?第11講 圓與圓的位置關(guān)系
【題型歸納目錄】
題型一：判斷圓與圓的位置關(guān)系
題型二：求兩圓的交點
題型三：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)
題型四：求兩圓的公共弦方程、公共弦長
題型五：圓的公切線條數(shù)
題型六：圓的公切線方程
題型七：圓系問題
【知識點梳理】
知識點一：圓與圓的位置關(guān)系
1、圓與圓的位置關(guān)系：
（1）圓與圓相交，有兩個公共點；
（2）圓與圓相切（內(nèi)切或外切），有一個公共點；
（3）圓與圓相離（內(nèi)含或外離），沒有公共點．

2、圓與圓的位置關(guān)系的判定：
（1）代數(shù)法：
判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解．
有兩組不同的實數(shù)解時，兩圓相交；
有一組實數(shù)解時，兩圓相切；
方程組無解時，兩圓相離．
（2）幾何法：
設(shè)的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為．
當時，兩圓相交；
當時，兩圓外切；
當時，兩圓外離；
當時，兩圓內(nèi)切；
當時，兩圓內(nèi)含．
知識點詮釋：
判定圓與圓的位置關(guān)系主要是利用幾何法，通過比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關(guān)系來確定，這種方法運算量小．也可利用代數(shù)法，但是利用代數(shù)法解決時，一是運算量大，二是方程組僅有一解或無解時，兩圓的位置關(guān)系不明確，還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關(guān)系來確定．因此，在處理圓與圓的位置關(guān)系時，一般不用代數(shù)法．
3、兩圓公共弦長的求法有兩種：
方法一：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求其長．
方法二：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．
4、兩圓公切線的條數(shù)
與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．
（1）兩圓外離時，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；
（2）兩圓外切時，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；
（3）兩圓相交時，只有2條外公切線；
（4）兩圓內(nèi)切時，只有1條外公切線；
（5）兩圓內(nèi)含時，無公切線．
【典例例題】
題型一：判斷圓與圓的位置關(guān)系
【例1】（2023·安徽·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習）圓與圓的位置關(guān)系是（????）
A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切
【答案】C
【解析】兩圓化為標準形式，可得與圓，
可知半徑，，于是，
而，故兩圓相交，
故選：.
【對點訓(xùn)練1】（2023·山東日照·高二?？茧A段練習）兩圓和的位置關(guān)系是（　　）
A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切
【答案】B
【解析】由化簡得，圓心為，，
由化簡得，圓心為，，
兩圓心的距離為，
明顯地，，所以，兩圓的位置關(guān)系是外切.
故選：B.
【對點訓(xùn)練2】（2023·天津北辰·高二天津市第四十七中學(xué)?？茧A段練習）設(shè)圓，圓，則圓，的位置（????）
A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離
【答案】D
【解析】圓，化為，圓心為，半徑為；
圓，化為，圓心為，半徑為；
兩圓心距離為：，
，
圓與外離，
故選：D.
題型二：求兩圓的交點
【例2】（2023·全國·高二專題練習）圓心在直線x﹣y﹣4＝0上，且經(jīng)過兩圓x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交點的圓的方程為（????）
A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0
