1、公因數(shù)
幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)．
2、最大公因數(shù)
幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)中，最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)．
3、求最大公因數(shù)
求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，只要把它們所有公有的素因數(shù)連乘，所得的積就是它們的最大公因數(shù)．
【考點(diǎn)剖析】
一．最大公因數(shù)（共12小題）
1．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知A＝2×3×5，B＝2×3×3×7，那么A和B的最大公因數(shù)是 ．
2．（2021秋?奉賢區(qū)期末）28和32的最大公因數(shù)是 ．
3．（2021秋?普陀區(qū)期末）12和18的最大公因數(shù)是 ．
4．（2021秋?普陀區(qū)期末）已知甲數(shù)＝2×2×3×5×7，乙數(shù)＝2×3×3×5×5，甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是 ．
5．（2022秋?嘉定區(qū)期中）甲數(shù)＝2×2×3，乙數(shù)＝2×3×3，甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是 ．
6．（2022秋?松江區(qū)期中）24與32的最大公因數(shù)是 ．
7．（2022秋?徐匯區(qū)期末）如果A＝2×3×5，B＝2×2×3，則A和B的最大公因數(shù)是 ．
8．（2022秋?松江區(qū)期末）18和42的最大公因數(shù)是 ．
9．（2022秋?楊浦區(qū)期末）求18與30的最大公因數(shù)為： ．
10．（2022秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）在中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并填空：
A＝ ，B＝ ，A和B的最大公因數(shù)是 ．
11．（2021秋?金山區(qū)期末）甲數(shù)＝2×3×5，乙數(shù)＝7×11，甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是（ ）
A．甲數(shù)B．乙數(shù)C．1D．沒有
12．（2022秋?寶山區(qū)期中）已知自然數(shù)A＝2×3×3，B＝2×3×5，則A、B的最大公因數(shù)是 ．
13.用短除法求24和36的最大公因數(shù)
14.用短除法求104和130的最大公因數(shù)
二．最大公因數(shù)的應(yīng)用（共6小題）
15．（2022秋?嘉定區(qū)期中）有三根繩子，分別長(zhǎng)36米，54米，63米，現(xiàn)在要將它們裁成長(zhǎng)度相等的短繩且沒有剩余，每根短繩最長(zhǎng)可以是幾米？這樣的短繩有幾根？
16．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）凌老師把24塊水果糖和36塊巧克力分別平均分給一個(gè)組的學(xué)生，結(jié)果全部分完，你知道這個(gè)組最多有幾位學(xué)生嗎？
17．（2021秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）學(xué)校搞聯(lián)歡，用36朵紅花和48朵黃花扎成花束．如果每個(gè)花束的紅花朵數(shù)相同，黃花的朵數(shù)也相同，那么最多可以扎成 束花．
18．（2022秋?松江區(qū)期中）一張長(zhǎng)36厘米，寬20厘米的長(zhǎng)方形紙片，把它裁成大小相等的正方形小紙片而沒有剩余，裁出的正方形紙片最少有多少?gòu)垼?br>19．（2022秋?松江區(qū)校級(jí)月考）小明把一張長(zhǎng)為72厘米，寬為42厘米的長(zhǎng)方形紙片裁成大小相等的正方形紙片，而且沒有剩余，請(qǐng)你幫助小明算一下，裁出的正方形紙片最少有多少?gòu)垼?br>20．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）國(guó)慶節(jié)，老師將帶領(lǐng)18名女生和24名男生去敬老院慰問孤老，老師把同學(xué)分成人數(shù)相等的若干組，每個(gè)小組中的男生人數(shù)都相等．問這42名同學(xué)最多能分成幾組？
【過關(guān)檢測(cè)】
一、單選題
1．（2022秋·上海金山·六年級(jí)校聯(lián)考期末）甲數(shù)，乙數(shù)，甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是（ ）
A．甲數(shù)B．乙數(shù)C．1D．沒有
2．（2022秋·上海靜安·六年級(jí)上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校校考期中）等式，m和n的最大公因數(shù)是（ ）
A．m；B．n；C．1；D．不確定．
3．（2022秋·上?！ち昙?jí)校考階段練習(xí)）長(zhǎng)度分別為24、36、48分米的三段鋼管，要把它們截成長(zhǎng)度相等的小段（沒有剩余），小段鋼管的最大長(zhǎng)度是（ ）
A．8分米B．12分米C．18分米D．24分米
4．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）a是b的3倍（b不為0），a和b的最大公因數(shù)是（ ）
A．a(chǎn)B．bC．3D．無(wú)法確定
5．（2023·上?！ち昙?jí)假期作業(yè)）若a、b為正整數(shù)，且，則下列何者不可能為a、b的最大公因數(shù)？（ ）
A．1B．6C．8D．12
6．（2023春·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）小明家客廳的地面是長(zhǎng)6米，寬4.8米的長(zhǎng)方形，準(zhǔn)備用整塊的正方形地磚鋪滿客廳的地面．小明從下列尺寸的地磚中要選擇尺寸較大的，應(yīng)該選的尺寸是（單位：厘米）（ ）
A．30×30B．40×40C．60×60D．80×80
二、填空題
7．（2022秋·上海·六年級(jí)?？茧A段練習(xí)），則和的最大公因數(shù)是_________．
8．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）16和20的公因數(shù)有________________，它們的最大公因數(shù)是_______________．
9．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）相鄰兩數(shù)的最大公因數(shù)是_____．
10．（2022秋·上海長(zhǎng)寧·六年級(jí)上海市延安初級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎麛?shù)a、b滿足，則a與2的最大公因數(shù)是______．
11．（2022秋·上?！ち昙?jí)校考階段練習(xí)）24和32的公因數(shù)有______________________．
