專題06 一元二次方程（中考高頻題型歸納與訓練）-備戰(zhàn)2025年中考數學真題題源解密（山東專用）(原卷版+解析版)-試卷下載-教習網

?考向一一元二次方程的解法——配方法
1.（2024?東營）用配方法解一元二次方程時，將它轉化為的形式，則的值為（）
A．B．2024C．D．1
【答案】D
【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程．熟練掌握配方法步驟，是解出本題的關鍵．
用配方法把移項，配方，化為，即可．
【詳解】解：∵，
移項得，，
配方得，，
即，
∴，，
∴．
故選：D．
?考向二判斷一元二次方程根的情況
1.（2024?濰坊）已知關于的一元二次方程，其中滿足，關于該方程根的情況，下列判斷正確的是（）
A．無實數根B．有兩個相等的實數根
C．有兩個不相等的實數根D．無法確定
【答案】C
【分析】本題本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根，據此先求出，再求出的符號即可得到結論．
【詳解】解： ∵，
∴，
∴
，
，
∴原方程有兩個不相等的實數根，
故選：C．
?考向三由根的情況求參數
1.（2024?濟南）若關于的方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關系：①，方程有兩個不相等的實數根，②，方程有兩個相等的實數根，③，方程沒有實數根，由題意得出，計算即可得出答案．
【詳解】解：∵關于的方程有兩個不相等的實數根，
∴，
解得：，
故選：B．
2.（2024?泰安）關于的一元二次方程有實數根，則實數的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了判別式與一元二次方程根的情況，熟知一元二次方程有實數根的條件是解題的關鍵．
根據一元二次方程有實數根的條件是，據此列不等式求解即可．
【詳解】解：∵關于的一元二次方程有實數根，
∴，解得．
故選B．
?考向四根與系數的關系
1.（2024?煙臺）若一元二次方程的兩根為m，n，則的值為．
【答案】6
【分析】本題考查了根與系數的關系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的兩根時，，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解題關鍵．
根據根與系數的關系得，，再把變形為，然后利用整體代入的方法計算，再利用完全平方公式求解即可．
【詳解】解：∵一元二次方程的兩個根為，，
∴，
∴
故答案為：6．
2.（2024?德州）已知a和b是方程的兩個解，則的值為．
【答案】2028
【分析】本題考查一元二次方程的解和根與系數關系、代數式求值，先根據方程的解滿足方程以及根與系數關系求得，，再代值求解即可．
【詳解】解：∵a和b是方程的兩個解，
∴，，
∴，
∴
，
故答案為：2028．
3.（2024?日照）已知，實數是關于x的方程的兩個根，若，則k的值為（）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，對于一元二次方程，若是該方程的兩個實數根，則，據此得到，再由得到，據此可得答案．
【詳解】解：是關于x的一元二次方程的兩個根，
．
，
，
∴
，
解得，
經檢驗，是原分式方程的解，
故選：B．
?考向五一元二次方程的實際應用
1.（2024?青島）如圖，某小區(qū)要在長為，寬為的矩形空地上建造一個花壇，使花壇四周小路的寬度相等，且花壇所占面積為空地面積的一半，則小路寬為．

【答案】
【難度】0.65
【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，設小路的寬為，則長方形花壇的長為，寬為，再根據矩形面積計算公式列出方程求解即可．
【詳解】解：設小路的寬為，則長方形花壇的長為，寬為，
由題意得，，
同理得，
解得或（舍去），
∴小路的寬為，
故答案為：．
2.（2024?淄博）“我運動，我健康，我快樂！”隨著人們對身心健康的關注度越來越高．某市參加健身運動的人數逐年增多，從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人．
(1)求該市參加健身運動人數的年均增長率；
