第13講雙曲線（十大題型）-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識自學(xué)講義（蘇教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第13講雙曲線
【題型歸納目錄】
題型一：雙曲線的定義、條件
題型二：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題型三：雙曲線的綜合問題
題型四：軌跡方程
題型五：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
題型六：求雙曲線的離心率
題型七：求雙曲線離心率的取值范圍
題型八：由雙曲線離心率求參數(shù)的取值范圍
題型九：雙曲線中的范圍與最值問題
題型十：焦點三角形
【知識點梳理】
知識點一：雙曲線的定義
在平面內(nèi)，到兩個定點、的距離之差的絕對值等于常數(shù)（大于0且）的動點的軌跡叫作雙曲線．這兩個定點、叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距．
知識點詮釋：
1、雙曲線的定義中，常數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來理解；
2、若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；若（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；
3、若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線（包括端點）；
4、若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；
5、若常數(shù)，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線．
知識點二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
1、當(dāng)焦點在軸上時，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；
2、當(dāng)焦點在軸上時，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中
橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：
橢圓
雙曲線
根據(jù)|MF1|+|MF2|=2a
根據(jù)|MF1|－|MF2|=±2a
a＞c＞0，
a2－c2=b2（b＞0）
0＜a＜c，
c2－a2=b2（b＞0）
，

（a＞b＞0）
，

（a＞0，b＞0，a不一定大于b）
（a最大）
（c最大）
標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一為：
方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件
方程Ax2+By2=C可化為，即，
所以只有A、B異號，方程表示雙曲線．
當(dāng)時，雙曲線的焦點在x軸上；
當(dāng)時，雙曲線的焦點在y軸上．
知識點詮釋：
3、當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線的對稱中心在坐標(biāo)原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，雙曲線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式．此時，雙曲線的焦點在坐標(biāo)軸上．
4、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由雙曲線本身所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2．
5、雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上．
6、對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標(biāo)軸上．
知識點三：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
①待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點的位置，從而確定方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、、的值．其主要步驟是“先定型，再定量”；
②定義法：由題目條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程．
知識點四：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
雙曲線（a＞0，b＞0）的簡單幾何性質(zhì)

范圍

雙曲線上所有的點都在兩條平行直線x=-a和x=a的兩側(cè)，是無限延伸的．因此雙曲線上點的橫坐標(biāo)滿足x≤-a或x≥a．
對稱性
對于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞0，b＞0），把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時換成-x、-y，方程都不變，所以雙曲線（a＞0，b＞0）是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為雙曲線的中心．
頂點
①雙曲線與它的對稱軸的交點稱為雙曲線的頂點．
②雙曲線（a＞0，b＞0）與坐標(biāo)軸的兩個交點即為雙曲線的兩個頂點，坐標(biāo)分別為
A1（-a，0），A2（a，0），頂點是雙曲線兩支上的點中距離最近的點．
③兩個頂點間的線段A1A2叫作雙曲線的實軸；設(shè)B1（0，-b），B2（0，b）為y軸上的兩個點，則線段B1B2叫做雙曲線的虛軸．實軸和虛軸的長度分別為|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a(chǎn)叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長．
①雙曲線只有兩個頂點，而橢圓有四個頂點，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆．
②雙曲線的焦點總在實軸上．
③實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．
離心率
①雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作．
②因為c＞a＞0，所以雙曲線的離心率．
由c2=a2+b2，可得，所以決定雙曲線的開口大小，越大，e也越大，雙曲線開口就越開闊．所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度．
③等軸雙曲線，所以離心率．
漸近線
經(jīng)過點A2、A1作y軸的平行線x=±a，經(jīng)過點B1、B2作x軸的平行線y=±b，四條直線圍成一個矩形（如圖），矩形的兩條對角線所在直線的方程是．

我們把直線叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交．
知識點四：雙曲線兩個標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較
標(biāo)準(zhǔn)方程

圖形

性質(zhì)
焦點
，
，
焦距

范圍
，
，
對稱性
關(guān)于x軸、y軸和原點對稱
頂點

軸
實軸長=，虛軸長=
離心率

漸近線方程

知識點詮釋：雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上．
對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標(biāo)軸上．
知識點五：雙曲線的漸近線
（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：
若雙曲線方程為，則其漸近線方程為
已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程．
（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：
若雙曲線漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求出即可．
（3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線
與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為（，焦點在軸上，，焦點在y軸上）
（4）等軸雙曲線的漸近線
等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設(shè)為．
知識點六：雙曲線中a，b，c的幾何意義及有關(guān)線段的幾何特征：
雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2．
雙曲線，如圖：

（1）實軸長，虛軸長，焦距，
（2）離心率：；
（3）頂點到焦點的距離：，；
【典例例題】
題型一：雙曲線的定義、條件
【例1】（2023·高二課時練習(xí)）平面內(nèi)到兩個定點的距離之差的絕對值等于的點的軌跡是（????）
A．雙曲線 B．兩條射線 C．一條線段 D．一條直線
【答案】B
【解析】如圖：