12．（2022秋·上海寶山·六年級(jí)?？计谀┮阎讛?shù)，乙數(shù)，那么甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是________．
13．（2022秋·上海普陀·六年級(jí)統(tǒng)考期中）如果甲數(shù)，乙數(shù)，甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是6，那么A的值為 _____．
14．（2022秋·上海奉賢·六年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，，、兩數(shù)的最大公因數(shù)是，那么的值___________．
15．（2022秋·上海浦東新·六年級(jí)?？计谥校┮阎?，那么和的最大公因數(shù)是______．
16．（2022秋·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）如果，那么a與b的最大公因數(shù)是______；如果，那么a與b的最大公因數(shù)是_____．
17．（2022秋·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）學(xué)校搞聯(lián)歡，用36朵紅花和48朵黃花扎成花束，如果每個(gè)花束的紅花朵數(shù)相同，黃花的朵數(shù)也相同，那么最多可以扎成______束花．
18．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）兩個(gè)數(shù)之和為90，且它們的最大公因數(shù)為15，則這兩個(gè)數(shù)為________________，________________．
三、解答題
19．（2022秋·上?！ち昙?jí)?？茧A段練習(xí)）一張長(zhǎng)45厘米，寬6分米的鐵皮，要把它切割成面積相等的正方形，且沒有剩余，切割成的正方形鐵皮至少有幾張？
20．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）一次活動(dòng)中，我方偵查員截獲了敵方的密碼，從左邊開始，第一個(gè)數(shù)字是10以內(nèi)的最大素?cái)?shù)；第二個(gè)數(shù)字既有因數(shù)2，又是6的倍數(shù)；第三個(gè)數(shù)字既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)；第四個(gè)數(shù)字既是素?cái)?shù)又是偶數(shù)；第五個(gè)數(shù)字是最小的奇數(shù)與最小的合數(shù)的積；第六個(gè)數(shù)字是所有能被3整除的數(shù)的最大公因數(shù)．誰(shuí)能破譯密碼，并說明你是怎么破譯的？
21．（2023·上?！ち昙?jí)假期作業(yè)）在圈內(nèi)填上滿足條件的數(shù)．
22．（2022秋·上海徐匯·六年級(jí)?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)在有練習(xí)本34本，橡皮85塊，若要將這些分成若干份同樣的獎(jiǎng)品，不得有剩余，最多能分成多少份獎(jiǎng)品？每份獎(jiǎng)品中練習(xí)本，橡皮各有多少份？
23．（2023·上海·六年級(jí)假期作業(yè)）一張長(zhǎng)方形的紙片，長(zhǎng)為，寬為，要把這張紙片裁成同樣大小的正方形小紙片而且沒有任何剩余，則裁成的正方形紙片的邊長(zhǎng)最大可以是多少厘米？至少有多少個(gè)小正方形？
24．（2022秋·上海靜安·六年級(jí)上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校?？计谥校┮粔K長(zhǎng)2米，寬12分米的長(zhǎng)方形木板，要把它鋸成盡可能大、面積相等的正方形，而且鋸后沒有剩余．這塊木板一共可以被鋸成幾塊，鋸成的正方形邊長(zhǎng)多少？
25．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）有三根鐵絲，長(zhǎng)分別為45米、36米、63米，要把它們都截成同樣長(zhǎng)的小段，每段長(zhǎng)都是整數(shù)且不許有剩余，共能截多少個(gè)小段？
26．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）（1）如圖的長(zhǎng)方形，用邊長(zhǎng)多少厘米的正方形拼起來(lái)正好填滿．
（2）用邊長(zhǎng)最大的正方形來(lái)填滿它，需要幾個(gè)？
27．（2022秋·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）一條街道如圖所示，長(zhǎng)米，長(zhǎng)米，長(zhǎng)米，要在這條街道的右側(cè)等距離地安裝路燈，且要求兩端和轉(zhuǎn)彎處都必須裝燈，那么這條街道最少要裝多少盞燈？
28．（2022秋·上海奉賢·六年級(jí)校聯(lián)考期中）把45厘米、60厘米的兩根繩子剪成長(zhǎng)度一樣的繩子且沒有剩余．每根繩子最長(zhǎng)是多少厘米？這樣一共可以剪成多少根？
29．（2022秋·上海楊浦·六年級(jí)統(tǒng)考期中）小杰家的客廳地面是長(zhǎng)4.8米，寬3米的長(zhǎng)方形，他家裝修新房時(shí)準(zhǔn)備用整塊的正方形地磚鋪滿客廳的地面，請(qǐng)問地磚邊長(zhǎng)最大是多少厘米？需要多少塊這樣的地磚？
30．（2023·上海·六年級(jí)假期作業(yè)）用短除法求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)．
（1）48和72 （2）14、42和56
第05講 公因數(shù)與最大公因數(shù)（2種題型）
【知識(shí)梳理】
1、公因數(shù)
幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)．
2、最大公因數(shù)
幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)中，最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)．
3、求最大公因數(shù)
求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，只要把它們所有公有的素因數(shù)連乘，所得的積就是它們的最大公因數(shù)．
【考點(diǎn)剖析】
一．最大公因數(shù)（共12小題）
1．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知A＝2×3×5，B＝2×3×3×7，那么A和B的最大公因數(shù)是 6 ．
【分析】?jī)蓚€(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，依此即可求解．
【解答】解：已知A＝2×3×5，B＝2×3×3×7，那么A和B的最大公因數(shù)是2×3＝6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法的方法：兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)連乘積是最大公約數(shù)；數(shù)字大的可以用短除法解答．
2．（2021秋?奉賢區(qū)期末）28和32的最大公因數(shù)是 4 ．
【分析】先將28和32分解，再找出最大公因數(shù)．
