現(xiàn)有，，三種圖書可供選擇，請用列表或畫樹狀圖的方法，求兩個班級都選擇同一套圖書的概率
4.（2024?煙臺）“山海同行，艦回?zé)熍_”．2024年4月23日，煙臺艦與家鄉(xiāng)人民共慶人民海軍成立75周年．值此，某學(xué)校開展了“奮進萬億新征程，共筑強國強軍夢”的主題研學(xué)活動，為了解學(xué)生參與情況，隨機抽取部分學(xué)生對研學(xué)活動時長（用t表示，單位：h）進行調(diào)查．經(jīng)過整理，將數(shù)據(jù)分成四組（A組：；B組：；C組：；D組：），并繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．
(1)請補全條形統(tǒng)計圖；
(2)扇形統(tǒng)計圖中，a的值為_____，D組對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為______；
(3)D組中有男、女生各兩人，現(xiàn)從這四人中隨機抽取兩人進行研學(xué)宣講，請用樹狀圖或表格求所抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率．
5.（2024?淄博）希望中學(xué)做了如下表的調(diào)查報告（不完整）：
結(jié)合調(diào)查信息，回答下列問題：
(1)參與本次問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)________名；在扇形統(tǒng)計圖中，第④組所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為________度；
(2)補全周家務(wù)勞動時間的頻數(shù)直方圖：
(3)若該校七年級學(xué)生共有800人，請估計最喜歡“烹飪”課程的學(xué)生人數(shù)；
(4)小紅和小穎分別從“家政”等五門最喜歡的勞動課程中任選一門學(xué)習(xí)，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求兩人恰好選到同一門課程的概率．
一、單選題
1．（24-25九年級上·山東東營·期末）下列事件為必然事件的個數(shù)有（ ）
（1）在百分制測試中，小明的測試成績?yōu)?28分；（2）拋一枚硬幣，落下后正面朝上；（3）邊長為的長方形面積為；（4）367人中必有兩人的生日在同一天．
A．4個B．3個C．1個D．2個
2．（24-25九年級上·山東濟南·期中）如圖所示，在兩個全等的正方形紙片上，分別繪有大小不等的圓，其中正方形甲中圓的直徑與正方形的邊長相等，正方形乙中的四個圓互不重疊，其直徑均為正方形邊長的一半，所有圓均在相應(yīng)正方形的內(nèi)部．若向每個正方形中隨機投擲一個點，在甲、乙兩個正方形中點落在陰影部分的概率分別為、，則（ ）
A．B．
C．D．與正方形的邊長有關(guān)，無法判斷
3．（23-24七年級下·山東煙臺·期末）某數(shù)學(xué)小組做“用頻率估計概率”的試驗時，統(tǒng)計了某一事件發(fā)生的頻率并繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計圖，該事件最有可能是（ ）
A．?dāng)S一枚均勻的骰子，擲出的點數(shù)大于3
B．一個均勻的轉(zhuǎn)盤被等分成10份，分別標(biāo)有1~10這10個數(shù)字，任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字是3的倍數(shù)
C．暗箱中有1張紅桃K，1張黑桃K，1張梅花K，3張牌除花色外一模一樣，從中任取1張牌是紅桃 K
D．一個路口的紅綠燈，紅燈時間為30秒，黃燈時間為5秒，綠燈時間為40秒，隨機經(jīng) 過該路口時，遇到紅燈的概率
