1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（其中i是虛數(shù)單位）（ ）
A．B．C．D．
2．在棱長為1的正方體中，則點到直線的距離為（ ）
A．B．C．D．
3．已知實數(shù)x，y滿足，且，則的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
4．已知是直線的方向向量，是平面的法向量，若，則（ ）
A．B．
C． ，D．，
5．直線的一個方向向量是（ ）
A．B．C．D．
6．已知直線，且，則實數(shù)（ ）
A．1B．0或1C．0D．
7．設(shè)直線l的直線方程為，則直線l的傾斜角的范圍是（ ）
A．B．
C．D．
8．如圖，在棱長為2的正四面體中，分別為棱的中點，則直線和夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知平面平面，且，則下列命題不正確的是（ ）
A．平面α內(nèi)的直線必垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線
B．平面α內(nèi)的已知直線必垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線
C．平面α內(nèi)的任意一條直線必垂直于平面β
D．過平面α內(nèi)的任意一點作交線l的垂線，則此垂線必垂直于平面β
10．畫出直線，并在直線l1外取若干點，將這些點的坐標(biāo)代入，求它的值，觀察有什么規(guī)律，同理，畫出直線，觀察規(guī)律，則下列點的坐標(biāo)滿足的有（ ）
A．B．C．D．
11．設(shè)，過定點A的動直線：與過定點B的動直線：交于點P，則下列說法正確的有（ ）
A．B．面積的最大值為
C．D．的最大值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則 .
13．三條直線，與不能圍成一個三角形，則 .
14．已知分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知函數(shù)，，且的最大值為.
(1)求常數(shù)的值；
(2)求的最小值以及相應(yīng)的值.
16．如圖，在邊長為2的正方形中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將分別沿折起，使A，B，C三點重合于點

(1)求證
(2)求三棱錐的體積
17．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.
(1)求證：平面.
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
(3)在棱上是否存在點，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
18．設(shè)直線l的方程為
(1)求證：無論a為何值，直線l必過一定點P；
(2)若直線l分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于A，B，當(dāng)面積最小時，求的周長；
(3)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為整數(shù)且斜率為正值時，求直線l的方程.
19．已知直線l1，l2的方程分別是，點A的坐標(biāo)為（）.過點A的直線l的斜率為k，且與l1，l2分別交于點M，N（M，N的縱坐標(biāo)均為正數(shù)）.
(1)若，且A為線段MN中點，求實數(shù)a的值及的面積；
(2)是否存在實數(shù)a，使得的值與k無關(guān)？若存在，求出所有這樣的實數(shù)a；若不存在，說明理由.
參考答案
1．【答案】B
【詳解】，
所以的共軛復(fù)數(shù)是，
故選：B
2．【答案】C
【詳解】
如圖，連接，由正方體的性質(zhì)可得，，
故到的距離為，
故選：C.
3．【答案】C
【詳解】可以看成是線段上的點與點連線的斜率，
如圖，易求得，，
所以得取值范圍為.
故選：C.
4．【答案】D
【詳解】因為，故，
故存在實數(shù)，使得，故，故，
故選：D.
5．【答案】A
【詳解】根據(jù)直線的斜率先得到直線的一個方向向量，然后根據(jù)方向向量均共線，求解出結(jié)果.
【詳解】因為直線的斜率為，所以直線的一個方向向量為，
又因為與共線，所以的一個方向向量可以是，
故選：A.
6．【答案】B
【詳解】因為，且，
所以，即，解得：或.
故選：B
7．【答案】C
【詳解】當(dāng)時，直線的傾斜角為，
當(dāng)時，由得到，
又易知，所以，即，
由的圖像可知，，
綜上，

