一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 過 兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（ ）
A B. C. D.
2. 已知點(diǎn)、，則線段的垂直平分線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知直線與直線平行，則它們之間的距離為（ ）
A. B. C. D.
4. 已知圓與圓有4條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為2，那么直線的斜率的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則的面積的最大值為（ ）
A. 1B. C. D.
8. 已知圓：和點(diǎn)，若圓上存在兩點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 直線恒過定點(diǎn)
B. 經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為直線方程為
C. 經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線方程為
D. 截距相等的直線都可以用方程表示
10. 已知圓，則下列說法正確的是（ ）
A. 圓的半徑為
B. 圓截軸所得的弦長(zhǎng)為
C. 圓與圓相外切
D. 若圓上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
11. 數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念、公式符號(hào)、推理論證、思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線，下列說法正確的有（ ）
A. 曲線圍成的圖形有條對(duì)稱軸
B. 曲線圍成的圖形的周長(zhǎng)是
C. 若是曲線上任意一點(diǎn)，的最小值是
D. 曲線上的任意兩點(diǎn)間的距離不超過
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12. 過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為_____________
13. 如果直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，那么實(shí)數(shù)_________.
14. 已知圓的方程為，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線為切點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為__________；直線__________過定點(diǎn).
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知直線過點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若與OM垂直，求直線的方程；
（2）若O到距離為2，求直線的方程．
16. 求下列圓的方程
（1）若圓的半徑為，其圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的圓與直線相切于點(diǎn)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
17. 已知圓，圓，，分別為兩圓的圓心.
（1）求圓和圓的公共弦長(zhǎng)；
（2）過點(diǎn)的直線交圓于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.
18. 已知點(diǎn)、，設(shè)過點(diǎn)的直線與的邊交于點(diǎn)（其中點(diǎn)異于、兩點(diǎn)），與邊交于（其中點(diǎn)異于、兩點(diǎn)），若設(shè)直線的斜率為.
（1）試用來(lái)表示點(diǎn)和坐標(biāo)；
（2）求的面積關(guān)于直線的斜率的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值？并求此最大值.
19. 已知的圓心在直線上，點(diǎn)C在y軸右側(cè)且到y(tǒng)軸的距離為1，被直線l：截得的弦長(zhǎng)為2.
（1）求的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)滿足，（O為原點(diǎn)）記點(diǎn)的軌跡為.
①求曲線的方程；
②過點(diǎn)直線與曲線交于A，B兩點(diǎn)，問在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N，使得x軸平分∠ANB？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
2024-2025學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市高二上學(xué)期第一次月考（10月）數(shù)學(xué)
檢測(cè)試題
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 過 兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的斜率，結(jié)合直線傾斜角的范圍即可得出結(jié)果.
【詳解】由已知直線的斜率為 ，
所以傾斜角．
故選：D.
2. 已知點(diǎn)、，則線段的垂直平分線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】利用斜率計(jì)算公式可得：，線段的中點(diǎn)為，即可得出線段的垂直平分線的方程．
【詳解】，線段的中點(diǎn)為，
線段的垂直平分線的方程是，化為：，
故選：A．
3. 已知直線與直線平行，則它們之間的距離為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】
利用兩直線平行求出的值，再利用兩平行線間的距離公式即可求解.
【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，
所以，可得，
所以，即，
所以兩平行間距離公式可得，
故選：A
4. 已知圓與圓有4條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)公切線的條數(shù)可知兩圓外離得：。
【詳解】根據(jù)題意可知，圓外離，，又．
故選：D
5. 已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線，則圓標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】先設(shè)圓心的坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)在線上及兩點(diǎn)間距離得出，再求出半徑，得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】設(shè)圓心的坐標(biāo)為.
因?yàn)閳A心在直線上，所以①，
因?yàn)槭菆A上兩點(diǎn)，所以，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，有，即②，
由①②可得.所以圓心的坐標(biāo)是），圓的半徑.
所以，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
故選:C.
6. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為2，那么直線的斜率的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意，求出點(diǎn)的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合求得直線的斜率范圍.
【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)Mx,y，則，
化簡(jiǎn)得，
所以點(diǎn)的軌跡為圓，
如圖，過點(diǎn)作圓的切線，連接，則，，
所以，同理，
則直線的斜率范圍為.
故選：C.

7. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則的面積的最大值為（ ）
A. 1B. C. D.
【正確答案】D
【分析】求得直線過定點(diǎn)以及圓心到直線的距離的取值范圍，得出的面積的表達(dá)式利用三角函數(shù)單調(diào)性即可得出結(jié)論.
【詳解】根據(jù)題意可得直線恒過點(diǎn)，該點(diǎn)在已知圓內(nèi)，
圓的圓心為，半徑，作于點(diǎn)，如下圖所示：
易知圓心到直線的距離為，所以，
又，可得；
因此可得，
所以的面積為.