C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0
【答案】A
【解析】由解得兩圓交點為與
因為，所以線段的垂直平分線斜率；MN中點P坐標為（1，1）
所以垂直平分線為y＝﹣x+2
由
解得x＝3，y＝﹣1，所以圓心O點坐標為（3，﹣1）
所以r
所以所求圓的方程為（x﹣3）2+（y+1）2＝13即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0
故選：A
【對點訓(xùn)練3】（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校校考期末）平面直角坐標系xOy中，P為圓C1：上的動點，過點P引圓：的切線，切點為T，則滿足的點P有（????）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】C
【解析】設(shè)點的坐標為，則①，
由已知圓的圓心的坐標為，半徑為1，
所以，，
因為，
所以，
化簡可得②，
聯(lián)立①②可得，或，
所以點的坐標為或，
故滿足的點P有2個，
故選：C.
題型三：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)
【例3】（2023·高二課時練習）若圓與圓外切，則＝（????）
A．21 B．19 C．9 D．
【答案】C
【解析】依題意可得圓與圓的圓心分別為，，則，
又，且兩圓外切，則，得到，解得．
故選：C.
【對點訓(xùn)練4】（2023·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級中學(xué)?？计谥校┤簦?，且，則r的取值范圍是（????）
A．(0，] B．(0，1] C．(0，] D．[0，2]
【答案】C
【解析】由知，，
所以圓與圓內(nèi)切或內(nèi)含，且圓為大圓，
所以，
所以.
故選：C.
【對點訓(xùn)練5】（2023·貴州黔東南·高二凱里一中?？计谀┮阎獔A與圓有兩個交點，則的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意知，圓心與圓心，
則圓心距，
因為圓與圓有兩個交點，
則圓與圓相交，
則，
解得．
故選：B.
題型四：求兩圓的公共弦方程、公共弦長
【例4】（2023·福建福州·高二福建省福州高級中學(xué)校考期中）圓：與圓：的公共弦長為________.
【答案】
【解析】由題意可知，兩圓方程相減可得公共弦方程為，
圓的標準方程為，其圓心，半徑；
圓心到公共弦的距離
所以公共弦長為.
故答案為：
【對點訓(xùn)練6】（2023·黑龍江大慶·高二大慶實驗中學(xué)?？计谀﹫A與圓的公共弦所在直線方程為___________.
【答案】
【解析】圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
則，則兩圓相交，
故將兩圓方程相減可得：，即，
即圓與圓的公共弦所在直線方程為，
故答案為：
【對點訓(xùn)練7】（2023·湖南長沙·高二長郡中學(xué)?？计谀﹫A與圓的公共弦所在直線的方程為________．
【答案】
【解析】聯(lián)立兩圓的方程得，
兩式相減并化簡，得，
所以兩圓公共弦所在直線的方程為．
故答案為：.
【對點訓(xùn)練8】（2023·全國·高二合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）圓與圓的公共弦長為______．
【答案】/
【解析】由題意可知，兩圓方程相減可得公共弦方程為，
圓的標準方程為，其圓心，半徑；
圓心到公共弦的距離
所以公共弦長為.
故答案為：
題型五：圓的公切線條數(shù)
【例5】（2023·高二課時練習）已知兩圓，，當圓與圓有且僅有兩條公切線時，則的取值范圍________.
【答案】
【解析】若圓C1與圓C2有且僅有兩條公切線時，則兩圓相交，
圓心C1，半徑R＝2，圓C2，半徑r，
則，
若兩圓相交，則滿足，即,
得，
故答案為：
【對點訓(xùn)練9】（2023·廣東·高二統(tǒng)考期末）已知點，，為平面上的動直線，點A，B到直線的距離分別為1，3，則這樣的直線有______條．
【答案】4
【解析】到點A的距離為1的直線即該直線與以A為圓心，1為半徑的圓相切；
到點B的距離為3的直線即該直線與以B為圓心，3為半徑的圓相切；
由于，即兩圓相離，如圖所示，故公切線的條數(shù)為4條，
即點A，B到直線的距離分別為1，3的直線有4條，
故答案為：4.