設(shè)動點為，到兩個定點的距離之差的絕對值為，
則若在線段（不包含兩端點）上，有；
若在直線外，有；
若在線段的延長線上或線段的反向延長線上（均包含兩端點），
則有.
故選：B
【對點訓(xùn)練1】（2023·高二課時練習(xí)）到兩定點、的距離之差的絕對值等于6的點的軌跡（????）
A．橢圓 B．直線 C．雙曲線 D．兩條射線
【答案】D
【解析】因為，，
故的軌跡是已、為端點的兩條射線，
故選：D.
【對點訓(xùn)練2】（2023·高二課時練習(xí)）已知動點滿足，則動點P的軌跡是（　　）
A．雙曲線 B．雙曲線左支
C．雙曲線右支 D．一條射線
【答案】C
【解析】因為的幾何意義是動點到點與的距離之差為2，
又因為，
所以由雙曲線的定義，知動點P的軌跡是雙曲線右支．
故選：C
【對點訓(xùn)練3】（2023·四川成都·高二成都實外校考階段練習(xí)）方程所表示的曲線是（????）
A．圓的一部分 B．橢圓的一部分
C．雙曲線的一部分 D．直線的一部分
【答案】C
【解析】方程兩邊平方后可整理出雙曲線的方程，由于的值只能取大于等于1的數(shù)，推斷出方程表示的曲線為雙曲線的一部分．兩邊平方，
可變?yōu)椋?br /> 即，
表示的曲線為雙曲線的一部分；
故選：C．
題型二：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例2】（2023·廣東揭陽·高二惠來縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）解答下列兩個小題：
(1)雙曲線：離心率為，且點在雙曲線上，求的方程；
(2)橢圓的焦點在軸上，焦距為，且經(jīng)過點，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【解析】（1）雙曲線半焦距為c，由離心率，得，即，
又，即，
雙曲線的方程即為，點坐標(biāo)代入此方程得，解得．
所以雙曲線的方程為．
（2）依題意，設(shè)橢圓方程為：，
因為橢圓的焦距為，則橢圓的半焦距，即有，又橢圓過點，
因此，整理得：，解得：，則，
所以橢圓方程為：.
【對點訓(xùn)練4】（2023·高二課時練習(xí)）求與雙曲線有共同漸近線，且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解析】設(shè)所求雙曲線的方程為，
將點的坐標(biāo)代入雙曲線方程可得，
因此，所求雙曲線的方程為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【對點訓(xùn)練5】（2023·四川成都·高二校考期中）求滿足下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)兩個焦點坐標(biāo)分別是、，橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于10的橢圓方程；
(2)已知雙曲線的漸近線方程為，焦距為10．
【解析】（1）因為橢圓的焦點在x軸上，
∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
又橢圓上一點P到兩焦點的距離的和是10，故，
∴，又∵，
∴，
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）當(dāng)雙曲線的焦點在軸時，可設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則，解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
當(dāng)雙曲線的焦點在軸時，可設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則，解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.
【對點訓(xùn)練6】（2023·高二單元測試）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點在軸上，實軸長為，其離心率；
(2)漸近線方程為，經(jīng)過點．
(3)雙曲線：離心率為，且點在雙曲線上，求的方程；
(4)雙曲線實軸長為，且雙曲線與橢圓的焦點相同，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解析】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
由題知：，解得，
所以雙曲線方程為：；
（2）由漸近線方程為，
設(shè)雙曲線方程為：，
將代入，
解得，
所以雙曲線方程為：；
（3）由，得，即，
又，即，
雙曲線的方程即為，
點坐標(biāo)代入得，
解得，
所以雙曲線的方程為；
（4）橢圓的焦點為，
則，
設(shè)雙曲線的方程為，
所以，且，
所以，，
所以雙曲線的方程為.
題型三：雙曲線的綜合問題
【例3】（2023·新疆喀什·高二?？计谀┮阎獧E圓的左、右焦點分別為F?，F(xiàn)?，動點M滿足|| MF? | -| MF?|| =4.
(1)求動點M的軌跡C的方程：
(2)已知點A(-2，0)，B(2，0)，當(dāng)點M與A，B不重合時，設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k?，k?，證明:為定值.
【解析】（1）由橢圓知：

所以左、右焦點分別為
因為動點M滿足|| MF? | -| MF?|| =4
所以動點在以為焦點的雙曲線上，
設(shè)動點設(shè)方程為：
由雙曲線的定義得：
所以
所以動點設(shè)方程為：
（2）設(shè)
則
由

