1．點關(guān)于Oxy平面的對稱點的坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．D．
2．如圖，在三棱錐中，?分別是棱?的中點，則向量與的關(guān)系是（ ）

A．
B．
C．
D．
3．已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
4．在空間四面體中，對空間內(nèi)任意一點，滿足，則下列條件中可以確定點與，，共面的為（ ）
A．B．C． D．
5．已知等差數(shù)列滿足，則（ ）
A．B．C．D．
6．已知數(shù)列滿足且，則（ ）
A．3B．C．-2D．
7．如圖圓錐的高，底面直徑是圓上一點，且，則與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知梯形CEPD如下圖所示，其中，，A為線段PD的中點，四邊形ABCD為正方形，現(xiàn)沿AB進行折疊，使得平面平面ABCD，得到如圖所示的幾何體．已知當(dāng)點F滿足時，平面平面PCE，則的值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知等差數(shù)列的公差為，若，，則首項的值可能是（ ）
A．18B．19C．20D．21
10．已知點 在平面內(nèi)，平面法向量， 則下列點在內(nèi)的是（ ）
A．B．C．D．
11．在正四棱柱中，分別是的中點，是棱上一點，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．若為的中點，則B．若為的中點，則到的距離為
C．若，則平面D．的周長的最小值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知空間向量，，且，則
13．設(shè)，的中點為，則 ．
14．已知數(shù)列是共有k個項的有限數(shù)列，且滿足，若，，，則 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知，.
(1)若，求的值；
(2)若，求實數(shù)的值.
16．（1）在等差數(shù)列中，，，求的通項公式；
（2）已知數(shù)列的前n項和為，求數(shù)列的通項公式.
17．平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱，且，為中點，為中點，設(shè)，，；

(1)用向量，，表示向量；
(2)求線段的長度．
18．在長方體中，，點分別是直線，直線的中點.
(1)求證：平面；
(2)求點F到平面的距離；
(3)求直線與平面的夾角的余弦值.
19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形且∠DAB=60°，O為AD中點.
（Ⅰ）若PA=PD，求證：平面POB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，試問在線段PC上是否存在點M，使二面角M-BO-C的大小為30°，如存在，求的值，如不存在，說明理由.
參考答案
1．【答案】B
【詳解】關(guān)于Oxy平面對稱的點的x，y坐標(biāo)不變，只有z坐標(biāo)相反，所以點關(guān)于Oxy平面的對稱點的坐標(biāo)為．
2．【答案】C
【詳解】取的中點，連結(jié)，

分別是的中點，，，
.
故選：.
3．【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的定義求解即得.
【詳解】向量，，則，
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：A
4．【答案】A
【詳解】因為，
所以點與，，共面等價于，即.
故選：A.
5．【答案】B
【詳解】由等差中項的性質(zhì)可得，故.
故選：B.
6．【答案】B
【詳解】由題意數(shù)列滿足，則，
故由，得，
由此可知數(shù)列的周期為4，
故，
故選：B
7．【答案】A
【詳解】
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系得：
，，，
設(shè)的夾角為，
又
則
因為
即SA與BC所成角的余弦值為
故選A．
8．【答案】D
【分析】構(gòu)建以A為原點，射線AB、AD、AP為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，由題設(shè)標(biāo)注相關(guān)點的坐標(biāo)，進而求面、面的法向量，根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示求參數(shù).
【詳解】由題意，可構(gòu)建以A為原點，射線AB、AD、AP為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，
∴，則，，
若是面一個法向量，則，可得，
若是面一個法向量，則，可得，
∴由面面PCE，有，解得.
故選：D
9．【答案】BC
【詳解】由題意，得，所以.
故選：BC.
10．【答案】AC
【詳解】對于A選項，記點，，，點在平面內(nèi)；
對于B選項，記點，，，點不在平面內(nèi)；
對于C選項，記點，，，點在平面內(nèi)；
對于D選項，記點，，，點不在平面內(nèi).
故選：AC.
11．【答案】BCD
【分析】以為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合選項依次判斷即可.
【詳解】解：以為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
對于A和B，則，，
可得平面的一個法向量為，
若為的中點，則，
，，
則到的距離，A不正確，B正確；
對于C，若，則，則，
因為平面，所以平面，C正確；
對于D，將平面沿著翻折至與平面共面，
當(dāng)三點共線時，的周長最小，此時，
翻折前，故的周長的最小值為，D正確．
故選：BCD
12．【答案】
【詳解】由已知可得，所以，，
所以.
故答案為：.
13．【答案】
【詳解】由題意，得的中點，所以.
故答案為：
14．【答案】
【詳解】由題數(shù)列是共有個項的有限數(shù)列，且滿足，
則 ，則