(2)為支持市民的健身運動，市政府決定從公司購買某種套裝健身器材．該公司規(guī)定：若購買不超過100套，每套售價1600元；若超過100套，每增加10套，售價每套可降低40元．但最低售價不得少于1000元．已知市政府向該公司支付貨款24萬元，求購買的這種健身器材的套數．
【答案】(1)該市參加健身運動人數的年均增長率為
(2)購買的這種健身器材的套數為200套
【分析】此題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
（1）設該市參加健身運動人數的年均增長率為，根據從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；
（2）設購買的這種健身器材的套數為套，根據市政府向該公司支付貨款24萬元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．
【詳解】（1）解：設該市參加健身運動人數的年均增長率為，
由題意得：，
解得：（不符合題意，舍去），
答：該市參加健身運動人數的年均增長率為；
（2）解：∵元，
∴購買的這種健身器材的套數大于100套，
設購買的這種健身器材的套數為套，
由題意得：，
整理得：，
解得：，
當時，售價元（不符合題意，故舍去），
答：購買的這種健身器材的套數為200套．
?考向六一元二次方程與二次函數的綜合
1.（2024?泰安）已知拋物線與x軸交點的坐標分別為，，且．
(1)若拋物線與x軸交點的坐標分別為，，且．試判斷下列每組數據的大?。ㄌ顚?、或）：
①________；②________；③________．
(2)若，，求b的取值范圍；
(3)當時，最大值與最小值的差為，求b的值．
【答案】(1)；；；
(2)
(3)b的值為或．
【分析】本題考查根與系數的關系，二次函數圖像與性質，不等式性質，二次函數最值情況，解題的關鍵在于熟練掌握二次函數圖像與性質．
（1）根據根與系數的關系得到，以及，即可判斷①，利用二次函數的圖像與性質得到，進而得到，利用不等式性質變形，即可判斷②③．
（2）根據題意得到，結合進行求解，即可解題；
（3）根據題意得到拋物線頂點坐標為，對稱軸為；當時，，當時，，由最大值與最小值的差為，分以下情況①當在取得最大值，在取得最小值時，②當在取得最大值，在頂點取得最小值時，③當在取得最大值，在頂點取得最小值時，建立等式求解，即可解題．
【詳解】（1）解：與x軸交點的坐標分別為，，且，
，且拋物線開口向上，
與x軸交點的坐標分別為，，且．
即向上平移1個單位，
，且，
①；
，
，即②；
，即③．
故答案為；；；；
（2）解：，，
，
，
；
（3）解：拋物線頂點坐標為，
對稱軸為；
當時，，
當時，，
①當在取得最大值，在取得最小值時，
有，解得（舍去）；
②當在取得最大值，在頂點取得最小值時，
有，解得（舍去）或，
③當在取得最大值，在頂點取得最小值時，
有，解得（舍去）或；
綜上所述，b的值為或．
一、單選題
1．（2024·山東濟南·模擬預測）已知拋物線，，．拋物線與線段（包括A、B兩點），有兩個交點，則k的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本題考查用待定系數法求一次函數解析式、二次函數與一次函數的交點問題、根據一元二次方程的根的情況求參數，利用待定系數法求得線段的解析式為，聯立方程組可得可看作定拋物線與過定點的動直線有兩個交點，畫圖可得動直線在直線、之間時，定拋物線與過定點的動直線有兩個交點，當動直線過點時，求得，當動直線為直線時，定拋物線與過定點的動直線有一個交點，利用判別式列方程求解即可．
【詳解】解：設線段的解析式為，
把，代入得，，
解得，
∴線段的解析式為，
∵拋物線與線段（包括A、B兩點），有兩個交點，
聯立方程組得，，即，
∵該方程在時有兩個根，
∴可看作定拋物線與過定點的動直線有兩個交點，
令，得；令，得；
∴定拋物線過點、，
如圖，動直線在直線、之間時，定拋物線與過定點的動直線有兩個交點，
當動直線過點時，，
解得，
當動直線為直線時，定拋物線與過定點的動直線有一個交點，
則，即，
∴，
解得（負值舍去），
∴，
故選：B．

2．（24-25九年級上·山東德州·階段練習）為助力實現“雙碳”目標，某企業(yè)大力發(fā)展光伏發(fā)電裝置零件制造．已知該企業(yè)生產某種零件的成本為10元/個，且規(guī)定該零件的售價不能超過35元/個．經市場調研發(fā)現，該零件每周的銷售量y（個）與銷售單價x（元/個）之間滿足一次函數，若要使該企業(yè)每周銷售這種零件可獲利6000元，則每個零件的售價應定為（）元．