故選：D
8. 已知圓：和點(diǎn)，若圓上存在兩點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】通過將圓與兩條切線的夾角轉(zhuǎn)化成直角三角形中的邊角關(guān)系進(jìn)行求解，數(shù)形結(jié)合加以求解.
【詳解】圓：，圓心，半徑，如圖所示：

由圖可知，當(dāng)和與圓相切時(shí)，最大，要使圓上存在兩點(diǎn)使得，則， ，即，解得，
故選：B.
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓相切，從而轉(zhuǎn)化成直角三角形中的計(jì)算問題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 直線恒過定點(diǎn)
B. 經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為
C. 經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線方程為
D. 截距相等的直線都可以用方程表示
【正確答案】AC
【分析】分離參數(shù)可判斷直線過定點(diǎn)，即可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)兩點(diǎn)可確定斜率，進(jìn)而可得直線方程，即可判斷C選項(xiàng)，根據(jù)直線截距式及其應(yīng)用條件可判斷D選項(xiàng).
【詳解】A選項(xiàng)：直線可化為，
令，解得，
即直線恒過定點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，不存在，直線方程為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：經(jīng)過兩點(diǎn)Mx1,y1，Nx2,y2的直線斜率，則直線方程為，C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)：當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，截距相等，此時(shí)直線方程為，時(shí)不能用表示，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：AC.
10. 已知圓，則下列說法正確的是（ ）
A. 圓的半徑為
B. 圓截軸所得的弦長(zhǎng)為
C. 圓與圓相外切
D. 若圓上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【正確答案】BCD
【分析】將圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式，可得圓心與半徑，進(jìn)而判斷各選項(xiàng).
【詳解】將圓化為，
圓心，半徑，A錯(cuò)誤；
圓心到軸的距離為，所以弦長(zhǎng)為，B正確；
又圓，可知圓心，半徑，
所以，即圓與圓外切，C正確；
點(diǎn)到直線的距離，
當(dāng)直線與圓相離或相切時(shí)，，
又圓上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為，
所以，
即，解得或，
當(dāng)直線與圓相交時(shí)，，
又圓上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為，
所以，
即，解得或，
綜上所述或，D選項(xiàng)正確；
故選：BCD.
11. 數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念、公式符號(hào)、推理論證、思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線，下列說法正確的有（ ）
A. 曲線圍成的圖形有條對(duì)稱軸
B. 曲線圍成的圖形的周長(zhǎng)是
C. 若是曲線上任意一點(diǎn)，的最小值是
D. 曲線上的任意兩點(diǎn)間的距離不超過
【正確答案】BCD
【分析】分情況去掉絕對(duì)值，可得曲線的四段關(guān)系式，進(jìn)而作出曲線的圖像，即可判斷各選項(xiàng).
【詳解】當(dāng)，時(shí)，曲線方程可化，
即，是以為圓心，為半徑的圓在第一象限的半圓，
同理可作出其他象限內(nèi)的圖象，且在曲線上，如圖所示，

A選項(xiàng)：曲線圍城的圖形有條對(duì)稱軸，分別是直線，，，，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：曲線圍成的圖形的周長(zhǎng)為，B正確；
C選項(xiàng)：到直線的距離為，
且點(diǎn)到直線的距離為，
由圓的性質(zhì)，曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離最小值為，即，
所以的最小值是，C正確；
D選項(xiàng)：綜上，易知曲線上任意兩點(diǎn)間的距離最大值為，D正確；
故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12. 過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為_____________
【正確答案】或
【分析】根據(jù)兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，先設(shè)直線方程，再根據(jù)點(diǎn)在線上求參即可得出直線方程.
【詳解】因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零
所以設(shè)直線方程為或,
再因?yàn)橹本€過點(diǎn)可得，
,可得.
所以直線方程為或.
故或.
13. 如果直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，那么實(shí)數(shù)_________.
【正確答案】5或
【分析】先將圓的一般方程化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，根據(jù)弦長(zhǎng)關(guān)系即可求出.
【詳解】由題意知可化為，
可知圓心坐標(biāo)為，半徑，
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)關(guān)系可得
解之可得或.
故5或
14. 已知圓的方程為，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線為切點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為__________；直線__________過定點(diǎn).
【正確答案】 ①. ②.
【分析】根據(jù)切線的相關(guān)性質(zhì)將四邊形面積化為，即求出最小值即可，即圓心到直線的距離；又可得四點(diǎn)在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求出圓的方程可得直線方程，即可得出定點(diǎn).
【詳解】由圓得圓心，半徑，
由題意可得,
中，，
，
可知當(dāng)垂直直線時(shí)，，
所以四邊形的面積的最小值為，
可得四點(diǎn)在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，
設(shè)，則圓心為，半徑為，
則該圓方程為，
整理可得，
聯(lián)立兩圓可得直線AB的方程為，即
可得當(dāng)時(shí)，，故直線過定點(diǎn).