4．（2024·山東·模擬預(yù)測）小瑩和小亮玩“抓紙牌”的游戲．在一個不透明的盒子里，有8張紅桃、4張黑桃、a張方塊．每張牌質(zhì)地、大小都相同，一人摸牌，一人記錄．經(jīng)過多次的試驗、數(shù)據(jù)的記錄、平均值的計算，小瑩和小亮發(fā)現(xiàn)摸出方塊的頻率越來越接近．請你估計a的值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（23-24七年級上·山東青島·開學(xué)考試）在下面（ ）盒子中，摸到紅球的可能性最大．
A．B．
C．D．
6．（2025·山東臨沂·一模）生物課上學(xué)習(xí)了淀粉遇碘變藍知識，為探究生活中常見蔬菜是否含有淀粉，甲、乙兩名同學(xué)同時從土豆、玉米、黃瓜、芹菜四種蔬菜中隨機抽取兩種進行實驗，則同時能觀察到變藍現(xiàn)象的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25九年級上·山東濟南·期中）10月16日是世界糧食日．某校組織了糧食安全公益活動，現(xiàn)有“節(jié)糧宣講員”、“光盤示范員”和“愛糧監(jiān)督員”三類志愿者崗位身份，小霞和小藝從中任選一類，則她們恰好選到同一類崗位的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（22-23九年級下·山東日照·開學(xué)考試）拋擲一枚質(zhì)地均勻的圖釘，圖釘落地后，可能針尖朝上，也可能針尖朝下數(shù)學(xué)小組的同學(xué)進行拋擲圖釘實驗，得到如表實驗數(shù)據(jù)，下列說法錯誤的（ ）
A．投擲次針尖朝上的次數(shù)是
B．投擲次的針尖朝上的頻率是
C．任意投擲一枚圖釘，針尖朝上的概率是
D．投擲2000次圖釘，針尖朝上的次數(shù)大約有1100次
二、解答題
9．（24-25九年級上·山東威?！て谀┥虉雠e行促銷活動，顧客購買滿200元的商品后便可任選如下一種方案進行抽獎．
方案A：從裝有1個紅球、2個白球（僅顏色不同）的甲袋中，隨機摸出1個球后放回袋中，然后再隨機摸出1個球，若兩次均摸到紅球，則獲獎；
方案B：從裝有2個紅球、1個白球（僅顏色不同）的乙袋中，隨機摸出1個球后不放回袋中，然后再隨機摸出1個球，若兩次均摸到紅球，則獲獎．
作為顧客，你會選擇哪種方案進行抽獎？利用列表法或畫樹狀圖法說明理由．
10．（24-25九年級上·山東青島·期末）小穎為學(xué)校聯(lián)歡會設(shè)計了一個“摸牌”游戲，游戲規(guī)則如下：準備，兩組相同的牌，每組四張且大小一樣，四張牌的牌面數(shù)字分別是，，，．將兩組牌分別洗均后，牌面朝下放在不透明的桌面上，游戲者從，兩組牌中各摸出一張牌，將組牌的牌面數(shù)字作為十位數(shù)字，組牌的牌面數(shù)字作為個位數(shù)字組成一個兩位數(shù)，若這個兩位數(shù)是偶數(shù)，則游戲者獲勝．請運用畫樹狀圖或列表的方法，求游戲者獲勝的概率．
11．（24-25九年級上·山東濟南·期中）2024年8月8日是中國第16個“全民健身日”．為提高學(xué)生身體素質(zhì)，積極倡導(dǎo)全民健身，某校開展了一分鐘跳繩比賽．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組隨機抽取了部分學(xué)生成績，并對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計整理，以下是不完整的統(tǒng)計圖表．
一分鐘跳繩成績統(tǒng)計表
請根據(jù)以上信息，完成下列問題．
(1)隨機抽取的學(xué)生人數(shù)為 人，統(tǒng)計表中的 ，統(tǒng)計圖中B等級對應(yīng)扇形的圓心角為 度；
(2)該校共有800人參加比賽，請你估計該校成績達到B等級及以上的有多少人?