A．25B．20或40C．40D．20
【答案】D
【分析】本題考查了一元二次方程在實際生活中的應用，根據“企業(yè)每周銷售這種零件可獲利6000元”列方程求解即可．
【詳解】解：根據題意，得，
解得，，
又售價不能超過35元/個，
∴，
即每個零件的售價應定為20元，
故選：D．
二、填空題
3．（24-25九年級上·山東青島·期中）商店銷售一款運動鞋，已知每雙運動鞋的成本為64元，在成本價的基礎上經過兩次價格調整后售價定為100元．若每次價格調整的增長率相同，則增長率為．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，設每次價格調整的增長率為，根據題意列出一元二次方程，解方程即可得解．
【詳解】解：設每次價格調整的增長率為，
由題意得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
∴每次價格調整的增長率相同，則增長率為，
故答案為：．
三、解答題
4．（24-25八年級上·山東淄博·期中）小麗看到課本《因式分解》一章中的“讀一讀”寫到：利用多項式的乘法法則，可以得到，反過來，則有．智慧的小麗受“讀一讀”的啟發(fā)，運用該方法解出了方程的解，小麗的解法如下：
因為，，
又因為，，
所以，，
所以，，或，
所以，，或，
所以，原方程的解為．
應用上面小麗的方法解決下列問題：
(1)解方程：；
(2)解關于的方程：（是常數，且都不為零）；
(3)若關于的方程的兩個解分別為（其中），請求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了解分式方程，解一元二次方程：
（1）方程兩邊同乘，得，再仿照題意因式分解得到，據此仿照題意求解，最后檢驗即可；
（2）方程兩邊同乘，得，則，再利用十字相乘法分解因式得到，據此仿照題意解方程，并檢驗即可；
（3）先去分母得到，再利用十字相乘法分解因式得到，再仿照題意求解并檢驗即可；
【詳解】（1）解：
方程兩邊同乘，得，
所以，，
因為，，
所以，，
所以，，或，
所以，，或，
檢驗：當或時，，
所以，原方程的解為．
（2）解：
方程兩邊同乘，得，
所以，，
因為，，
所以，
所以，，或，
所以，，或，
檢驗：因為，是常數，且都不為零，所以，當或時，，
所以，原方程的解為．
（3）解：
方程兩邊同乘，得，
所以，，
因為，，
∴，
所以，，或，
所以，，或，
檢驗：當或時，，因為，，
所以，，
所以，原方程的解為，
所以，；
5．（24-25九年級上·山東青島·階段練習）我們已經學習了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應用．
例如：試求二次三項式．最小值．
解：，
，
，即．的最小值是1．
試利用“配方法”解決下列問題：
(1)已知，求y的最大（或最?。┲担?br>(2)比較代數式與的大小，并說明理由．
(3)知識遷移：
①如圖，學校打算用15米長的鐵柵欄圍成三個相連的長方形羊駝草料倉庫，來飼養(yǎng)兩只萌萌的羊駝，倉庫一面靠墻（墻足夠長），為方便取物，在各個倉庫之間留出了1米寬的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門，請嘗試用“配方法”求出如何圍，使倉庫面積雖大？最大值是多少？
②如圖，在正方形中，，點E、F分別為上的動點，且，與交于點O，點P為的中點．設，用含x的代數式表示，則的最小值為多少．（直接寫出答案）
【答案】(1)y的最大值是30
(2)，理由見解析
(3)①當倉庫的寬為時，倉庫的面積最大，最大為平方米；②
【分析】（1）利用配方法解答，即可求解；
（2）把兩式作差，然后利用配方法解答，即可求解；
（3）①設倉庫的寬為x米，則長為米，根據題意可得倉庫的面積，然后利用配方法解答，即可求解；②證明，可得，從而得到，再由直角三角形的性質可得，然后在中，根據勾股定理可得的長，即可求解．
【詳解】（1）解：解：，
，
∴，
∴，
∴，
即y的最大值是30；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①設倉庫的寬為x米，則長為米，根據題意得：
倉庫的面積為
，
∵，