【解答】解：28＝2×2×732＝2×2×2×2×2．
根據(jù)最大公因數(shù)的定義，可得28和32的最大公因數(shù)是：2×2＝4．
故答案為4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查最大公因數(shù)的確定．正確分解兩個(gè)數(shù)是解本題的關(guān)鍵．
3．（2021秋?普陀區(qū)期末）12和18的最大公因數(shù)是 6 ．
【分析】首先把12和18分解質(zhì)因數(shù)，判斷出12和18的公因數(shù)有哪些；然后判斷出12和18的最大公因數(shù)多少即可．
【解答】解：把12和18分解質(zhì)因數(shù)為：12＝2×2×3，18＝2×3×3，
所以12的公因數(shù)有：1、2、3、4、6、12；18的公因數(shù)有：1、2、3、6、9、18，
根據(jù)最大公因數(shù)的定義，可得12和18的最大公因數(shù)是6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公因數(shù)和最大公因數(shù)，以及求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法，要熟練掌握．
4．（2021秋?普陀區(qū)期末）已知甲數(shù)＝2×2×3×5×7，乙數(shù)＝2×3×3×5×5，甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是 30 ．
【分析】根據(jù)最大公因數(shù)的定義可得答案．
【解答】解：甲數(shù)＝2×2×3×5×7，乙數(shù)＝2×3×3×5×5，
根據(jù)最大公因數(shù)的定義，可得甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是：2×3×5＝30，
故答案為：30．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最大公因數(shù)，掌握最大公因數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
5．（2022秋?嘉定區(qū)期中）甲數(shù)＝2×2×3，乙數(shù)＝2×3×3，甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是 6 ．
【分析】求最大公因數(shù)也就是這兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，由此解決問題即可．
【解答】解：甲數(shù)＝2×2×3，乙數(shù)＝2×3×3，
根據(jù)最大公因數(shù)的定義，可得甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是：2×3＝6；
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法：兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)連乘積是最大公因數(shù)．
6．（2022秋?松江區(qū)期中）24與32的最大公因數(shù)是 8 ．
【分析】把24和32分解質(zhì)因數(shù)，即可得出24與32的最大公因數(shù)，從而得出答案．
【解答】解：24＝2×2×2×3，
32＝2×2×2×2×2，
根據(jù)最大公因數(shù)的定義可得，24與32的最大公因數(shù)是2×2×2＝8，
故答案為：8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最大公因數(shù)，把24和32分解質(zhì)因數(shù)是解題的關(guān)鍵．
7．（2022秋?徐匯區(qū)期末）如果A＝2×3×5，B＝2×2×3，則A和B的最大公因數(shù)是 6 ．
【分析】根據(jù)最大公約數(shù)的意義可知：最大公約數(shù)是兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的乘積，據(jù)此解答．
【解答】解：A＝2×3×5，B＝2×2×3，
A和B公有的質(zhì)因數(shù)是：2和3，
所以A和B兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是：2×3＝6；
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法：兩個(gè)數(shù)公有質(zhì)因數(shù)的乘積是它們的最大公約數(shù)，所以找準(zhǔn)公有的質(zhì)因數(shù)是關(guān)鍵．
8．（2022秋?松江區(qū)期末）18和42的最大公因數(shù)是 6 ．
【分析】18和42的最大公因數(shù)是公有的質(zhì)因數(shù)的乘積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)．
【解答】解：18的因數(shù)有1、2、3、6、18；42的因數(shù)有1、2、3、6、7、21、42，
根據(jù)最大公因數(shù)的定義，可得18和42的最大公因數(shù)是6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查最大公因數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)最大公因數(shù)是公有的質(zhì)因數(shù)的乘積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)解答．
9．（2022秋?楊浦區(qū)期末）求18與30的最大公因數(shù)為： 6 ．
【分析】找兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)可用短除法或者分解質(zhì)因數(shù)的辦法．
【解答】解：18＝3×6，30＝5×6，
根據(jù)最大公因數(shù)的定義，可得18與30的最大公因數(shù)是6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了公因數(shù)和最大公因數(shù)，掌握最大公因數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
10．（2022秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）在中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并填空：
A＝ 30 ，B＝ 60 ，A和B的最大公因數(shù)是 30 ．
【分析】根據(jù)短除法的定義可得A，B的值．
【解答】解：由題意，得A＝2×3×5＝30；
B＝2×3×5×2＝60；
故A和B的最大公因數(shù)是30．
故答案為：30；60；30．
【點(diǎn)評(píng)】考查了求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法的方法：兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)連乘積是最大公約數(shù)；數(shù)字大的可以用短除法解答．
11．（2021秋?金山區(qū)期末）甲數(shù)＝2×3×5，乙數(shù)＝7×11，甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是（ ）
