一、選擇題，本大題共8小題，每小題5分，計40分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的，請在答題紙的指定位置填涂答案選項．
1. 計算等于（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】先利用角的變換將轉(zhuǎn)化為，再用兩角差的正弦展開，化簡后，逆用兩角和的正弦求解.
【詳解】
故選：A
本題主要考查了兩角和與差的正弦的正用和逆用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.
2. 設(shè)且則
A. B. C. D.
【正確答案】C
【詳解】[方法一]：
.
故選：C.
[方法二]：
又.
故選：C.
[方法三]：
由已知得，，去分母得，，
所以，
又因為，，
所以，即，
故選：C.
考點：同角間的三角函數(shù)關(guān)系，兩角和與差的正弦公式．
3. 設(shè)關(guān)于x的方程有實數(shù)解，則p是q的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】先結(jié)合輔助角公式及正弦函數(shù)性質(zhì)求出對應(yīng)的范圍，然后結(jié)合充分必要條件的定義即可判斷.
【詳解】因為，所以，即.
因為，
所以由可以推出，由不可以推出，所以是的充分不必要條件．
故選：A.
4. 如圖，在平行四邊形中，是的中點，與交于點，設(shè)，，則（ ）

A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】題意可得，即可得到，再根據(jù)平面向量線性運算計算即可.
【詳解】依題意在平行四邊形中，，
又是的中點，則，
又與交于點，
所以，則，
所以，
又，
所以
故選：A.
5. 已知向量，滿足，，則向量與的夾角的余弦值等于（ ）
A. 0B. C. D.
【正確答案】D
【分析】利用已知可求得，，進而利用向量的夾角公式可求.
【詳解】因為，兩邊平方得，所以，
，，
所以．
故選：D．
6. 設(shè)，則有（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】
先利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化，然后利用特殊角的三角函數(shù)值比較判斷.
【詳解】因為，
，
，
所以，
故選：A
7. 已知正方形的邊長為是它的外接圓的一條弦，點為正方形四條邊上的動點，當(dāng)弦的長度最大時，的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】作出圖形，結(jié)合向量的線性運算和數(shù)量積運算化簡，求的范圍可得 的取值范圍.
【詳解】當(dāng)弦的長度最大時，弦過正方形的外接圓的圓心，
因為正方形的邊長為2，所以圓的半徑為，
如下圖所示：
則，，
所以，.
因為點為正方形四條邊上的動點，所以，
又，所以，
故選：A.
8. 平面內(nèi)，定點，，，滿足，且，動點，滿足，，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的線性運算與垂直的性質(zhì)可得是正三角形，且是的中心，再以為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，再根據(jù)，結(jié)合三角函數(shù)設(shè)點的坐標(biāo)，進而表達出，結(jié)合三角函數(shù)的最值求解即可.
【詳解】由題，則到，，三點的距離相等，所以是的外心.
又，
變形可得，
所以，同理可得，，
所以是的垂心，
所以的外心與垂心重合，
所以是正三角形，且是的中心；
由，解得，
所以的邊長為；
如圖所示，以為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，
則，，，，
可設(shè)，其中，，而，
即是的中點，則，
，
當(dāng)時，取得最大值為．
故選：D．
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，計18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分進心的得部分分，有選錯的得0分，
9. 已知向量，則（ ）
A. B. 向量的夾角為
C. D. 在上的投影向量是
【正確答案】BD
【分析】由向量垂直坐標(biāo)表示計算即可求出判斷A；由向量夾角余弦公式結(jié)合向量夾角范圍即可求解判斷B；由向量模長公式即可計算求解判斷C；由投影向量公式計算即可求解判斷D.
【詳解】對于A，因為，
所以，
所以，故A錯誤；
對于B，由A可得，
又，故，即向量的夾角為.故B正確；
對于C，，所以，故C錯誤；
對于D，在上的投影向量是，故D正確.
故選：BD.
10. 已知函數(shù)，則下列函數(shù)判斷正確的是（ ）
A. 為奇函數(shù)
B. 的圖象關(guān)于直線對稱
C. 在上單調(diào)遞減
D. 的圖象關(guān)于點對稱
【正確答案】BC
【分析】利用三角降冪公式和輔助角公式，化簡函數(shù)解析式為，運用奇偶性定義判斷A項，利用代入檢驗法判斷B,D項，利用余弦函數(shù)的圖象判斷C項即可.
