?考向一 分式有意義的條件
1．（2024·湖南長沙·中考真題）要使分式有意義，則x需滿足的條件是 ．
【答案】
【分析】本題考查了分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件是解題的關鍵．
【詳解】解：∵分式有意義，
∴，解得，
故答案為：．
2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）在函數中，自變量的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】本題考查了求自變量的取值范圍，根據二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式組解答即可求解，掌握二次根式有意義的條件和分式有意義的條件是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意可得，，
解得且，
故答案為：且．
?考向二 分式為0的條件
3．（2024·山東濟南·中考真題）若分式的值為0，則的值是 ．
【答案】1
【分析】直接利用分式值為零的條件，則分子為零進而得出答案．
【詳解】∵分式的值為0，
∴x?1＝0，2x≠0
解得：x＝1．
故答案為：1．
【點睛】此題主要考查了分式值為零的條件，正確把握分式的相關性質是解題關鍵．
?考向三 分式的值
4．（2024·河北·中考真題）在平面直角坐標系中，我們把一個點的縱坐標與橫坐標的比值稱為該點的“特征值”．如圖，矩形位于第一象限，其四條邊分別與坐標軸平行，則該矩形四個頂點中“特征值”最小的是（ ）
A．點AB．點BC．點CD．點D
【答案】B
【分析】本題考查的是矩形的性質，坐標與圖形，分式的值的大小比較，設，，，可得，，，再結合新定義與分式的值的大小比較即可得到答案．
【詳解】解：設，，，
∵矩形，
∴，，
∴，，，
∵，而，
∴該矩形四個頂點中“特征值”最小的是點B；
故選：B．
5．（2024·四川雅安·中考真題）已知．則（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】本題考查的是條件分式的求值，由條件可得，再整體代入求值即可；
【詳解】解：∵，
∴，
∴
；
故選C
6．（2024·吉林·中考真題）當分式的值為正數時，寫出一個滿足條件的x的值為 ．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本題主要考查了根據分式的值的情況求參數，根據題意可得，則，據此可得答案．
【詳解】解：∵分式的值為正數，
∴，
∴，
∴滿足題意的x的值可以為0，
故答案為：0（答案不唯一）．
考向一 分式的加減
7．（2024·天津·中考真題）計算的結果等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查分式加減運算，熟練運用分式加減法則是解題的關鍵；運用同分母的分式加減法則進行計算，對分子提取公因式，然后約分即可．
【詳解】解：原式
故選：A
8．（2024·河北·中考真題）已知A為整式，若計算的結果為，則（ ）
A．xB．yC．D．
【答案】A
【分析】本題考查了分式的加減運算，分式的通分，平方差公式，熟練掌握分式的加減運算法則是解題的關鍵．
由題意得，對進行通分化簡即可．
【詳解】解：∵的結果為，
∴，
∴，
∴，
故選：A．
9．（2024·江蘇連云港·中考真題）下面是某同學計算的解題過程：
解：①
②
③
上述解題過程從第幾步開始出現錯誤？請寫出完整的正確解題過程．
【答案】從第②步開始出現錯誤，正確過程見解析
【分析】本題考查異分母分式的加減運算，先通分，然后分母不變，分子相減，最后將結果化為最簡分式即可．掌握相應的計算法則，是解題的關鍵．
【詳解】解：從第②步開始出現錯誤．
正確的解題過程為：
原式．
10．（2024·四川樂山·中考真題）先化簡，再求值：，其中．小樂同學的計算過程如下：
(1)小樂同學的解答過程中，第______步開始出現了錯誤；
(2)請幫助小樂同學寫出正確的解答過程．
【答案】(1)③
(2)見解析
【分析】本題考查了分式的化簡求值，異分母的分式減法運算，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
（1）第③步分子相減時，去括號變號不徹底；
（2）先通分，再進行分子相減，化為最簡分式后，再代入求值即可．
【詳解】（1）解：∵第③步分子相減時，去括號變號不徹底，
應為：；
（2）解：
當時，原式
11．（2024·四川廣安·中考真題）先化簡，再從，，，中選取一個適合的數代入求值．
【答案】，時，原式，a=2時，原式.
【分析】本題考查的是分式的化簡求值，先計算括號內分式的加減運算，再計算分式的除法運算，再結合分式有意義的條件代入計算即可.