∴，
即當時，倉庫的面積最大，最大值為，
答：當倉庫的寬為時，倉庫的面積最大，最大為平方米；
②在正方形中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵點P為的中點，
∴，
在中，，
，
∴，
即的最小值為．
【點睛】本題主要查了配方法的應用，勾股定理，直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質等知識，理解配方法是解題的關鍵．
6．（24-25九年級上·山東濰坊·階段練習）計算題
(1)
(2)（配方法）
(3)（公式法）
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
【分析】本題考查了解一元二次方程的方法以及實數的混合運算，掌握以上知識點是解答本題的關鍵．
（1）先將常數移到右邊，兩邊同時除以，再根據平方根的定義即可求解；
（2）先將二次項系數化為，然后方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，即可將方程左邊配成完全平方式，右邊是常數，再利用直接開平方法求解即可；
（3）找出、、，求出，再根據求根公式代入即可求解；
【詳解】（1）解：，
，
，
，
，；
（2）解：，
，
，
，
，
，；
（3）解：，
，
，，，，
，
，；
7．（2024·山東青島·一模）小明、小紅和小亮三位同學對問題“關于的方程有實數根，求實數的取值范圍”提出了自己的解題思路：
［辨析與解答]
小明說：“只需分類討論，將方程中的絕對值去掉，討論關于的一元二次方程根的情況．”
小紅說：“用函數思想，設，只須在的取值范圍內．”
小亮說：“可以數形結合，把方程兩邊分別看成關于的函數，利用函數圖像解決．”
結合上述解題思路綜合考量，你認為他們所討論的問題的正確結論，即實數的取值范圍是______．請寫出你的解題過程．
［應用與拓展]
（1）如果關于的方程有四個不同的實數根，則實數的取值范圍是______．
（2）如果關于的方程有四個不同的實數根，則實數的取值范圍是______．
【答案】［辨析與解答]，過程見解析；［應用與拓展]（1）；（2）
【分析】［辨析與解答]
小明的方法：先將方程中的絕對值去掉，然后根據一元二次方程跟的判別式求解即可；
小紅的方法：設，則，即可求解；
小亮的方法：令，，，畫出函數圖像，利用數形結合的思想即可求解；
［應用與拓展]
（1）觀察小亮方法中的圖像即可求解；
（2）令，，畫出函數圖像，利用數形結合的思想即可求解．
【詳解】解∶［辨析與解答]
小明的方法：當時，原方程為，即，
∵方程有實數根，
∴，
解得；
當時，原方程為，即，
∵方程有實數根，
∴，
解得，
綜上，；
小紅的方法：設，
則，
∴；
小亮的方法：令，，
當與的圖像有交點時，方程有實數根，
畫出函數圖像，如下：
觀察圖像知，當時，與的圖像有交點，
∴當時，方程有實數根；
故答案為：；
［應用與拓展]
（1）觀察小亮的方法中函數圖像知，當時，與的圖像有四個不同的交點，
∴當時，方程有四個不同的實數根，
故答案為：；
（2）令，，
畫出函數圖像，如下：
當時，，
∴圖中點D坐標為，
觀察圖像，知當時，，的圖像有四個不同的交點，
∴當時，方程有四個不同的實數根，
故答案為：．
【點睛】本題考查了一元二次方程跟的判別式，二次函數的圖像與性質，解題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
8．（23-24九年級下·山東煙臺·期末）“新定義”問題就是給出一個從未接觸過的新規(guī)定，要求現學現用，更多的考查閱讀理解能力、應變能力和創(chuàng)新能力．
定義：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不為 0．請根據此定義解決下列問題：
(1)方程的倒方程是．
(2)若是的倒方程的解，求出c的值；
(3)若m，n是一元二次方程的倒方程的兩個不相等的實數根，求代數式的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此題考查了一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程的解法和倒方程的定義是解題的關鍵．
（1）根據新定義的含義可得答案；
（2）根據題意得到方程的倒方程為，把代入即可得到的值；
