一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.
1．過點且斜率為1的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知直線過，兩點，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
3．圓心在軸上，半徑為，且過點的圓的方程為（ ）．
A． B．
C．D．
4．若直線與直線平行，則實數(shù)a的值為（ ）
A．0B．1C．D．
5．設(shè)，則直線：與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相離B．相切C．相交或相切D．相交
6．已知兩定點、，動點在直線上，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
7．已知，過點的直線與線段不相交，則直線斜率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．或D．或
8．若圓上有四個不同的點到直線的距離為，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分.
9．已知為兩條不重合的直線，則下列說法中正確的有（ ）
A．若斜率相等，則平行
B．若平行，則的斜率相等
C．若的斜率乘積等于，則垂直
D．若垂直，則的斜率乘積等于．
10．已知直線，其中，則（ ）
A．當時，直線與直線垂直
B．若直線與直線平行，則
C．直線過定點
D．當時，直線在兩坐標軸上的截距相等
11．已知圓：，下列說法正確的是（ ）
A．的取值范圍是
B．若，過的直線與圓相交所得弦長為，方程為
C．若，圓與圓相交
D．若，，，直線恒過圓的圓心，則恒成立
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.
12．在平面直角坐標系xOy中，直線被圓截得的弦長為 .
13．直線過點且與直線垂直，則直線與坐標軸圍成的三角形面積為
14．已知圓C：，若直線上總存在點P，使得過點P的圓C的兩條切線夾角為，則實數(shù)k的取值范圍是
四、解答題：本題共5小題（13+15+15+17+17 ）滿分77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．已知三個頂點的坐標分別是.
(1)求的面積
(2)求外接圓的方程
16．已知直線過點，且其傾斜角是直線的傾斜角的
（1）求直線的方程；
（2）若直線與直線平行，且點到直線的距離是，求直線的方程．
17．在平面直角坐標系中，直線與的交點為，以為圓心作圓，圓上的點到軸的最小距離為．
（Ⅰ）求圓的標準方程；
（Ⅱ）過點作圓的切線，求切線的方程．
18．已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．
（1）證明：直線l過定點；
（2）若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；
（3）若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程．
19．已知半徑為 的圓C的圓心在 軸的正半軸上，且直線與圓相切．
(1)求圓的標準方程．
(2)若 是圓C上任意一點，求的取值范圍
(3)已知，為圓上任意一點，試問在 軸上是否存在定點（異于點），使得為定值？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．
1．D
【分析】由直線方程的點斜式可直接寫出方程，化簡即可.
【詳解】根據(jù)題意可得直線為，化簡得.
故選：D
2．C
【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的斜率，再求出傾斜角.
【詳解】依題意，直線的斜率，所以直線的傾斜角為.
故選：C
3．D
【分析】設(shè)圓心為，則圓的方程為，再根據(jù)圓過點，求出的值，即可得解.
【詳解】依題意設(shè)圓心為，則圓的方程為，
又，解得，所以圓的方程為.
故選：D
4．B
【分析】由題意得，解出來并檢驗即可.
【詳解】由題意得，，解得，當時，兩直線均為（重合），經(jīng)檢驗滿足題意.
故選：B.
5．C
【分析】求出直線恒過的定點，根據(jù)定點與圓的關(guān)系可得答案.
【詳解】因為，所以，即直線恒過定點；
因為點恰在上，所以直線和圓的位置關(guān)系是相交或相切.
故選：C.
6．D
作出圖形，可知點、在直線的同側(cè)，并求出點關(guān)于直線的對稱點的坐標，即可得出的最小值為.
【詳解】如下圖所示：
由圖形可知，點、在直線的同側(cè)，且直線的斜率為，
設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為點，則，
解得，，即點，
由對稱性可知，
故選：D.
本題考查位于直線同側(cè)線段和的最小值的計算，一般利用對稱思想結(jié)合三點共線求得，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.
7．A
【分析】求出直線的斜率，再結(jié)合圖形即可得解.
【詳解】因為，，
所以直線的斜率分別為，
由圖形知，當或，即或時，直線l與線段AB相交，
所以直線與線段不相交時，直線l斜率k的取值范圍為.