(3)該比賽服務(wù)組有兩名男生和兩名女生，現(xiàn)從中隨機挑選兩名同學(xué)負責(zé)跳繩發(fā)放工作，請用樹狀圖法或列表法求出恰好選中“一男一女”的概率．
12．（24-25九年級上·山東青島·期中）“回文”是指正讀反讀都能讀通的句子，是古今中外都有的一種修辭手法和文字游戲．例如“處處飛花飛處處，潺潺碧水碧潺潺”等．在數(shù)學(xué)中，如果一個正整數(shù)從左往右讀與從右往左讀都一樣，那我們稱之為回文數(shù)，例如11，22，121…都是回文數(shù)．
將牌面數(shù)字分別為0，1，2，3四張紙牌（除牌面數(shù)字外，其余均相同）背面朝上，洗勻后放在桌面上，小明先從中隨機抽取一張，記下數(shù)字后放回并洗勻，小紅再從中隨機抽取一張．將小明、小紅抽取的數(shù)字分別作為一個四位數(shù)（該四位數(shù)的千位數(shù)字和個位數(shù)字均為2）的百位和十位數(shù)字．請用列表或畫樹狀圖的方法求組成的四位數(shù)是回文數(shù)的概率．
13．（21-22九年級·山東棗莊·自主招生）2021年7月，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負擔(dān)和校外培訓(xùn)負擔(dān)的意見》（稱為“雙減”政策），該政策于2021年9月1日正式實施．為落實“雙減”政策，學(xué)校開展了一系列校本課程興趣活動．為了解學(xué)生參加“繪畫”“思維訓(xùn)練”“樂器”“英語演講”四類校本課程的情況，在全校進行隨機抽樣調(diào)查，并根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅統(tǒng)計圖（圖1、圖2，信息尚不完整），請根據(jù)圖中提供的信息，解答下面的問題．
(1)此次共調(diào)查了多少名學(xué)生？
(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整，并計算扇形統(tǒng)計圖中“英語演講”部分所占的圓心角的度數(shù)．
(3)如果該校共有1800名學(xué)生，請估計參加思維訓(xùn)練課程的人數(shù)．
(4)李明、王麗兩名同學(xué)都想從“繪畫”“樂器”“思維訓(xùn)練”三類校本課程中選一類，請用列表或畫樹狀圖的方法求出兩名同學(xué)恰好選擇同一類校本課程的概率．
14．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）新春佳節(jié)，臨沂瑯琊古城吸引了眾多外地市民前來尋找年味，快樂過節(jié)．作為山東文旅開年的扛鼎之作，瑯琊古城自年月日起正式開城迎客，為臨沂市再添文旅新地標(biāo)．某學(xué)習(xí)小組對景點演出中的校場演兵、國秀瑯琊、扶搖云裳、只此瑯琊，這四個節(jié)目開展我最喜歡的演出節(jié)目調(diào)查．隨機調(diào)查了部分游客，每位游客必須且只能選擇這四個節(jié)目中的一個，并根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：
(1)本次共調(diào)查了______名游客；并將條形統(tǒng)計圖補充完整；
(2)組所對應(yīng)的扇形圓心角為______度；
(3)若某天游客達到萬人次，則該天喜歡國秀瑯琊表演的旅客人數(shù)約為多少人？
(4)若某游客從中任選兩個表演節(jié)目來觀看，恰好選到國秀瑯琊和只此瑯琊的概率為多少？
15．（2024·山東青島·模擬預(yù)測）周末，小軍與小凱出去游玩，小軍選擇海濱公園，小凱選擇海上游樂場．為統(tǒng)一意見，他倆決定通過游戲選擇游玩目的地．游戲方法是：把除了標(biāo)號不同，其他完全相同的標(biāo)有1、2、3、4、5、6數(shù)字的六張卡片分成兩組，數(shù)字朝下扣在桌面上，兩組標(biāo)號分別為1、3、4和2、5、6．然后小軍從任意一組抽取一張，小凱從另外一組中抽取一張，如果兩張卡片數(shù)字之和能被3整除，按小軍意見選擇，如果兩張卡片數(shù)字之和能被2整除，則按小凱意見選擇．請用樹狀圖或表格法分析這個游戲是否公平？說明理由．課標(biāo)要求
考點
考向
1．能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結(jié)果，以及指定隨機事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解隨機事件的概率。
2. 知道通過大量重復(fù)試驗，可以用頻率估計概率。
概率
考向一 列舉法求概率
考向二 樹狀圖、列表法求概率
考向三 公平性問題
考向四 統(tǒng)計與概率的綜合
考點 概率
分數(shù)
80
85
90
95
100
人數(shù)
3
3
a
b
3
調(diào)查目的
了解本校學(xué)生：（1）周家務(wù)勞動的時間；（2）最喜歡的勞動課程
調(diào)查方式
隨機問卷調(diào)查
調(diào)查對象
部分七年級學(xué)生（該校所有學(xué)生周家務(wù)勞動時間都在范圍內(nèi)）
調(diào)查內(nèi)容
（1）你的周家務(wù)勞動時間（單位：）是①②③④⑤
（2）你最喜歡的勞動課程是（必選且只選一門）
A家政 B.烹飪 C.剪紙 D.園藝 E．陶藝
調(diào)查結(jié)果

實驗次數(shù)
針尖朝上次數(shù)
針尖朝上頻率
成績等級
一分鐘跳繩次數(shù)
頻數(shù)

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