專題2 平行線的判定與性質(zhì)專題訓(xùn)練 1．完成下面推理過程．如圖：已知∠1＝∠2，∠A＝∠D，求證：∠B＝∠C． 證明：∵∠1＝∠2（已知） ∵∠1＝∠3（ 　 ?。?∴∠2＝∠（ 　 ?。ǖ攘看鷵Q） ∴AE∥FD（同位角相等，兩直線平行） ∴∠A＝∠（ 　 ?。?　 ?。?∴∠A＝∠D（已知） ∴∠D＝∠BFD（等量代換） ∴（ 　 ?。蜟D（ 　 ?。?∴∠B＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 2．如圖，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分別為D、F，∠2+∠3＝180°，試說明：∠GDC＝∠B．請補充說明過程，并在括號內(nèi)填上相應(yīng)的理由． 解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知） ∴∠ADB＝∠EFB＝90° （　 ?。?， ∴EF∥AD（　 ?。?∴　 　+∠2＝180°（　 ?。?又∵∠2+∠3＝180°（已知）， ∴∠1＝∠3（　 ?。?∴AB∥　 ?。ā? 　）， ∴∠GDC＝∠B（　 　）． 3．完成下面的推理填空： 已知：如圖，E、F分別在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2與∠C互余，AF⊥CE于G． 求證：AB∥CD． 證明：∵AF⊥CE，（已知） ∴∠CGF＝90°．（垂直的定義） ∵∠1＝∠D，（已知） ∴　 　∥　 ?。?　 　） ∴∠4＝∠CGF＝90°．（ 　 ?。?又∵∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠2+∠3＝　 　°． 又∵∠2與∠C互余，（已知） ∴∠C＝　 ?。?　 　） ∴AB∥CD．（ 　 ?。?4．在下列解答中，填空（理由或數(shù)學(xué)式）． 如圖，已知直線b∥c，∠1＝116°，∠3＝∠4． （1）求∠AOB的度數(shù)． （2）求證：直線a∥c． 解：（1）∵∠1＝116° （已知），且∠1＝∠2 （ 　 　）， ∴∠2＝116° （ 　 　）． ∵b∥c（已知）， ∴∠AOB＝∠2 （ 　 ?。?∴∠AOB＝　 　（等量代換）． 證明：（2）∵∠3＝∠4 （ 　 ?。?， ∴a∥b （ 　 　）． 又∵b∥c（已知）， ∴a∥c （ 　 ?。?5．【問題】如圖，AB∥CD，點P在直線CD的下方，試說明∠BPD＝∠B﹣∠D． 【解決】請幫助榕榕完善下面的解題過程，在括號內(nèi)填上相應(yīng)的理由或數(shù)學(xué)式． 如圖，作PE∥AB， 則∠BPE＝∠B．（ 　 　） ∵PE∥AB，AB∥CD， ∴PE∥CD．（ 　 ?。?∴∠DPE＝∠D．（ 　 ?。?∵∠BPD＝ 　 　﹣∠DPE， ∴∠BPD＝∠B﹣∠D．（等量代換） 6．如圖，在△ABC中，點D、E在邊AB上，點F、G分別在邊BC、AC上，∠ACB＝∠BEC＝∠BDF＝90°，∠GEC+∠CFD＝180°，試說明EG⊥AC．請完善解答過程，并在括號內(nèi)填寫相應(yīng)的理論依據(jù)． 解：∠BEC＝∠BDF＝90°，（已知） ∴CE∥　 　，（ 　 　） ∴∠ECB+∠CFD＝180°．（ 　 ?。?∵∠GEC+∠CFD＝180°，（已知） ∴∠GEC＝∠ECB．（ 　 ?。?∴GE∥BC．（ 　 ?。?∴∠AGE＝∠ACB＝90°．（ 　 ?。?∴EG⊥AC．（ 　 　） 7．補全推理過程： 如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，點E在AB上，EF⊥BC于點F，過點D作直線DG交AC于點G，交EF的延長線于點H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°．求∠H的度數(shù)． 解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知） ∴AD∥EF．（ 　 ?。?∴∠2+∠EAD＝180°．（ 　 ?。?∵∠1+∠2＝180°，（已知） ∴∠1＝∠　 ?。ㄍ堑难a角相等） ∴AE∥HG．（ 　 ?。?∴∠B＝∠BDH．（ 　 ?。?∵∠B＝50°，（已知） ∴∠BDH＝50°．（等量代換） ∵AD⊥BC，（已知） ∴∠ADB＝90°．（ 　 ?。?∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定義） ∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性質(zhì)） ∵AD∥EF，（已證） ∴∠H＝∠1＝ 　 　°．