所以

所以.
【對點訓(xùn)練7】（2023·江蘇徐州·高二校考期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線．
(1)設(shè)F是C的左焦點，M是C右支上一點，若，求點M的坐標(biāo)；
(2)設(shè)斜率為的直線l交C于P、Q兩點，若l與圓相切，求證：．
【解析】（1）由雙曲線，可得，
∴，設(shè)，則，
∴，
∴，
又M是C右支上一點，故，
∴，
即；
（2）設(shè)直線PQ的方程為，因直線PQ與已知圓相切，
故，即，
由，得，
設(shè)、，則，
又，
所以
，
所以．
【對點訓(xùn)練8】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知點?依次為雙曲線（，）的左?右焦點，且，.
(1)若，以為法向量的直線經(jīng)過，求到的距離；
(2)設(shè)雙曲線經(jīng)過第一?三象限的漸近線為，若直線與直線垂直，求雙曲線的離心率.
【解析】（1）由題意，，，則，，直線的方程為.
所以，點到的距離為.
（2）由題意，，，其中，，則直線的斜率.
雙曲線的一條漸近線，其斜率為.
因為直線與直線垂直，所以.
代入可得，，又因為，所以，
兩邊同除以，可得，解得.
又因為，所以.
【對點訓(xùn)練9】（2023·四川資陽·高二?？计谥校┮阎p曲線C：的焦距為4，且過點.
(1)求雙曲線方程；
(2)若直線與雙曲線C有且只有一個公共點，求實數(shù)的值.
【解析】（1）由題意可知雙曲線的焦點為和，
根據(jù)定義有．
，又，所以，，．
所求雙曲線的方程為．
（2）因為雙曲線的方程為，所以漸近線方程為；
由，消去整理得．
①當(dāng)即時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，此時直線與雙曲線相交于一點，符合題意；
②當(dāng)即時，由，解得，
此時直線雙曲線相切于一個公共點，符合題意．
綜上所述：符合題意的的所有取值為，．
【對點訓(xùn)練10】（多選題）（2023·安徽合肥·高二?？计谀┮阎p曲線的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，點在雙曲線上，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．該雙曲線的離心率為
B．若，則的面積為
C．點到兩漸近線的距離乘積為
D．直線和直線的斜率乘積為
【答案】ACD
【解析】由雙曲線方程得，，，雙曲線的離心率為，A正確；
若，不妨設(shè)，，，B錯誤；
設(shè)，則，，漸近線方程為，
點到兩漸近線的距離乘積為，C正確；
，，，D正確；
故選：ACD
【對點訓(xùn)練11】（多選題）（2023·湖北十堰·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若是橢圓與雙曲線在第一象限的交點，且，共焦點，，，，的離心率分別為，，則下列結(jié)論中正確的是（????）
A．， B．
C．若，則 D．若，則的最小值為2
【答案】BC
【解析】依題意，，解得，A不正確；
令，由余弦定理得：，
因為在橢圓中，在雙曲線中，，
所以，故B選項正確；
當(dāng)時，，即，
所以，即，
所以，，故C選項正確；
當(dāng)時，，即，
所以，，有，
因為，
所以，，解得，D不正確；
故選：BC
題型四：軌跡方程
【例4】（2023·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）動點與點與點滿足，則點的軌跡方程為__________．
【答案】
【解析】由知，
點的軌跡是以、為焦點的雙曲線下支，
得，，
，，
故動點的軌跡方程是．
故答案為：．
【對點訓(xùn)練12】（2023·上海浦東新·高二?？计谀┮阎S上兩點，則平面內(nèi)到這兩點距離之差的絕對值為8的動點的軌跡方程為________
【答案】
【解析】由題，動點軌跡為以為焦點，實軸為的雙曲線，設(shè)雙曲線方程為：
，右焦點為，則，
故.則雙曲線方程為：.
故答案為：.
【對點訓(xùn)練13】（2023·高二課時練習(xí)）動圓過點，且與圓外切，則動圓圓心的軌跡方程是______．
【答案】
【解析】設(shè)動圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
因為動圓過點，且與圓外切，
所以，，，
所以，
所以，由雙曲線的定義得的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的右支，
因為實軸長為，焦點為，
所以，動圓圓心的軌跡方程是，即
故答案為：
【對點訓(xùn)練14】（2023·河北石家莊·高二河北新樂市第一中學(xué)統(tǒng)考期中）已知圓M與圓C1：和圓C2：一個內(nèi)切一個外切，則點M的軌跡方程為___________.
【答案】
【解析】當(dāng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切時，，，
當(dāng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切時，，，
所以，點的軌跡為雙曲線，設(shè)軌跡方程為，，，則，所以軌跡方程為.
故答案為：.
【對點訓(xùn)練15】（2023·遼寧本溪·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的方程為，其左?右頂點分別為，一條垂直于軸的直線交橢圓于兩點，直線與直線相交于點，則點的軌跡方程為___________.
【答案】
【解析】由題意知，
設(shè)直線為，，
由三點共線及三點共線，
得，
兩式相乘化簡，得，
又，
所以，即，
又，即，
所以點的軌跡方程為.
故答案為：
【對點訓(xùn)練16】（2023·浙江杭州·高二杭州四中?？计谀┓▏鴶?shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)：雙曲線的兩條互相垂直切線的交點的軌跡方程為：，這個圓被稱為蒙日圓.若某雙曲線對應(yīng)的蒙日圓方程為，則___________.
【答案】2
【解析】由雙曲線的方程可得，
由蒙日圓的定義可得雙曲線對應(yīng)的蒙日圓方程，所以，即，
可得.
故答案為：2.
【對點訓(xùn)練17】（2023·廣西百色·高二階段練習(xí)）設(shè)P為雙曲線上一動點，O為坐標(biāo)原點，M為線段的中點，則點M的軌跡方程為_____________．
【答案】
【解析】設(shè)，，
則，即，
又，則，
整理得，
即點M的軌跡方程為.
故答案為：
【對點訓(xùn)練18】（2023·高二課時練習(xí)）如圖，圓，點，動圓P過點F，且與圓E內(nèi)切于點M，則動圓P的圓心P的軌跡方程為______．

【答案】
【解析】圓的方程為，圓心為，半徑．
設(shè)動圓圓心為，
動圓與圓內(nèi)切于點，
，
的軌跡是以、為焦點的雙曲線的左支，其中，得，
而，，
故所求軌跡方程為．
故答案為：
【對點訓(xùn)練19】（2023·高二單元測試）已知雙曲線，、是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上一點，是的平分線，過作的垂線，垂足為，則點的軌跡方程為_______．
【答案】
【解析】延長，交于，因為，，

