因數(shù)與倍數(shù)：整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫b的倍數(shù)，b就叫a的因數(shù)（約數(shù)）.
因數(shù)與倍數(shù)的特征：
找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法
方法一：列除法算式找。用這個(gè)數(shù)除以一個(gè)整數(shù)，除數(shù)從1開始試除，注意得到的商必須是整數(shù)。我們?cè)诹谐ㄋ闶?，找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的時(shí)候，就用此數(shù)分別除以大于等于1且小于等于它本身的所有整數(shù)，所得的商是整數(shù)且沒(méi)有余數(shù)，這些除數(shù)和商就是這個(gè)數(shù)的因數(shù)。
方法二：列乘法算式找。根據(jù)除法各部分間的關(guān)系，“被除數(shù)=除數(shù)×商”來(lái)找，如，找18的因數(shù)，先看18是哪兩個(gè)數(shù)相乘的積，那么這兩個(gè)數(shù)就是18的因數(shù)。18=1×18,18=2×9,18=3×6，用乘法找一個(gè)數(shù)的因數(shù)時(shí)，一般要從自然數(shù)1開始一對(duì)一對(duì)地找，這樣不易遺漏。我們?cè)诹谐朔ㄋ闶秸乙粋€(gè)數(shù)的因數(shù)的時(shí)候，把這個(gè)數(shù)寫乘兩個(gè)整數(shù)相乘的形式，算式中的每個(gè)整數(shù)都是這個(gè)數(shù)的因數(shù)。
找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法（如找2的倍數(shù)的方法）
方法一:列除法算式找。根據(jù)倍數(shù)的意義，可以列除法算式找出2的倍數(shù)?？茨膫€(gè)數(shù)除以2，商是整數(shù)且沒(méi)有余數(shù)，這個(gè)數(shù)就是2的倍數(shù)，如2÷2=1,4÷2=2,6÷2=3，…那么2，4，6，…都是2的倍數(shù)。我們?cè)诹谐ㄋ闶?，找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的時(shí)候，就是看哪些非0自然數(shù)除以這個(gè)數(shù)商是整數(shù)且沒(méi)有余數(shù)，這些數(shù)就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。
方法二：列乘法算式找。2與非零自然數(shù)的積都是2的倍數(shù)。用2分別乘1,2,3，…。也就是2×1=2,2×2=4,2×3=6，…。那么2,4,6,…。都是2的倍數(shù)。我們?cè)诹谐朔ㄋ闶秸乙粋€(gè)數(shù)的倍數(shù)的時(shí)候，就是用這個(gè)數(shù)依次與非0自然數(shù)相乘，所得到的積就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。
【考點(diǎn)剖析】
一、因數(shù)和倍數(shù)的認(rèn)識(shí)
一、單選題
1．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）如果M能被15整除，那么M是（ ）
A．15B．30C．15的倍數(shù)D．15的因數(shù)
2．（2019秋·上海靜安·六年級(jí)校聯(lián)考期中）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．1是自然數(shù)，并且是最小的自然數(shù)B．1是任何正整數(shù)的因數(shù)
C．一個(gè)正整數(shù)至少有2個(gè)因數(shù)D．整數(shù)可以分為正整數(shù)和負(fù)整數(shù)兩類
3．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）a÷b＝5（a，b都是非0自然數(shù)），a是b的（ ），b是a的（ ）．
①倍數(shù) ②因數(shù) ③積
A．①②B．②①C．③①
4．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．任何正整數(shù)的因數(shù)至少有兩個(gè)B．1是所有正整數(shù)的因數(shù)
C．一個(gè)數(shù)的倍數(shù)總比它的因數(shù)大D．3的因數(shù)只有它本身
5．（2020秋·六年級(jí)校考課時(shí)練習(xí)）下列語(yǔ)句中正確的是（ ）
A．非負(fù)整數(shù)就是自然數(shù)B．存在最小的自然數(shù)，也存在最大的自然數(shù)；
C．一個(gè)整數(shù)，不是正整數(shù)，就是負(fù)整數(shù)D．如果數(shù)a除以數(shù)b恰好除盡，并且商是整數(shù)，那么a一定能被b整除
二、填空題
6．（2022秋·六年級(jí)單元測(cè)試）是一個(gè)正整數(shù)，它的最小的因數(shù)是______，最大的因數(shù)是______，最小的倍數(shù)是______．
7．（2022秋·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)整數(shù)_____________最大的倍數(shù)（填“有”或“無(wú)”），而最小的倍數(shù)是___________ ．
8．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）一個(gè)數(shù)的因數(shù)中最小的是________________，最大的是__________________ ．
二、因數(shù)和倍數(shù)的求法
一、單選題
1．（2022秋·上海徐匯·六年級(jí)?？茧A段練習(xí)）A=2×5×7，A的因數(shù)有（ ）
A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．8個(gè)
2．（2022秋·上海奉賢·六年級(jí)?？计谥校┖褪堑模? ）．
A．因數(shù)B．素因數(shù)C．合數(shù)D．素?cái)?shù)
二、多選題
3．（2022秋·上?！ち昙?jí)?？茧A段練習(xí)），其中都是整數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．a(chǎn)是b的因數(shù)B．b是a的因數(shù)C．a(chǎn)能被b整除D．a(chǎn)能整除b
三、填空題
4．（2022秋·上海靜安·六年級(jí)上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校校考期中）在6，12，，，，，中_________________既是的因數(shù)，又是3的倍數(shù)．