故選：C.
8．【答案】D
【詳解】因為分別為棱的中點且正四面體的棱長為2，
故，
而，，
故
，
故，故和夾角的余弦值為，
故選：D.
9．【答案】ACD
【分析】根據(jù)線面、面面關(guān)系逐一判斷即可.
【詳解】對于A，平面內(nèi)取平行于交線的直線時，該直線與平面平行，不垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線，故A錯誤；
對于B，取平面內(nèi)無數(shù)條與交線垂直的直線，平面內(nèi)的已知直線與這無數(shù)條直線垂直，故B正確；
對于C，平面內(nèi)取與平行的直線，不垂直于平面，故C錯誤；
對于D，若內(nèi)的任意一點取在交線上，所作垂線可能不在平面內(nèi)，所以不一定垂直于平面，故D錯誤.
故選：ACD
10．【答案】ABD
【詳解】解：如圖所示：
當(dāng)點在直線的上方時，；
當(dāng)點在直線的下方時， ；
當(dāng)點在直線的上方時，；
當(dāng)點在直線的下方時， ；
所以滿足的有，，，
故選：ABD
11．【答案】BCD
【分析】由題意知直線分別過定點，，及，由勾股定理及兩點間的距離公式即可求得，即可判斷A的正誤；再由三角形的面積公式及基本不等式可求得面積的最大值，可判斷B正誤；由基本不等式推論即可求得，可判斷C的正誤；由勾股定理及兩點間的距離公式可求得，設(shè)，，在由三角函數(shù)，即可求得的最大值.
【詳解】A中：直線：，令，則，則定點，
：，化簡得，令，則，則，
當(dāng)時，直線：，直線：，此時兩直線垂直，
當(dāng)，，顯然，兩直線垂直，
綜上兩直線互相垂直，則；
B中：，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，B對；
C中：由，知：知：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C對.
對于D，在中，，
設(shè)，，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D正確．
故選：BCD．
12．【答案】
【詳解】在中，，由余弦定理，
，
因為，所以，
又在中，，
所以.
故答案為：.
13．【答案】或或
【詳解】當(dāng)三條直線交于同一點時，
，即交點為.
將代入，得，解得；
當(dāng)直線與平行，則，解得；
當(dāng)直線與平行，則，解得.
故答案為：或或
14．【答案】/
【詳解】因為，，
所以直線與間的距離為，又，故，
過作直線垂直于，如圖，
則可設(shè)直線的方程為，代入，得，則，
所以直線的方程，
將沿著直線往上平移個單位到點，設(shè)，
則，解得或（舍去），則，
連接交直線于點P，過P作于Q，連接BQ，
有，即四邊形為平行四邊形，
則，即有，
顯然是直線上的點與點距離和的最小值，
因此的最小值，即的最小值，
而，
所以的最小值為.
故答案為：.
15．【答案】(1)
(2)當(dāng)時，
【詳解】（1），
當(dāng)時，，，
解得：.
（2）由（1）知：，且當(dāng)時，，
當(dāng)，即當(dāng)時，.
16．【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由折疊可知三條直線兩兩垂直，利用線面垂直的判定定理，可先證明平面，再由線面垂直性質(zhì)證求證；
（2）由折疊可知三條直線兩兩垂直，，可求解.
【詳解】（1）正方形中，，，
折起后，有，，
平面，，∴平面，
∵平面PEF，∴.
（2）正方形中，，折疊后可知三條直線兩兩垂直，
，，
.
17．【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在；
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)而得，再結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，再利用空間向量夾角公式、線面角的定義進(jìn)行求解即可；
（3）要使平面，則，由此列式求解可得.
【詳解】（1）∵平面平面，且平面平面，
且，平面，
∴平面，
∵平面，∴，
又，且，平面，
∴平面；
（2）取中點為，連接，
又∵，∴．則，
∵，∴，則，
以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
則，，，，
設(shè)為平面的一個法向量，
則由，得，令，則．
設(shè)與平面的夾角為，
則；
（3）假設(shè)在棱上存在點點，使得平面.
設(shè)，，
由（2）知，，，，則，，
，
由（2）知平面的一個法向量．
若平面，則，
解得，又平面，
故在棱上存在點點，使得平面，此時.
18．【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)，，，，
【詳解】（1）由得，
令，解得，
所以不論為何值，直線必過一定點.
（2）由，
令，得，
令，得，
由，解得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
此時，，
所以得周長為.
（3）直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為整數(shù)，即，均為整數(shù)，
所以，均為整數(shù)，又斜率為正值即，即，
，
所以直線的方程為，，，.
19．【答案】(1)，
(2)存在，
【詳解】（1）