（3）根據題意得到方程的倒方程為，再結合方程根與系數的關系進一步解答即可；
【詳解】（1）解：方程的倒方程是；
（2）解：由題意得：方程的倒方程為，
把代入方程得：，
∴
（3）由題意得：方程的倒方程為，
∵m，n是方程的兩個實數根，
∴，，
∴
∴
；
9．（23-24八年級下·山東濟南·期末）法國數學家韋達在研究一元二次方程時發(fā)現：如果關于x的一元二次方程的兩個實數根分別為、，那么兩個根的關系為
，．習慣上把這個結論稱作“韋達定理”．
小明在探究二次項系數為1的一元二次方程根的特征時發(fā)現，此時“韋達定理”可表述為：，．借此結論，小明進行了對“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究．
定義：
倍根方程：如果關于x的一元二次方程有兩個實數根（都不為0），且其中一個根等于另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．
方根方程：如果關于x的一元二次方程有兩個實數根（都不為0），且其中一個根的平方等于另外一個根，則稱這樣的方程為“方根方程”．
(1)請你判斷：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）；
(2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值；
(3)根據探究，小明想設計一個一元二次方程，使這個方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，請你先幫他算一算，這個方程的根是多少？
【答案】(1)倍根方程
(2)c的值是8
(3)方程的兩個根是，或，
【分析】（1）求出方程的解，再判斷是否為倍根方程；
（2）設方程的兩個根為，，由倍根方程”的定義可知，利用根與系數的關系即可求得的值；
（3）設一元二次方程，的兩個實數根分別為、，由題意可知，或，，即可得到方程的根是2、4或、．
本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，一元二次方程的一般形式，新定義“倍根方程”或“方根方程”的意義，理解“倍根方程”或“方根方程”的意義和掌握根與系數的關系是解決問題的關鍵．
【詳解】（1）解：解方程得：
，，
，
方程是倍根方程；
故答案為：“倍根方程”；
（2）解：程的兩個根為，，
一元二次方程是“倍根方程”，
，
，，
，，
，
；
（3）解：元二次方程，的兩個實數根分別為、，
這個方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，
，，
，
解得或（舍去），
，
或，，
，
解得或（舍去），
，
這個方程的根是2、4或、．
10．（2024·山東日照·二模）我們知道，對于關于x的一元二次方程，如果該方程有兩個實數根和，那么這兩個根與方程的系數之間滿足以下關系：①；②．此外，根與方程的系數的關系還可以推廣到一元n次方程：對于方程，其中是方程的n個實數根，其中所有根的和為；所有根的積為，請結合上述材料，解答下列問題：
(1)方程的一個實數根是，則________；方程的兩個根，，則第三個根________．
(2)若m，n是關于x的一元二次方程兩個實數根，且m，n滿足，求k的值．
(3)在平面直角坐標系內，一次函數與反比例函數（，）圖象的兩個交點A、B的橫坐標分別是、，設的面積是S．當t取何值時，S有最大值．
【答案】(1)，2
(2)4
(3)
【分析】（1）由，可得，計算求解即可；由，可得，計算求解即可；
（2）由題意知，，，則，整理得，，計算求解，然后作答即可；
（3）由，可知，則反比例函數圖象在第一、三象限，如圖，設一次函數與軸的交點為，則，聯立得，整理得，，則，，，由，可得，當時，，求最大值；當時，，求最大值，然后判斷作答即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，
解得，，
故答案為：，2；
（2）解：由題意知，，，
∴，整理得，，
∴，
解得，（此時方程無解，舍去）或；
∴的值為4；
（3）解：∵，
∴，反比例函數圖象在第一、三象限，
如圖，設一次函數與軸的交點為，則，
聯立，得，整理得，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