【詳解】解：
且
∴當時，原式；
當時，原式.
考向二 分式的混合運算
12．（2024·四川眉山·中考真題）已知（且），，則的值為 ．
【答案】
【分析】此題考查了分式的混合運算，利用分式的運算法則計算得到每三個為一個循環(huán)，分別為，，，進一步即可求出．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
……，
由上可得，每三個為一個循環(huán)，
，
．
故答案為：．
13．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）對于一個二次函數（）中存在一點，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為 ．
【答案】4
【分析】本題考查新定義運算與二次函數綜合，涉及二次函數性質、分式化簡求值等知識，讀懂題意，理解新定義拋物線的“開口大小”，利用二次函數圖象與性質將一般式化為頂點式得到，按照定義求解即可得到答案，熟記二次函數圖象與性質、理解新定義是解決問題的關鍵．
【詳解】解：根據拋物線的“開口大小”的定義可知中存在一點，使得，則，
，
中存在一點，有，解得，則，
拋物線“開口大小”為，
故答案為：．
考向三 分式的化簡求值
14．（2024·四川·中考真題）化簡：．
【答案】
【分析】本題考查了分式的混合運算，熟記運算法則和運算順序是解決此題的關鍵．先將括號內的分式通分計算，然后將除法轉化為乘法，繼而約分即可求解．
【詳解】解：
．
15．（2024·西藏·中考真題）先化簡，再求值：，請為m選擇一個合適的數代入求值．
【答案】，取，原式．
【分析】本題考查了分式的化簡求值．原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時分子分解因式，約分得到最簡結果，把合適的m值代入計算即可求出值．
【詳解】解：
，
∵，，
∴，，
∴取，原式．
16．（2024·貴州·中考真題）（1）在①，②，③，④中任選3個代數式求和；
（2）先化簡，再求值：，其中．
【答案】（1）見解析 （2），1
【分析】本題考查分式的化簡求值和實數的混合運算，掌握運算法則是解題的關鍵．
（1）利用實數的混合運算的法則和運算順序解題即可；
（2）先把分式的分子、分母分解因式，然后約分化為最簡分式，最后代入數值解題即可．
【詳解】（1）解：選擇①，②，③，
；
選擇①，②，④，
；
選擇①，③，④，
；
選擇②，③，④，
；
（2）解：
；
當時，原式．
17．（2024·四川廣元·中考真題）先化簡，再求值：，其中a，b滿足．
【答案】，
【分析】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的化簡求值方法是解題的關鍵．先將分式的分子分母因式分解，然后將除法轉化為乘法計算，再計算分式的加減得到，最后將化為，代入即得答案．
【詳解】原式
，
，
原式．
考向四 零指數冪 負指數冪 分數指數冪
18．（2024·四川雅安·中考真題）計算的結果是（ ）
A．B．0C．1D．4
【答案】C
【分析】本題考查零指數冪，掌握“任何不為零的零次冪等于1”是正確解答的關鍵．
根據零指數冪的運算性質進行計算即可．
【詳解】解：原式．
故選：C．
19．（2024·山東淄博·中考真題）下列運算結果是正數的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】題考查了正數的定義，負整數指數冪的運算，絕對值的化簡，乘方，算術平方根的意義，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
根據正數的定義，負整數指數冪的運算，絕對值的化簡，乘方，算術平方根的意義計算選擇即可．
【詳解】解：A、是正數，符合題意；
B、是負數，不符合題意；
C、是負數，不符合題意；
D、是負數，不符合題意；
故選：A．
20．（2024·黑龍江綏化·中考真題）下列計算中，結果正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了負整數指數冪，完全平方公式，算術平方根，積的乘方，據此逐項分析計算，即可求解．
【詳解】解：A. ，故該選項正確，符合題意；
B. ，故該選項不正確，不符合題意；
C. ，故該選項不正確，不符合題意；
D. ，故該選項不正確，不符合題意；
故選：A．
21．（2024·內蒙古包頭·中考真題）若反比例函數，，當時，函數的最大值是，函數的最大值是，則 ．
【答案】/
【分析】此題主要考查了反比例函數的性質，負整數指數冪，正確得出與的關系是解題關鍵．直接利用反比例函數的性質分別得出與，再代入進而得出答案．
【詳解】解：函數，當時，函數隨的增大而減小，最大值為，