因為直線 l過點，且斜率為，所以直線的方程為，
因為直線與分別交于點，所以 ，
由 ，解得 ，即 ，
由 ，解得 ，即，
又因為的縱坐標(biāo)均為正數(shù)，所以 ，即，
因為 ，所以
若時，，，
又因為點為線段中點，所以解得，
所以，，所以，的面積．
（2）假設(shè)存在滿足題意的，使得的值與無關(guān)，
由（1）知：， 且，
因此，，
所以，
因為 ，所以當(dāng)時，為定值，
所以存在實數(shù)，使得的值與無關(guān)．
2024-2025學(xué)年河南省漯河市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，空間四邊形中，，，，點M在上，且，點N為中點，則等于（ ）
A．B．
C．D．
3．已知直線與平行，則（ ）
A．1B．C．0D．1或
4．如圖，在正方體中，分別為的中點，則直線和夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
5．直線與直線在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖形可能是（ ）．
A．B．
C．D．
6．兩圓與的公共弦長為（ ）
A．B．C．D．1
7．已知實數(shù) x，y 滿足方程 y＝?x2+4x?1 ，則 yx 的最大值為（ ）
8．已知點P為直線與直線的交點，點Q為圓上的動點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．若三條直線不能圍成一個三角形，則實數(shù)的值可以為（ ）
A．B．0C．1D．2
10．已知直線與圓，則下列說法正確的是（ ）
A．圓的半徑為4
B．直線過定點
C．直線與圓的相交弦長的最小值為
D．直線與圓的交點為，則面積的最大值為2
11．已知正方體棱長為2，點在線段上運動，則（ ）
A．直線與所成角的取值范圍是
B．三棱錐的體積為定值
C．
D．的最小值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．直線與直線之間的距離為 ．
13．已知向量的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為 ．
14．已知點為直線上的動點，過點作圓的切線，切點分別為，當(dāng)最小時，直線的方程為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知向量，且．
(1)求的值；
(2)求向量與夾角的余弦值．
16．已知平面上有兩點，和直線.
(1)求過點的圓的切線的方程；
(2)動點在直線上運動，求的最小值.
17．已知直線過定點．
(1)求過點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程；
(2)設(shè)為上的一個動點，求中點的的軌跡方程．
18．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，是的中點．

(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)在棱上是否存在一點，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出求線段的長；若不存在，說明理由．
19．常用測量距離的方式有3種．設(shè)，定義歐幾里得距離；定義曼哈頓距離，定義余弦距離，其中（為坐標(biāo)原點）．
(1)若，求之間的曼哈頓距離和余弦距離；
(2)若，求的取值范圍；
(3)動點在直線上，動點在函數(shù)圖象上，求的最小值.
參考答案
1．【答案】A
【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系即可得傾斜角.
【詳解】因為該直線的斜率為，所以它的傾斜角為.
故選:A
2．【答案】B
【分析】利用空間向量的線性運算法則求解.
【詳解】
.
故選B.
3．【答案】B
【分析】由兩直線平行的條件求解．
【詳解】因為，所以解得.
故選：B．
4．【答案】C
【詳解】化為空間向量問題，以作為基底，則
，
設(shè)向量和的夾角為，
則直線和夾角的余弦值等于.進(jìn)行向量運算
因為四面體為正四面體，所以且夾角均為，
所以
.
故選：C.
【法二】分別以所在的直線為軸
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)正方體的棱長為2，
得
得.
設(shè)向量和的夾角為，
則直線和夾角的余弦值等于.
進(jìn)行向量運算得..
故選：C
【法三】連接，易得，
則直線和夾角即為直線和所成角或其補(bǔ)角，
設(shè)正方體的棱長為2，
則中，，
由余弦定理得，.
故選：C
5．【答案】D
【詳解】根據(jù)直線方程斜截式與圖像的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．
6．【答案】B
【詳解】兩圓的圓心分別為,半徑均為1，故圓心距離為,故兩圓相交，
圓與圓的公共弦所在的直線方程為：
，即，
圓的圓心到公共弦的距離：
，圓的半徑，
公共弦長．
故選：B．
7．【答案】 C
【詳解】 方程 y＝?x2+4x?1 化為 x－22＋y2＝3y≥0 ，表示的圖形是一個半圓，令 yx＝k ，即 y＝kx ，如圖所示，當(dāng)直線與半圓相切時， k＝3 (負(fù)值舍去)，所以 yx 的最大值為 3 .
8．【答案】B
【分析】先求出點的軌跡方程，再判斷兩圓的位置關(guān)系，即可求出的取值范圍.
【詳解】因為點為直線與直線的交點，
所以由可得，且過定點，過定點，
所以點的軌跡是以點與點為直徑端點的圓(去除)，圓心為，
半徑.
而圓的圓心為，半徑為，
所以兩個圓心的距離，且，所以兩圓相離，
所以的最大值為：，
因為不在圓上，故，
所以的取值范圍是.
故選B.