【詳解】由，
可得.
對于A，因，則為偶函數(shù)，故A錯誤；
對于B，因當(dāng)時，，，故的圖象關(guān)于直線對稱，即B正確；
對于C，當(dāng)時，，而在上單調(diào)遞減，故C正確；
對于D，當(dāng)時，，故函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，即D錯誤.
故選：BC.
11. 如圖，在梯形中，，，為線段的中點，與交于點，為線段上的一個動點，則（ ）
A.
B. 向量與共線
C.
D 若，則最大值
【正確答案】ACD
【分析】利用平面向量的基本定理求出關(guān)于、的表達式，可判斷A選項；利用平面向量的線性運算可得出關(guān)于、的表達式，結(jié)合平面向量共線的基本定理可判斷B選項；推導(dǎo)出，可得出、、面積的關(guān)系，可判斷C選項；分析可知存在，使得，利用平面向量的基本定理可得出關(guān)于的表達式，可求出的最大值，可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，由題意可知，，則，
因為為的中點，則，即，
所以，，
因為，則存在，使得，
因為、、三點共線，則存在，使得，
即，可得，
因為、不共線，所以，，解得，故，A對；
對于B選項，，
所以，、不共線，B錯；
對于C選項，因為為的中點，則，
因為，則，
故，同理可得，
所以，，C對；
對于D選項，因為為線段上一個動點，則存在，使得，
所以，，
因為、不共線，則，，故，
因此，的最大值為，D對.
故選：ACD.
關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于選擇基底，將問題中相關(guān)的向量利用基本向量加以表示，再結(jié)合平面向量相關(guān)知識求解.
第Ⅱ卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，計15分，請把答案寫在答題紙的指定位置上．
12. 已知向量，，，______．
【正確答案】
【分析】由向量的數(shù)量積運算，可得，結(jié)合完全平方公式展開，將，代入，即可求解.
【詳解】由，得，
即，
即，
又，，
解得.
故答案為.
13. 設(shè)向量，且，則________；＝________.
【正確答案】 ①. ## ②.
【分析】利用向量坐標(biāo)運算得到方程組，利用和角的三角公式展開化簡后即可求出的值，再運用二倍角公式與和角公式化簡所求式，最后化弦為切即得.
【詳解】由題意，，
化簡得，
由；
則
故；.
14. 在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是______.
【正確答案】8.
【詳解】，又，因此
即最小值為8.
【考點】三角恒等變換，切的性質(zhì)應(yīng)用
【名師點睛】消元與降次是高中數(shù)學(xué)中的主旋律，利用三角形中隱含的邊角關(guān)系作為消元依據(jù)是本題突破口，斜三角形中恒有，這類同于正、余弦定理，是一個關(guān)于切的等量關(guān)系，平時應(yīng)多總結(jié)積累常見的三角恒等變形，提高轉(zhuǎn)化問題能力，培養(yǎng)消元意識．此類問題的求解有兩種思路：一是邊化角，二是角化邊．
四、解答題：本大題共5小題，計77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)城內(nèi)．
15. 已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求實數(shù)的值；
（3）若與的夾角是鈍角，求實數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
（3）且
【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運算列式求解的值，從而得模長；
（2）根據(jù)向量的坐標(biāo)的線性運算得的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運算求解實數(shù)的值；
（3）根據(jù)向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系求解即可.
【小問1詳解】
因為向量，且，
所以，解得，
所以.
【小問2詳解】
因為，且，
所以，解得.
【小問3詳解】
因為與的夾角是鈍角，
則且與不共線，
即且，
所以且.
16. 已知銳角的終邊與單位圓相交于點.
（1）求實數(shù)及的值；
（2）求的值；
（3）若，且，求的值.
【正確答案】（1），；
（2）
（3）
【分析】（1）由題意列式即可求解m，再由正切函數(shù)定義即可得解；
（2）由銳角的終邊上點的坐標(biāo)求得，結(jié)合余弦兩角和公式和倍角公式即可計算得解；
（3）由和角的范圍，求得，再巧妙地把所求轉(zhuǎn)化為，然后借助正弦兩角差公式即可計算得解.
【小問1詳解】
由于點在單位圓上，且是銳角，可得，，
則，；
【小問2詳解】
因為銳角的終邊與單位圓相交于點，所以，，
可得，，
所以.
【小問3詳解】
因為為銳角，所以，又，所以，
因為，所以，
所以.
17. 如圖，在矩形中，點在邊上，，且.M是線段上一動點.