……

以上 各式子同向相加，將代入可得
（舍）.
故答案為50.
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由已知可得，，
∴.
（2），，
∵，∴存在實數(shù)使得，
∴，，，聯(lián)立解得.
16．【答案】（1）
（2）
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題可知，
因為，，得，解得
所以等差數(shù)列an的通項公式為；
（2）當(dāng)時，
當(dāng)時，
檢驗，
所以 .
17．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為為中點，為中點， ，，，
所以
；
（2）因為平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱，且，
所以，，，
所以
所以，即線段PM長為
18．【答案】(1)見解析
(2)2
(3)
【詳解】（1）證明：以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則，，
因為，，
設(shè)為平面的法向量，
則，可取，
因為，所以，
又平面，
所以平面；
（2）解：設(shè)直線與平面所成的角為，
，
則，
所以點F到平面的距離為；
（3）解：設(shè)直線與平面所成的角為，
，
則，
所以直線與平面的夾角的余弦值為.
19．【答案】（1）詳見解析；（2）存在，
【分析】
（Ⅰ）由題意可知，又為菱形且，所以 ，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，然后再根據(jù)面面平行的判定定理可證平面平面 ；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的余弦值列方程，由此求得的值.
【詳解】
（Ⅰ）因為，為中點，所以.
因為四邊形為菱形且，所以 .因為，所以平面.因為 平面，所以平面平面.
（Ⅱ）因為平面平面，且交線為，所以 平面.以為坐標(biāo)原點，為 軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.
所以， ，設(shè)，所以 .平面的法向量為.設(shè)平面 的法向量為，則 ，令，則可得.
由于二面角的大小為，所以 ，即，解得 .所以存在點使二面角的大小為，且 .
【點睛】
本小題主要考查面面垂直的判定定理，考查空間向量在立體幾何中的運用，屬于中檔題.
2024-2025學(xué)年福建省莆田市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．76是等差數(shù)列4，7，10，13，…的第（ ）項
A．25B．26C．27D．28
2．在數(shù)列中，=1，，則的值為（ ）
A．99B．49C．101D．102
3．在等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則的值為（ ）
A．2B．C．6D．
4．設(shè)是數(shù)列的前n項和，若，則（ ）
A．-21B．11C．27D．35
5．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，且，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．如果，，，，成等比數(shù)列，那么（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
8．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，前九個節(jié)氣日影長之和為85.5尺，則立夏日影長為（ ）
A．1.5尺B．4.5尺C．3.5尺D．2.5尺
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知正項的等比數(shù)列中，，設(shè)其公比為，前項和為，則（ ）
A．B．C．D．
10．設(shè)數(shù)列an的前n項和為，已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．?dāng)?shù)列an為等比數(shù)列
C．
D．若，則數(shù)列bn的前10項和為
11．設(shè)等差數(shù)列的前n項的和為，公差為d，已知，，，則（ ）
A．B．
C．D．當(dāng)時，n的最小值為13
三、填空題（本大題共3小題）
12．等比數(shù)列{an}滿足an＞0，且a2a8＝4，則lg2a1＋lg2a2＋lg2a3＋…＋lg2a9＝ .
13．已知數(shù)列均為等差數(shù)列，且其前n項和分別為和.若，則 .
14．?dāng)?shù)列的前項和為，若，則 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．記為等差數(shù)列的前項和，已知，.
(1)求等差數(shù)列的通項公式；
(2)求出數(shù)列的前項和．
16．已知數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn＝2n2－30n.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)求Sn的最小值及對應(yīng)的n值．
17．已知數(shù)列滿足，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.
