1．直線的一個方向向量為，且經(jīng)過點，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
2．已知點，，若過點的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列命題中正確的是（ ）
A．點關(guān)于平面對稱的點的坐標是
B．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則
C．若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為
D．已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則
4．已知曲線與直線有兩個相異的交點，那么實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．已知點，，若圓上存在點P（不同于點A，B）使得，則實數(shù)r的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．已知曲線，設(shè)曲線上任意一點與定點連線的中點為，則動點的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
7．已知圓直線，點在直線上運動，直線分別與圓相切于點．則下列說法正確的是（ ）
A．四邊形的面積最小值為
B．最短時，弦AB長為
C．最短時，弦AB直線方程為
D．直線AB過定點
8．已知圓：，過點的直線與軸交于點，與圓交于，兩點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知實數(shù)滿足曲線的方程，則下列選項正確的是（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．的最小值是
D．過點作曲線的切線，則切線方程為
10．如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都是2，且它們彼此的夾角都是為與的交點，若，則下列正確的是（ ）
A．B．
C．D．的長為
11．如圖，已知點，是以O(shè)D為直徑的圓上的一段圓弧，是以BC為直徑的圓上的一段圓弧，是以O(shè)A為直徑的圓上的一段圓弧，三段圓弧構(gòu)成曲線，則（ ）

A．曲線與軸圍成的面積等于
B．與的公切線的方程為
C．所在圓與所在圓的相交弦所在直線的方程為
D．所在圓截直線所得弦的弦長為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知直線l經(jīng)過直線和的交點，且直線l在坐標軸上的截距相等，則直線l的方程是 .
13．臺風(fēng)中心從地以每小時的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)為危險地區(qū)，城市在地正東處，城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為 小時.
14．已知圓，點，M、N為圓O上兩個不同的點，且若，則的最小值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．
(1)求頂點的坐標；
(2)求直線的方程．
16．如圖，在直四棱柱中，底面四邊形為梯形，，.
(1)證明：；
(2)若直線 AB與平面 所成角的正弦值為 ，點 為線段 BD上一點，求點到平面 的距離.
17．已知以點A?1,2為圓心的圓與直線相切，過點的動直線與圓A相交于
(1)求圓的方程；
(2)當時，求直線的方程．
18．如圖，在四棱錐中，，，平面平面為中點．

(1)求證：平面；
(2)點在棱上，與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．
19．已知圓.
(1)證明：圓過定點.
(2)當時，求直線被圓截得的弦長.
(3)當時，若直線與圓交于兩點，且，其中為坐標原點，求的取值范圍.
參考答案
1．【答案】B
【詳解】方法一 ∵直線的一個方向向量為，∴，
∴直線的方程為，即．
方法二 由題意知直線的一個法向量為，
∴直線的方程可設(shè)為，將點代入得，
故所求直線的方程為．
故選：B
2．【答案】B
【詳解】解：記為點，直線的斜率，直線的斜率，
因為直線l過點，且與線段相交，
結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是．
故選：B．
3．【答案】C
【詳解】對于A，點關(guān)于平面對稱的點的坐標是，A選項錯誤；
對于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，
，有，則或，B選項錯誤；
對于C，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，
則直線l與平面所成的角為，C選項正確；
對于D，已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，
若，則，解得，D選項錯誤.
故選：C.
4．【答案】B
【分析】先得到曲線軌跡為以為圓心，2為半徑的上半圓，求出恒過定點，把半圓和直線畫出，數(shù)形結(jié)合得到有兩個相異的交點時實數(shù)k的取值范圍.
【詳解】，變形得到，
故曲線軌跡為以為圓心，2為半徑的上半圓，
恒過定點，把半圓和直線畫出，如下：
當過點時，滿足兩個相異的交點，
且此時取得最小值，最小值為，
當與相切時，由到直線距離等于半徑可得
，解得，
故要想曲線與直線有兩個相異的交點，
則.
故選B.
5．【答案】A
【詳解】根據(jù)直徑對的圓周角為，
結(jié)合題意可得以AB為直徑的圓和圓有交點，
因為點P（不同于點A，B），顯然兩圓相切時不滿足條件，故兩圓相交．
而以AB為直徑的圓的方程為，兩個圓的圓心距為3，
故|，求得，
故選：A．
6．【答案】B
【詳解】設(shè)，因為為的中點，所以，即，
又因為點在曲線上，所以，所以．
所以點的軌跡方程為即．
故選：B
7．【答案】B
【詳解】對于A，四邊形的面積可以看成兩個直角三角形的面積之和，
即，
最短時，面積最小，故當時，最短，
即，
，故A錯誤；