5．（2022秋·上海·六年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)整數(shù)的最小倍數(shù)是201，則這個(gè)數(shù)是________．
6．（2022秋·上海閔行·六年級(jí)校考階段練習(xí)），則的因數(shù)有_________個(gè)．
7．（2022秋·上海徐匯·六年級(jí)校考階段練習(xí)）一個(gè)整數(shù)最小的因數(shù)是______，最小的倍數(shù)是______．
8．（2022秋·上海浦東新·六年級(jí)?？计谥校┤绻帽硎綼的全部因數(shù)的和，如，那么______．
9．（2022秋·上海長(zhǎng)寧·六年級(jí)上海市復(fù)旦初級(jí)中學(xué)?？计谥校┘仁堑谋稊?shù)又是的因數(shù)的數(shù)是_________．
10．（2022秋·上海楊浦·六年級(jí)統(tǒng)考期中）8的因數(shù)有_______．
11．（2022秋·上海寶山·六年級(jí)統(tǒng)考期中）在正整數(shù)、4、3中，______是______的倍數(shù)．
12．（2022秋·上海寶山·六年級(jí)統(tǒng)考期中）正整數(shù)16的最小倍數(shù)減去它的最大因數(shù)，所得的差是______．
13．（2022秋·上海閔行·六年級(jí)上海市閔行區(qū)莘松中學(xué)?？计谥校?6的所有因數(shù)的和是_________．
14．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）有一個(gè)數(shù)，它既是的倍數(shù)，又是的因數(shù)，這個(gè)數(shù)是__________．
15．（2022秋·六年級(jí)單元測(cè)試）在兩個(gè)數(shù)12和3中，________是________的因數(shù)，________是________的倍數(shù)．
16．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）規(guī)定一個(gè)新運(yùn)算：對(duì)于不小于3的正整數(shù)n，表示不是n的因數(shù)的最小正整數(shù)，如5的因數(shù)是1和5，所以；再如8的因數(shù)是1、2、4和8，所以等等，請(qǐng)你在理解這種新運(yùn)算的基礎(chǔ)上，求_______________．
四、解答題
17．（2022秋·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）某機(jī)床廠制造了一批機(jī)床，3天生產(chǎn)了21臺(tái)，結(jié)果再生產(chǎn)12天就完成了任務(wù)，這批機(jī)床共有多少臺(tái)？
18.兩個(gè)2位數(shù)的積是216，這兩個(gè)數(shù)的和是多少？
19.李明去兒童樂(lè)園玩，兒童樂(lè)園是1路車和13路車的始發(fā)站，1路車每5分鐘發(fā)車一次，13路車每6分鐘發(fā)車一次．現(xiàn)在這兩路車同時(shí)發(fā)車以后，至少再經(jīng)過(guò)多少分鐘又同時(shí)發(fā)車？
20.用16塊面積是1平方厘米的正方形，可以拼成多少種形狀不同的長(zhǎng)方形？它的長(zhǎng)和寬分別是多少厘米？
21.一筐蘋果，2個(gè)一拿或3個(gè)一拿或4個(gè)一拿或5個(gè)一拿都正好拿完沒(méi)有余數(shù)，問(wèn)這筐蘋果最少有多少個(gè)？
22.我們知道，每個(gè)正整數(shù)都有因數(shù)，對(duì)于一個(gè)正整數(shù)，我們把小于的正的因數(shù)叫做的真因數(shù)．如10的正因數(shù)有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因數(shù)．把一個(gè)正整數(shù)的所有真因數(shù)的和除以，所得的商叫做的“完美指標(biāo)”．如10的“完美指標(biāo)”是．一個(gè)正整數(shù)的“完美指標(biāo)”越接近1，我們就說(shuō)這個(gè)數(shù)越“完美”．如8的“完美指標(biāo)”是，10的“完美指標(biāo)”是，因?yàn)楸雀咏?，所以我們說(shuō)8比10完美．
根據(jù)上述材料，回答下面問(wèn)題：
（1）5的“完美指標(biāo)”是____________；
（2）6的“完美指標(biāo)”是____________；
（3）9的“完美指標(biāo)”是____________．
（4）試找出比20大，比30小的正整數(shù)中，最“完美”的數(shù)．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
一、單選題
1．（2022秋·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．任何正整數(shù)的因數(shù)至少有兩個(gè)B．3的因數(shù)只有它本身
C．一個(gè)數(shù)的倍數(shù)總比它的因數(shù)大D．1是所有正整數(shù)的因數(shù)
2．（2022秋·六年級(jí)單元測(cè)試）對(duì)18、4和6這三個(gè)數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．18能被4整除B．6能整除18C．4是18的因數(shù)D．6是4的倍數(shù)
3．（2022秋·上?！ち昙?jí)?？茧A段練習(xí)）有一個(gè)數(shù)，它既是16的倍數(shù)，又是16的因數(shù)，這個(gè)數(shù)是（ ）
A．16B．32C．8D．4
4．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．任何正整數(shù)的因數(shù)至少有兩個(gè)B．1是所有正整數(shù)的因數(shù)
C．一個(gè)數(shù)的倍數(shù)總比它的因數(shù)大D．3的因數(shù)只有它本身
5．（2022秋·六年級(jí)單元測(cè)試），A的因數(shù)有（ ）
A．2、3、5B．2、3、5、6、10
C．1、2、3、5、6、10、15D．1、2、3、5、6、10、15、30
6．（2022秋·上?！ち昙?jí)校考階段練習(xí)）一個(gè)正整數(shù)的最大因數(shù)減去這個(gè)正整數(shù)的最小倍數(shù)，所得的差一定（ ）
A．小于零B．等于零C．大于零D．不等于零
二、填空題
7．（2022秋·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）寫出30以內(nèi)的正整數(shù)中，7所有的倍數(shù)_____________.