，所以，所以，
所以，
因為M是雙曲線C右支上一點，所以，
又因為P是的中點，O是的中點，所以，
所以P的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為2的圓的一部分，
所以點P的軌跡方程為．
故答案為：.
題型五：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
【例5】（2023·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知是雙曲線的兩個焦點，若雙曲線的左?右頂點和原點把線段四等分，則該雙曲線的焦距為（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因為是雙曲線的兩個焦點，若雙曲線的左?右頂點和原點把線段四等分，
所以，即，即，
又因為，
解得，所以c=2，
所以該雙曲線的焦距為.
故選：D
【對點訓(xùn)練20】（2023·高二課時練習(xí)）雙曲線的焦點坐標(biāo)為（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為雙曲線方程為，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以，
由于焦點在軸上，所以焦點坐標(biāo)為：.
故選：C.
【對點訓(xùn)練21】（2023·高二課時練習(xí)）已知中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)雙曲線的方程為，
因為，所以，則，
所以漸近線方程為.
故選：C.
【對點訓(xùn)練22】（2023·湖南衡陽·高二衡陽市八中校考階段練習(xí)）已知雙曲線的漸近線方程為，若雙曲線C的焦點到漸近線的距離為12，則雙曲線C的焦距為（????）
A．30 B．24 C．15 D．12
【答案】A
【解析】依題意，右焦點到漸近線的距離，解得，
所以雙曲線C的焦距為30.
故選：A.
【對點訓(xùn)練23】（2023·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為（???）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】雙曲線的漸近線方程為：，
又；
故選：A.
【對點訓(xùn)練24】（2023·四川瀘州·高二校考階段練習(xí)）已知雙曲線：的一個焦點為，則雙曲線的漸近線方程為（????）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】已知雙曲線的一個焦點為，得，則，
即，所以雙曲線的漸近線方程為，
即.
故選：D.
題型六：求雙曲線的離心率
【例6】（2023·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：的右焦點到一條漸近線的距離為3，則雙曲線C的離心率為______．
【答案】
【解析】由題意雙曲線方程為C：，可知，，
右焦點坐標(biāo)為，其中一條漸近線的方程為，
故右焦點到該漸近線的距離，所以，
所以，
故答案為：．
【對點訓(xùn)練25】（2023·河南省直轄縣級單位·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，若雙曲線的左支上存在一點，使得與雙曲線的一條漸近線垂直于點，且，則此雙曲線的離心率為______．
【答案】
【解析】設(shè)雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為：
，，
一條漸近線方程為，
可得到漸近線的距離為，，
則，，
在直角三角形中，，
在中，可得
，
化為，即有.
故答案為：.
【對點訓(xùn)練26】（2023·湖北·高二鄖陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，唐金筐寶鈿團花紋金杯出土于西安，這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美，充分體現(xiàn)唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代金銀細(xì)工的典范之作．該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線的一部分，設(shè)該雙曲線的方程為，右焦點為，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，且，點關(guān)于原點的對稱點為點，若，則雙曲線的離心率為__________．

【答案】/
【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的左焦點為點，連接，設(shè)，則，

由雙曲線的定義可得，
由于，則,又，則四邊形為矩形，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
在中，由勾股定理得，即，
．
故答案為：.
【對點訓(xùn)練27】（2023·湖北孝感·高二統(tǒng)考期中）已知分別是雙曲線的左?右焦點，點是雙曲線的右頂點，點在過點且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則雙曲線的離心率為___________.
【答案】
【解析】由題知，過作軸于，則，

，
，解得，

故答案為：
【對點訓(xùn)練28】（2023·四川德陽·高二四川省廣漢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知焦點在x軸上的雙曲線的左右焦點別為和，其右支上存在一點P滿足，且的面積為3，則該雙曲線的離心率為______.
【答案】
【解析】由雙曲線中焦點三角形面積，
所以，，
則，
故答案為：.
【對點訓(xùn)練29】（2023·天津·高二校聯(lián)考期末）已知圓與雙曲線的漸近線相切，且圓心到雙曲線左頂點的距離為，則該雙曲線的離心率是__________．
【答案】2
【解析】由，得圓心為，半徑為，
設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，
則雙曲線的右焦點到漸近線的距離為，
又圓與該雙曲線的漸近線相切，所以圓心到漸近線的距離為半徑，
所以圓心即雙曲線的右焦點，即.
雙曲線左頂點為，由題意得，
由，得，解得，
所以該雙曲線的離心率是.
故答案為：2.
【對點訓(xùn)練30】（2023·北京東城·高二北京市第五中學(xué)?？计谥校╇p曲線C：的漸近線與直線交于A，B兩點，且，那么雙曲線C的離心率為____.
【答案】
【解析】由雙曲線的方程可得，且漸近線的方程為：，
與聯(lián)立可得，所以，
由題意可得，解得，又，
所以雙曲線的離心率.
故答案為：.
【對點訓(xùn)練31】（2023·陜西榆林·高二陜西省神木中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線C：的右焦點為F，O為坐標(biāo)原點，以F為圓心，OF為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線相交于O，A兩點，若的面積等于2，則雙曲線C的離心率為______.
【答案】
【解析】如圖，設(shè)以F為圓心，OF為半徑的圓與軸的另一個交點為B，過F作交OA于點M，則M為OA的中點，
因為OA為雙曲線的漸近線，其方程為，即，
所以，所以，，
所以的面積為，
所以，所以雙曲線的離心率，
故答案為：．

【對點訓(xùn)練32】（2023·云南保山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)雙曲線 (a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為該雙曲線上一點且2|PF1|＝3|PF2|，若∠F1PF2＝60°，則該雙曲線的離心率為______．
【答案】
【解析】因為2|PF1|＝3|PF2|，
所以由雙曲線的定義知，|PF1|－|PF2|＝2a，
故|PF1|＝6a，|PF2|＝4a．
在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝36a2＋16a2－2·6a·4acos60°，化簡整理得到，故．
故答案為：.
【對點訓(xùn)練33】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P為雙曲線C右支上一點，直線與圓相切，且，則雙曲線C的離心率為__________．
【答案】
【解析】如圖，設(shè)直線與圓相切于點M，則，，
取的中點N，連接，
由，可得，
則，，
可得，且為的中點，
則，
故，即有，
由雙曲線的定義可得，即，則，
可得，即，解得，即．
故答案為：.