由上述可知，時，最短，故最小，
且最小值為，
所以，故B正確；
當最短時，則，又，所以，，
，
可設(shè)的直線方程為，
圓心到直線的距離，
解得或，
由于直線在圓心的右側(cè)，且在直線的左側(cè)，
所以，
所以，
即直線的方程為，故C錯誤；
設(shè)圓上一點，，，
，，，
易知，
由于，
所以，
同理，
，
，
，即，
令，解得，
所以直線過定點為，故D錯誤．
故選：B．
8．【答案】D
【詳解】

如圖，取線段的中點，連接，則，
由，
因直線經(jīng)過點，考慮臨界情況，
當線段中點與點重合時（此時），弦長最小，此時最長，
為，（但此時直線與軸平行，點不存在）；
當線段中點與點重合時，點與點重合，最短為0（此時符合題意）.
故的范圍為.
故選：D.
9．【答案】BD
【詳解】由圓可化為，可得圓心，半徑為，
對于A中，由表示圓上的點到定點的距離的平方，
所以它的最大值為，所以A錯誤；
對于B中，表示圓上的點與點的斜率，設(shè)，即，
由圓心到直線的距離，解得，
所以的最大值為，所以B正確；
對于C中，由表示圓上任意一點到直線的距離的倍，
圓心到直線的距離，所以其最小值為，所以C錯誤；
對于D中，因為點滿足圓的方程，即點在圓上，
則點與圓心連線的斜率為，
根據(jù)圓的性質(zhì)，可得過點作圓的切線的斜率為，
所以切線方程為，即，所以D正確.
故選：BD.
10．【答案】AC
【詳解】
∵，故A正確.
∵.故B錯誤.
又∵，.
，；
，
.
.
∴.故C正確.
∵，∴.故D錯誤.
故選：AC.
11．【答案】BC
【詳解】對于A，，，所在圓的方程分別為，，，曲線與軸圍成的圖形為一個半圓、一個矩形和兩個圓，
其面積為，故A錯誤；
對于B，設(shè)與的公切線方程為（，），則，
所以，，所以與的公切線的方程為，
即，故B正確；
對于C，由及兩式相減得，
即公共弦所在直線方程，故C正確；
對于D，所在圓的方程為，圓心為，
圓心到直線的距離為，
則所求弦長為，故D錯誤.
故選：BC.
12．【答案】或
【詳解】由，解得，即直線過點，
當直線過原點時，直線的方程為，
當直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，則，解得，方程為，
所以直線的方程為或.
故答案為：或
13．【答案】
【詳解】以城市為圓心，為半徑畫圓，如圖所示，所在直線為臺風(fēng)中心的移動軌跡，，，，過點作于點.
在中，由銳角三角函數(shù)，
得，
在中，由勾股定理，
得，
所以，
因為臺風(fēng)中心的移動速度為，
所以B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為.
故答案為：2.
14．【答案】/
【詳解】解法1：如圖，因為，所以，故四邊形為矩形，
設(shè)的中點為S，連接，則，
所以，
又為直角三角形，所以，故①，
設(shè)，則由①可得，
整理得：，
從而點S的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
顯然點P在該圓內(nèi)部，所以，
因為，所以 ；
解法2：如圖，因為,所以，
故四邊形為矩形，由矩形性質(zhì)，，
所以，從而，
故Q點的軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓，
顯然點P在該圓內(nèi)，所以.
故答案為： .
15．【答案】(1)
(2)．
【詳解】（1）因為邊上的高所在直線方程為，
設(shè)線的斜率為，則，解得，
又因為直線過點，
則直線的方程為,，
又邊上的中線所在直線方程為，且該直線過點，
所以聯(lián)立，
解得的坐標為．
（2）設(shè)，因為邊上的中線所在直線方程為，
所以的中點在直線上，
且邊上的高所在直線過頂點，
所以，解得，即的坐標為．
由（1）知，由兩點式方程得，
化簡得.
即直線的方程為．
16．【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】(1)因為，因此只需證明平面，只需證明（由題可證），，由勾股定理易證.
(2)建立空間直角坐標系，先由直線 AB與平面 所成角的正弦值為，求出，再證明平面，由此得點M到平面 的距離等價于點到平面的距離，再由點到平面的距離公式求解即可.
【詳解】(1)因為，，
所以，所以,
因為為直四棱柱，
所以,
因為，平面，
所以平面，
因為，所以平面，
因為平面，所以.
(2)由(1)及題意知，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系.
因為，.設(shè)，
所以
所以,