【關(guān)鍵點撥】本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)直線垂直以及過定點得到點的軌跡是圓，從而得解.
9．【答案】ACD
【詳解】當(dāng)三條直線交于一點時不能圍成三角形：由，
解得和的交點的坐標(biāo)為，
由在上可得，解得，
因為與的相交，所以當(dāng)三條直線有兩條直線平行時不能圍成三角形，
當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，解得，
顯然與不可能重合.
綜上，或或，這三條直線不能圍成三角形，
∴實數(shù)的取值可以是或或.
故答案為：ACD.
10．【答案】BCD
【詳解】解：對于A：圓，即，圓心為，半徑，故A錯誤；
對于B：直線，即，令，得，即直線過定點，故B正確；
對于C：因為，所以直線所過定點在圓的內(nèi)部，不妨設(shè)直線過定點為，
當(dāng)直線與圓的相交弦最小時，與相交弦垂直，
又因為，所以相交弦的最小為，故C正確；
對于D：設(shè)圓心到直線的距離為，則，則，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故D正確．
故選：BCD．
11．【答案】AC
【詳解】對于A，由，異面直線與所成角即為與所成角，
又為等邊三角形，當(dāng)與線段的兩端點重合時，與所成角取最小值，
當(dāng)與線段的中點重合時，與所成角取最大值，
故與所成角的范圍，故A正確.
對于B，因為，平面，平面，
所以平面，所以直線上任意一點到平面的距離相等，
所以點到平面的距離等于點到平面，
所以，故B錯誤；
對于C，，
設(shè)，
所以，
當(dāng)時，有最小值為；當(dāng)或時，有最大值為；
故，所以，所以，
則，故C正確；
對于D，將旋轉(zhuǎn)到平面內(nèi)，如圖所述，旋轉(zhuǎn)到，
且最小值為：，故D錯誤.
故選：AC.
12．【答案】/
【詳解】的方程可化為，與平行，
由平行直線之間的距離公式可得
.
故答案為：.
13．【答案】
【詳解】因為向量的夾角為鈍角，
則，解得，
當(dāng)共線時，由，即，解得，
所以當(dāng)夾角為鈍角時.
故答案為：.
14．【答案】
【詳解】由，得到，圓心為，半徑為，
由題易知，所以四邊形的面積，
又，
所以當(dāng)最小時，即PC最小，此時，
所以直線的方程為，即，
由，解得，即，
所以，得到，
則以為圓心，為半徑的圓的方程為，
又是圓與圓的公共弦，
兩圓方程相減得到，所以直線的方程為，
故答案為：.
15．【答案】(1)9；
(2).
【詳解】（1）解：因為，
所以，解得，
所以，
則，
所以；
（2）解：，
，
，
設(shè)向量與夾角為，
所以，
所以向量與夾角的余弦值為．
16．【答案】(1)或
(2)
【詳解】（1）方法一：過點且斜率不存在的直線為，
圓的圓心到直線的距離，
即直線與圓相切，故滿足題意；
當(dāng)過點且斜率存在的直線為y=kx?1，
若直線y=kx?1與圓相切，
則，解得，此時滿足題意的直線為，
綜上所述，所求切線的方程為或.
方法二：所求切線經(jīng)過點，設(shè)其方程為.
則該直線到點的距離為，即.
所以，此即，得.
故或，從而所求切線的方程為或.
（2）方法一：如圖所示：
設(shè)點關(guān)于直線的對稱點，顯然，
則，解得，所以的坐標(biāo)為?2,3，
設(shè)與直線交于點，
則，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)重合，
所以的最小值為.
方法二：設(shè)Px,y，則，從而.
故
.
從而
.
當(dāng)，時，有，.
所以的最小值是.
17．【答案】(1)或
(2)
【詳解】（1）因為直線恒過定點，
若截距為，即直線經(jīng)過原點，則，此時直線的方程為，
若截距不為，不妨設(shè)直線方程為，代入，得，此時直線方程為，
則求過點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為或．
（2）設(shè)Mx,y，，則，得到，所以，
又點在上，所以，整理得，
故的軌跡方程為.
18．【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在；的長為或
【詳解】（1）連接，交于點，連接，
點是的中點，點是的中點，
所以,平面,平面，
所以平面；

（2）如圖，以向量，，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
即，，，則，
設(shè)平面的法向量，則，
令得，所以平面的法向量，
平面的一個法向量為，
設(shè)平面和平面的夾角為，
則，
所以平面和平面的夾角的余弦值為；

（3）由（2）知，，，，
，，，
，
由（2）知平面的法向量，
設(shè)直線與平面的夾角為，
則
整理得，解得或
故當(dāng)時，；當(dāng)時，
則的長為或．
19．【答案】(1)2，
(2)
(3)
【詳解】（1），
因，
則
（2）因，
令則，
即與有交點，
也即半圓與直線有交點，
如圖，先計算直線與半圓相切和經(jīng)過點時的情況.
由圓心到直線的距離解得，，
由圖知此時，即；
又由，代入點，解得，.
由圖知，要使兩者有交點，需使此時，
因 ，則有；
（3）設(shè)動點，則
，
因，所以，
①當(dāng)時，，
此時，當(dāng)且僅當(dāng)時取得；
②當(dāng)時，，
此時；
③當(dāng)時，，
此時，
又，
所以，
綜合得，
當(dāng)時取等號．
即的最小值為.
A．0
B．1
C． 3
D．2

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2024-2025學(xué)年廣西欽州市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題合集2套（附解析）：

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