時，，
，當時，函數隨的增大而減大，函數的最大值為，
．
故答案為：．
22．（2024·黑龍江大慶·中考真題）求值：．
【答案】1
【分析】本題主要考查了實數運算．直接利用特殊角的三角函數值以及零指數冪的性質、絕對值的性質分別化簡即可得出答案．
【詳解】解：
．
23．（2024·廣東·中考真題）計算：．
【答案】2
【分析】本題主要考查了實數的運算，零指數冪，負整數指數冪，先計算零指數冪，負整數指數冪和算術平方根，再計算乘法，最后計算加減法即可．
【詳解】解：
．
24．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）計算：．
【答案】
【分析】本題考查了絕對值，二次根式，零指數冪等，掌握化簡法則是解題的關鍵．先化簡絕對值，二次根式，零指數冪，再根據實數的運算法則進行計算．
【詳解】解：
．
一、單選題
1．（2024·廣西桂林·一模）下列代數式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此題主要考查了分式定義：一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，且，那么式子叫做分式，關鍵是掌握分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．據此判定各式子即可．
【詳解】解：A、是單項式，不是分式，不符合題意；
B、是多項式，不是分式，不符合題意；
C、是分式，符合題意；
D、是多項式，不是分式，不符合題意，
故選：C．
2．（2024·河北·模擬預測）如圖，若，則的值在（ ）
A．第①段B．第②段C．第③段D．第④段
【答案】D
【分析】本題考查了分式的值．把代入即可求出分式的值，再看值的點落在的位置．
【詳解】解：
，
∵，
∴原式，
∵，
∴的值在落在段④，
故選：D．
3．（2024·安徽·三模）化簡的結果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查的是分式的混合運算，先去括號，再通分，計算分式的減法運算即可．
【詳解】解：
；
故選B
4．（2024·山西太原·二模）下列運算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了同底數冪的乘法、多項式除以單項式、分式的乘方和合并同類項，根據同底數冪的乘法、多項式除以單項式、分式的乘方和合并同類項法則逐項判斷即可．
【詳解】解：A、，本選項不符合題意；
B、與不是同類項，不能合并，本選項不符合題意；
C、，本選項不符合題意；
D、，本選項符合題意；
故選：D．
5．（2024·河北邢臺·模擬預測）化簡，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了分式的乘除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵；
先計算乘方運算，在計算乘除運算即可得到結果．
【詳解】
；
故選：D．
6．（2024·重慶·模擬預測）將分式中x，y同時擴大10倍，則分式的值將（ ）
A．擴大10倍B．擴大100倍C．擴大100倍D．擴大1000倍
【答案】D
【分析】本題考查了分式的基本性質．解題關鍵是抓住分子、分母變化的倍數，解此類題首先把子母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結論．
將原式中的分別用代替，化簡后與原分式進行比較即可得到答案．
【詳解】解：將分式中的的值同時擴大為原來的10倍，
則原式變?yōu)椋?br>∴分式的值擴大1000倍，
故選：D．
7．（2024·河北秦皇島·一模）若，則下列各式的值與P的值一定相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了分式的基本性質，根據分式的基本性質針對四個選項進行分析即可．
【詳解】A、不能再化簡，故本選項不符合題意；
B、不能再化簡，故本選項不符合題意；
C、，故本選項符合題意；
D、，故本選項不符合題意；
故選：C．
8．（2024·河北邯鄲·三模）甲、乙、丙、丁四位同學在進行分式接力計算過程中，開始出現錯誤的同學是（ ）
化簡：
甲同學：原式；
乙同學：；
丙同學：；
丁同學．
A．甲同學B．乙同學C．丙同學D．丁同學
【答案】B
【分析】本題考查了分式的化簡，熟練掌握分式的基本性質，化簡的基本技能是解題的關鍵．
【詳解】解：
，
∴開始出現錯誤的同學是乙同學，
故選B．
9．（2024·河南南陽·模擬預測）若的運算結果為整式，則△代表的式子可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了分式的混合運算，把四個選項中的式子代入，再根據分式的運算法則進行計算，最后根據求出的結果得出選項即可．