18．設(shè)正項數(shù)列為等比數(shù)列，它的前n項和為，a1＝1，且a1＋S2＝a3.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）已知是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項和.
19．設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項和．
(1)若，求的通項公式；
(2)若為等差數(shù)列，且，求．
參考答案
1．【答案】A
【詳解】設(shè)該等差數(shù)列為，
由題意可知，首項為4，公差為3，
則
故，
得
故選：A
2．【答案】C
【詳解】因為所以數(shù)列是以首項為1，公差是2的等差數(shù)列，
=
3．【答案】A
【詳解】解：等比數(shù)列中，，是方程的兩根，
所以，
因為
所以，
故選：A
4．【答案】B
【詳解】由得，，所以,
故選：B
5．【答案】B
【詳解】方法一：∵∴
∴
∴
，
方法二：由于是二次函數(shù),當(dāng)時的函數(shù)值，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，由可知，的關(guān)于對稱，因此，
故選:B
6．【答案】C
【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式和下標(biāo)和性質(zhì)直接求解即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，
，.
故選C.
7．【答案】C
【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項為，公差為，
則，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，
即，則，有，
兩式相減得：，即，對也成立，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件，C正確.
方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項，公差為，即，
則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，即，
即，，
當(dāng)時，上兩式相減得：，當(dāng)時，上式成立，
于是，又為常數(shù)，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
故選C.
8．【答案】B
【詳解】設(shè)等差數(shù)列為，公差為，
，解得，
∴立夏日影長為．
故選：B．
9．【答案】ABD
【分析】由，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式的計算，求得，進而求得通項公式和的值，再由，，結(jié)合選項，即可求解.
【詳解】因為，可得，即，解得或，
又由正項的等比數(shù)列，可得，所以，所以A正確；
數(shù)列的通項公式為，所以B正確；
則，所以C錯誤；
由，則，，所以，所以D正確.
故選ABD.
10．【答案】BD
【詳解】當(dāng)時，由，得，解得，
當(dāng)時，，
即，
即數(shù)列為以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
則，，，所以A、C錯誤，B正確；
又，
數(shù)列bn的前10項和為：
，D正確.
故選：BD
11．【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列前n項和公式依次分析選項，結(jié)合基本量的運算即可得到答案.
【詳解】對于A，，A正確；
對于B，，即，
又，解得，B錯誤；
對于C，由，得，C正確；
對于D，由選項C知，是遞減數(shù)列，，而，
因此當(dāng)時，n的最小值為13，D正確.
故選ACD.
12．【答案】9
【詳解】由題意可得a2a8＝＝4，a5＞0，所以a5＝2，則原式＝lg2(a1a2…a9)＝9lg2a5＝9.
故答案為：9.
13．【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的前n項和公式化簡，結(jié)合條件求出答案即可．
【詳解】因為為等差數(shù)列，且，
所以
，
故答案為：．
14．【答案】
【詳解】
．
故答案為:．
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意，等差數(shù)列an的公差，，
所以an的通項公式為.
（2）.
所以數(shù)列an的前項和.
16．【答案】(1) an＝4n－32，n∈N＋.
(2)當(dāng)n＝7或8時，Sn最小，且最小值為S7＝S8＝－112.
【詳解】(1)∵Sn＝2n2－30n，∴當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝－28.
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－30n)－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.
∴an＝4n－32，n∈N＋.
(2)方法一 Sn＝2n2－30n＝2(n－ )2－ ，
∴當(dāng)n＝7或8時，Sn最小，且最小值為S7＝S8＝－112.
方法二 ∵an＝4n－32，∴a1

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