【對點訓(xùn)練34】（2023·陜西安康·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）雙曲線的左，右焦點分別為，，C上一點到軸的距離為，，則雙曲線的離心率為______.
【答案】/
【解析】設(shè)為第一象限內(nèi)的點，，，，則，在中，
由余弦定理得，即，即.
∴的面積為，化簡得，
同除以可得，解得（負(fù)的舍去）
故答案為：
題型七：求雙曲線離心率的取值范圍
【例7】（2023·貴州黔東南·高二凱里一中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線，若過右焦點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有兩個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】由題意知，雙曲線的漸近線方程為，
要使直線與雙曲線的右支有兩個交點，
需使雙曲線的漸近線方程的斜率小于直線的斜率，
即，即，由，
得，整理得，所以，
因為雙曲線中，所以雙曲線的離心率的范圍是，
故答案為：．
【對點訓(xùn)練35】（2023·上海普陀·高二曹楊二中?？茧A段練習(xí)）雙曲線與直線無公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍為_______．
【答案】
【解析】雙曲線的漸近線方程為，
若雙曲線與直線無公共點，
等價為雙曲線的漸近線的斜率，即，
即，即，即，則，則，
，離心率滿足，
即雙曲線離心率的取值范圍是.
故答案為：.
【對點訓(xùn)練36】（2023·河南駐馬店·高二?？茧A段練習(xí)）已知，分別是雙曲線：的左、右焦點.若雙曲線上存在一點使得，則雙曲線的離心率的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】

如圖所示，，所以，所以，
又因為，即，即，
所以離心率，
所以雙曲線的離心率的取值范圍為，
故答案為: .
【對點訓(xùn)練37】（2023·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是雙曲線的右焦點，直線與雙曲線相交于兩點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】聯(lián)立方程，消去x得：
所以，即，解得，
設(shè)，則可得，
取雙曲線的左焦點為，連結(jié)，由對稱性知四邊形為平行四邊形，
由可得，
∵，則，
∴，則
即，整理得，解得，
綜上可得：.
故雙曲線的離心率的取值范圍是.
故答案為：.

【對點訓(xùn)練38】（2023·遼寧錦州·高二校考期中）已知雙曲線：的左右焦點分別為，，點在雙曲線右支上，滿足，，又直線：與雙曲線的左、右兩支各交于一點，則雙曲線的離心率的取值范圍是______.
【答案】
【解析】因為，故，
由雙曲線定義可得，
由勾股定理知：，
整理得，，
又，，，
故，，
解得，
直線：與雙曲線的左、右兩支各交于一點，
則直線的斜率，
所以，
所以.
故答案為：.
【對點訓(xùn)練39】（2023·上海楊浦·高二復(fù)旦附中?？计谥校┮阎行脑谠c的橢圓與雙曲線有公共焦點，且左、右焦點分別是F?、F?，這兩條曲線在第一象限的交點為P，△PF?F?是以PF?為底邊的等腰三角形，若|PF?|=10，橢圓與雙曲線的離心率分別為e?、e?，則e?e?的取值范圍是_____.
【答案】．
【解析】設(shè)，橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，焦距為，
則，，
在第一象限，則，∴，
，，，，又，∴，
∴，
，
，則，．
故答案為：．
【對點訓(xùn)練40】（2023·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）設(shè)雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，若過點且斜率為的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點，則該雙曲線的離心率的取值范圍為_______________.
【答案】
【解析】由題可知雙曲線的漸近線方程為，

由于過點且斜率為的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點，
則，
因此，，又，
所以，該雙曲線的離心率為取值范圍是.
故答案為：.
【對點訓(xùn)練41】（2023·全國·高二專題練習(xí)）若雙曲線上存在一點滿足以為邊長的正方形的面積等于（其中為坐標(biāo)原點），則雙曲線的離心率的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】由題意，，又，
則，即，得，
∴，所以，
所以，即的取值范圍是．
故答案為：．
題型八：由雙曲線離心率求參數(shù)的取值范圍
【例8】（2023·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，，若C的離心率為，則的值為______．
【答案】3
【解析】由及雙曲線的定義可得，
所以，，因為，在中，
由余弦定理可得，
即，所以，
即，解得或（舍去）.
故答案為：3
【對點訓(xùn)練42】（2023·江蘇·高二統(tǒng)考期末）設(shè)為實數(shù)，已知雙曲線的離心率，則的取值范圍為_____________
【答案】
【解析】因為表示雙曲線的方程，
所以有，因此，
因為，
所以由
，
即k的取值范圍為，
故答案為：.
【對點訓(xùn)練43】（2023·全國·高二專題練習(xí)）焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則的值為___________.
【答案】
【解析】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，則，，，
所以，，解得.
故答案為：.
【對點訓(xùn)練44】（2023·全國·高二專題練習(xí)）若雙曲線的離心率不大于，則C的虛軸長的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】因為，所以，
所以，所以，解得，
則，故虛軸長.
故答案為：.
【對點訓(xùn)練45】（2023·高二課時練習(xí)）中心在坐標(biāo)原點，離心率為的雙曲線的焦點在y軸上，則它的漸近線方程為________.
【答案】
【解析】由題意，社區(qū)向的中心在坐標(biāo)原點，離心率為，且焦點在y軸上，
可得＝，則＝＝，整理得＝，解得＝，
所以，所以雙曲線的漸近線方程為.
故答案為：.
【對點訓(xùn)練46】（2023·四川宜賓·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，則點到的漸近線的距離為______.
【答案】3
【解析】由題意，雙曲線的離心率為2，
即，解得，
所以雙曲線的一條漸近線的方程為，即，
所以點到的漸近線的距離為.
題型九：雙曲線中的范圍與最值問題
【例9】（2023·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？计谀┤酎c,在雙曲線的漸近線上,且的面積為1（為坐標(biāo)原點）,則長度的最小值為_______.
【答案】2
【解析】解:由題知雙曲線方程為,
所以雙曲線漸近線為,
故兩條漸近線斜率之積為-1,
即兩漸近線垂直,
故為直角三角形,
記,
所以,
因為三角形的面積為1,
所以,
即,
解得,
因為