【詳解】解：
．當△代表的式子為，原式是分式，故該選項不符合題意；
．當△代表的式子為，原式等于是分式，故該選項不符合題意；
．當△代表的式子為，原式是整式，故該選項符合題意；
．當△代表的式子為，原式是分式，故該選項不符合題意；
故選：C．
10．（2024·河北·模擬預測）化簡的結果正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了分式的乘方．熟練掌握分式乘方的法則，冪乘方法則，是解決問題的關鍵．分式乘方等于分子分母分別乘方，冪乘方底數不變，指數相乘．
運用分式乘方的法則和冪乘方的法則逐一判定，即得．
【詳解】A、，∴A不正確；
B、，∴B不正確；
C、，∴C不正確；
D、，∴D正確．
故選：D．
11．（2024·四川南充·三模）已知，，則的值是（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】B
【分析】此題考查分式的混合運算，根據題意得到，再代入所求代數式，進行分式的混合運算即可得到答案．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴
故選：B
二、填空題
12．（2024·湖北武漢·模擬預測）計算 ．
【答案】
【分析】本題考查了分式的加法運算，先通分再合并計算即可．
【詳解】解：
．
故答案為：．
13．（2024·吉林長春·一模）計算： ．
【答案】2023
【分析】此題考查了負整數指數冪，有理數的乘方，解題的關鍵是掌握以上運算法則．
首先計算負整數指數冪，有理數的乘方，然后計算加減．
【詳解】解：
，
故答案為：2023．
14．（2024·湖北·模擬預測）計算： ．
【答案】
【分析】本題主要考查了實數混合運算，根據零指數冪和負整數指數冪運算法則進行計算即可．
【詳解】解：．
故答案為：．
15．（2024·浙江臺州·模擬預測）分式方程，各分母的最簡公分母是 ．
【答案】
【分析】本題考查了解分式方程，最簡公分母，要注意：通常取各分母系數的最小公倍數與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母，掌握最簡公分母是解題的關鍵．
根據最簡公分母的定義即可得出答案．
【詳解】解：分式方程，各分母的最簡公分母是，
故答案為：．
16．（2024·寧夏銀川·三模）若，則分式的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了分式的化簡求值．先把分子分母因式分解，再約分化簡，然后整體代值即可得出答案．
【詳解】解：，
．
故答案為：．
17．（2024·湖南·模擬預測）當時，分式的值為0，則的值為 ．
【答案】3
【分析】本題主要考查了分式值為零的知識，熟練掌握分式為零的特征是解題關鍵．若分式值為0，則有分母不為0，分子為0，據此即可獲得答案．
【詳解】解：當時，若分式的值為0，
則有，，
解得．
故答案為：3．
18．（2024·重慶·二模）當時，分式無意義，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了分式有意義的條件，根據分式無意義，分母等于0分別列方程求解即可．
【詳解】∵當時，分式無意義，
∴當時，，
代入得，解得，
故答案為：．
19．（2024·天津河北·模擬預測）有一個計算程序，每次運算都是把一個數先乘2，再除以它與1的和，多次重復進行這種運算的過程如下：
則第n次的運算結果是 (用含字母x和n的代數式表示)．
【答案】
【分析】此題考查了分式的規(guī)律題，根據分式的除法法則逐項計算，得到規(guī)律即可．
【詳解】解：根據題意得；
；
；
……
根據以上規(guī)律可得：．
20．（2024·江蘇揚州·三模）能使分式值為整數的整數有 個．
【答案】
【分析】此題主要考查了分式的值，正確化簡分式是解題關鍵．將轉化為，進一步求解即可．
【詳解】解：，
∵分式的值為整數，
∴的值為整數，
∴，
∵也是整數，
∴，
解得：；
∴能使分式值為整數的整數有個．
故答案為：．
21．（2024·河北秦皇島·模擬預測）已知，，計算 ．若的值為正整數，則滿足條件的所有整數a的和為 ．
【答案】 16
【分析】本題考查的是分式的混合運算，分式的值為整數，根據分式的混合運算法則求得，再根據的值為正整數，可得或2或3或6，即可求解．理解分式的值為整數時對分式的分子與分母的要求是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意可得：
，
∵的值為正整數，為整數
∴或2或3或6，
∴符合題意的，3，4，7，