故選：A.
8．C
【分析】求出與直線平行且到直線的距離為的直線的方程分別為、，由題意可知，這兩條直線與圓都相交，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，即可解得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】將圓的方程化為標準方程為，圓心為，半徑為，
設(shè)與直線平行且到直線的距離為的直線的方程為，
則，解得或，
所以，直線、均與圓相交，
所以，，解得，
因此，實數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
9．AC
【分析】利用兩直線平行或垂直與斜率之間的關(guān)系逐項判斷即可得出結(jié)論.
【詳解】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系可知若斜率相等，則平行；
若平行，當都與軸平行時，的斜率不存在，即可得A正確，B錯誤；
易知若的斜率乘積等于，則垂直；
若垂直,當與軸平行，與軸平行時，直線的斜率為，的斜率不存在，即可得C正確，D錯誤；
故選：AC
10．AC
【分析】計算直線斜率判斷A；由平行求出參數(shù)值判斷B；求出直線過的定點判斷C；求出直線的截距判斷D.
【詳解】對于A，當時，直線的方程為，其斜率為1，而直線的斜率為，
因此當時，直線與直線垂直，A正確；
對于B，若直線與直線平行，則，解得或，B錯誤；
對于C，當時，，與無關(guān)，則直線過定點，C正確；
對于D，當時，直線的方程為，在兩坐標軸上的截距分別是，1，不相等，D錯誤.
故選：AC
11．ACD
【分析】根據(jù)圓的一般方程可判斷A；利用點到直線的距離為可判斷B；時很容易判斷C；直線恒過圓的圓心，可得，利用基本不等式可判斷D.
【詳解】對于A，方程表示圓可得，解得，故A正確；
對于B，若，可得圓方程：，
過的直線與圓相交所得弦長為，
則圓心到直線的距離為，當直線的斜率不存在時，，滿足條件，故B不正確；
對于C，，，圓心，半徑為，故C正確；
對于D，直線恒過圓的圓心，
可得，，
當且僅當時取等號，故D正確.
故選：ACD.
12．4
【分析】先根據(jù)點到直線的距離求出弦心距，然后利用弦，弦心距和半徑的關(guān)系可求得結(jié)果.
【詳解】圓的圓心為，半徑，
則圓心到直線的距離為，
所以所求弦長為，
故4
13．9
【分析】根據(jù)直線垂直求出直線的方程，再求出直線與坐標軸的交點，進而可得與坐標軸圍成的三角形面積.
【詳解】直線過點且與直線垂直，直線的斜率為，得直線的斜率為2，
故直線的方程為，即，
當時，，當時，，
所以直線與坐標軸圍成的三角形面積為.
故9
14．或．
【分析】根據(jù)切線夾角分析出，由圓心到直線的距離不大于4列出不等式求解可得．
【詳解】圓，則圓心為，半徑，
設(shè)兩切點為，則，因為，在中，，所以,
因此只要直線上存在點，使得即可滿足題意．
圓心，所以圓心到直線的距離，解得或．
故或．

15．(1)
(2)
【分析】（1）利用斜率可得，則，由已知數(shù)據(jù)求解即可；
（2）由，外接圓是以線段AB為直徑的圓，求出圓心和半徑即可得外接圓的方程.
【詳解】（1）三個頂點的坐標分別是，
直線的斜率，直線的斜率，
則，即.
，，
.
（2）由，外接圓是以線段AB為直徑的圓，
線段的中點為，半徑，
所以外接圓的方程是.
16．（1）；（2）或．
【分析】（1）先求得直線的傾斜角，由此求得直線的傾斜角和斜率，進而求得直線的方程；
（2）設(shè)出直線的方程，根據(jù)點到直線的距離列方程，由此求解出直線的方程．
【詳解】解（1）直線的傾斜角為，
∴直線的傾斜角為，斜率為，
又直線過點，
∴直線的方程為，即；
（2）設(shè)直線的方程為，則點到直線的距離
，
解得或
∴直線的方程為或
17．（Ⅰ）；（Ⅱ）或．
【分析】（Ⅰ）求出點的坐標，設(shè)圓的半徑為，圓上的點到軸的最小距離為1求得的值，由此可得出圓的標準方程；
（Ⅱ）對切線的斜率是否存在進行分類討論，當切線的斜率不存在時，可得切線方程為，驗證即可；當切線的斜率存在時，可設(shè)所求切線的方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑可求得的值，綜合可得出所求切線的方程.
