1.已知復數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C.3 D.5
2.設為實數(shù)，已知直線，若，則（ ）
A.6 B. C.6或 D.或3
3.已知焦點在軸上的橢圓的焦距為6，則實數(shù)等于（ ）
A. B. C.12 D.
4.已知，則（ ）
A. B. C. D.3
5.設直線與圓相交于兩點，且的面積為8，則（ ）
A. B. C.1 D.
6.已知為直線上的動點，點滿足，則點的軌跡方程為（ ）
A. B.
C. D.
7.如圖，兩個相同的正四棱臺密閉容器內裝有純凈水，，圖1中水面高度恰好為棱臺高度的，圖2中水面高度為棱臺高度的，若圖1和圖2中純凈水的體積分別為，則（ ）
A. B. C. D.
8.關于橢圓有如下結論：“過橢圓上一點作該橢圓的切線，切線方程為.”設橢圓的左焦點為，右頂點為，過且垂直于軸的直線與的一個交點為，過作橢圓的切線，若切線的斜率與直線的斜率滿足，則橢圓C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.國慶期間，某校開展“弘揚中華傳統(tǒng)文化，傳承中華文明”主題活動知識競賽.賽前為了解學生的備賽情況，組織對高一年級和高二年級學生的抽樣測試，測試成績數(shù)據(jù)處理后，得到如下頻率分布直方圖，則下面說法正確的是（ ）
A.
B.高一年級抽測成績的眾數(shù)為75
C.高二年級抽測成績的70百分位數(shù)為87
D.估計高一年級學生成績的平均分低于高二年級學生成績的平均分
10.已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則
11.已知圓C：，以下四個命題表述正確的是（ ）
A.若圓與圓C恰有3條公切線，則
B.圓與圓C的公共弦所在直線為
C.直線與圓C恒有兩個公共點
D.點為軸上一個動點，過點作圓C的兩條切線，切點分別為，且的中點為，若定點，則的最大值為6
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.
12.從分別寫有的五張卡片中任取兩張，則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率為__________.
13.已知為橢圓上的點，，則線段長度的最小值為__________.
14.已知，點是直線上的動點，若恒成立，則正整數(shù)的最小值是__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
記的內角的對邊分別為，且.
（1）求角；
（2）若的面積為，求的周長.
16.（本小題滿分15分）
如圖，圓柱中，是一條母線，是底面一條直徑，是的中點.
（1）證明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
17.（本小題滿分15分）
某校為了厚植文化自信?增強學生的愛國情懷，特舉辦“中國詩詞精髓”知識競賽活動，比賽中只有兩道題目，比賽按先題后題的答題順序各答1次，答對題得2分，答對題得3分，答錯得0分.已知學生甲答對題的概率為，答對題的概率為，其中，學生乙答對題的概率為，答對題的概率為，且甲乙各自在答兩題的結果互不影響.已知甲比賽后得5分的概率為，得3分的概率為.
（1）求的值；
（2）求比賽后，甲乙總得分不低于8分的概率.
18.（本小題滿分17分）
已知圓過點，圓心在直線上，且直線與圓相切.
（1）求圓的方程；
（2）過點的直線交圓于兩點.若為線段的中點，求直線的方程.
19.（本小題滿分17分）
已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左?右頂點，?分別為橢圓的左?右焦點，.
（1）求橢圓的方程；
（2）設與軸不垂直的直線交橢圓于兩點（在軸的兩側），記直線，的斜率分別為.
（i）求的值；
（ii）若，問直線是否過定點，若過定點，求出定點；若不過定點，說明理由.
高二數(shù)學答案
一?單項選擇題
1.B 2.A 3.C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C
二.多項選擇題
9.ABD 10.AC 11.BCD
三?填空題
12. 13. 14.4
四?解答題
15.解：（1）因為，所以.
根據(jù)正弦定理，得，
因為，所以.
又，所以.
（2）在中，由已知，
因為
由余弦定理可得，即7，
即，又所以.
所以的周長周長為.
16.解：
（1）證明：因為是一條母線，所以平面，
而平面則
因為是底面一條直徑，C是的中點，所以，即，
又平面且，
所以平面，而平面，則平面平面.