故；.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知直線過點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若與OM垂直，求直線的方程；
（2）若O到的距離為2，求直線的方程．
【正確答案】（1）
（2）或
【分析】（1）由點(diǎn)，求得直線的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；
（2）分直線斜率存在和斜率不存在，兩種情況，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.
【小問1詳解】
解：因?yàn)辄c(diǎn)，可得，則直線的斜率，
所以直線的方程為，即．
【小問2詳解】
解：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，即，
由，解得，直線l方程為；
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，的方程為，原點(diǎn)到的距離為2，
綜上可得，直線的方程為或．
16. 求下列圓的方程
（1）若圓的半徑為，其圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的圓與直線相切于點(diǎn)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由對(duì)稱性確定圓心為，由此可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由圓心在直線垂直平分線上，直線與直線垂直，可求得圓心的坐標(biāo)，并利用兩點(diǎn)間距離公式求得半徑，由此可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【小問1詳解】
點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，
圓是以為圓心，為半徑的圓，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
兩點(diǎn)在圓上，圓的圓心在垂直平分線上；
，中點(diǎn)為，垂直平分線方程為；
直線與圓相切于點(diǎn)，直線與直線垂直，
，直線方程為：，即；
由得：，圓心，半徑，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
17. 已知圓，圓，，分別為兩圓的圓心.
（1）求圓和圓的公共弦長(zhǎng)；
（2）過點(diǎn)的直線交圓于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.
【正確答案】（1）
（2）或
【分析】（1）聯(lián)立兩圓方程，可得公共弦方程，再結(jié)合垂徑定理可得公共弦長(zhǎng)；
（2）由可得及點(diǎn)到直線的距離，設(shè)直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離可得解.
【小問1詳解】
如圖所示，
聯(lián)立圓與，
即，得，
即直線的方程為，
由，可化為，
則，
圓心到直線的距離，
弦長(zhǎng)；
【小問2詳解】
如圖所示，
將化為，
可得，半徑，
設(shè)為中點(diǎn)，易知，
則，
解得，
即，得，
過作直線，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)到直線距離為不成立；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，
此時(shí)點(diǎn)到直線的距離，
解得或，
即直線方程為或.
18. 已知點(diǎn)、，設(shè)過點(diǎn)的直線與的邊交于點(diǎn)（其中點(diǎn)異于、兩點(diǎn)），與邊交于（其中點(diǎn)異于、兩點(diǎn)），若設(shè)直線的斜率為.
（1）試用來(lái)表示點(diǎn)和的坐標(biāo)；
（2）求的面積關(guān)于直線的斜率的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值？并求此最大值.
【正確答案】（1），
（2）
（3）當(dāng)時(shí)，取最大值為
【分析】（1）由直線與線段有公共點(diǎn)，可得的取值范圍，聯(lián)立直線可得交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離及兩點(diǎn)間距離可得三角形面積；
（3）設(shè)，結(jié)合基本不等式可得最值.
【小問1詳解】
如圖所示，
設(shè)直線，
又直線與線段，均相交，
則，
直線方程，
直線方程為，
聯(lián)立，解得，即，
聯(lián)立，解得，即；
【小問2詳解】
又，又，則，
點(diǎn)到直線，即點(diǎn)到直線的距離，
所以的面積，
【小問3詳解】
由（2）得，
設(shè)，即，
則，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
即當(dāng)時(shí)，取最大值為.
19. 已知的圓心在直線上，點(diǎn)C在y軸右側(cè)且到y(tǒng)軸的距離為1，被直線l：截得的弦長(zhǎng)為2.
（1）求的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)滿足，（O為原點(diǎn)）記點(diǎn)的軌跡為.
①求曲線的方程；
②過點(diǎn)的直線與曲線交于A，B兩點(diǎn)，問在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N，使得x軸平分∠ANB？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【正確答案】（1）
（2）①；②存在，
【分析】（1）由條件求出圓心坐標(biāo)，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式求出圓的半徑，由此可得圓的方程；
（2）①利用代點(diǎn)法求出點(diǎn)的軌跡方程，②在直線斜率存在條件下利用設(shè)而不求法求點(diǎn)的坐標(biāo)，檢驗(yàn)斜率不存在時(shí)該點(diǎn)是否也滿足條件即可.
【小問1詳解】
由題意可設(shè)圓的圓心的坐標(biāo)為，圓的圓心在直線上，
，解得：，即圓心為，
圓心到直線的距離為，設(shè)圓的半徑為r，弦長(zhǎng)為，
由已知
所以，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問2詳解】
設(shè)，則，
由得：，所以
D在圓上運(yùn)動(dòng)，
整理可得點(diǎn)T的軌跡方程為：
當(dāng)直線軸時(shí)，軸平分，
當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，
聯(lián)立化簡(jiǎn)可得，
方程的判別式，
設(shè)，，，
若軸平分，則，所以，
又，，
所以，
所以，
所以
所以
解得，
當(dāng)時(shí)，能使軸平分.

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