,
當(dāng)且僅當(dāng)時取等,
故長度的最小值為2.
故答案為:2
【對點訓(xùn)練47】（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)雙曲線C：的左焦點和右焦點分別是，，點A是C右支上的一點，則的最小值為___________.
【答案】8
【解析】由雙曲線C：，可得，，
所以，所以，，由雙曲線的定義可得，
所以，所以，
由雙曲線的性質(zhì)可知：，令，則，
所以，記，
設(shè)，則，
所以，即在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，取得最小值，此時點A為雙曲線的右頂點（1，0）．
故答案為：8．
【對點訓(xùn)練48】（2023·湖南衡陽·高二衡陽市八中?？计谥校┮阎p曲線的方程為，如圖，點的坐標(biāo)為，是圓上的點，點在雙曲線的右支上，則的最小值為_______．

【答案】/
【解析】雙曲線的方程為，則，雙曲線焦點為、，
，圓心為，半徑為，

則，
當(dāng)、、共線時，等號成立；
又，
當(dāng)、、共線時，等號成立，
的最小值為，
故答案為:．
【對點訓(xùn)練49】（2023·福建福州·高二福建省福州第二中學(xué)?？计谀┯幸煌雇哥R其劑面圖（如圖所示）是由橢圓和雙曲線的實線部分組成，已知兩曲線有共同焦點M，N，動點A，B分別在左右兩部分實線上運動，則△ANB周長的最小值為______________

【答案】
【解析】由題意，雙曲線，可得，
根據(jù)雙曲線的定義可得，即，
又由橢圓，可得，
根據(jù)橢圓的定義可得，所以，
所以周長為,
故周長的最小值為，其中三點共線時，等號成立.
故答案為：.

【對點訓(xùn)練50】（2023·北京·高二期中）已知點，，，動點M到A的距離比到B的距離多2，則動點M到B，C兩點的距離之和的最小值為___________.
【答案】4
【解析】點，，且動點M到A的距離比到B的距離多2，
所以，
故動點M的軌跡為雙曲線右側(cè)一支，
則動點M到B，C兩點的距離之和，
當(dāng)且僅當(dāng)M，A，C三點共線時取等號，
所以動點M到B，C兩點的距離之和的最小值為4.
故答案為：4.
【對點訓(xùn)練51】（2023·高二課時練習(xí)）已知雙曲線的一個焦點為．若已知點，點是雙曲線上的任意一點，則的最小值是______．
【答案】3
【解析】由題意，可知，∴，∴雙曲線的方程為．
由，得，
∴．
又或，
∴當(dāng)時，取得最小值，為3．
故答案為：3.
【對點訓(xùn)練52】（2023·江西宜春·高二上高二中?？计谀┦请p曲線的右支上一點，分別是圓和上的點，則的最大值為__________．
【答案】9
【解析】由題意，圓的圓心為，半徑為2，的圓心為，半徑為1，故雙曲線焦點即為兩圓圓心.
所以的最大值即：的最大值減去的最小值. 的最大值為，的最小值為，根據(jù)雙曲線的定義可得兩者相減得.
故答案為：9
【對點訓(xùn)練53】（2023·廣西桂林·高二桂林中學(xué)?？计谥校┮阎本€與雙曲線的左、右支各有一個公共點，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】由，可得，
依題意有，
解得.
故答案為：.

題型十：焦點三角形
【例10】（2023·安徽滁州·高二?？计谀┤糁本€與雙曲線的左支交于不同的兩點，則的取值范圍為________.
【答案】
【解析】聯(lián)立方程得,①
若直線與雙曲線的左支交于不同的兩點，則方程①有兩個不等的負(fù)根.
所以
解得.
故答案為：.
【對點訓(xùn)練54】（2023·高二課時練習(xí)）已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線=1的左、右焦點，若點P是雙曲線左支上的點，且，則△的面積為____.
【答案】16
【解析】雙曲線，所以，，所以，，

??
是雙曲線左支上的點，，，
在△中，由余弦定理得，
，
△的面積為.
故答案為：.
【對點訓(xùn)練55】（2023·上海普陀·高二?？计谥校c為雙曲線上的點，、為左、右焦點，若，則的面積是__．
【答案】
【解析】由題意得，，且，
由余弦定理得
，
所以,
所以的面積,
故答案為：
【對點訓(xùn)練56】（2023·江蘇泰州·高二靖江高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓C與雙曲線E：有相同的焦點，，點M是橢圓C與雙曲線E的一個公共點，若，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________．
【答案】
【解析】設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦半距為.
令，
，即
因為點M在雙曲線E上，所以即,

