1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。
3．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為（ ）
A．B．C．D．
2．若向量是直線的一個(gè)方向向量，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
3．定義運(yùn)算：．已知，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知，兩點(diǎn)到直線的距離相等，求的值（ ）
A．B．C．或D．或
5．從1984年第23屆洛杉磯夏季奧運(yùn)會到2024年第33屆巴黎夏季奧運(yùn)會，我國獲得的夏季奧運(yùn)會金牌數(shù)依次為15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，這11個(gè)數(shù)據(jù)的60％分位數(shù)是（ ）
A．16B．30C．32D．51
6．關(guān)于的方程有一根為1，則一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．銳角三角形D．鈍角三角形
7．如圖，在直三棱柱中，，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，則有（ ）
A．最小值B．最大值C．最小值D．最大值
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。（答案有兩個(gè)選項(xiàng)只選一個(gè)對得3分，錯(cuò)選不得分；答案有三個(gè)選項(xiàng)只選一個(gè)對得2分，只選兩個(gè)都對得4分，錯(cuò)選不得分）
9．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．向量與的夾角的余弦值為
C．點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為D．向量在上的投影向量為
10．從今年起年內(nèi)，小李的年薪（萬元）與年數(shù)的關(guān)系是，小馬的年薪（萬元）與年數(shù)的關(guān)系是，則下列判斷正確的有（ ）
A．5年后小馬的年薪超過小李B．6年后小馬的年薪超過小李
C．小馬的年薪比小李的增長快D．小馬的年薪比小李的增長慢
11．已知內(nèi)角、、的對邊分別是、、，，則（ ）
A．B．的最小值為3
C．若為銳角三角形，則D．若，，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是__________．
13．已知是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，滿足
，則__________．
14．如圖，正方體的棱長為3，在棱上有一動點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，當(dāng)時(shí)，則此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離__________．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15．（13分）已知直線．
（1）若直線不經(jīng)過第二象限，求的取值范圍；
（2）若直線與軸、軸正半軸分別交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求此時(shí)相應(yīng)的直線的方程．
16．（15分）已知函數(shù)．
（1）若，解不等式；
（2）若關(guān)于的方程有解，求的取值范圍．
17．（15分）如圖，在四棱錐中，底面四邊形是正方形，，底面，是線段的中點(diǎn)，在線段上，．
（1）證明：平面；
（2）在線段上，與所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值．
18．（17分）在神舟十五號載人飛行任務(wù)取得了圓滿成功的背景下，某學(xué)校高一年級利用高考放假期間組織1200名學(xué)生參加線上航天知識競賽活動，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：
（1）若從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人，求10人中成績不高于50分的人數(shù)；
（2）求的值，并以樣本估計(jì)總體，估計(jì)該校學(xué)生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)；
（3）由首輪競賽成績確定甲、乙、丙三位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，丙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，甲、乙、丙是否獲優(yōu)秀等級互不影響，求三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率．
19．（17分）在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且．
（1）求角的大小；
（2）點(diǎn)是上的一點(diǎn)，，且，求周長的最小值．
數(shù)學(xué)參考答案
1．D【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的實(shí)部為，故選：D．
2．A【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，若向量是直線的一個(gè)方向向量，則直線的斜率為，因?yàn)?，所以．故選：A．
3．D【詳解】依題意，，則，故．故選：D．
4．C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，到直線的距離相等，所以，即，化簡得，解得或．故選：C．
5．C【詳解】把11個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51，因?yàn)?，這11個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列第7個(gè)是32．故選：C．
6．A【詳解】因?yàn)?是的根，所以，
又，
所以有，，整理可得，，即．因?yàn)椋?，，所以．則由可得，，所以．所以一定是等腰三角形．故選：A．
7．D【詳解】把直三棱柱補(bǔ)成一個(gè)底面為菱形的直四棱柱，如圖所示：因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，所以為等邊三角形，所以，，所以，因?yàn)闉檫呴L為的等邊三角形，所以，又因?yàn)椋栽谥校捎嘞叶ɡ砜傻?，故異面直線與所成角的余弦值為．故選：D．
8．B【詳解】解：，令，，，任取且，則，，
所以，
則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，故．故選：B．