【詳解】（Ⅰ）聯(lián)立方程組，解得，即點．
設(shè)圓的半徑為，由于圓上的點到軸的最小距離為，則，所以，
故圓的標準方程為；
（Ⅱ）若切線的斜率不存在，則所求切線的方程為，圓心到直線的距離為，不合乎題意；
若切線的斜率存在，可設(shè)切線的方程為，即，
圓的圓心坐標為，半徑為，由題意可得，整理得，
解得或．
故所求的切線方程為或．
本題考查圓的標準方程的求解，同時也考查了過圓外一點的圓的切線方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.
18．（1）證明見解析；（2）；（3）S的最小值為4，直線l的方程為x－2y＋4＝0．
【分析】（1）直線方程化為y＝k（x＋2）＋1，可以得出直線l總過定點；
（2）考慮直線的斜率及在y軸上的截距建立不等式求解；
（3）利用直線在坐標軸上的截距表示出三角形的面積，利用均值不等式求最值，確定等號成立條件即可求出直線方程.
【詳解】（1）證明：
直線l的方程可化為y＝k（x＋2）＋1，故無論k取何值，直線l總過定點（－2，1）．
（2）直線l的方程為y＝kx＋2k＋1，則直線l在y軸上的截距為2k＋1，要使直線l不經(jīng)過第四象限，則解得k≥0，故k的取值范圍是．
（3）依題意，直線l在x軸上的截距為，在y軸上的截距為1＋2k，
∴A，B（0，1＋2k）．
又且1＋2k＞0，
∴k＞0．
故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，
當且僅當4k＝，即k＝時，取等號．
故S的最小值為4，此時直線l的方程為x－2y＋4＝0．
19．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由題意圓心坐標為，可設(shè)出圓標準方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，從而可得出答案.
（2）若 Mx,y是圓C上任意一點，則表示圓上任意一點到點距離的平方，畫出圖可知最大值為，最小值為，然后求解取值范圍即可.
（3）設(shè)，Px,y，分別表示出，由為定值得出答案.
【詳解】（1）依題可設(shè)圓心坐標為，
則圓的方程為，
因為直線與圓相切，
所以點到直線的距離，
因為，所以，故圓的標準方程為.
（2）
若 Mx,y是圓C上任意一點，
則表示圓上任意一點到點距離的平方，
所以的最大值為，
的最小值為：
，
所以的取值范圍為：
（3）假設(shè)存在定點，設(shè)，Px,y ，
則，
則，當，即，（舍去）時，為定值，
且定值為，故存在定點，且的坐標為0,3.
2024-2025學(xué)年江蘇省徐州市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷
（二）
一、單選題
1．已知過點M（－2，a），N（a，4）的直線的斜率為－12，則MN＝（ ）
A.10 B.180 C.63 D.65
解析：D 由kMN＝a－4－2－a＝－12，解得a＝10，即M（－2，10），N（10，4），所以MN＝(?2－10）2＋（10－4）2＝65，故選D.
本題主要考查了圓的一般方程，充分條件，必要條件，屬于中檔題.
2．經(jīng)過點作圓的弦，使得點平分弦，則弦所在直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【正確答案】A
【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，得到過點且被點平分的弦所在的直線和圓心與的連線垂直，求得，進而求得所求直線的斜率，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解.