設(shè)平面的一個法向量為
則，
令，則，所以
設(shè)直線與平面 所成的角為，
則，
解得，所以
所以點到平面 的距離為
因為，所以
因為不在平面，所以平面，
因為M在線段上，所以點M到平面的距離等價于點到平面的距離，為.
故點M到平面 的距離.
17．【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）易知A?1,2到直線的距離為圓A半徑r，
所以，
則圓A方程為
（2）過A做,由垂徑定理可知，且，
在中由勾股定理易知
當動直線斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，
經(jīng)檢驗圓心到直線的距離為，且根據(jù)勾股定理可知，
顯然合題意，
當動直線斜率存在時，過點，設(shè)方程為：，
由A?1,2到距離為知得，
代入解之可得，
所以或為所求方程．
18．【答案】(1)證明見解析
(2)．
【詳解】（1）由題意：，同理，
又．而，即
又平面平面，平面平面平面，
平面平面，又，且面面平面．
（2）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，
，
設(shè)，有，
取面的一個法向量，
則，
故．
令是平面的一個法向量，則，即
令，有，則，
故平面與平面夾角的余弦值為．
19．【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）由，
得，
令，得，解得，
所以圓過定點，且定點的坐標為.
（2）當時，圓的標準方程為，
則圓的圓心到直線的距離，
所以直線被圓截得的弦長為.
（3）將代入，得.
則恒成立，
設(shè)，則，
所以
，整理得，則，
所以的取值范圍是.
2024-2025學(xué)年河北省滄州市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
2．若橢圓：（）滿足，則該橢圓的離心率（ ）．
A．B．
C．D．
3．已知空間向量，0，，，2，，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A．，2，B．，2，C．，0，D．，0，
4．如圖，在空間四邊形中，，，，點在上，且，為的中點，則等于（ ）
A．B．
C．D．
5．若直線與曲線有公共點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知直線，其中，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
7．已知橢圓的右焦點為，點，點是上的動點，則的最小值為（ ）
A．5B．C．10D．
8．在正方體中，若棱長為，，分別為線段，上的動點，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．平面B．直線與平面所成角的正弦值為定值
C．平面平面D．點到平面的距離為定值
二、多選題（本大題共3小題）
9．如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都是2，且它們彼此的夾角都是為與的交點，若，則下列正確的是（ ）
A．B．
C．D．的長為
10．已知圓，則（ ）
A．圓與直線必有兩個交點
B．圓上存在4個點到直線的距離都等于1
C．圓與圓恰有三條公切線，則
D．動點在直線上，過點向圓引兩條切線，為切點，則四邊形面積最小值為2
11．如圖，在四棱錐中，底面，底面為邊長為2的菱形，，為對角線的交點，為的中點．則下列說法正確的是（ ）
A．B．三棱錐的外接球的半徑為
C．當異面直線和所成的角為時，D．點F到平面與到平面的距離相等
三、填空題（本大題共3小題）
12．臺風(fēng)中心從地以每小時的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)為危險地區(qū)，城市在地正東處，城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為 小時.
13．設(shè)動點在棱長為的正方體的對角線上，記.當為鈍角時，則的取值范圍是 ．
14．已知圓，點的坐標為，過點作直線交圓于兩點，則的取值范圍為
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知直線，.
(1)若坐標原點O到直線m的距離為，求a的值；
(2)當時，直線l過m與n的交點，且它在兩坐標軸上的截距相反，求直線l的方程.
16．如圖，在三棱柱中，側(cè)面與側(cè)面都是菱形，，.記.