9．BD【詳解】記，，
對于A，，故A錯(cuò)誤；
對于B，，，，設(shè)與的夾角為，則，故B正確；
對于C，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，故C錯(cuò)誤；
對于D，在上的投影向量為，D正確．故選：BD
10．BC【詳解】易知指數(shù)函數(shù)的增長速度更快，故C正確，D錯(cuò)誤；
畫出函數(shù)和的圖象，從圖象中觀察，可知在這8年內(nèi)先是小馬的年薪低，后來超過了小李，令，則，，所以存在，當(dāng)時(shí)，，由于，所以至少經(jīng)過6年，小馬的年薪超過小李的年薪，即A錯(cuò)誤，B正確；故選：BC．
11．ABC【詳解】對于A，由，得，
由正弦定理得，由余弦定理得，則，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，又，則，，，
于是，因此，A正確；
對于B，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，B正確；
對于C，由正弦定理得，
由為銳角三角形，，得，則，，因此，C正確；
對于D，由，，，得，D錯(cuò)誤．故選：ABC
12．【詳解】聯(lián)立，解得，故直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)與直線垂直的直線方程是．將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入該方程，得，解得．所以所求直線方程為．故答案為：
13．【詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，可得，解得，即，又因?yàn)槭沁呴L為6的等邊三角形，所以
．
14．【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．如圖所示，則，，，，設(shè)，得，則；設(shè)平面的法向量為，又，，于是有，不妨令，可得，，所以；因?yàn)?，且，則，化簡得，解得，或（舍去）．即，從而得．
15．（1） （2）或
【詳解】（1）由題意可知直線，易知直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，直線不經(jīng)過第二象限．
（2）由題意可知，
直線與軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別是，，
，
當(dāng)時(shí)，由得：，
即：，或，即：直線的方程為或．
16．（1） （2）
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，
則，
，，，
故不等式的解集為
（2）
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立．
故的取值范圍是．
17．【答案】（1）證明見解析 （2）
【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌?，且底面，所以，又因?yàn)闉檎叫?，可得，因?yàn)?，且，平面，所以平面?br>又因?yàn)槠矫妫裕?br>因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)椋?，平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫裕?br>又因?yàn)?，且，，平面，所以平面?br>（2）解：以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方形的邊長為2，可得，可得，，，，，，則，，，
因?yàn)樵诰€段上，設(shè)，其中，則，因?yàn)榕c所成的角為，可得，
解得，所以，所以，可得，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面與平面所成的二面角為，其中，可得，即平面與平面所成的二面角為．
18．（1）4 （2）；平均數(shù)為71；中位數(shù)為 （3）
【詳解】（1）從圖中可知組距為10，則，的頻率分別為0.1，0.15，
從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人時(shí)，
成績不高于50分的人數(shù)為（人）
（2）由圖可知，解得．
使用組中值與頻率可估計(jì)平均數(shù)為．
因?yàn)榍遥?br>所以中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)估計(jì)的中位數(shù)為，則，得．
（3）記甲、乙、丙獲優(yōu)秀等級分別為事件、、，則三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率等于．
19．（1） （2）
【詳解】（1）由二倍角公式得，．
故由正弦定理得，
即，
而，，故，則；
（2）設(shè)，，設(shè)，則，
．
在中，，
即，．
在中，，
即，．
周長
令，則
，，，
即周長最小值為．
2024-2025學(xué)年福建省廈門市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段檢測試題（二）
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.第I卷1至7頁，第II卷第8頁.
注意事項(xiàng):
1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚.
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，在試卷上作答無效.
第I卷（選擇題共58分）
一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 直線的一個(gè)方向向量為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)直線的一般式與斜率的關(guān)系結(jié)合方向向量的定義求解.
因?yàn)橹本€的斜率為，
對A，，A正確；
對B，方向向量為的直線斜率不存在，B錯(cuò)誤；
對C，，C錯(cuò)誤；
對D，，D錯(cuò)誤；
故選:A.
2. 直線平分圓C：，則（）
A. B. 1C. -1D. -3
【答案】D
【解析】
【分析】求出圓心，結(jié)合圓心在直線上，代入求值即可.
變形為，故圓心為，
由題意得圓心上，故，解得.
故選：D
3. 已知，且，則（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】運(yùn)用空間向量平行坐標(biāo)結(jié)論，結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算即可解.
向量，則，
因，于是得，解得，
所以.
故選：B.
4. 已知向量在向量上的投影向量是，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量求出，代入的定義式即可.
，設(shè)向量在向量的夾角為，
所以向量在向量上的投影向量為，
所以，所以.
故選：C.