當時，，
當時，；
當時，，
當時，；
綜上所述，當時，有最大值4．
【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，完全平方公式的變形，反比例函數與一次函數綜合，二次函數的圖象與性質等知識．熟練掌握一元二次方程的根與系數的關系，完全平方公式的變形，反比例函數與一次函數綜合，二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
11．（24-25九年級上·山東濰坊·期中）如圖，某兒童樂園的場地是長寬分別為，的矩形．兒童樂園進行改造升級，場地也進行擴充，將場地的長、寬增加相同的長度后，新場地仍是一個矩形．
(1)若擴充后的矩形場地面積為，求新的矩形場地的長與寬；
(2)兒童樂園改造升級后，經過調查發(fā)現，票價30元/人時游客數為每天500人，票價每提高1元，則游客減少10人，要使得兒童樂園日營業(yè)額達到1.6萬元，票價應定為多少元？
【答案】(1)新的矩形場地的長為，寬為；
(2)票價應定為40元/人
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
（1）設場地的長、寬增加，則新的矩形場地的長為，寬為，根據擴充后的矩形場地面積為，可列出關于的一元二次方程，解之可得出的值，再將其符合題意的值代入及中，即可求出結論；
（2）設票價應定為元人，則游客數為每天人，利用兒童樂園日營業(yè)額票價日游客數，可列出關于的一元二次方程，解之即可得出結論．
【詳解】（1）解：設場地的長、寬增加，則新的矩形場地的長為，寬為，
根據題意得：，
整理得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
，
．
答：新的矩形場地的長為，寬為；
（2）解：設票價應定為元人，則游客數為每天人，
根據題意得：，
整理得：，
解得：．
答：票價應定為40元人．
12．（24-25九年級上·山東青島·期中）閱讀下列材料，并完成相應的任務．
任務：根據上述材料，請你用幾何方法求方程的正數解．要求如下：
（1）在如圖所示的區(qū)域內畫出圖形，并標出相應的線段長度．
（2）根據（1）所畫圖形直接寫出方程的正數解是________．
拓展：
根據閱讀探究，你能否用“立體圖形的組合”，求特殊的一元三次方程的正根？
如：求方程的正根：
類比平面圖形的研究，可將此問題轉化成正方體來求解，現準備以下規(guī)格的立體圖形：
需要準備圖④中幾何體________塊；
需要準備圖⑤中幾何體________塊；
需要準備圖⑥中幾何體________塊；
需要準備圖⑦中幾何體________塊；
請直接寫出方程的正根________．
【答案】（1）圖見解析；（2）4；（3）1，3，3，1，7
【分析】本題考查了解一元二次方程，理解題意，明確一元二次方程的幾何解法是解題的關鍵
（1）由，作圖即可；
（2）由題意知，，即，進而可求正數解；
（3）由題意知，要準備圖④中幾何體1塊；需要準備圖⑤中幾何體3塊；需要準備圖⑥中幾何體3塊；需要準備圖⑦中幾何體1塊；則，進而可求正數根．
【詳解】（1）解：∵，
∴作圖如下；
（2）解：由題意知，，即，
∴方程的正數解是，
故答案為：4；
（3）解：由題意知，要準備圖④中幾何體1塊；需要準備圖⑤中幾何體3塊；需要準備圖⑥中幾何體3塊；需要準備圖⑦中幾何體1塊；
∴，
∴方程的正根，
故答案為：1，3，3，1，7．
13．（24-25九年級上·山東青島·期中）面向日益嚴峻的氣候變化形勢，以發(fā)展新能源汽車推動道路交通領域零碳轉型已成為全球共識．我國政府不斷加大對新能源汽車的支持和推動，新能源汽車的市場需求正在不斷增加．下表是一款某品牌新能源熱門車型7月份和9月份的全國銷量情況：
(1)求該款車銷量的月平均增長率．
(2)青島一個該品牌店購進一批該款車型進行銷售，已知進價為每輛6萬元．經試銷發(fā)現：當該款汽車售價為萬元時，平均每月銷量為150輛；而當售價每降低萬元時，平均每月就能多售出15輛．為了擴大銷量，該店決定降價促銷，若該店想要維持利潤不變，該款車的售價應為每輛多少萬元？
【答案】(1)該款車銷量的月平均增長率為
(2)下調后每輛汽車的售價為7萬元
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
（1）設該款車銷量的月平均增長率為，可得出關于的一元二次方程，解之取其正值，即可得出結論；