（1）M是線段的中點，求的值；
（2）若，求的最小值.
【正確答案】（1）30 （2）
【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算結(jié)合數(shù)量積的運算律，即可求得答案.
（2）建立平面直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點坐標(biāo)，，利用，求得m的值，即可求得的表達式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.
【小問1詳解】
因，故，
所以
,
又在矩形中，,
故.
【小問2詳解】
如圖，以A為坐標(biāo)原點，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則，設(shè),
則，
故由得，，即，
由于M點在上，設(shè)，
則，
則，即，故，
所以，
，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值.
18. 某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費者，工藝品的平面設(shè)計如圖所示，該工藝品由直角和以為直徑的半圓拼接而成，點P為半圈上一點（異于），點H在線段上，且滿足.已知，設(shè).
（1）為了使工藝禮品達到最佳觀賞效果，需滿足，且達到最大，當(dāng)為何值時，工藝禮品達到最佳觀賞效果；
（2）為了工藝禮品達到最佳穩(wěn)定性便于收藏，需滿足，且達到最大.當(dāng)為何值時，取得最大值，并求該最大值.
【正確答案】（1）
（2），最大值為
【分析】（1）由，則在直角中，，，計算得到，計算最值得到答案.
（2）計算，得到，得最值.
【小問1詳解】
由，在直角中，，；
在直角中，，
；
，
所以當(dāng)，即時，的最大值為，
即時，工藝禮品達到最佳觀賞效果；
【小問2詳解】
在直角中，由，
可得；
在直角中，，
所以，，
所以
，
所以當(dāng)時，取得最大值，且最大值為.
19. 如圖，是單位圓（圓心為）上兩動點，是劣?。ê它c）上動點.記（均為實數(shù)
（1）若到弦的距離是，
（i）當(dāng)點恰好運動到劣弧的中點時，求的值；
（ii）求的取值范圍；
（2）若，記向量和向量夾角為，求的最小值.
【正確答案】（1）（i）；（ii）
（2）
【分析】（1）根據(jù)題意，又直線與圓的位置關(guān)系，得，（i）可由圓的幾何性質(zhì)得，從而按照數(shù)量積的定義求得結(jié)果；（ii）以為基底向量，所求向量用基底表示，進而轉(zhuǎn)換為夾角余弦值求范圍；
（2）以為基底向量，平方處理基底向量線性運算的模問題，根據(jù)已知不等式求得夾角余弦值的范圍，則所求兩個線性運算向量的夾角可轉(zhuǎn)換成基底向量夾角余弦值的函數(shù)關(guān)系，利用復(fù)合函數(shù)關(guān)系求得最值即可.
【小問1詳解】
解：由到弦的距離是，可得，故
（i）由圓的幾何性質(zhì)得，
故
（ii）記劣弧的中點為，且
①
②
①+②得
進一步得：
，
其中
故的取值范圍為：
【小問2詳解】
解：記，由兩邊平方，得
，又，∴
∴
故
又和向量的夾角為，
記，
顯然關(guān)于單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，.

相關(guān)試卷

2024-2025學(xué)年江蘇省江陰市高一下冊第一次月考數(shù)學(xué)階段檢測試題（附解析）：

這是一份2024-2025學(xué)年江蘇省江陰市高一下冊第一次月考數(shù)學(xué)階段檢測試題（附解析），共17頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024-2025學(xué)年江蘇省東臺市高一下冊第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）：

這是一份2024-2025學(xué)年江蘇省東臺市高一下冊第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析），共14頁。試卷主要包含了單項選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上冊第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（含解析）：

這是一份2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上冊第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（含解析），共21頁。試卷主要包含了選擇題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上冊第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上冊第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題
2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上冊期中數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上冊期中數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）
2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）
2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)階段性檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)階段性檢測試卷（含解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部