5. 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心?重心?垂心在同一條直線上，這條直線被稱為歐拉線.已知的頂點(diǎn)，若直線與的歐拉線垂直，則直線與的歐拉線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題求出歐拉線方程，即可得直線l方程，后可得交點(diǎn)坐標(biāo).
由的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可知其重心為.
注意到，直線BC斜率不存在，則為直角三角形，
則其垂心為其直角頂點(diǎn)，則歐拉線方程為：.
因其與垂直，則.
則，則直線與的歐拉線的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足，即交點(diǎn)為.
故選：B
6. 已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動，點(diǎn)，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用，計(jì)算可得結(jié)論.
】由圓，可得圓心，半徑，
又A?2,0，所以，
所以，
因?yàn)椋?
故選：A.
7. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)滿足，記為點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)變化時(shí)，的最大值為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)確定出對于給定的一點(diǎn)，取最大值時(shí)且，然后根據(jù)點(diǎn)為正方形上任意一點(diǎn)求解出，由此可知.
直線過定點(diǎn)，
對于任意確定的點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
當(dāng)不垂直時(shí)，過點(diǎn)作，此時(shí)，如圖所示：
因?yàn)?，所以，所以?br>由上可知：當(dāng)確定時(shí)，即為，且此時(shí)；
又因?yàn)樵谌鐖D所示的正方形上運(yùn)動，所以，
當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)與重合，此時(shí)，
所以，
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于利用圖像分析取最大值時(shí)與直線的位置關(guān)系，通過位置關(guān)系的分析可將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離問題，根據(jù)圖像可直觀求解.
8. 已知，直線，直線，若為的交點(diǎn)，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用直線過定點(diǎn)及兩直線位置關(guān)系先確定P的軌跡，取點(diǎn)構(gòu)造相似結(jié)合三角形三邊關(guān)系計(jì)算即可.
因?yàn)橹本€，直線，易知，
且分別過定點(diǎn)，取其中點(diǎn)C?2,0，易知，
則P點(diǎn)在以C為圓心，3為半徑的圓上，取點(diǎn)，連接,
不難發(fā)現(xiàn)，則，所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且與線段和圓C的交點(diǎn)重合時(shí)取得等號.
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題意.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（）
A. 若兩個(gè)不同平面，的法向量分別是，，且，，則
B. 若，則是鈍角
C. 若對空間中任意一點(diǎn)O，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面
D. 兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線
【答案】CD
【解析】
【分析】由可知，由，可知是鈍角或者180°，由空間中四點(diǎn)共面定理判斷C，根據(jù)空間向量基本定理可判斷D.
對于A，，所以，即，A錯(cuò)誤；
對于B，若，則小于0，則是鈍角或者180°，B錯(cuò)誤；
對于C，對空間中任意一點(diǎn)O，有，滿足，則P，A，B，C四點(diǎn)共面，可知C正確；
對于D，兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線，D正確.
故選：CD.
10. 已知直線與，則下列說法正確的是（）
A. 與的交點(diǎn)坐標(biāo)是
B. 過與的交點(diǎn)且與垂直的直線的方程為
C. ，與x軸圍成的三角形的面積是
D. 的傾斜角是銳角
【答案】BC
【解析】
【分析】由已知聯(lián)立方程即可求解直線的交點(diǎn)坐標(biāo)可判斷A；由直線垂直確定垂直的直線的斜率則可求得直線方程，即可判斷B；根據(jù)直線與直線的位置確定，與x軸圍成的三角形的對應(yīng)坐標(biāo)即可得面積，從而可判斷C；由直線斜率與傾斜角的關(guān)系即可判斷D.
與可得，，
解得交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以A錯(cuò)誤；
由所求直線與直線垂直得所求直線的斜率為，
由點(diǎn)斜式得，即，所以B正確；
如圖，與軸相交于，與軸相交于，
與相交于
所以，與x軸圍成的三角形的面積，所以C正確；
的斜率，所以的傾斜角是鈍角，所以D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11. 在棱長為1的正方體中，為側(cè)面（不含邊界）內(nèi)的動點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)，若直線與的夾角為，則下列說法正確的是（）
A. 線段的長度為
B. 的最小值為1
C. 對任意點(diǎn)，總存在點(diǎn)，便得
D. 存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為60°
【答案】ABC
【解析】
【分析】對選項(xiàng)，直接通過建立空間直角坐標(biāo)系，表示出線段，即可求得；
對選項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為是關(guān)鍵，然后通過坐標(biāo)表示出即可求得的最小值為1；
對選項(xiàng)，通過關(guān)系建立方程，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，得到關(guān)于的一元二次方程，再通過判別式即可判斷出對任意點(diǎn)，總存在點(diǎn)，便得；
對選項(xiàng)，通過先求平面的法向量，然后根據(jù)直線與平面所成的角為60°建立方程，解得，故矛盾，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.