，即
又因為點M在橢圓C上，所以，即.
因為橢圓C與雙曲線E：有相同的焦點，，
所以，，所以橢圓方程為.
故答案為：
【對點訓(xùn)練57】（2023·高二課時練習(xí)）已知點分別是雙曲線的下、上焦點，若點是雙曲線下支上的點，且，則的面積為________.
【答案】16
【解析】因為是雙曲線下支上的點，所以，兩邊平方得：
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.
在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2==0，
所以∠F1PF2=90°，所以|PF1|·|PF2|=×32=16
故答案為：
【對點訓(xùn)練58】（2023·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)?？计谥校┮阎瑸殡p曲線的左、右焦點，點P在雙曲線C上，，則______．
【答案】/
【解析】，，則，，，
.
故答案為：.
【對點訓(xùn)練59】（2023·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線的焦點為，，過左焦點交雙曲線左支于A、B兩點，若則等于________.
【答案】8
【解析】雙曲線的實軸長
過左焦點交雙曲線左支于A、B兩點，
則，
又,
則
故答案為：8
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·四川成都·高二校聯(lián)考期末）若雙曲線的漸近線方程為，實軸長為，且焦點在x軸上，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（????）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題可得，解得，
因為焦點在x軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選:C.
2．（2023·高二課時練習(xí)）方程＋＝1表示的曲線是（????）
A．焦點為點(－3,0)與(3,0)，離心率為的橢圓
B．焦點為點(0,－3)與(0,3)，離心率為的橢圓
C．焦點為點(－3,0)與(3,0)，離心率為的橢圓
D．焦點為點(0,－3)與(0,3)，離心率為的橢圓
【答案】B
【解析】由方程可知，它表示焦點在y軸上的橢圓，且a＝5，b＝4，∴c＝3，
所以橢圓的焦點為F1(0,－3)，F(xiàn)2(0,3)，離心率為．
故選：B.
3．（2023·江西·高二校聯(lián)考期中）若方程表示雙曲線，則實數(shù)的取值范圍為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】方程表示雙曲線,則，解得或，
故選：D
4．（2023·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點為，點M在雙曲線的右支上，滿足軸，O為坐標(biāo)原點且，則離心率（????）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】，設(shè)M點為，代入，解得，
又，
故，則，即，即，
又，解得．
故選：C．
5．（2023·四川宜賓·高二宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校?？计谀┮阎p曲線的離心率e是它的一條漸近線斜率的2倍，則e=（????）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】由題意可知，，即，
則，解得：，
所以雙曲線的離心率.
故選：C
6．（2023·安徽滁州·高二?？奸_學(xué)考試）若雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則（????）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程得：，
由雙曲線定義得:
即，
解得（舍去）或，
故選：A.
7．（2023·陜西漢中·高二?？计谥校┰O(shè)雙曲線C的方程為，直線l過點和點．若雙曲線C的一條漸近線與直線l平行，另一條漸近線與直線l垂直，則雙曲線C的方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題可知，直線的方程為，即直線的斜率為，
又雙曲線的漸近線的方程為，所以，，
因為，解得．
故選：D．
8．（2023·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的上下焦點分別為，點在的下支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖，過點作漸近線的垂線，垂足為，
設(shè)，則點到漸近線的距離.
由雙曲線的定義可得，故，
所以，即的最小值為，
因為恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.
故選：A.

??
二、多選題
9．（2023·湖南衡陽·高二衡陽市一中?？计谀┤?，則方程可以表示下列哪些曲線（????）
A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓
【答案】ABD
【解析】當(dāng)時，，方程表示雙曲線，
當(dāng)時，方程為，即，表示兩條直線，
當(dāng)時，，方程表示焦點在軸的橢圓，
當(dāng)時，，方程表示焦點在軸的橢圓，
當(dāng)時，，方程表示圓.
故選：ABD
10．（2023·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線，左、右焦點為，為雙曲線上一點，則下列正確的是（????）
A．離心率為 B．漸近線方程為
C．虛軸長為4 D．若，則
【答案】BCD
【解析】對于A，已知雙曲線，則，A選項錯誤；
對于B，，所以漸近線方程為，B選項正確；
對于C，虛軸長，C選項正確；
對于D，由定義可知，若，
則或（舍），D選項正確；
故選：BCD.
11．（2023·廣東深圳·高二深圳中學(xué)?？计谥校┒x：以雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線與原雙曲線互為共軛雙曲線，以下關(guān)于共軛雙曲線的結(jié)論正確的有（????）
A．與共軛的雙曲線是
B．互為共軛的雙曲線漸近線不相同
C．互為共軛的雙曲線的離心率為，則
D．互為共軛的雙曲線的4個焦點在同一圓上
【答案】CD
【解析】對于A，根據(jù)共軛雙曲線的定義可知，與共軛的雙曲線是，A錯誤；
對于B，的漸近線方程為，
的漸近線方程也為，二者相同，B錯誤；
對于C，由題意可得，
故，
由于，故，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C正確；
對于D，的焦點坐標(biāo)為，
其共軛雙曲線的焦點坐標(biāo)為，
顯然這4個焦點在以原點為圓心，為半徑的圓上，D正確，
故選：CD
12．（2023·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線：與橢圓的焦點相同，雙曲線的左右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的右支交于，兩點，與軸相交于點，的內(nèi)切圓與邊相切于點.若，則下列說法錯誤的有（????）
A．雙曲線的離心率為
B．雙曲線的方程為
C．若，則的內(nèi)切圓面積為
D．過點與雙曲線有且僅有一個交點的直線有3條
【答案】ACD
【解析】

