一、單選題（本大題共8小題）
1．已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點，則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
2．兩條平行直線與之間的距離（ ）
A．B．C．D．7
3．設(shè)直線，，則是的（ ）
A．充要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
4．若直線l經(jīng)過，兩點，則直線l的傾斜角α的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．“太極圖”因其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽魚太極圖”．如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點是陰影部分（包括邊界）的動點，則的最小值為（ ）

A．B．C．D．
6．若第一象限內(nèi)的點關(guān)于直線的對稱點在直線上，則的最小值是（ ）
A．25B．C．17D．
7．已知直線：上存在點A，使得過點A可作兩條直線與圓：分別切于點M，N，且，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，點P為直線上的一點，點Q為圓上的一點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．在平面直角坐標系中，下列四個結(jié)論中正確的是（ ）
A．每一條直線都有點斜式和斜截式方程
B．傾斜角是鈍角的直線，斜率為負數(shù)
C．方程與方程表示同一條直線
D．直線過點，傾斜角為，則其方程為
10．下列說法正確的是（ ）
A．直線的傾斜角的取值范圍為
B．“”是“點到直線距離為3”的充要條件
C．直線恒過定點
D．直線與直線垂直，且與圓相交
11．設(shè)動直線交圓于A，B兩點（點C為圓心），則下列說法正確的有（ ）
A．直線l過定點B．當取得最大值時，
C．當最小時，其余弦值為D．的最大值為6
三、填空題（本大題共3小題）
12．直線被圓截得的弦長為 .
13．若直線與曲線恰有一個公共點，則實數(shù)b的取值范圍為 ．
14．過圓：上一點作圓：的兩切線，切點分別為，，設(shè)兩切線的夾角為，當取最小值時， .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知直線，，分別求的取值范圍，使得：
(1)；
(2)．
16．在平面直角坐標系中，已知四點.
(1)求過三點的圓方程，并判斷點與圓的位置關(guān)系；
(2)過點的直線被圓截得的弦長為4，求直線的方程.
17．已知線段AB的端點B的坐標是，端點A在圓上運動，M是線段AB的中點，
(1)求點M的軌跡方程；
(2)記（1）中所求軌跡為曲線C，過定點的直線l與曲線C交于P，Q兩點，曲線C的中心記為點C，求面積的最大值，并求此時直線l的方程．
18．已知直線方程為，其中.
(1)求直線恒過定點的坐標.當變化時，求點到直線的距離的最大值及此時的直線方程；
(2)若直線分別與軸?軸的負半軸交于兩點，求面積的最小值及此時的直線方程.
19．已知圓的圓心在軸上，且圓經(jīng)過點、．
(1)求圓的方程；
(2)已知點為圓與軸正半軸的交點，直線交圓于、兩點（點、異于點），若直線、的斜率之積為，直線是否過定點?如果過定點，請求出過定點坐標；如果不過，請說明理由．
參考答案
1．【答案】C
【詳解】由題意知：直線的斜率為，則直線的方程為.
故選：C.
2．【答案】C
【詳解】由已知兩條直線平行，得，所以，
所以直線可化為，則兩平行線間的距離.
故選：C.
3．【答案】C
【詳解】當時，直線，，
此時，則，所以，故充分性成立；
當時，，解得或，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：C.
4．【答案】B
【詳解】直線l經(jīng)過，兩點，
則,即，
由于，則α為銳角，故，
故選：B
5．【答案】C
【分析】轉(zhuǎn)化為點與連線的斜率，數(shù)形結(jié)合后由直線與圓的位置關(guān)系求解，
【詳解】記，則為直線的斜率，
故當直線與半圓相切時，得k最小，
此時設(shè)，故，解得或（舍去），
即．
故選：C.
6．【答案】B
【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，依據(jù)題意可得：
，解方程組得，又對稱點在直線上，代入可得
，且在第一象限，則，則，當且僅當時，即時，等號成立.