建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，可得：，，，，，，，
設(shè)點(diǎn)，，由直線與的夾角為，則有：
，
故有：
解得：
為線段上的動點(diǎn)，則有：（）
解得：
對選項(xiàng)，則有：，故選項(xiàng)正確；
對選項(xiàng)，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為
易知：（由于）
故的最小值等價(jià)于求
故有：
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，結(jié)合，可得此時(shí)
故選項(xiàng)正確；
對選項(xiàng)，若，則有：，
，又
則有：
則有：
又，則有：，故對任意點(diǎn)，總存在點(diǎn)，便得，故選項(xiàng)正確；
對選項(xiàng)，易知平面的法向量為，若直線與平面所成的角為，即直線與平面的法向量成，則有：
解得：，矛盾，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：
【點(diǎn)睛】解決立體幾何問題通常有兩種方法：
是建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的運(yùn)算與性質(zhì)解決立體幾何的問題，將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等，就近表示所需向量；
二是通過傳統(tǒng)的幾何方法，需要較高的空間想象力.
第II卷（非選擇題共92分）
三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分）.
12. 已知直線與直線，在上任取一點(diǎn)A，在上任取一點(diǎn)B，連接AB，取AB的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)C，過C作的平行線，則與間的距離為______．
【答案】##
【解析】
【分析】過A做于D，交于E，根據(jù)三角形相似及題干條件，可得，利用兩平行線間距離公式，可得與間的距離AD，進(jìn)而可求與間的距離AE.
】過A做于D，交于E，如圖所示：
因?yàn)?，且由題意得，
所以，所以，
又直線與間的距離，
所以與間的距離，
故答案為：.
13. 已知四面體ABCD滿足，則點(diǎn)A到平面BCD的距離為______.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)平面的一個(gè)法向量，列出方程組，求得，再求得且，結(jié)合，即可求解.
因?yàn)樗拿骟w滿足，
可得，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則，
令，解得，所以，
所以，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.
故答案為：.
14. 已知點(diǎn)，直線將分割成面積相等的兩部分，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________.
【答案】
【解析】
【分析】計(jì)算直線與和軸的交點(diǎn)，計(jì)算，考慮當(dāng)在點(diǎn)與點(diǎn)之間（包括點(diǎn)）和當(dāng)在點(diǎn)的左側(cè)兩種情況，根據(jù)坐標(biāo)之間的關(guān)系得到不等式，解得答案.
，由已知得，由得，，
，直線與軸交于，
當(dāng)在點(diǎn)與點(diǎn)之間（包括點(diǎn)）時(shí)，
，，
則有..，所以，，
，故b221?b>0，所以，，又，，故；
當(dāng)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，
?bk0解得，，
由得，此時(shí)，，
點(diǎn)到直線的距離，
，得，
則有，所以，，
又，，故，，即.
綜上所述：實(shí)數(shù)b的取值范圍.
故答案為：.
四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 如圖，已知的頂點(diǎn)為，，是邊AB的中點(diǎn)，AD是BC邊上的高，AE是的平分線．
（1）求高AD所在直線的方程；
（2）求AE所在直線的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)互相垂直的直線斜率的性質(zhì)，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合兩點(diǎn)式方程進(jìn)行求解即可.
【小問1】
因?yàn)槭沁匒B的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
因此高AD所在直線的方程為：；
【小問2】
因?yàn)锳E是的平分線，
所以，
所以，設(shè)，
所以，
所以AE所在直線的方程為：.
16. 如圖，在四棱錐中，，，，底面為正方形，分別為的中點(diǎn)．
（1）求直線與平面所成角的正弦值；
（2）求點(diǎn)B到平面的距離.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出方向向量及法向量，利用空間向量夾角公式即可得解．
（2）求出的坐標(biāo)，再利用求解即可.
【小問1】
因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以，且，
所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，則，
可得，
設(shè)平面的法向量為，則，可取，
設(shè)直線與平面所成角為，則.
【小問2】
求得，
因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄浚?br>所以點(diǎn)到平面的距離.
17. 如圖，在平行六面體中，平面，，，.