A．甲數(shù)B．乙數(shù)C．1D．沒有
【分析】求最大公因數(shù)也就是這兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，直接解決問題即可得到答案．
【解答】解：∵甲數(shù)＝2×3×5，乙數(shù)＝7×11，
∴甲數(shù)和乙數(shù)互質(zhì)，即它們的最大公因數(shù)是1．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法，掌握兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)連乘積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是關(guān)鍵．
12．（2022秋?寶山區(qū)期中）已知自然數(shù)A＝2×3×3，B＝2×3×5，則A、B的最大公因數(shù)是 6 ．
【分析】找出A與B的最大公因數(shù)即可．
【解答】解：∵A＝2×3×3，B＝2×3×5，
∴A與B的最大公因數(shù)為3×2＝6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最大公因數(shù)，掌握找最大公因數(shù)的方法是關(guān)鍵．
13.用短除法求24和36的最大公因數(shù)
【答案】12;
【解析】解：如下圖所示，24和36的最大公因數(shù)為2×2×3=12
14.用短除法求104和130的最大公因數(shù)
【答案】26；
【解析】解：短除法如下圖所示；因?yàn)?04=2×2×2×13，130=2×5×13，所以104和130的最大公因數(shù)是2×13=26；
二．最大公因數(shù)的應(yīng)用（共6小題）
15．（2022秋?嘉定區(qū)期中）有三根繩子，分別長(zhǎng)36米，54米，63米，現(xiàn)在要將它們裁成長(zhǎng)度相等的短繩且沒有剩余，每根短繩最長(zhǎng)可以是幾米？這樣的短繩有幾根？
【分析】先求出36，54，63的最大公因數(shù)，再求可以分成多少段．
【解答】解：∵36＝2×3×2×3，
54＝2×3×3×3，
63＝3×3×7，
∴36，54，63的最大公因數(shù)是9，
4+6+7＝17，
答：每根短繩最長(zhǎng)可以是9米，這樣的短繩有17根．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是最大公因數(shù)的應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵．
16．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）凌老師把24塊水果糖和36塊巧克力分別平均分給一個(gè)組的學(xué)生，結(jié)果全部分完，你知道這個(gè)組最多有幾位學(xué)生嗎？
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法解決此題．
【解答】解：∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6，
∴24、36的公因數(shù)有1、2、3、4、6、12．
∴24、36的最大公因數(shù)為12．
答：這個(gè)組最多有12位學(xué)生．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查最大公因數(shù)，熟練掌握有理數(shù)的乘法是解決本題的關(guān)鍵．
17．（2021秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）學(xué)校搞聯(lián)歡，用36朵紅花和48朵黃花扎成花束．如果每個(gè)花束的紅花朵數(shù)相同，黃花的朵數(shù)也相同，那么最多可以扎成 12 束花．
【分析】把這些花分成相同的若干束，就是分得的紅花和黃花的數(shù)量，既是36的因數(shù)也是48的因數(shù)，即是36和48的公因數(shù)，要求最多就是求36和48的最大公因數(shù)，因此求出36和48的最大公因數(shù)就是最多可以分成幾束．
【解答】解：分別把36，48分解質(zhì)因數(shù)，得：
36＝2×2×3×3，
48＝2×2×2×2×3，
根據(jù)最大公因數(shù)的定義，可得36和48的最大公因數(shù)是：2×2×3＝12．
所以最多能扎12束．
故答案為：12．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了公因數(shù)和最大公因數(shù)．
18．（2022秋?松江區(qū)期中）一張長(zhǎng)36厘米，寬20厘米的長(zhǎng)方形紙片，把它裁成大小相等的正方形小紙片而沒有剩余，裁出的正方形紙片最少有多少?gòu)垼?br>【分析】根據(jù)題意，裁成的正方形邊長(zhǎng)最大是多少，是求36和20的最大公因數(shù)，求至少可以裁成多少個(gè)這樣的正方形，用這張紙的面積除以正方形面積．由此解答即可．
【解答】解：∵36＝2×2×3×3，20＝2×2×5，
∴36、20的最大公因數(shù)為：2×2＝4，
∴36×20÷（4×4）＝720÷16＝45（張），
答：裁出的正方形紙片最少有45張．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，能夠根據(jù)求最大公因數(shù)的方法解決有關(guān)的實(shí)際問題是解題的關(guān)鍵．
19．（2022秋?松江區(qū)校級(jí)月考）小明把一張長(zhǎng)為72厘米，寬為42厘米的長(zhǎng)方形紙片裁成大小相等的正方形紙片，而且沒有剩余，請(qǐng)你幫助小明算一下，裁出的正方形紙片最少有多少?gòu)垼?br>【分析】根據(jù)題意，裁成的正方形邊長(zhǎng)最大是多少，是求72和42的最大公因數(shù)，求至少可以裁成多少個(gè)這樣的正方形，用這張紙的面積除以正方形面積．由此解答即可．
【解答】解：∵72＝2×2×2×3×3，42＝2×3×7，
∴72、42的最大公因數(shù)為：2×3＝6，
72×42÷（6×6）＝3024÷36＝84（張），
答：裁出的正方形紙片最少有84張．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，能夠根據(jù)求最大公因數(shù)的方法解決有關(guān)的實(shí)際問題是解題的關(guān)鍵．
20．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）國(guó)慶節(jié)，老師將帶領(lǐng)18名女生和24名男生去敬老院慰問孤老，老師把同學(xué)分成人數(shù)相等的若干組，每個(gè)小組中的男生人數(shù)都相等．問這42名同學(xué)最多能分成幾組？
【分析】根據(jù)題意可知：分組后每個(gè)小組的男生數(shù)相等，那么這里只要求出18和24的最大公因數(shù)即可解決問題，兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)連乘積就是它們的最大公因數(shù)．據(jù)此解答．
【解答】解：24＝2×2×2×3，18＝2×3×3，
∴18和24的最大公因數(shù)是2×3＝6，
答：那么最多可分成6組．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的乘除法，解決本題的關(guān)鍵是利用求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法解決實(shí)際問題．