(1)用表示，并證明；
(2)若為棱的中點，求線段的長.
17．已知圓C：，直線l：.
(1)設(shè)l與圓C交于不同的兩點A，B，求弦AB的中點M的軌跡方程；
(2)若定點分弦AB為，求此時直線l的方程.
18．如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點，四棱錐的體積為．
(1)若為棱的中點，求證：平面；
(2)在棱上是否存在點，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點的位置并給以證明；若不存在，請說明理由.
19．已知橢圓，右焦點為且離心率為，直線，橢圓的左右頂點分別為為上任意一點，且不在軸上，與橢圓的另一個交點為與橢圓C的另一個交點為.

(1)直線和直線的斜率分別記為，求證：為定值；
(2)求證：直線過定點.
參考答案
1．【答案】D
【詳解】因，
對于A選項，由可得：，易知的值不存在；
對于B選項，由可知不成立；
對于C選項，；
對于D選項，
故選：D.
2．【答案】B
【詳解】由題意知，又，
∴
∴，即或（舍），
故選:B．
3．【答案】C
【解析】由向量在向量上的投影向量為，計算即可求出答案.
【詳解】解：向量，0，，，2， ，
則，， ，
所以向量在向量上的投影向量為
.
故選：C.
4．【答案】C
【詳解】由點在上，且，知；由為的中點，知.
所以.
故選：C.
5．【答案】D
【詳解】將曲線的方程化簡為
即表示以 為圓心，以2為半徑的一個半圓，如圖所示：

由圓心到直線 的距離等于半徑2，可得：
解得 或
結(jié)合圖象可得
故選D
6．【答案】A
【詳解】直線的充要條件是 或 ．故選A．
7．【答案】B
【詳解】若為橢圓左焦點且，則，故，
所以，
而，所以，僅當共線時取等號，
綜上，的最小值為，取值條件為共線且在之間.
故選：B
8．【答案】B
【詳解】以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，
則，
令，得，
令，得，，
對于A，，顯然，
即，，
而，平面，因此平面，A正確；
對于B，由平面，平面，得，
因為，，平面，則平面，
于是為平面的一個法向量，，
設(shè)直線與平面所成角為，
則不是定值，B錯誤；
對于C，由選項A知平面，即為平面的一個法向量，
而，則，
即有，
又，平面，因此平面，
則平面平面，C正確；
對于D，顯然，
因此點到平面的距離為，為定值，D正確.
故選：B
9．【答案】AC
【詳解】
∵，故A正確.
∵.故B錯誤.
又∵，.
，；
，
.
.
∴.故C正確.
∵，∴.故D錯誤.
故選：AC.
10．【答案】AC
【詳解】對于A，將直線整理得，由，
知，所以直線過定點，因為，
所以該定點在圓內(nèi)，故A正確；
對于B，圓的圓心到直線的距離為，
所以過圓心且與直線平行的直線與圓相交有兩個點到直線的距離為1，
與直線平行且與圓相切，并且與直線在圓心同側(cè)的直線到的距離為1，
所以只有三個點滿足題意，故B錯誤；
對于C，將圓化成標準形式為，
因為兩圓有三條公切線，所以兩圓外切，所以，
解得，故C正確；
對于D，連接，因為為切點，所以，
所以，且當最小時，最小，
所以當與直線垂直時，，又因為半徑為2，
所以，
所以，故D錯誤.
故選：AC.
11．【答案】ACD
【詳解】在菱形中，過點作直線，由底面，得直線兩兩垂直，
以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，而，
則，
由，得，則，
對于A，，，
則，于是，A正確；
對于B，由，得三棱錐的外接球截平面所得截面圓圓心為，
則球心在過垂直于平面的直線上，直線，顯然球心在線段的中垂面上，
因此，三棱錐的外接球，B錯誤；
對于C，，由異面直線和所成的角為，
得，整理得，
而，解得，C正確；
對于D，，
設(shè)平面與平面的法向量分別為，
，令，得，
，令，得，
而，則點F到平面的距離，
點F到平面的距離，顯然，D正確.
故選：ACD
12．【答案】
【詳解】以城市為圓心，為半徑畫圓，如圖所示，所在直線為臺風(fēng)中心的移動軌跡，，，，過點作于點.
在中，由銳角三角函數(shù)，
得，
在中，由勾股定理，
得，
所以，
因為臺風(fēng)中心的移動速度為，
所以B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為.
故答案為：2.
13．【答案】
【詳解】由題設(shè)可知，以為坐標原點，以的方向為軸、軸、軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則有，，，，
則，得，
所以，
，
顯然不是平角，所以為鈍角等價于，
即，即，
解得，因此的取值范圍是.
故答案為：