【對點訓(xùn)練10】（2023·上海普陀·高二上海市晉元高級中學(xué)?？计谀┢矫嬷苯亲鴺讼祪?nèi)，點到直線的距離分別為4和9，則滿足條件的直線有__________條.
【答案】3
【解析】由已知可把直線l看成是以為圓心，4為半徑的圓的切線，
同時是以為圓心，9為半徑的圓的切線，
由于兩圓圓心距，所以兩圓相外切，
根據(jù)外切的兩圓的公切線有3條可知，滿足條件的直線有3條．
故答案為：3．
【對點訓(xùn)練11】（2023·湖北襄陽·高二襄陽四中?？奸_學(xué)考試）圓與圓的公切線共有__________條
【答案】4
【解析】由，
所以該圓的圓心坐標為，半徑為2，
，
所以該圓的圓心坐標為，半徑為1，
所以該兩圓圓心距為4，兩圓半徑和為3，
因為，所以兩圓的位置關(guān)系是外離，
故兩圓的公切線共有4條.
故答案為：4.
題型六：圓的公切線方程
【例6】（2023·江西南昌·高二校考階段練習）如圖，圓和圓的圓心分別為、，半徑都為，寫出一條與圓和圓都相切的直線的方程：_________

【答案】（或或）(答案不唯一)
【解析】如下圖所示：

因為圓和圓的圓心分別為、，半徑都為，且，
所以，圓和圓外切，易知這兩個圓的切點為，且軸，
所以，這兩個圓的公切線共條，設(shè)這三條切線分別為、、，
其中，切線過點，且軸，則直線的方程為，
設(shè)切線分別切圓、圓于點、，連接、，
因為，且，，所以，，
故四邊形為矩形，故，
易知直線的方程為，且直線與直線間的距離為，
結(jié)合圖形可知，直線的方程為，同理可知，直線的方程為.
故答案為： （或或）.(答案不唯一)
【對點訓(xùn)練12】（2023·河南·高二臨潁縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程：__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由圓，圓，
，可知它們外切，
所以兩圓的方程作差即可得內(nèi)公切線的方程為．
又直線的方程為，兩圓半徑相等，
故可設(shè)外公切線的方程為，
因為圓心到外公切線距離為，
所以或，即兩條外公切線的方程分別為和．
故答案為：（答案不唯一）
【對點訓(xùn)練13】（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考期末）寫出與圓和都相切的一條直線的方程__________．
【答案】///
【解析】因為圓的圓心為，半徑
圓的圓心為，半徑
又因為
所以圓與圓相離，所以有4條公切線.
畫圖為：

易得或是圓和的公切線
設(shè)另兩條公切線方程為：
圓到直線的距離為
圓到直線的距離為
所以
所以或
或
當時
所以，切線方程為
當時
所以
所以
所以或
當時，切線方程為
當時，切線方程為
故答案為：或或或
題型七：圓系問題
【例7】過圓與的交點，且圓心在直線上的圓的方程是_______．
【答案】
【解析】
設(shè)圓的方程為，
則，
即，所以圓心坐標為，
把圓心坐標代入，可得，
所以所求圓的方程為．
故答案為：．
【對點訓(xùn)練14】已知圓與圓相交于A、B兩點．
（1）求公共弦AB所在直線方程；
（2）求過兩圓交點A、B，且過原點的圓的方程．
【解析】（1），①
，②
①-②得
即公共弦AB所在直線方程為．
（2）設(shè)圓的方程為
即
因為圓過原點，所以，
所以圓的方程為
【對點訓(xùn)練15】已知圓．求證：對任意不等于的實數(shù)，方程是通過兩個已知圓交點的圓的方程．
【解析】若是圓、圓的交點坐標，則且，
所以必在上，
又，
所以，則在時，方程表示圓，
綜上，對任意不等于的實數(shù)，方程是通過兩個已知圓交點的圓的方程．
【對點訓(xùn)練16】已知圓和圓．
（1）求證：兩圓相交；
（2）求過點，且過兩圓交點的圓的方程．
【解析】（1）證明：∵圓，即，表示以為圓心，半徑等于2的圓，圓，即，表示以為圓心，半徑等于1的圓，所以兩圓的圓心距，大于兩圓的半徑之差且小于兩圓的半徑之和，故兩圓相交．
（2）設(shè)過兩圓交點的圓的方程為．
把點代入，求得．
故所求圓的方程為，
即．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·高二課時練習）若圓與圓有公共點，則滿足的條件是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由得，
兩圓圓心之間的距離為＝.
∵兩圓有公共點，∴，
∴，
即，∴，
故選：C.
2．（2023·江蘇鹽城·高二統(tǒng)考期末）在坐標平面內(nèi)，與點距離為，且與點距離為的直線共有（????）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】A
【解析】當直線的斜率不存在時，直線滿足與點距離為，且與點距離為，
以點為圓心，為半徑的圓的方程為，
以點為圓心，為半徑的圓的方程為，
因為，則兩圓相內(nèi)切，
故兩圓的公切線有且僅有條，即，
故在坐標平面內(nèi)，與點距離為，且與點距離為的直線共有條.
故選：A
3．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）圓與圓的位置關(guān)系是（????）
A．相切 B．相交 C．內(nèi)含 D．外離
【答案】B
【解析】圓的圓心，半徑，
圓的圓心，半徑，
于是，
所以兩圓相交.
故選：B
4．（2023·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知圓：與圓：有公共點，則的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題知：，，，，
.
因為和有公共點，所以，
解得.
故選：C
5．（2023·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）若圓與圓外切，則實數(shù)（????）
A．－1 B．1 C．1或4 D．4
【答案】D
【解析】由條件化簡得，即兩圓圓心為，
設(shè)其半徑分別為，，所以有.
故選：D
6．（2023·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）已知點P為直線上的一點，M，N分別為圓：與圓：上的點，則的最小值為（????）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】如圖所示，由圓，可得圓心，半徑為，
圓，可得圓心，半徑為，
可得圓心距，
如圖，，
所以，
當共線時，取得最小值，
故的最小值為.