（ 　 ?。?8．如圖，在△ABC中，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為D，F(xiàn)，DM∥BC，∠1＝∠2．試說明：DM∥FG．請將說明過程補充完整，并在括號內(nèi)填寫說理的依據(jù)． 理由如下：因為BD⊥AC（已知）， 所以∠BDC＝90°（ 　 ?。?同理，得∠EFC＝90°， 所以∠BDC＝∠EFC（等量代換）． 所以BD∥EF（同位角相等，兩直線平行）． 所以 　 ?。?　 　）． 又∠1＝∠2（已知）． 所以 　 ?。ǖ攘看鷵Q）． 所以BC∥FG （ 　 ?。?所以∠ABC＝∠AGF（兩直線平行，同位角相等）． 又 　 ?。ㄒ阎?， 所以∠AMD＝∠ABC（兩直線平行，同位角相等）． 即∠AMD＝∠AGF（等量代質(zhì)）． 所以DM∥FG（ 　 ?。?9．如圖，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠AFE＝∠CDG，求證：CD⊥AB． 根據(jù)下面的證明過程在括號內(nèi)寫出理由或數(shù)學(xué)式． 證明：∵DG⊥BC，AC⊥BC， ∴∠DGB＝∠ACB＝90°（ 　 ?。?∴DG∥AC（ 　 ?。?∴∠CDG＝∠ACD （ 　 　）． ∵∠AFE＝∠CDG， ∴∠AFE＝ 　 ?。?　 ?。?∴EF∥CD（ 　 ?。?∴∠AEF＝ 　 ?。?　 ?。?∵EF⊥AB， ∴∠AEF＝90°． ∴∠ADC＝∠AEF＝90°（ 　 ?。?∴CD⊥AB． 10．如圖，已知∠1＝∠2，∠4＝∠B，∠ADF＝90°，求證：GF⊥BC． 閱讀下面的解答過程，填空并填寫理由． 證明：∵∠4＝∠B（已知）， ∴AB∥　 　（ 　 ?。?∴∠2＝∠3（ 　 　）． ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠3（等量代換）． ∴AD∥　 ?。?　 ?。?∴∠ADF+∠GFD＝　 ?。?　 　）． 又∵∠ADF＝90°（已知）， ∴∠GFD＝90°． ∴GF⊥BC． 11．如圖，已知DC∥AB，E、F分別在DC、AB的延長線上，∠DCB＝∠DAB，∠AGB＝30°，∠AFE＝60°，AE平分∠DAB； （1）AD是否平行于BC？并說明理由； （2）試說明AE⊥EF． 12．已知：如圖，EF∥CD，∠1+∠2＝180°． （1）判斷GD與CA的位置關(guān)系，并說明理由． （2）若DG平分∠CDB，若∠ACD＝40°，求∠A的度數(shù)． 13．已知：如圖，C、D是直線AB上兩點，∠1+∠2＝180°，DE平分∠CDF，F(xiàn)E∥DC （1）求證：CE∥DF； （2）若∠DCE＝130°，求∠DEF的度數(shù)． 14．如圖，已知點E、F在直線AB上，點G在線段CD上，ED與FG交于點H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD． （1）求證：AB∥CD； （2）若∠GHD＝80°，∠D＝45°，求∠AEM的度數(shù)． 15．在物理學(xué)中，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖1，MN是平面鏡，若入射光線AO與水平鏡面夾角為∠1，反射光線OB與水平鏡面夾角為∠2，則∠1＝∠2． （1）如圖2，入射光線AB經(jīng)過2次反射后與反射光線CD交于點E．若∠MON＝65°，求∠CEB的度數(shù)： （2）如圖2，圖3，若∠MON＝α，入射光線AB經(jīng)過兩次反射，得到反射光線CD，光線AB與CD所在的直線相交于點E，∠BEC＝β，分別寫出α與β之間滿足的等量關(guān)系是 　 　（直接寫出兩個結(jié)果）． 16．【探究】（1）如圖1，AB∥CD，點E在直線AB與CD之間，連接AE，CE，試說明：∠BAE+∠DCE＝∠AEC．請完成下面的解題過程． 解：過點E作EF∥AB， ∴∠1＝∠　 　（ 　 ?。?∵AB∥CD，EF∥AB， ∴CD∥EF（ 　 ?。?∴∠2＝∠　 　， ∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2， ∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC； 【應(yīng)用】（2）如圖2，AB∥CD，點F在AB，CD之間，F(xiàn)E與AB交于點M，F(xiàn)G與CD交于點N．