故選：B
7．【答案】C
【詳解】由可得，
圓心，半徑，
過點A可作兩條直線與圓：分別切于點M，N，
連接，如圖，
由知，，又，
所以，
由題意，只需直線上存在與圓心距離為的點即可，
即圓心到直線的距離，
解得，
故選：C
8．【答案】D
【詳解】設(shè)，令，
則
，則M.
如圖，當三點共線時，且垂直于直線時，有最小值，為，即直線到點M距離，為.
故選：D
9．【答案】BD
【詳解】對于A，斜率不存在的直線無點斜式和斜截式方程，故A選項錯誤；
對于B，傾斜角是鈍角的直線，其傾斜角的正切值為負數(shù)，直線斜率為負數(shù)，故B選項正確；
對于C，方程表示直線去掉點，與方程不表示同一直線，故C選項錯誤；
對于D，直線過點，傾斜角為，則其方程為，正確．
故選：BD
10．【答案】ACD
【詳解】因為所以斜率，則，
令傾斜角為，則，又，
解的,故選項A正確.
由點到直線距離為3，可得，
解的或，故選項B錯誤.
,可得，令可得，
所以必過點,故選項C正確；
直線與直線中斜率分別為，乘積為，故而垂直，
原點到距離，故而與圓相交，
故選項D正確；
故選：ACD.
11．【答案】ACD
【詳解】解：對于A：由整理得，當，即時，不論為何值時，都成立，所以直線l過定點，故A正確；
對于B：因為直線l過定點，將定點代入圓，所以定點在圓C的內(nèi)部，當直線l過圓心時，取得最大值，此時，解得，故B不正確；
對于C：設(shè)直線l過的定點，當時，最小，
而，所以，所以在中，，故C正確；
對于D：，而表示在方向 上的投影，所以當共線，且方向相同時，取得最大值，此時，所以的最大值為6，故D正確，
故選：ACD.
12．【答案】
【詳解】圓的圓心為原點，半徑為，
圓心到直線的距離為，
所以，直線被圓截得的弦長為.
故答案為：.
13．【答案】
【詳解】曲線，即，表示以原點為圓心、1為半徑的半圓（位于y軸及右側(cè)的部分），如圖，

當直線經(jīng)過點時，；當直線經(jīng)過點時，；
當直線和圓相切時，由圓心到直線的距離等于半徑可得，求得（舍去），或，
觀察圖象，得當直線與曲線恰有一個公共點，實數(shù)b的取值范圍為.
故答案為：
14．【答案】/
【詳解】由題意可得，
圓的圓心，半徑，
圓的圓心，半徑，
則，
當取最小值時，則取得最小值，
，
此時，
又為銳角，所以，
所以，
即當取最小值時，.
故答案為：.
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：因為直線，滿足，
所以，即，解得.
所以，當時，.
（2）解：因為直線，滿足，
所以，解得.
所以，當時，.
16．【答案】(1)，在圓上
(2)或
【詳解】（1）設(shè)圓方程為
把三點坐標代入可得：，
解得，
所以圓方程是
把點坐標代入可得：，故在圓上.
（2）由，得，
所以圓心，半徑為，
因為弦長等于4，所以圓心到直線距離為，
當直線的斜率不存在時，即方程為，圓心到直線距離為1，滿足題意
若直線的斜率存在，設(shè)直線方程為
圓心到直線的距離，解得
所以過點的直線為或.
17．【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）解：設(shè)點，由點的坐標為，且是線段的中點，
則，可得，即，
因為點在圓上運動，所以點點坐標滿足圓的方程，
即，整理得，
所以點的軌跡方程為.

（2）解：過點定點1,0的直線與曲線交于兩點，則直線的斜率一定存在且不為，
設(shè)直線，即，
則圓心到直線的距離為，
又因為，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以時，取得最大值，此時，解得或，
所以取得最大值，此時直線的方程為或.

18．【答案】(1)直線恒過定點，，
(2)4，
【詳解】（1）直線方程為，
可化為對任意都成立，
所以，解得，所以直線恒過定點.