（1）求證：；
（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為？若存在，求的長；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）不存在，理由見解析
【解析】
【分析】（1）解法一：利用空間向量法，，從而得證；
解法二：在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線，垂足為，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算得，從而得證；
解法三：通過證明平面，則，利用勾股定理得證，從而得證；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，利用兩平面夾角公式可解.
【小問1】
解法一：因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，所以
因?yàn)?，所?br>又因?yàn)椋?br>所以，化簡得
所以，
所以
解法二：
在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線，垂足為，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
，，，
設(shè)，則，所以，
由得，所以，
又因?yàn)?，所以，解得?br>所以，，，，
所以，
所以；
解法三：在平面中，過作的垂線，垂足為，連結(jié)交于.
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)槠矫?，所以平面?br>又因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)?，，平面，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以，則，
所以，所以，所以，
在中，，，，所以，
在中，，，，所以，
在中，，，，所以，
所以，
所以；
【小問2】
由（1）得平面的一個(gè)法向量為，
假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
由，得，
令，則，，所以，
所以，
因?yàn)槠矫媾c平面的夾角為，
即，解得，
又因?yàn)?，所以舍去?br>所以線段上不存在點(diǎn)使得平面與平面的夾角為.
18. 已知正方形的邊長為4，，分別為，的中點(diǎn)，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角．
（1）若為的中點(diǎn)，在線段上，且直線與平面所成的角為，求此時(shí)平面與平面的夾角的余弦值．
（2）在（1）的條件下，設(shè)，，，且四面體的體積為，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二面角可知，可證平面，建系，根據(jù)題意利用空間求點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求面面夾角；
（2）根據(jù)題意關(guān)系結(jié)合點(diǎn)到面距離的向量求法運(yùn)算求解.
【小問1】
由題意知，，，
，，平面，可得平面，
且為二面角的平面角，即，
連接，而，則為正三角形，取的中點(diǎn)，
連接，則，由平面，平面，
所以平面平面，
而平面平面，平面，
可得平面，
取中點(diǎn)，連接，由矩形得，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則點(diǎn)，
可得，
設(shè)點(diǎn)，則，
設(shè)平面的法向量n=x,y,z，則，
令，則，，可得，
因?yàn)橹本€與平面所成的角為，
則，解得或（舍，
即，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，，可得，
則，
所以平面與平面的夾角的余弦值為．
【小問2】
因?yàn)?，，可知，分別為，的中點(diǎn)，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，
可得，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，則，，可得，
因?yàn)?，，?br>由余弦定理得，
可知為銳角，可得，
則，
因?yàn)樗拿骟w的體積為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
則，解得，
因?yàn)?，則，可得，
則，解得．
所以的值為
19. 人臉識別是基于人的臉部特征進(jìn)行身份識別的一種生物識別技術(shù)．主要應(yīng)用距離測試樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有3種．設(shè)，，則歐幾里得距離；曼哈頓距離，余弦距離，其中（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）若，，求，之間的曼哈頓距離和余弦距離；
（2）若點(diǎn)，，求的最大值；
（3）已知點(diǎn)，是直線上的兩動點(diǎn)，問是否存在直線使得，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程，若不存在，請說明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）存在，和
【解析】
【分析】（1）代入和的公式，即可求解；
（2）首先設(shè)，代入，求得點(diǎn)的軌跡，再利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合公式，結(jié)合余弦值，即可求解；
（3）首先求的最小值，分和兩種情況求的最小值，對比后，即可判斷直線方程.
【小問1】
，
，
；
【小問2】
設(shè)，由題意得：，
即，而表示的圖形是正方形，
其中、、、．
即點(diǎn)在正方形的邊上運(yùn)動，，，
可知：當(dāng)取到最小值時(shí)，最大，相應(yīng)的有最大值．
因此，點(diǎn)有如下兩種可能：
①點(diǎn)為點(diǎn)，則，可得；
②點(diǎn)在線段上運(yùn)動時(shí)，此時(shí)與同向，取，
則．
因?yàn)?，所以的最大值為?br>【小問3】
易知，設(shè)，則
當(dāng)時(shí)，，則，，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，
由分段函數(shù)性質(zhì)可知，
又且恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．
綜上，滿足條件的直線有且只有兩條，和．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問為代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為幾何問題，利用數(shù)形結(jié)合，易求解，第3問的關(guān)鍵是理解，同樣是轉(zhuǎn)化為代數(shù)與幾何相結(jié)合的問題.

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