若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，求∠DNG的度數(shù)； 【拓展】（3）如圖3，直線CD在直線AB，F(xiàn)E之間，且AB∥CD∥EF，點G，H分別在AB，F(xiàn)E上，Q是直線CD上的一個動點，且不在直線GH上，連接QG，QH．若∠GQH＝70°，直接寫出∠AGQ+∠EHQ的度數(shù)． 17．【問題提出】如圖①，∠ABE和∠DCE的邊AB與CD互相平行，邊BE與CE交于點E．若∠ABE＝140°，∠DCE＝120°，求∠BEC的度數(shù)． 【問題解決】請你完成下面的求解過程． 解：如圖②，過點E作EF∥AB． ∴∠BEF+∠ABE＝180°（ 　 ?。?∵∠ABE＝140°， ∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣140°＝40°． ∵AB∥CD， ∴EF∥CD（ 　 ?。?∴∠CEF+（ 　 ?。?80°． ∵∠DCE＝120°， ∴∠CEF＝180°﹣∠DCE＝180°﹣120°＝60°． ∴∠BEC ＝∠BEF+∠CEF＝（ 　 ?。悖?【遷移應(yīng)用】如圖③，D、E分別是∠ABC邊AB、BC上的點，在直線DE的右側(cè)作DE的平行線分別交邊BC、AB于點F、G．P是線段DG上一點，連結(jié)PE、PF．若∠DEP＝40°，∠GFP＝30°，求∠EPF的度數(shù)． 18．如圖1，直線AB、CD與直線GH交于點M、N，∠GMB＝∠CNH． （1）求證：AB∥CD； （2）如圖2，點E在直線AB、CD之間，在直線HG右側(cè)，連接ME、NE，作EF∥AB，∠MEF+∠END＝90°，求證：ME⊥NE； （3）如圖3，在（2）的條件下，MK平分∠AME，NK平分∠END，過點K作KP⊥NK，求∠MKP的大?。? 19．已知直線l1∥l2，直線l3和直線l1，l2交于點C和D，點P是直線l3上一動點． （1）猜想論證：如圖1，當(dāng)點P在線段CD上運動時，∠PAC，∠APB，∠PBD之間存在什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由． 請把下列過程補充完整： 猜想：∠APB＝∠PAC+∠PBD． 證明：過點P作PM∥l1． ∵l1∥l2， ∴　 ?。ㄈ绻麅蓷l直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）． 又∵PM∥l1，PM∥l2， ∴∠APM＝∠PAC，　 ?。健螾BD（　 　）． ∵∠APB＝∠APM+∠BPM， ∴∠APB＝∠PAC+∠PBD（　 ?。?（2）類比探究： ①如圖2，當(dāng)點P在線段CD的延長線上運動時，上述（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，請寫出∠PAC，∠APB，∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； ②如圖3，當(dāng)點P在線段DC的延長線上運動時，請直接寫出∠PAC，∠APB，∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系，不必寫理由． 20．【閱讀理解】：兩條平行線間的拐點問題經(jīng)常可以通過作一條直線的平行線進(jìn)行轉(zhuǎn)化． 例如：如圖1，MN∥PQ，點C、B分別在直線MN、PQ上，點A在直線MN、PQ之間．問∠CAB，∠MCA，∠PBA之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由． 小銘同學(xué)發(fā)現(xiàn)∠CAB＝∠MCA+∠PBA，并給出了部分理由． 如圖1，過點A作AD∥MN， 因為MN∥PQ，AD∥MN， 所以AD∥MN∥PQ， …； （1）請將上面的說理過程補充完整； （2）如圖2，若AB∥CD，∠BEP＝160°，∠PFD＝129°．則∠EPF＝ 　 　°； 【方法運用】 （3）如圖3，AB∥CD，點P在AB的上方，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由； 【聯(lián)想拓展】 （4）如圖4，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，請你用含有α的式子表示∠G的度數(shù)，直接寫出結(jié)果．

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