設(shè)定點為，當變化時，時，
點到直線的距離最大，可知點與定點的連線的距離就是所求最大值，
即，此時直線過點且與垂直，
∴，解得故直線的方程為
（2）由于直線經(jīng)過定點.直線的斜率存在且，
可設(shè)直線方程為可得與軸?軸的負半軸交于，兩點∴，，解得.
∴
當且僅當時取等號，面積的最小值為4，
此時直線的方程為：，即：.
19．【答案】(1)
(2)過定點，理由見解析
【詳解】（1）解：設(shè)圓心，由可得，
解得，圓的半徑為，
因此，圓的方程為.
（2）解：在圓的方程中，令，可得，解得，即點，
當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，
聯(lián)立可得，
，整理可得，
由韋達定理可得，，
，，
由題意可得，
整理可得，
所以，，
因為直線不過點，則，
所以，，整理可得，
此時，直線的方程可化為，
則直線過定點；

當直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，則，
聯(lián)立，解得，
取點、，
所以，，解得，不合乎題意，舍去.
綜上所述，直線恒過定點.
2024-2025學(xué)年江蘇省揚州市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)階段檢測
試題（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．已知直線經(jīng)過，兩點，則該直線的傾斜角為（ ）
A．30°B．45°C．135°D．150°
2．過點且垂直于直線的直線方程為（ ）
A．B．C．D．
3．已知圓，則圓的半徑為（ ）
A．B．C．D．
4．已知點到直線的距離為，則等于（ ）
A．B．C．D．
5．圓在點處的切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
6．直線關(guān)于直線對稱的直線方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺之后黃昏時從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，已知軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A．B．5C．D．
8．已知圓．動直線于圓C交于A，B兩點，線段的中點為P，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列說法錯誤的是（ ）
A．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件
B．經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為
C．過，兩點的所有直線的方程為
D．直線的傾斜角的取值范圍是
10．已知動點P到原點O與到點的距離之比為2：1，動點P的軌跡記為C，直線，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．C的方程為
B．動點P到直線l的距離的取值范圍為
C．直線l被C截得的弦長為
D．C上存在三個點到直線l的距離為
11．已知圓M：，點P是直線l：上一動點，過點P作圓M的切線PA，PB，切點分別是A，B，下列說法正確的有（ ）
A．圓M上恰有一個點到直線l的距離為B．切線長PA的最小值為1
C．四邊形AMBP面積的最小值為2D．直線AB恒過定點
三、填空題（本大題共3小題）
12．直線，，若，則實數(shù)a的值是 ．
13．一束光沿直線射入，遇到直線發(fā)生反射，則反射光線所在直線方程為 .
14．若A，B是平面內(nèi)不同的兩定點，動點滿足（且），則點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故被稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知是圓上的動點，點，，則的最大值為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知直線，.
(1)若直線l與直線垂直，求實數(shù)的值
(2)若直線l在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍，求直線l的方程.
16．已知的頂點坐標為，，.
(1)求的邊上的高所在直線的方程；
(2)求直線AB的方程及的面積.
17．在平面直角坐標系中，直線x+y+3＝0與圓C相切，圓心C的坐標為(1,1)．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)直線y＝kx+2與圓C沒有公共點，求k的取值范圍；
（3）設(shè)直線y＝x+m與圓C交于M，N兩點，且OM⊥ON，求m的值．
18．已知圓：，
(1)若過定點的直線與圓相切，求直線的方程；
(2)若過定點且傾斜角為30°的直線與圓相交于，兩點，求線段的中點的坐標；
(3)問是否存在斜率為1的直線，使被圓截得的弦為，且以為直徑的圓經(jīng)過原點？若存在，請寫出求直線的方程；若不存在，請說明理由.
19．已知圓的圓心在直線上，與軸正半軸相切，且截直線所得的弦長為4.