【過關(guān)檢測(cè)】
一、單選題
1．（2022秋·上海金山·六年級(jí)校聯(lián)考期末）甲數(shù)，乙數(shù)，甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是（ ）
A．甲數(shù)B．乙數(shù)C．1D．沒有
【答案】C
【分析】求最大公因數(shù)也就是這兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，直接解決問題即可得到答案．
【詳解】解：甲數(shù)，乙數(shù)，
甲數(shù)和乙數(shù)互質(zhì)，即它們的最大公因數(shù)是，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法：兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)連乘積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)．
2．（2022秋·上海靜安·六年級(jí)上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校校考期中）等式，m和n的最大公因數(shù)是（ ）
A．m；B．n；C．1；D．不確定．
【答案】C
【分析】根據(jù)最大公因數(shù)的定義求解即可．
【詳解】∵，即，
∴m和n的最大公因數(shù)是1．
故選C．
【點(diǎn)睛】此題考查了求最大公因數(shù)，幾個(gè)整數(shù)中公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)．
3．（2022秋·上?！ち昙?jí)?？茧A段練習(xí)）長(zhǎng)度分別為24、36、48分米的三段鋼管，要把它們截成長(zhǎng)度相等的小段（沒有剩余），小段鋼管的最大長(zhǎng)度是（ ）
A．8分米B．12分米C．18分米D．24分米
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，需要求24、36、48這三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)．
【詳解】根據(jù)短除法，
，
算出24、36、48這三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查最大公因數(shù)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)題意讀懂題目中需要我們求解最大公因數(shù)，然后用短除法計(jì)算最大公因數(shù)．
4．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）a是b的3倍（b不為0），a和b的最大公因數(shù)是（ ）
A．a(chǎn)B．bC．3D．無(wú)法確定
【答案】B
【分析】a和b是倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)為二者較小的數(shù)．
【詳解】∵a=3b
∴a和b的最大公因數(shù)為二者較小的數(shù)，即為b
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了公因數(shù)和最大公因數(shù)的問題，熟練掌握公因數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·上海·六年級(jí)假期作業(yè)）若a、b為正整數(shù)，且，則下列何者不可能為a、b的最大公因數(shù)？（ ）
A．1B．6C．8D．12
【答案】C
【分析】根據(jù)，取a、b的不同值解題即可．
【詳解】解：最大公因數(shù)為a、b都有的因數(shù)，
而，，
a、b不可能都含有，
不可能為a、b的最大公因數(shù)．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)中最大公因數(shù)的概念，掌握求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是解題的關(guān)鍵．
6．（2023春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）小明家客廳的地面是長(zhǎng)6米，寬4.8米的長(zhǎng)方形，準(zhǔn)備用整塊的正方形地磚鋪滿客廳的地面．小明從下列尺寸的地磚中要選擇尺寸較大的，應(yīng)該選的尺寸是（單位：厘米）（ ）
A．30×30B．40×40C．60×60D．80×80
【答案】C
【詳解】解：6米＝600cm，4.8米＝480cm，
∴選項(xiàng)中只有60是600和480的公約數(shù)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的密鋪，找到600和480 的公約數(shù)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
7．（2022秋·上海·六年級(jí)?？茧A段練習(xí)），則和的最大公因數(shù)是_________．
【答案】
【分析】根據(jù)最大公因數(shù)的定義及求法，的最大公因數(shù)為，從而確定答案．
【詳解】解：，
和的最大公因數(shù)是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查最大公因數(shù)的定義及求法，熟記最大公因數(shù)的定義及求法是解決問題的關(guān)鍵．
8．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）16和20的公因數(shù)有________________，它們的最大公因數(shù)是_______________．
【答案】 1，2，4 ； 4
【分析】幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)．
根據(jù)公因數(shù)的概念寫出即可．
【詳解】16的因數(shù)有1，2，4，8，16；
20的因數(shù)有1，2，4，5，10，20；
則16和20的公因數(shù)有1，2，4，其中最大公因數(shù)是4．
故答案為：1，2，4；4．
【點(diǎn)睛】本題考查了公因數(shù)和最大公因數(shù)的問題，熟練掌握公因式的概念是解題的關(guān)鍵．
9．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）相鄰兩數(shù)的最大公因數(shù)是_____．
【答案】1
【分析】相鄰兩數(shù)互素，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：相鄰兩數(shù)互素，最大公因數(shù)是1．
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】此題考查的目的是理解掌握求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，相鄰兩數(shù)互素，最大公因數(shù)是1．
10．（2022秋·上海長(zhǎng)寧·六年級(jí)上海市延安初級(jí)中學(xué)校考期中）已知正整數(shù)a、b滿足，則a與2的最大公因數(shù)是______．
【答案】2