????
如圖，設(shè)、與的內(nèi)切圓分別相切與兩點，
所以，且，
因為
，可得，
雙曲線：與橢圓的焦點相同，
所以，可得，所以雙曲線的離心率為，故A錯誤；
所以雙曲線的方程為，故B正確；
對于C，若，設(shè)，則，，
由可得，解得，
可得，
由得，
解得，即內(nèi)切圓的半徑為，
則的內(nèi)切圓面積為故C錯誤；
對于D，當(dāng)過點的直線與軸垂直時，其方程為，與雙曲線方程聯(lián)立
，可得，即直線與雙曲線有一個交點；
當(dāng)過點的直線與軸不垂直時，設(shè)其方程為，與雙曲線方程聯(lián)立
可得，
當(dāng)時，此時可得直線與雙曲線有一個交點；
當(dāng)即時，由得
，可得，此時直線與雙曲線有一個交點；
綜上所述，過點與雙曲線有且僅有一個交點的直線有4條，故D錯誤；
故選：ACD.
三、填空題
13．（2023·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）雙曲線的兩條漸近線的夾角的余弦值為______.
【答案】/0.6
【解析】雙曲線的兩條漸近線為，直線的傾斜角為，，，
所以兩條漸近線的夾角的余弦值為．
故答案為：．
14．（2023·上海靜安·高二統(tǒng)考期末）若雙曲線的漸近線方程為，且過點，則的焦距為__________.
【答案】
【解析】因為雙曲線的漸近線方程是，故可設(shè)雙曲線的方程為：，
把點代入雙曲線方程可得，
所以雙曲線方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，
所以，，，，
所以雙曲線的焦距為．
故答案為：．
15．（2023·貴州·高二貴州師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）點是雙曲線上一動點，過做圓的兩條切線，切點為，，則的最小值為____________.
【答案】
【解析】由題知：設(shè)，，則，
由于是直角三角形，且，所以當(dāng)取得最小值時，取得最小值，

??
則
，當(dāng)時，等號成立，
故，
故答案為:.
16．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知直線與離心率為的雙曲線的一條漸近線平行，則所有可能取的值之和為______．
【答案】
【解析】由離心率為可得，解得：，
則的漸近線為，
則m可能取的值為，和為0.
故答案為：0．
四、解答題
17．（2023·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級中學(xué)?？计谥校┣鬂M足下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點在x軸上，且經(jīng)過點和點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)焦點在軸上，焦距是16，的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【解析】（1）由題意得：，，因為焦點在x軸上，所以橢圓方程為：；
（2）依題意，又，所以，所以，
由于雙曲線焦點在軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
18．（2023·高二單元測試）若雙曲線C：上一點到左、右焦點的距離之差的絕對值為2.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設(shè)、是雙曲線的左、右焦點，點P是雙曲線上的點，若，求的面積.
【解析】（1）令分別是左右焦點，則，得，
雙曲線的方程為，將點代入上式，得：
，
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）不妨設(shè)點P在第一象限，由雙曲線的幾何性質(zhì)知：，
，解得，
在△中，，
設(shè)與的夾角為，由余弦定理得：，
；
綜上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，△的面積為 .
19．（2023·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線的焦點到漸近線的距離為，右頂點為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知過點的直線與雙曲線只有一個公共點，求直線的方程.
【解析】（1）雙曲線的一條漸近線為，故焦點到直線的距離為，所以，又，
所以雙曲線方程為
（2）由題知，直線的斜率必存在.
設(shè)直線方程為：
聯(lián)立，消y得
①當(dāng)時，上述方程只有一解，符合題意，
所以；
②當(dāng)時，為使上述方程只有一解即，
，
化解得：，所以，
所以.
綜上，直線方程為：或.
20．（2023·湖南湘潭·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦距為.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若O為坐標(biāo)原點，過的直線l交雙曲線C于A，B兩點，且的面積為，求直線l的方程.
【解析】（1）由題意得：，，，
解得：，，，
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由題意可知，直線的斜率一定存在，
設(shè)直線的方程為，，，，，
聯(lián)立方程組，消去整理得，
則，

原點到直線的距離為，
所以，
解得或，故或，
故直線方程為或
21．（2023·重慶璧山·高二重慶市璧山來鳳中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，實軸長為．
(1)寫出雙曲線的漸近線方程；
(2)直線與雙曲線右支交于不同的兩點，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）由已知有，，所以，
所以雙曲線方程為，或，漸近線方程為
（2）設(shè)兩交點坐標(biāo)分別為，，
聯(lián)立，消去得，
由已知，因為直線與雙曲線右支交于不同的兩點，
所以解得，
實數(shù)的取值范圍為.
22．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的實軸長為2，右焦點到的距離為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線交于，兩點，求的面積.
【解析】（1）設(shè)雙曲線的焦距為，
因為雙曲線的實軸長為2，所以，解得.
因為右焦點到的距離為，所以，解得或.
因為，所以.可得，
所以雙曲線的方程為.
（2）設(shè)，，
聯(lián)立直線和雙曲線可得，
即，或
不妨設(shè)，，所以.
所以.
即的面積為

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