??
故選：B
7．（2023·高二課時練習）若兩圓和圓相交，則a的取值范圍是（????）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【解析】圓與圓相交，
兩圓的圓心距大于兩圓的半徑之差的絕對值且小于半徑之和，
即，所以.
解得或.
故選：B
8．（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知點是圓上的一點，過點作圓的切線，則切線長的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】切線長，所以當取得最小值時，切線長取得最小值.當 共線且點在之間時，
最小，由于,所以min，
所以.
故選：.

??
二、多選題
9．（2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習）已知圓的方程為，下列結(jié)論正確的是（????）
A．該圓的面積為 B．點在該圓內(nèi)
C．該圓與圓相離 D．直線與該圓相切
【答案】BD
【解析】，可知圓心為，半徑；
對于A：由圓的半徑，得該圓的面積為，故A錯誤；
對于B：因為，所以點在該圓內(nèi)，故B正確；
對于C：圓的圓心為，半徑為1，
因為兩圓心距離為，且，所以兩圓相交，故C錯誤；
對于D：圓心到直線的距離，
所以直線與該圓相切，故D正確，
故選：BD．
10．（2023·甘肅蘭州·高二蘭大附中?？茧A段練習）已知圓和圓，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．圓與圓外切
B．直線與圓相切
C．直線被圓所截得的弦長為2
D．若分別為圓和圓上一點，則的最大值為10
【答案】ACD
【解析】圓化為，圓心坐標為，半徑為2，
圓化為，圓心坐標為，半徑為3.
因為兩個圓的圓心距為，等于兩個圓半徑的和，所以兩個圓外切，正確.
圓的圓心到直線的距離為，所以直線與圓不相切，錯誤.
圓的圓心到直線的距離為，直線被圓所截得的弦長為，C正確.
若分別為圓和圓上一點，則的最大值為，正確.
故選：ACD
11．（2023·廣東湛江·高二湛江二十一中校考期中）設(shè)，圓與圓的位置關(guān)系可能是（????）
A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離
【答案】AB
【解析】由題意已知兩圓圓心距為，半徑分別為，
，因此，也可能,∴兩圓相交或內(nèi)切或內(nèi)含，
故選：AB．
12．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知圓，則下列說法正確的是（????）
A．圓C的半徑為18
B．圓C截x軸所得的弦長為
C．圓C與圓相外切
D．若圓C上有且僅有兩點到直線的距離為1，則實數(shù)m的取值范圍是
【答案】BC
【解析】A：將一般式配方可得：，A錯；
B：圓心到x軸的距離為2，弦長為，B對；
C：由題意，，所以圓C與圓外切，C對；
D： 圓C上有且僅有兩點到直線的距離為1，d表示圓心與直線的距離，
，則，解之: ，D錯；
故選：BC.
三、填空題
13．（2023·全國·高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習）已知圓：過圓：的圓心，則兩圓相交弦的方程為______.
【答案】
【解析】圓：的圓心坐標為，
因為圓過圓的圓心，所以，
所以，所以：，
兩圓的方程相減可得相交弦方程為.
故答案為：.
14．（2023·高二課時練習）到點、的距離分別為和的直線有________條．
【答案】
【解析】到點的距離為3的直線是以為圓心，為半徑的圓的切線；
同理，到點的距離為的直線是以為圓心，半徑為的圓的切線，
所以滿足題設(shè)條件的直線是這兩圓的公切線，
而這兩圓的圓心距，則，
所以圓和圓外離，因此它們的公切線有條，即滿足條件的直線有條.
故答案為：.
15．（2023·四川資陽·高二四川省資陽中學(xué)?？计谥校┮阎獔A與圓恰有兩條公切線，則實數(shù)的取值范圍________．
【答案】
【解析】由，即，
可知圓的圓心為，半徑為；
因為圓與圓恰有兩條公切線，所以圓與圓相交，
則，∵，
解得：，即的取值范圍是.
故答案為：.
16．（2023·高二單元測試）已知圓和圓的公共弦所在直線恒過定點M，且點M在直線 上，則的最小值為_____.
【答案】
【解析】由圓和圓，
兩式相減，可得公共弦的方程為，即，
聯(lián)立方程組，解得，即公共弦恒過點，
又由點在直線上，可得在 上，
因為可以看出點到原點的距離，
又因為原點到直線的距離為，
即的最小值為.
故答案為：.
四、解答題
17．（2023·廣東深圳·高二深圳中學(xué)?？计谥校┮阎獔AC的圓心為，且與直線相切．
(1)求圓C的方程；
(2)求圓C與圓的公共弦的長．
【解析】（1）由題意得圓C的半徑為，
故圓C的方程為；
（2）圓和的圓心距為，
而，即兩圓相交，
將和相減得，
圓的圓心到的距離為，
故兩圓的公共弦長為.
18．（2023·黑龍江大慶·高二大慶實驗中學(xué)校考期末）過點可以作兩條直線與圓相切，切點分別為
(1)求實數(shù)的取值范圍.
(2)當時，存在直線嗎？若存在求出直線方程，若不存在說明理由.
【解析】（1）由題意可知，點在圓外，即，解得.
又因為圓，即，
所以，即或，
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
（2）當時，，
即，所以圓心，
因為與圓相切，所以四點共圓且以為直徑.
設(shè)過四點的圓上一點，
則，即，即
所以過過四點的圓的方程為，
兩圓方程相減得，
于是直線的方程為.
19．（2023·四川成都·高二?？茧A段練習）如圖，圓，點為直線上一動點，動點P引圓M的兩條切線，切點分別為A、B．