【分析】根據(jù)最大公因數(shù)的概念求解即可．
【詳解】∵，與2的最大公因數(shù)是2
∴a與2的最大公因數(shù)是2．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】此題考查了最大公因數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握最大公因數(shù)．最大公因數(shù)指兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)共有約數(shù)中最大的一個(gè)．
11．（2022秋·上?！ち昙?jí)?？茧A段練習(xí)）24和32的公因數(shù)有______________________．
【答案】1、2、4、8
【分析】根據(jù)求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法∶用這個(gè)數(shù)分別除以自然數(shù)1， 2，3， 4， 5， ．．．．一直除到商和除數(shù)互換位置結(jié)束，把能整除的商和除數(shù)按從小到大順序?qū)懗鰜?lái)，就是這個(gè)數(shù)的因數(shù)，重復(fù)的只寫一個(gè)，據(jù)此求出24和32的因數(shù)，然后從中找出它們的公因數(shù)，據(jù)此解答．
【詳解】解∶24的因數(shù)有∶ 1， 2， 3， 4， 6， 8， 12， 24，
32的因數(shù)有∶ 1， 2， 4， 8， 16， 32，
所以24和32的公因數(shù)有1， 2， 4， 8；
故答案為∶1、2、4、8．
【點(diǎn)睛】此題考查了找一個(gè)數(shù)公因數(shù)，注意先找出它們各自的因數(shù)，然后從中找出公因數(shù)是解題的關(guān)鍵．
12．（2022秋·上海寶山·六年級(jí)?？计谀┮阎讛?shù)，乙數(shù)，那么甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是________．
【答案】30
【分析】根據(jù)最大公因數(shù)的定義：兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)共有約數(shù)中最大的一個(gè)，可得答案．
【詳解】解：甲數(shù)，乙數(shù)，
根據(jù)最大公因數(shù)的定義，可得甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是：，
故答案為：30．
【點(diǎn)睛】本題考查了最大公因數(shù)，掌握最大公因數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
13．（2022秋·上海普陀·六年級(jí)統(tǒng)考期中）如果甲數(shù)，乙數(shù)，甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是6，那么A的值為 _____．
【答案】3
【分析】甲、乙二數(shù)的最大公因數(shù)等于它們共有因數(shù)的積，找出它們公共的因數(shù)相乘，根據(jù)甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是6列方程解答即可．
【詳解】解：∵甲數(shù)，乙數(shù)，
∴甲、乙兩數(shù)的公因數(shù)是，
∵甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是6，
∴，
∴．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了公因數(shù)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握公因數(shù)的定義，解方程．
14．（2022秋·上海奉賢·六年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，，、兩數(shù)的最大公因數(shù)是，那么的值___________．
【答案】
【分析】根據(jù)最大公因數(shù)的計(jì)算方法，結(jié)合題意，列方程并求解，即可得到答案．
【詳解】解：∵，，、兩數(shù)的最大公因數(shù)是，
∴，
解得：．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，解本題的關(guān)鍵是熟練掌握最大公因數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．
15．（2022秋·上海浦東新·六年級(jí)?？计谥校┮阎?，那么和的最大公因數(shù)是______．
【答案】
【分析】根據(jù)最大公因數(shù)的意義直接求解即可
【詳解】∵，，
∴和的最大公因數(shù)是：，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查最大公因數(shù)的意義，注意最大公因數(shù)是兩個(gè)數(shù)都含有的因數(shù)的乘積．
16．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）如果，那么a與b的最大公因數(shù)是______；如果，那么a與b的最大公因數(shù)是_____．
【答案】 1 a
【分析】①b比a大1，所以最大公因數(shù)一定是1；
②a和b是倍數(shù)關(guān)系，所以最大公因數(shù)是較小的數(shù)．
【詳解】a和b是非0自然數(shù)，如果，那么a和b的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是ab；
如果，那么a和b的最大公因數(shù)是a，最小公倍數(shù)是b
故答案為①1；②a．
【點(diǎn)睛】本題考查了公因數(shù)和最大公因數(shù)的問題，熟練掌握公因式的概念是解題的關(guān)鍵．
17．（2022秋·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）學(xué)校搞聯(lián)歡，用36朵紅花和48朵黃花扎成花束，如果每個(gè)花束的紅花朵數(shù)相同，黃花的朵數(shù)也相同，那么最多可以扎成______束花．
【答案】12
【分析】把這些花分成相同的若干束，就是分得的紅花和黃花的數(shù)量，既是36的因數(shù)也是48的因數(shù)，即是36和48的公因數(shù)，要求最多就是求36和48的最大公因數(shù)，因此求出36和48的最大公因數(shù)就是最多可以分成幾束．
【詳解】解：∵36=2×2×3×3，
48=2×2×2×2×3，
∴36和48的最大公因數(shù)是：2×2×3=12．
答：最多能扎12束．
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘法的應(yīng)用，掌握每束里的花的顏色和數(shù)量都相同，就是求36和48的公因數(shù)，注意掌握求最大公因數(shù)的方法．
18．（2022秋·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）兩個(gè)數(shù)之和為90，且它們的最大公因數(shù)為15，則這兩個(gè)數(shù)為________________，________________．
【答案】 15 75
【分析】首先用這兩個(gè)數(shù)的和除以它們的最大公因數(shù)，求出這兩個(gè)數(shù)獨(dú)有的因數(shù)的和是多少；然后根據(jù)這兩個(gè)數(shù)獨(dú)有的因數(shù)的和的大小，分類討論，求出這兩個(gè)數(shù)各是多少即可．