(1)求圓的方程；
(2)設(shè)點在圓上運動，點，M為線段AB上一點且滿足，記點的軌跡為曲線.
①求曲線的方程，并說明曲線的形狀；
②在直線上是否存在異于原點的定點，使得對于上任意一點，為定值，若存在，求出所有滿足條件的點的坐標，若不存在，說明理由.
參考答案
1．【答案】C
【詳解】由題意，直線，又傾斜角，故直線的傾斜角.
故選：C
2．【答案】A
【詳解】解：由題意可得直線的斜率為，
則過點且垂直于直線的直線斜率為，
直線方程為，
化為一般式為．
故選：A．
3．【答案】A
【詳解】解：由，得，
所以圓半徑為3，
故選：A
4．【答案】C
【詳解】解：由題意得．
解得或．，．
故選：C.
5．【答案】D
【詳解】將圓的方程化為標準方程得，
∵點在圓上，∴點P為切點．
從而圓心與點P的連線應(yīng)與切線垂直．
又∵圓心為，設(shè)切線斜率為k，
∴，解得．
∴切線方程為．
故選：D.
6．【答案】D
【分析】
設(shè)所求直線上任一點（x，y），關(guān)于x=1的對稱點求出，代入已知直線方程，即可得到所求直線方程．
【詳解】
設(shè)所求直線上任一點（），則它關(guān)于對稱點為在直線上，∴化簡得故選答案D．
故選D．
【點睛】
本題考查了相關(guān)點法：求軌跡方程法屬于基礎(chǔ)題．
7．【答案】A
【分析】利用點關(guān)于直線對稱點，找出最短路程.
【詳解】先找出B關(guān)于直線的對稱點C再連接AC即為“將軍飲馬”的最短路程.
如圖所示，
設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，在直線上取點P，連接PC，則．由題意可得，解得，即點，所以，當且僅當A，P，C三點共線時等號成立，所以“將軍飲馬”的最短總路程為．
故選A．
8．【答案】B
【詳解】由題意知，圓C：，得圓心C(4，0)，半徑為4，
，得直線l過定點，
設(shè)，則，
根據(jù)題意，得，所以，有，
即，
所以中點P的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以，
所以，，
所以的取值范圍為，
故選：B
9．【答案】ABC
【分析】利用直線的垂直的充要條件判定A；利用直線截距式方程判定B；利用直線的兩點式的使用條件判定C；利用直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系判定D.
【詳解】對于A：當時，“直線與直線互相垂直”，當直線與直線互相垂直，解得或a=0，故“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件，故A錯誤；
對于B：經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為：①經(jīng)過原點的直線，②不經(jīng)過原點，設(shè)直線在坐標軸上的截距為a，設(shè)直線方程，所以，解得，即，故B錯誤；
對于C：過，(且，) 兩點的所有直線的方程，故C錯誤；
對于D：直線的傾斜角，則，由正切函數(shù)性質(zhì)可知斜角的取值范圍是，故B正確.
故選：ABC
10．【答案】ACD
【詳解】設(shè)，因為，所以，
所以C的方程為，故A正確；
因為圓心到直線的距離，其中r為圓C的半徑，
所以直線l與圓C相交，且直線l被C截得的弦長為，故C正確；
動點P到直線l的距離的取值范圍為，故B錯誤，D正確．
故選：ACD．
11．【答案】BD
【分析】利用圓心到直線的距離可判斷A，利用圓的性質(zhì)可得切線長利用點到直線的距離可判斷B，由題可得四邊形AMBP面積為，可判斷C，由題可知點A，B，在以為直徑的圓上，利用兩圓方程可得直線AB的方程，即可判斷D.
【詳解】由圓M：，可知圓心，半徑，
∴圓心到直線l：的距離為，圓M上恰有一個點到直線l的距離為，故A錯誤；
由圓的性質(zhì)可得切線長，
∴當最小時，有最小值，又，
∴，故B正確；
∵四邊形AMBP面積為，
∴四邊形AMBP面積的最小值為1，故C錯誤；
設(shè)，由題可知點A，B，在以為直徑的圓上，又，
所以，即，
又圓M：，即，
∴直線AB的方程為：，即，
由，得，即直線AB恒過定點，故D正確.