（2）設下調后每輛汽車的售價為萬元，則每輛汽車的銷售利潤為萬元，利用該店銷售該款汽車平均每周的銷售利潤每輛的銷售利潤每周的銷售量，可得出關于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．
【詳解】（1）解：設該款車銷量的月平均增長率為，
根據題意得：，
解得：（不符合題意，舍去）．
答：該款車銷量的月平均增長率為；
（2）解：設下調后每輛車的售價為萬元，則每輛汽車的銷售利潤為萬元，
根據題意得：，
整理得：，
解得：，
又∵為了擴大銷量，
，
答：下調后每輛汽車的售價為7萬元．
14．（24-25九年級上·山東臨沂·階段練習）某企業(yè)決定投資生產某種產品，已知投資生產該產品的有關數據如下：
其中年固定成本與生產的件數無關，另外年銷售x件該產品時需上交萬元的特別關稅．
(1)若產銷該產品的年利潤分別為y萬元，每年產銷x件，直接寫出y與x的函數關系式；
(2)問年產銷多少件產品時，年利潤為370萬元；
(3)當年產銷量為多少件時，獲得最大年利潤？最大年利潤是多少萬元？
【答案】(1)
(2)年產銷60件產品時，年利潤為370萬元；
(3)當年產銷量為100件時，獲得最大年利潤，最大年利潤是450萬元
【分析】題目主要考查二次函數的應用，理解題意，列出函數關系式求解是解題關鍵．
（1）根據題意直接列出函數關系式即可；
（2）根據（1）中結果得出方程求解即可；
（3）根據（1）中結果化簡為頂點式即可求解．
【詳解】（1）解：根據題意得：
；
（2）由（1）得，當時，
，
解得：或（不符合題意，舍去），
∴年產銷60件產品時，年利潤為370萬元；
（3）由（1）得，，
∵，
∴開口向下，存在最大值，
當時，最大值為450，
∴當年產銷量為100件時，獲得最大年利潤，最大年利潤是450萬元．
課標要求
考點
考向
1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程．
2．會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等．
3．了解一元二次方程的根與系數的關系．
4．能根據具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性.
一元二次方程
考向一一元二次方程的解法——配方法
考向二判斷一元二次方程根的情況
考向三由根的情況求參數
考向四根與系數的關系
考向五一元二次方程的實際應用
考向六一元二次方程與二次函數的綜合
考點一元二次方程
易錯易混
（1）運用配方法解方程時，通過移項、二次項系數化1后，整理成的形式，等號兩邊同時加，配成完全平方式.
（2）在配方時，等號右邊不要忘記加.
解題技巧
（1）：①時，方程有兩個不相等的實數根;②時，方程有兩個相等的實數根;③時，方程沒有實數根;
（2）在運用根的判別式判定根的情況時，首先要確定該方程是一元二次方程.
解題技巧
（1）只有在明確方程是一元二次方程時，才能用;
（2）方程有實數根，則若是一元二次方程，則;若是一元一次方程，則方程可化為，其中，或時;
（3）方程有兩個實數根，則可以確定①該方程是一元二次方程;②.
解題技巧
常見變形如下：
（1）；
（2）；
（3）
解題技巧
（1）圖象與x軸交點的橫坐標等于的解；
（2）解的個數即是圖象與x軸交點的個數；
（3）的解滿足；
探究：一元二次方程的幾何解法
通過學習，我們知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在數學史上，人類對一元二次方程的研究經歷了漫長的歲月．下面是9世紀阿拉伯數學家阿爾·花拉子米利用幾何法求解的過程：
解：，如圖①，分別以和為兩邊構造一個長方形；如圖②，把長方形分成一個面積是的正方形和兩個面積是的長方形；將圖②分割、拼接成圖③的圖形，則圖③陰影部分的面積是________，這樣就將兩條邊長分別為和的長方形變成一個邊長是的正方形．
根據圖③可以得到：________；
所以，方程的正數解________．
幾何法求解一元二次方程，只能得到正數解．
月份
7月
9月
銷量/萬輛
年固定成本（萬元）
每件成本（萬元）
每件售價（萬元）
每年最大產銷量（件）
50
8
18
110

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