【詳解】因?yàn)?0÷15=6，
所以這兩個(gè)數(shù)獨(dú)有的因數(shù)的和是6．
（1）因?yàn)?+5=6，
所以這兩個(gè)數(shù)獨(dú)有的因數(shù)可以是1和5，
因?yàn)?5×1=15，15×5=75，
所以這兩個(gè)數(shù)是15和75；
（2）因?yàn)?+4=6，
所以這兩個(gè)數(shù)獨(dú)有的因數(shù)可以是2和4，由于2和4還有公因數(shù)2，這樣這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)就是15×2=30，不符合題意，所以此種情況不成立；
（3）因?yàn)?+3=6，所以這兩個(gè)數(shù)獨(dú)有的因數(shù)是3和3，則這兩個(gè)數(shù)相同了，也不合題意，所以此種情況不成立．
綜上，可得這兩個(gè)數(shù)是15和75．
故答案為：15，75．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法，考查了分類討論思想的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是求出這兩個(gè)數(shù)獨(dú)有的因數(shù)的和是多少．
三、解答題
19．（2022秋·上?！ち昙?jí)?？茧A段練習(xí)）一張長(zhǎng)45厘米，寬6分米的鐵皮，要把它切割成面積相等的正方形，且沒有剩余，切割成的正方形鐵皮至少有幾張？
【答案】切割成的正方形鐵皮至少有張
【分析】根據(jù)題意，正方形面積相等就意味著邊長(zhǎng)相等，切割成的正方形鐵皮的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)就是和的最大公因數(shù)，在得到邊長(zhǎng)以后，求至少可以切割成幾張正方形鐵皮，直接用這張紙的面積除以正方形面積即可得到答案．
【詳解】解：6分米厘米，
，
和的最大公因數(shù)為，
切割成的正方形鐵皮的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)可以是厘米，
（張），
答：切割成的正方形鐵皮至少有張．
【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)解實(shí)際應(yīng)用題，讀懂題意，熟練掌握求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．
20．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）一次活動(dòng)中，我方偵查員截獲了敵方的密碼，從左邊開始，第一個(gè)數(shù)字是10以內(nèi)的最大素?cái)?shù)；第二個(gè)數(shù)字既有因數(shù)2，又是6的倍數(shù)；第三個(gè)數(shù)字既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)；第四個(gè)數(shù)字既是素?cái)?shù)又是偶數(shù)；第五個(gè)數(shù)字是最小的奇數(shù)與最小的合數(shù)的積；第六個(gè)數(shù)字是所有能被3整除的數(shù)的最大公因數(shù)．誰(shuí)能破譯密碼，并說明你是怎么破譯的？
【答案】761243
【分析】根據(jù)素?cái)?shù)：除1和本身外，沒有別的因數(shù)，合數(shù)：除了1和本身外，還有別的因數(shù)；奇數(shù)：不能被2整除的數(shù)；偶數(shù)：能被2整除的數(shù)；以及能被3整除的數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行分析破解即可．
【詳解】解：從左邊開始，第一個(gè)數(shù)字為10以內(nèi)最大的素?cái)?shù)，故第一個(gè)數(shù)字為7；
第二個(gè)數(shù)字既有因數(shù)2，又是6的倍數(shù)，故第二個(gè)數(shù)字為6；
既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)的數(shù)為1，故第三個(gè)數(shù)字為1；
既是素?cái)?shù)又是偶數(shù)的數(shù)為2，故第四個(gè)數(shù)字為2；
最小的奇數(shù)為1，最小的合數(shù)為4，最小的奇數(shù)與最小的合數(shù)的積為4，故第五個(gè)數(shù)字為4；
所有能被3整除的數(shù)的最大公因數(shù)為3；
所以這個(gè)數(shù)是761243．
因此這個(gè)密碼為：761243．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)的相關(guān)概念．熟練掌握素?cái)?shù)，合數(shù)，偶數(shù)，奇數(shù)，被3整數(shù)的數(shù)的特征是解題的關(guān)鍵．注意：1既不是素?cái)?shù)，也不是合數(shù)．
21．（2023·上海·六年級(jí)假期作業(yè)）在圈內(nèi)填上滿足條件的數(shù)．
【答案】見解析
【分析】運(yùn)用分解因數(shù)的方法找出9和12的因數(shù)，再找出兩個(gè)數(shù)共同的因數(shù)即可．
【詳解】
【點(diǎn)睛】本題考查了較小的數(shù)找因數(shù)的方法，以及找兩個(gè)數(shù)公因數(shù)的方法．
22．（2022秋·上海徐匯·六年級(jí)校考階段練習(xí)）現(xiàn)在有練習(xí)本34本，橡皮85塊，若要將這些分成若干份同樣的獎(jiǎng)品，不得有剩余，最多能分成多少份獎(jiǎng)品？每份獎(jiǎng)品中練習(xí)本，橡皮各有多少份？
【答案】最多能分成17份獎(jiǎng)品，每份獎(jiǎng)品中練習(xí)本有2本，橡皮有5塊．
【分析】根據(jù)題意，可以計(jì)算出34和85的最大公因數(shù)，即可得到現(xiàn)將這些獎(jiǎng)品平均分成若干份，則最多能分成多少份獎(jiǎng)品，每份獎(jiǎng)品中練習(xí)本、橡皮各有多少．
【詳解】解：，
34和85的最大公因數(shù)是17，
答：最多能分成17份獎(jiǎng)品，每份獎(jiǎng)品中練習(xí)本有2本，橡皮有5塊．
【點(diǎn)睛】本題考查最大公因數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出34和85的最大因數(shù)．
23．（2023·上?！ち昙?jí)假期作業(yè)）一張長(zhǎng)方形的紙片，長(zhǎng)為，寬為，要把這張紙片裁成同樣大小的正方形小紙片而且沒有任何剩余，則裁成的正方形紙片的邊長(zhǎng)最大可以是多少厘米？至少有多少個(gè)小正方形？
【答案】； 84個(gè)
【分析】沒有任何紙片剩余，所以小正方形的邊長(zhǎng)一定要整除36和21，同時(shí)還要求小正方形的邊長(zhǎng)盡可能的長(zhǎng)，因此正方形的邊長(zhǎng)就是36和21的最大公因數(shù)．36和21的最大公因數(shù)是3，可求正方形的邊長(zhǎng)最大值．根據(jù)可求至少有正方形的個(gè)數(shù)．
【詳解】解：∵ 36和21的最大公因數(shù)是3，
∴正方形紙片的邊長(zhǎng)最大是．
（個(gè)），
答：裁成的正方形紙片的邊長(zhǎng)最大可以是3厘米，至少有84個(gè)小正方形．