由題意，圓，可得圓心坐標為，
點在圓C內(nèi)，則過點且被點平分的弦所在的直線和圓心與的連線垂直，
又由，所以所求直線的斜率為1，且過點，
可得所求直線方程為，即．
故選：A
3．已知點P在橢圓C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點，滿足PF1⊥PF2，△PF1F2的面積為12，橢圓C的焦距為8，則橢圓C的標準方程為( )
A. eq \f(x2,88)＋ eq \f(y2,24)＝1 B. eq \f(x2,76)＋ eq \f(y2,12)＝1 C. eq \f(x2,40)＋ eq \f(y2,24)＝1 D. eq \f(x2,28)＋ eq \f(y2,12)＝1
答案：D
4．已知點，，若，則直線的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【正確答案】C
根據(jù)題意，設(shè)直線的傾斜角為，由的坐標求出直線的斜率，結(jié)合的范圍可得即的取值范圍，又由正切函數(shù)的性質(zhì)分析可得的范圍，即可得答案.
解：根據(jù)題意，設(shè)直線的傾斜角為，
點，，則直線的斜率，
又由，則的取值范圍為，，
即的范圍為，，又由，則
故選：C.
5．若圓與圓關(guān)于直線對稱，則
A．B．
C．D．
【正確答案】A
【分析】根據(jù)題意，圓的圓心C與關(guān)于直線對稱，且半徑為求出C的坐標，由軸對稱的性質(zhì)建立關(guān)于a、b的方程組，解出a、b，可得的值．
圓的圓心為原點，半徑為1
與圓關(guān)于直線對稱的圓，設(shè)其圓心為C
則C與關(guān)于直線對稱，且半徑也為1，
，解之得，
由此可得．
故選A．
本題給出圓C與單位圓關(guān)于某直線對稱，求圓心坐標著重考查了圓的方程、直線的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．
6．已知點，點，點在圓上，則使得的點的個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【正確答案】C
【分析】利用求出點的軌跡方程為，再根據(jù)圓心距與兩圓的半徑的和的大小關(guān)系可得兩圓相交，從而可得結(jié)果.
因為點，點，且，所以點的軌跡是以為直徑的圓，
圓心，半徑為，其方程為，
所以兩圓的圓心距為，兩圓的半徑和為，
因為，所以兩圓相交，所以滿足條件的點的個數(shù)為，
故選：C
7．已知，且滿足，則 的最小值為
A．B．C．D．
【正確答案】C
為直線上的動點，為直線上的動點，
可理解為兩動點間距離的最小值，
顯然最小值即兩平行線間的距離.
故選C
8．已知，直線，為上的動點．過點作的切線，，切點為，，當最小時，直線的方程為
A．B．C．D．
解：化圓為，
圓心，半徑．
．
要使最小，則需最小，此時與直線垂直．
直線的方程為，即，
聯(lián)立，解得．
則以為直徑的圓的方程為．
聯(lián)立，相減可得直線的方程為．
故選：．
二、多選題
9．關(guān)于方程，下列說法正確的是( )
A.若m＞n＞0，則該方程表示橢圓，其焦點在y軸上
B.若m＝n＞0，則該方程表示圓，其半徑為n
C.若n＞m＞0，則該方程表示橢圓，其焦點在x軸上
D.若m＝0，n＞0，則該方程表示兩條直線
答案：ACD
解析：對于A，若m＞n＞0，則mx2＋ny2＝1可化為x21m＋y21n＝1，因為m＞n＞0，所以1m＜1n，即該方程表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確；對于B，若m＝n＞0，則mx2＋ny2＝1可化為x2＋y2＝1n，此時該方程表示圓心在原點，半徑為nn的圓，故B錯誤；對于C，同A，可知其正確；對于D，若m＝0，n＞0，則mx2＋ny2＝1可化為y2＝1n，即y＝±nn ，此時該方程表示平行于x軸的兩條直線，故D正確．
10．已知圓：，下列說法正確的是（ ）
A．的取值范圍是
B．若，過的直線與圓相交所得弦長為，方程為
C．若，圓與圓相交
D．若，，，直線恒過圓的圓心，則恒成立
【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)圓的一般方程可判斷A；利用點到直線的距離為可判斷B；時很容易判斷C；直線恒過圓的圓心，可得，利用基本不等式可判斷D.
對于A，方程表示圓可得，解得，故A正確；
對于B，若，可得圓方程：，
過的直線與圓相交所得弦長為，
則圓心到直線的距離為，當直線的斜率不存在時，，滿足條件，故B不正確；
對于C，，，圓心，半徑為，故C正確；
對于D，直線恒過圓的圓心，
可得，，
當且僅當時取等號，故D正確.