14．【答案】.
【詳解】取中點為，連接，如圖所示：
則，又，，
故點的軌跡為以為直徑的圓，圓心為，半徑為，
因為，，
所以，即，則.
故答案為：.
15．【答案】(1)或
(2)或
【詳解】（1）設(shè)原點O到直線m的距離為，
則，解得或；
（2）由解得，即m與n的交點為.
當直線l過原點時，此時直線斜率為，
所以直線l的方程為；
當直線l不過原點時，設(shè)l的方程為，
將代入得，
所以直線l的方程為.
故滿足條件的直線l的方程為或.
16．【答案】(1)，，證明見解析；
(2).
【詳解】（1）由題設(shè)，，
，
所以
，
由側(cè)面與側(cè)面都是菱形且，，
所以，故.
（2）由題設(shè)，，
所以
，
所以.
17．【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）∵直線l：過定點，斜率一定存在，
而在圓C：內(nèi)，
∴直線l與圓C總有兩個不同的交點；
圓C：的圓心為，
所以M與P不重合時，連接CM，CP，則，
∴.
設(shè)，則，
化簡得：；
（2）設(shè)，，
由，得，
∴，化簡得，①
又由，消去y得.
∴，②
由①②解得，代入（*）解得.
∴直線l的方程為或.
18．【答案】(1)證明見解析；
(2)存在點，位于靠近點的三等分點處滿足題意.
【詳解】（1）
取中點，連接，
分別為的中點，
，
底面四邊形是矩形，為棱的中點，
，．
，，
故四邊形是平行四邊形，
．
又平面，平面，
平面．
（2）假設(shè)在棱上存在點滿足題意，
在等邊中，為的中點，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，則是四棱錐的高．
設(shè)，則，，
，所以.
以點為原點，PA，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，
故，，．
設(shè)，
．
設(shè)平面PMB的一個法向量為，
則
?。?br>易知平面的一個法向量為，，
，
故存在點，位于靠近點的三等分點處滿足題意.
19．【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【詳解】（1）由題意，可得，
所以橢圓，且
設(shè)，則，即，
可得，
所以為定值.
（2）解法一：設(shè)，則，
可得，
設(shè)直線，，
聯(lián)立方程，消去x可得，
則，解得，
且，
則，
整理可得，
則，
因為，則，解得，
所以直線過定點
解法二：設(shè)，則，
直線，可知與橢圓必相交，
聯(lián)立方程，消去y可得，
則，解得，
同理，
直線的斜率存在時，，
則，
令，；
當?shù)男甭什淮嬖跁r，則，解得；
綜上所述：直線過定點
2．求解定值問題的三個步驟
（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；
（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；
（3）得出結(jié)論．

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