【點(diǎn)睛】本題考查公因數(shù)的應(yīng)用．找出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬的最大公因數(shù)是解題的關(guān)鍵．
24．（2022秋·上海靜安·六年級(jí)上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校?？计谥校┮粔K長(zhǎng)2米，寬12分米的長(zhǎng)方形木板，要把它鋸成盡可能大、面積相等的正方形，而且鋸后沒有剩余．這塊木板一共可以被鋸成幾塊，鋸成的正方形邊長(zhǎng)多少？
【答案】鋸成15個(gè)邊長(zhǎng)為4分米的正方形．
【分析】根據(jù)題意可知，求鋸成的小正方形盡可能大的面積，也就是求20和12的最大公因數(shù)，用長(zhǎng)方形的面積除以正方形的面積，即為能鋸成多少個(gè)，據(jù)此解答即可．
【詳解】解：木板長(zhǎng)2米，即20分米，寬12分米，
由于20和12的最大公因數(shù)為4，
所以可以將長(zhǎng)方形木板的長(zhǎng)平均分為5段，每段4分米，寬平均分為3段，每段4分米，
此時(shí)木板正好被平均鋸成15個(gè)邊長(zhǎng)為4分米的正方形正好滿足條件．
答：木板正好被平均鋸成15個(gè)邊長(zhǎng)為4分米的正方形．
【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是理解鋸成的小正方形盡可能大的面積，也就是求20和12的最大公因數(shù)．
25．（2022秋·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）有三根鐵絲，長(zhǎng)分別為45米、36米、63米，要把它們都截成同樣長(zhǎng)的小段，每段長(zhǎng)都是整數(shù)且不許有剩余，共能截多少個(gè)小段？
【答案】共能截144或48或16個(gè)小段
【詳解】解：因?yàn)?5、36和63的公因數(shù)是1、3和9，
所以可將它們都截成1米長(zhǎng)或3米長(zhǎng)或9米長(zhǎng)的小段，
由于45=1×45=3×15=9×5，36=1×36=3×12=9×4，63=1×63=3×21=9×7，
所以當(dāng)截成1米長(zhǎng)的小段時(shí)，共能截45+36+63=144個(gè)小段；
當(dāng)截成3米長(zhǎng)的小段時(shí)，共能截15+12+21=48個(gè)小段；
當(dāng)截成9米長(zhǎng)的小段時(shí)，共能截5+4+7=16個(gè)小段，
答：共能截144或48或16個(gè)小段．
【點(diǎn)睛】本題考查公因數(shù)，會(huì)求公因數(shù)，并會(huì)利用公因數(shù)解決實(shí)際問題是解答的關(guān)鍵，注意分類討論的思想方法的應(yīng)用．
26．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）（1）如圖的長(zhǎng)方形，用邊長(zhǎng)多少厘米的正方形拼起來(lái)正好填滿．
（2）用邊長(zhǎng)最大的正方形來(lái)填滿它，需要幾個(gè)？
【答案】（1）1厘米或2厘米或3厘米或6厘米；（2）6個(gè)
【詳解】解：（1）∵18和12的公因數(shù)有1、2、3、6，
∴可以用邊長(zhǎng)是1厘米或2厘米或3厘米或6厘米的正方形拼起來(lái)正好填滿；
（2）∵18和12的最大公因數(shù)是6，且18=3×6，12=2×6，
∴用邊長(zhǎng)最大為6厘米的正方形來(lái)填滿它，需要3×2=6個(gè)．
【點(diǎn)睛】本題考查公因數(shù)與最大公因數(shù)，能正確找出兩數(shù)的公因數(shù)是解答的關(guān)鍵．
27．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）一條街道如圖所示，長(zhǎng)米，長(zhǎng)米，長(zhǎng)米，要在這條街道的右側(cè)等距離地安裝路燈，且要求兩端和轉(zhuǎn)彎處都必須裝燈，那么這條街道最少要裝多少盞燈？
【答案】20盞
【分析】根據(jù)要求兩端和轉(zhuǎn)彎處都必須裝燈，求得與的最大公因數(shù)為，根據(jù)，，即可求得AB，BC，CD三條街道裝的燈的數(shù)量，即可求解．
【詳解】解：因?yàn)?，?br>與的最大公因數(shù)為，
，，
故這條街道最少要裝：盞燈．
【點(diǎn)睛】本題考查了最大公因數(shù)，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為求最大公因數(shù)是解題的關(guān)鍵．
28．（2022秋·上海奉賢·六年級(jí)校聯(lián)考期中）把45厘米、60厘米的兩根繩子剪成長(zhǎng)度一樣的繩子且沒有剩余．每根繩子最長(zhǎng)是多少厘米？這樣一共可以剪成多少根？
【答案】（1）15厘米；（2）7根
【分析】（1）要把兩根繩子剪成長(zhǎng)度一樣的繩子且沒有剩余，求45和60的最大公因數(shù)即可，
（2）用兩條彩帶的總長(zhǎng)度數(shù)除以每段長(zhǎng)度求剪成的段數(shù)，由此可解決問題．
【詳解】解：（1）45和60的最大公因數(shù)是15，
答：每根繩子最長(zhǎng)是15厘米．
（2）（根），
答：一共可以剪成7根．
【點(diǎn)睛】主要考查了最大公因數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握計(jì)算最大公因數(shù)的方法．
29．（2022秋·上海楊浦·六年級(jí)統(tǒng)考期中）小杰家的客廳地面是長(zhǎng)4.8米，寬3米的長(zhǎng)方形，他家裝修新房時(shí)準(zhǔn)備用整塊的正方形地磚鋪滿客廳的地面，請(qǐng)問地磚邊長(zhǎng)最大是多少厘米？需要多少塊這樣的地磚？
【答案】地磚邊長(zhǎng)最大是60厘米，需要40塊這樣的地磚．
【分析】將4.8米，3米進(jìn)行單位換算，得到，，找出長(zhǎng)和寬的最大公因數(shù)即為地磚邊長(zhǎng)，再利用即可求出需要地磚的塊數(shù)．
【詳解】解：∵用整塊正方形的地磚鋪滿客廳的地面，
∴正方形地磚的邊長(zhǎng)應(yīng)是客廳的地面長(zhǎng)和寬的公因數(shù)，而且是最大的，
∵，，
∴符合要求的是選的正方形地磚；
∴（塊），
需要40塊地磚可以鋪滿客廳
答：地磚邊長(zhǎng)最大是60厘米，需要40塊這樣的地磚．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了公因數(shù)問題，關(guān)鍵是找到符合要求的公因數(shù)．
30．（2023·上?！ち昙?jí)假期作業(yè)）用短除法求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)．
（1）48和72 （2）14、42和56
【答案】（1）24；（2）14
【分析】根據(jù)短除法分別求出各組數(shù)的公因數(shù)，再把公有的因數(shù)相乘即可求得最大公因數(shù)．
【詳解】解：（1）
48與72的最大公因數(shù)：；
（2）
14、42與56的最大公因數(shù)：．
【點(diǎn)睛】本題考查最大公因數(shù)的求解，關(guān)鍵是熟練掌握短除法的計(jì)算方法．

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