故選：ACD.
11．已知圓，直線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線l恒過定點
B．當時，圓C上有且僅有三個點到直線l的距離都等于1
C．圓C與曲線恰有三條公切線，則
D．當時，直線l上動點P向圓C引兩條切線PA，PB，其中A，B為切點，則直線AB經(jīng)過點
【正確答案】CD
【分析】對A將直線化成，則，解出即為定點；對B直接計算圓心到直線的距離與1的大小關(guān)系，即可判斷B，對C，直接將代入，通過幾何法判斷兩圓位置關(guān)系即可，對D，設(shè)點，利用兩點直徑式方程寫出以為直徑的圓的方程，兩圓方程作差，得到公共弦所在直線方程，化成關(guān)于參數(shù)的方程，即可求出定點坐標.
由直線:,,整理得:,故,解得,即經(jīng)過定點,故A錯誤;
當時,直線為,
圓心到直線的距離
故圓上有四個點到直線的距離都等于1,故B錯誤;
圓,其半徑，
圓,
當時, ,整理得
，其半徑
圓心距為，
故兩圓相外切,恰有三條公切線,故C正確;
當時,直線的方程為,
設(shè)點,圓的圓心,半徑為,
以線段為直徑的圓的方程為:
,
即,
又圓的方程為,
兩圓的公共弦的方程為
整理得,即,解得,
即直線經(jīng)過點,故D正確.
故選：CD.
三、填空題
12．過定點且傾斜角是直線的傾斜角的兩倍的直線截距式方程為 ．
【正確答案】/
【分析】求出所求直線的斜率，可得出所求直線的點斜式方程，化為截距式方程即可得解.
直線的斜率為，傾斜角為，
故所求直線的傾斜角為，所求直線的斜率為，
所求直線方程為，即，截距式方程為.
故答案為.
13．已知、是橢圓C：的兩個焦點，點在C上，則的最大值為 ．
【正確答案】25
【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合基本不等式可求得結(jié)果.
【詳解】由，得，
因為點在C上，所以，
所以，當且僅當時取等號，
所以，得，當且僅當時取等號，
所以的最大值為25.
故25
14．若曲線與直線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是 .
【正確答案】
【分析】作出曲線與直線的圖象，考慮直線與曲線相切以及直線過點時實數(shù)的值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由可知，整理可得，
所以，曲線表示圓的上半圓，
作出曲線與直線的圖象如下圖所示：
當直線與圓相切，且切點在第二象限時，
則有，解得，
當直線過點時，，.
由圖可知，當時，直線與曲線有兩個公共點.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為.
四、解答題
15．已知直線；.
（1）若，求的值；
（2）若，且直線與直線之間的距離為，求、的值．
【正確答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）由兩直線垂直，可得斜率乘積為，列方程可得答案；
（2）由兩直線平行，斜率相等可求出的值，再由兩平行線間的距離公式列方程可求出的值
解：（1）設(shè)直線的斜率分別為，則．
若，則，，
（2）若，則，
∴可以化簡為，
又直線與直線的距離，
或，
綜上.
16．已知圓C1：(x-4)2+(y-2)2=4和圓C2：(x-1)2+(y-3)2=9．
（1）試判斷兩圓的位置關(guān)系，若相交，求出公共弦所在的直線方程;
（2）若直線l過點(1，0)且與圓C1相切，求直線l的方程．
【正確答案】（1）相交；6x-2y-15=0；（2）y=0或12x-5y-12=0．
【分析】（1）求得圓心和半徑，然后結(jié)合圓心距以及的關(guān)系判斷兩個圓的位置關(guān)系，兩個圓方程相減求得公共弦所在的直線方程.
（2）設(shè)出直線的方程，利用直線與圓相切的知識列方程，由此求得直線的斜率，從而求得直線的方程.
（1）由題意得C1(4，2)，r1=2，C2(1，3)，r2=3，
∴|C1C2|=，r2-r1

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