∴滿足條件的所有整數a的和為，
故答案為：，16．
三、解答題
22．（2024·山西·模擬預測）（1）計算：．
（2）下面是小明同學解不等式的過程，請認真閱讀并完成相應的任務．
任務一：
填空：
①以上解題過程中，第一步是依據____________進行變形的；
②第____________步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是____________．
任務二：
請直接寫出該不等式的正確解集．
【答案】（1）；（2）任務一：①不等式的基本性質．②三；移項時，的符號沒有改變．任務二：
【分析】（1）首先計算負整數指數冪，化簡絕對值，計算特殊角的三角函數值，然后計算加減；
（2）任務一：①根據不等式的基本性質求解即可；
②根據移項的性質求解即可；
任務二：不等式去分母，去括號，移項合并，把x系數化為1，即可求出解．
【詳解】（1）
；
（2）任務一：①以上解題過程中，第一步是依據不等式的基本性質進行變形的；
②第三步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是移項時，的符號沒有改變；
任務二：
．
【點睛】此題考查了負整數指數冪，化簡絕對值，特殊角的三角函數值，解一元一次不等式，解題的關鍵是掌握以上運算法則
23．（2024·湖南長沙·模擬預測）小明和小強一起做游戲，他們面前有大小相同的三張寫著分式的卡片，要求組成，或的形式，再進行化簡，然后兩人均取一個相同的，代入計算分式的值．
A． B． C．
(1)小明發(fā)現其中有一個分式還可以進行約分，這個分式是______，約分的依據為______．
(2)請你幫他們在兩個形式中選擇一個進行化簡求值．
【答案】(1)C，分式的分子和分母同除以同一個非零數時，這個分式的大小不會改變
(2)，
【分析】本題考查了約分以及分式混合運算，注意計算的準確性即可．
（1）C可進一步約分；
（2）利用分式的混合運算法則即可求解；
【詳解】（1）解：∵
故答案為：C，分式的分子和分母同除以同一個非零數時，這個分式的大小不會改變
（2）解：

24．（2024·浙江·模擬預測）觀察下面的一列數：，，，…
(1)嘗試：；__________；__________．
(2)歸納：__________．
(3)推理：運用所學知識，推理說明你歸納的結論是正確的．
【答案】(1)；
(2)
(3)見解析
【分析】此題考查了分式的加減混合運算，解題的關鍵是掌握以上運算法則．
（1）根據題意代數求解即可；
（2）根據（1）的規(guī)律求解即可．
（3）首先根據分式的加減運算求出，，然后代入求解即可；
【詳解】（1）；
；
（2）；
（3）
∴．
25．（2024·上海長寧·三模）計算： ．
【答案】0
【分析】本題主要考查了分母有理化，實數的運算，負整數指數冪和分數指數冪，先計算分數指數冪，負整數指數冪和分母有理化，再去絕對值，最后計算加減法即可．
【詳解】解：
．
．
26．（2024·安徽合肥·三模）觀察下列各式，并回答后面的問題．
第一個式子：；第二個式子：；第三個式子：；
第四個式子：；第五個式子：；?
(1)第六個式子為：______；
(2)求第個式子，并證明．
【答案】(1)
(2)，證明見解析
【分析】本題考查分式運算的規(guī)律探索及運算，熟練找出第個式子和的關系是解題的關鍵．
（1）尋找規(guī)律，即可得出；
（2）先找出規(guī)律，再利用分式的運算法則證明即可．
【詳解】（1）解：第六個式子為：；
（2）解：，
證明：
．
27．（2024·吉林長春·模擬預測）已知：，，求的值．
【答案】
【分析】本題考查的是整式的乘法與乘法公式的靈活應用，一元二次方程的解法，由結合可得，設，，進一步可得，求解的值，再進一步求解可得答案；
【詳解】解：∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
設，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，（不符合題意，舍去）
∴
；
課標要求
考點
考向
了解分式和最簡分式的概念。
能利用分式的基本性質進行約分和通分。
能對簡單的分式進行加、減、乘、除運算。
分式的概念及其性質
考向一 分式有意義的條件
考向二 分式為0的條件
考向三 分式的值
分式的運算
考向一 分式的加減
考向二 分式的混合運算
考向三 分式的化簡求值
考向四 零指數冪 負指數冪 分數指數冪
考點一 分式的概念及其性質
考點二 分式的運算
解：…①
…②
…③
…④
…⑤
當時，原式．
．
解：，第一步
，第二步
，第三步
，第四步
．第五步

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