專題04 二次根式（中考高頻題型歸納與訓(xùn)練）-備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學(xué)真題題源解密（山東專用）(原卷版+解析版)

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?考向一 有意義
1.（2024?煙臺）若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為 ．
?考向二 二次根式的相關(guān)運算
1.（2024?濟寧）下列運算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2024?泰安）計算： ．
3.（2024?淄博）計算： ．
?考向三 二次根式中的規(guī)律問題
1.（2024?德州）觀察下列等式：
……
則的值為 ．
一、單選題
1．（23-24九年級下·山東日照·期中）以下說法：①與是同類二次根式；②長度等于半徑的弦所對的圓周角為；③若式子有意義，則實數(shù)m的取值范圍是；④若直線不經(jīng)過第三象限．則．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
2．（2024·山東·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，，向量可表示為．若，，這兩個向量互相垂直的條件是．下列三組向量：，；、；、互相垂直的向量有（ ）
A．0個B．1個C．2個D．3個
3．（23-24七年級下·山東濟寧·期末）若邊長為的正方形的面積記作，邊長為的正方形的面積記作，邊長為的正方形的面積記作……按照此規(guī)律，的值是（ ）
A．B．36C．38D．40
二、解答題
4．（24-25八年級上·山東青島·期中）已知．
(1)計算：當(dāng)時，___________，___________；
當(dāng)時，___________，___________；
當(dāng)時，___________，___________；
(2)猜想：無論為任何非負(fù)數(shù)時，___________始終成立（填“”，“”，“”，“”或“”）；
(3)請說明（）中猜想的合理性．
5．（23-24八年級下·山東濱州·期末）如圖，矩形的邊在軸的正半軸上，點坐標(biāo)為，，，且滿足．問取何值時是直角三角形？
6．（23-24八年級下·山東聊城·期末）以下是某同學(xué)化簡二次根式：的運算過程：
(1)上面的運算過程中第一步出現(xiàn)了兩個錯誤，分別是：①______，②______；第二步出現(xiàn)了一個錯誤：③______．
(2)請你寫出正確完整的解答過程．
7．（23-24八年級下·山東煙臺·期中）閱讀下列材料：
，像和這樣兩個含有根式的代數(shù)式，它們的積不含根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式．
請運用上面的知識解決下列問題：
(1)指出的有理化因式，并將化簡為分母中不含根式的式子；
(2)通過化簡，比較和的大小關(guān)系；
(3)已知，．
①求a的值；
②結(jié)合①的結(jié)果，解方程：．
8．（2024·山東青島·三模）閱讀材料，完成下列小題．
集合，簡稱集，是數(shù)學(xué)中一個基本概念，也是集合論的主要研究對象．集合論的基本理論創(chuàng)立于19世紀(jì)，關(guān)于集合的最簡單的說法就是在樸素集合論（最原始的集合論）中的定義，即集合是“確定的一堆東西”，集合里的“東西”則稱為元素．現(xiàn)代的集合一般被定義為：由一個或多個確定的元素所構(gòu)成的整體．
我們把這個抽象的概念具體化：關(guān)于1+1= 這個算式答案的集合，我們表示為{2}．
交集指的是兩個集合的共同部分，用“∩”表示；比如“小于4大于1的實數(shù)”這個集合與“小于5大于2的實數(shù)”的交集就是{3}
并集指的是把兩個集合合并在一起，用“∪”表示；比如“小于4大于1的實數(shù)”這個集合與“小于5大于2的實數(shù)”的并集就是{4，3，2}
【開胃小菜】請表示不等式組的解集．
【拓展延伸】集合論在離散數(shù)學(xué)中有著非常重要的地位．對于非空集合和，定義和集，用符號表示和集內(nèi)的元素個數(shù)．
(1)已知集合，，，若，求的值；
(2)記集合，，，為中所有元素之和，n是正整數(shù)，求證：；
(3)若與都是由個整數(shù)構(gòu)成的集合，且，證明：若按一定順序排列，集合與中的元素是兩個公差相等的等差數(shù)列．
【知識卡片】“∈”的意思是屬于，的意思是正整數(shù)．
課標(biāo)要求
考點
考向
了解二次根式、最簡二次根式的概念，了解二次根式(根號下僅限于數(shù))加、減、乘、除運算法則，會用它們進行簡單的四則運算。
二次根式
考向一 有意義
考向二 二次根式的相關(guān)運算
考向三 二次根式中的規(guī)律問題
考點 二次根式
易錯易混
對于，a需要滿足,二次根式才有意義;對于，a可以取任意實數(shù).
易錯易混
二次根式計算的最后結(jié)果應(yīng)保證所有二次根式是最簡二次根式.
解：原式…第一步
…第二步
…第三步