故選：BD.
12．【答案】
【詳解】依題意，
當時，直線為：，直線為：，
此時與不平行，不符合題意；
當時，直線的斜率，直線的斜率，
因為，所以，即，
解得：，
當時，與重合，不符合題意，
所以.
故答案為：.
13．【答案】
【詳解】聯(lián)立，解得，則直線與直線的交點為.
設(shè)直線上的點關(guān)于直線的對稱點為，
線段的中點在直線上，則，整理得.
直線的斜率為，直線與直線垂直，則，整理得.
所以，，解得，即點.
所以，反射光線所在直線的斜率為，
因此，反射光線所在直線的方程為，即.
故答案為：.
14．【答案】
【分析】設(shè)，求出，然后將求的最大值問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題，數(shù)形結(jié)合即可得答案.
【詳解】由題意得設(shè)，，
所以，則，
由于是圓上的點，
所以，
所以，解得，即，
所以，如圖，
所以的最大值為，
故答案為：.
15．【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可；
（2）求出在坐標軸上的截距，由條件求出，即可得出直線方程.
（1）
因為直線l與直線垂直，
所以，解得或.
（2）
令，得，令，，
由題意知，解得或，
所以直線l的方程為或.
16．【答案】(1)；
(2)直線方程是，的面積是18
【詳解】（1）根據(jù)兩點的斜率公式,可得，
根據(jù)兩條直線垂直時的斜率關(guān)系可知,所求直線的斜率為1，
而高線經(jīng)過點,由直線斜截式方程得，
故所求直線方程是.
（2）根據(jù)兩點的斜率公式,可得，
又因為經(jīng)過點,所以由直線斜截式方程得，
故直線方程是，
由兩點間距離公式可得,
由點到直線距離公式，可得點到的距離是,
所以的面積是.
17．【答案】（1）；（2）；（3）.
【詳解】（1）∵直線與圓C相切，且圓心C的坐標為，
∴圓C的半徑，
則圓C的方程為；
（2）∵直線y＝kx+2與圓C沒有公共點，
∴點到直線的距離，解得，
∴k的取值范圍為；
（3）聯(lián)立，得，
由，解得，
設(shè)，
則，
∵，∴，
即，
∴，解得，符合題意，
∴．
18．【答案】(1)或
(2)
(3)存在，或
【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為：
聯(lián)立直線與圓的方程并整理得：
所以，，
從而，直線的方程為：或；
（2）根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為：
代入圓方程得：，顯然，
設(shè)，，則，
所以點的坐標為
（3）假設(shè)存在這樣的直線：
聯(lián)立圓的方程并整理得：
當
設(shè)，，則，
所以
因為以為直徑的圓經(jīng)過原點，所以，，
∴，即
均滿足.
∴，
所以直線的方程為：或.
（3）法二：可以設(shè)圓系方程
則圓心坐標，圓心在直線上，
得 ①
且該圓過原點，得 ②
由①②，求得或
所以直線的方程為：或.
19．【答案】(1)
(2)①，曲線是為圓心，為半徑的圓.
②不存在，理由見解析.
【詳解】（1）令且，易知圓的半徑為，
∴圓的方程為，聯(lián)立，整理可得，
若與圓交點橫坐標分別為、，則，，
∴，解得，又，即，
∴圓的方程為.
（2）①設(shè)，，則，，而，
∴，則，又在圓上，
∴曲線的方程為，故曲線是為圓心，為半徑的圓.
②設(shè)且，，
∴要使為定值，即為定值即可，則，
∴，又，則，
∴，
∴，可得，又異于原點，
∴不存在，使上任意一點有為定值.

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2024-2025學(xué)年河南省漯河市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷合集2套（附解析）：

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