（2）設，則，
因為C是的中點，為底面圓心，所以平面，
作，交于點連接，
由可知，是二面角的平面角.
則，即，在直角中，.
所以.
故二面角的余弦值為.
17.解：（1）由題意得，
解得.
（2）比賽結束后，甲?乙個人得分可能為.
記甲得分為i分的事件為，乙得分為i分的事件為，
相互獨立，
記兩輪投籃后甲總得分不低于8分為事件E，
則，且彼此互斥.
易得.
，
所以
所以兩輪投籃后，甲總得分不低于8分的概率為.
18.解：（1）法1：（待定系數(shù)法）
設圓M的方程為，
因為圓過點，所以，
又因為圓心在直線上，所以②，
直線與圓M相切，得到③，
由①②③解得：因此圓的方程為
法2：（幾何性質）
因為直線與直線垂直，
又因為圓心在直線上，聯(lián)立方程，解得
設兩直線的交點為，由圓的幾何性質，點在圓上，且為直線與圓的切點，
又因為圓過點，且所以圓心在直線上，又圓心也在直線上，
聯(lián)立方程，解得，故圓心，
所以半徑，因此圓M的方程為
（2）設，因為A為線段BD的中點，所以，
因為在圓上，所以，解得或
當時，直線的方程為；
當時，故直線的方程為，即.
綜上，直線的方程為或.
19.解：（1）由于橢圓的離心率為，
故，又，所以，
所以橢圓的方程為.
（2）（i）設與軸交點為，由于直線交橢圓C于兩點（在軸的兩側）
，故直線的的斜率不為0，直線的方程為，
聯(lián)立，則，
則
設，則，
又
故，
（ii）由（i）得.
因為，則.
又直線交與軸不垂直可得，所以，即
所以，
于是
整理得，解得或，
因為在軸的兩側，所以，
又時，直線與橢圓有兩個不同交點，
因此，直線恒過點
2024-2025學年江蘇省南京市高二上學期10月月考數(shù)學檢測試題（二）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合，，．如圖，則陰影部分所表示的集合的元素共有
A．3個B．2個
C．1個D．無窮多個
2．已知“”的必要不充分條件是“或”，則實數(shù)的最大值為
A．B．0C．1D．2
3．已知，為實數(shù)，則“”是“”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
4．若，則下列不等式中，正確的不等式有
A． B． C． D．
5．已知，且，不等式恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是
A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥8
6．已知a，b，c∈R，則下列命題正確的是( )
A. B.
C. D.
7．若由，，1組成的集合A與由，，組成的集合B相等，則的值為（ ）．
A．0 B. 1 C. d. 2
8. 《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(用幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)．通過這一方法，很多代數(shù)公理、定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，并稱之為“無字證明”．如圖所示，AB是半圓O的直徑，C是AB上的一點(不同于點A，B，O)，點D在半圓O上，且CD⊥AB，CE⊥OD，垂足為E，設AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的“無字證明”為( )
A. ≤(a>0，b>0)B. 0，b>0，a≠b)
C. ≤(a>0，b>0)D. 0，a≠b)
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9．設P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)．若對于任意，都有，且若，則，則稱P是一個數(shù)域．例如，有理數(shù)集Q是數(shù)域．下列命題正確的是（ ）
A．數(shù)域必含有0，1兩個數(shù)
B．整數(shù)集是數(shù)域
C．若有理數(shù)集，則數(shù)集M一定是數(shù)域
D．數(shù)域中有無限多個元素
10下列說法正確的是
A．任何集合都是它自身的真子集
B．集合，共有4個子集
C．集合，，
D．集合，，
11已知a，b為正實數(shù)，且，則（ ）
A．ab的最大值為4B．的最小值為
C．的最小值為D．的最小值為2
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知集合，，若，則實數(shù)的值為 .
13．.若x∈R，則eq \f(x,1＋x2)與eq \f(1,2)的大小關系為________.