(1)若，求兩條切線所在的直線方程；
(2)求線段AB的最小值；
(3)求直線AB的方程，并寫出直線AB所經(jīng)過的定點的坐標．
【解析】（1）設(shè)圓M的過點P的切線方程為，即.
數(shù)到直線的距離 解得 或
則切線方程為和.
（2）（2）連接PM，AB交于點N，
設(shè)，則，

在中， ，
由，則，有 ，
所以.
（3），， ，
故以P為圓心，以為半徑的圓P的方程為，
兩圓相減，可得為圓P和圓M的公共弦AB所在直線方程，
即，所以直線AB過定點
20．（2023·福建莆田·高二莆田一中?？计谀?）已知圓與圓.證明圓與圓相交；并求兩圓公共弦所在直線的方程；
（2）求圓心既在第一象限又在直線上，與x軸相切，且被直線截得的弦長為的圓的方程.
【解析】（1）證明：圓的圓心為，半徑為，
圓化為標準方程，
所以圓心為，半徑為，
所以，
因為，
所以圓與圓相交.
由圓與圓，
將兩圓方程相減，可得，即，
所以兩圓公共弦所在直線的方程為.
（2）設(shè)所求圓圓心為，，，半徑為，
則圓心到直線的距離為，
由題意，可得，解得，，，
故所求圓的方程為.
21．（2023·山東東營·高二統(tǒng)考期末）已知圓C與圓M：相外切，且圓心C與點關(guān)于直線l：對稱．
(1)求圓C的標準方程；
(2)求經(jīng)過點圓C的切線的方程．
【解析】（1）因為，故點在直線上，
故點關(guān)于直線的對稱點是其本身，
故圓心坐標為，
因為圓C與圓M：相外切，設(shè)圓C的半徑為，
所以，解得：，
故圓C的標準方程為；
（2）當切線斜率不存在時，即，
此時圓心到的距離為3，等于半徑，故滿足相切關(guān)系，
當切線斜率存在時，設(shè)為，
則圓心到直線的距離，
解得：，
故切線方程為，即，
所以切線方程為或.
22．（2023·湖南衡陽·高二衡陽市一中?？茧A段練習）已知兩個定，，動點滿足.設(shè)動點的軌跡為曲線，直線：.
(1)求曲線的軌跡方程；
(2)若與曲線交于不同的C，D兩點，且（O為坐標原點），求直線的斜率；
(3)若，Q是直線上的動點，過Q作曲線E的兩條切線QM，ON，切點為M，N，探究：直線MN是否過定點，若有，請求出該定點，否則說明理由.
【解析】（1）設(shè)，由，
得，
整理即.
（2）易知為等腰直角三角形，
點到直線的距離為，
即，故.
（3）設(shè)，則，
，
故以為圓心，為半徑的圓的方程
為，
將的方程與曲線的方程相減，得
，
即對恒成立，
由，得，
故直線過定點.


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