14．中國宋代的數(shù)學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設在平面內有一個三角形，邊長分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式，現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（14分）已知，或．
(1)若，求的取值范圍； (2)若，求的取值范圍．
16．已知集合，集合，命題，命題．
（1）當實數(shù)為何值時，是的充要條件；
（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．
17．某市近郊有一塊正方形的荒地，準備在此荒地上建一個綜合性休閑廣場，需先建一個總面積為的矩形場地（如圖所示）．圖中，陰影部分是寬度為的通道，三個矩形區(qū)域將鋪設塑膠地面作為運動場地（其中兩個小矩形場地形狀、大小相同），塑膠運動場地總面積為．
（1）求關于的關系式，并寫出的取值范圍；
（2）當為何值時取得最大值，并求最大值．
18．（17分）（1）已知為正數(shù)，且滿足.證明：.
（2）若，，其中，試比較的大小.
19．設是正整數(shù)，集合至少有兩個元素，且．如果對于中的任意兩個不同的元素，，都有，則稱具有性質．
（1）試判斷集合，2，3，和，4，7，是否具有性質（2）？并說明理由；
（2）若集合，，，，2，，，求證：不可能具有性質（3）；
（3）若集合，2，，，且同時具有性質（4）和（7），求集合中元素個數(shù)的最大值．
參考答案
選擇題1-8 BDAADCCB
多選題9-11 AD BD
填空題12 13 eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2) 14 12
15．【解】（1）①當時，，∴，∴．②當時，要使，必須滿足，解得．綜上所述，的取值范圍是．
（2）∵，，或，∴，解得，故所求的取值范圍為．
16．【解】解：（1），即，有，解得，故，
因為是的充要條件，所以，
故的解集也為，所以，即；
（2）因為是的充分不必要條件，所以是的真子集，
①當，此時即或0，符合題意，
②當時，當或時，，即，此時，解得，
由當時，，不合題意，所以
當時，，即，，此時，解得，
綜上所述的取值范圍為，．
17．【解】（1）設矩形場地的另一條邊的長為，則，即，且，
，
，
，
，．
（2），
當且僅當，即，滿足，等號成立，
故當時，取得最大值，其最大值為．
18．解：（1），，，
，當且僅當時，等號成產，，即.
（2）因為，
，
又，則，
所以，則，
所以，即.
19．【解】解：（1）因為，2，3，，
又，，，，但，
所以集合不具有性質（2），
因為，4，7，，
又，，，，
但，，，，，，
所以集合具有性質（2），
（2）證明：將集合，2，，中的元素分為如下11個集合，
，，，，，，，，，．，，，，，，，，，，
所以從集合，2，，中取12個元素，則前9個集合至少要選10個元素，
所以必有2個元素取自前9個集合中的同一集合，即存在兩個元素其差為3，
所以不可能具有性質（3）；
（3）先說明連續(xù)11項中集合中最多選取5項，
以1，2，，11為例．
構造抽屜，，，，，，，，，，．
①5，6，7同時選，因為具有性質（4）和（7），
所以選5則不選1，9；選6則不選2，10；選7則不選3，11；
則只剩4，8．故1，2，，11中屬于集合的元素個數(shù)不超過5個．
②5，6，7選2個，
若只選5，6，則1，2，9，10，7不可選，又，只能選一個元素，
3，8可以選，故1，2，，11中屬于集合的元素個數(shù)不超過5個．
若選5，7，則只能從2，4，8，10中選，但4，8不能同時選，
故1，2，，11中屬于集合的元素個數(shù)不超過5個．
若選6，7，則2，3，10，11，5不可選，又，只能選一個元素，
4，9可以選，故1，2，，11中屬于集合的元素個數(shù)不超過5個．
③5，6，7中只選1個，
又四個集合，，，，，，，每個集合至多選1個元素，
故1，2，，11中屬于集合的元素個數(shù)不超過5個．
由上述①②③可知，連續(xù)11項自然數(shù)中屬于集合的元素至多只有5個，
如取1，4，6，7，9．
因為，則把每11個連續(xù)自然數(shù)分組，前183組每組至多選取5項；
從2014開始，最后10個數(shù)至多選取5項，故集合的元素最多有個．
給出如下選取方法：從1，2，，11中選取1，4，6，7，9；
然后在這5個數(shù)的基礎上每次累加11，構造183次．
此時集合的元素為：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；；
2014，2017，2019，2020，2022，共920個元素．
經檢驗可得該集合符合要求，故集合的元素最多有920個．

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