8．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）既是30的因數(shù)，又是3的倍數(shù)的數(shù)有________________________________．
9．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）a能被 b整除，a就叫做b的____________，b就叫做a的_____________．
10．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）一個(gè)整數(shù)的最大因數(shù)和它的最小倍數(shù)比差，結(jié)果是______________
11．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）如果一個(gè)數(shù)既是19的因數(shù)，又是19的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是____________________．
12．（2021秋·上海黃浦·六年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)是25，則這個(gè)數(shù)的因數(shù)分別是_______．
13．（2020秋·上海徐匯·六年級(jí)上海市民辦華育中學(xué)?？计谥校┮粋€(gè)長(zhǎng)方形的面積是24平方厘米，它的長(zhǎng)和寬都是整厘米數(shù)，這樣的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為______厘米．
14．（2022秋·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）36的因數(shù)：___________________，50以內(nèi)9的倍數(shù)：____________.
15．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）能被15整除的數(shù)，至少有__________個(gè)因數(shù)．
16．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）如果一個(gè)正整數(shù)恰好有8個(gè)因數(shù)，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的數(shù)：____________．
17．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）在5、10、15、20、25中，______是100的因數(shù)．
18．（2021秋·上海長(zhǎng)寧·六年級(jí)上海市復(fù)旦初級(jí)中學(xué)統(tǒng)考期中）一個(gè)正整數(shù)n，若它的所有因數(shù)中最小的兩個(gè)因數(shù)的和是4，最大的兩個(gè)因數(shù)的和是100，則n的值為_____．
三、解答題
19．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）按要求把下列各數(shù)填入圈中：1、2、3、4、6、8、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36．
20．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）36名學(xué)生參加科技活動(dòng)，若他們想分成人數(shù)相等的幾個(gè)小組，你認(rèn)為可以怎樣分？
21．（2022秋·六年級(jí)單元測(cè)試）寫出下列各數(shù)所有的因數(shù)．
（1）11
（2）102
22．（2022秋·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）把下列各數(shù)填入指定的圈內(nèi)（每個(gè)數(shù)只能使用一次）．
1，2，4，5，12，24，30，40，52，60，100
23.下列各數(shù)中是否含有相同的因數(shù)，若含有請(qǐng)指出．
（1）6和9；（2）27和51．
24.從小到大依次寫出10個(gè)2的倍數(shù)：_____________________________________；
從小到大依次寫出10個(gè)3的倍數(shù)：_____________________________________；
其中__________________________既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)．
25.已知：，，則和相同的因數(shù)有哪些？
26.一個(gè)正整數(shù)只有2個(gè)因數(shù)而且這個(gè)數(shù)比10小，這個(gè)數(shù)可以是多少？
第02講 因數(shù)和倍數(shù)
【知識(shí)梳理】
因數(shù)與倍數(shù)：整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫b的倍數(shù)，b就叫a的因數(shù)（約數(shù)）.
因數(shù)與倍數(shù)的特征：
找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法
方法一：列除法算式找。用這個(gè)數(shù)除以一個(gè)整數(shù)，除數(shù)從1開始試除，注意得到的商必須是整數(shù)。我們?cè)诹谐ㄋ闶?，找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的時(shí)候，就用此數(shù)分別除以大于等于1且小于等于它本身的所有整數(shù)，所得的商是整數(shù)且沒(méi)有余數(shù)，這些除數(shù)和商就是這個(gè)數(shù)的因數(shù)。
方法二：列乘法算式找。根據(jù)除法各部分間的關(guān)系，“被除數(shù)=除數(shù)×商”來(lái)找，如，找18的因數(shù)，先看18是哪兩個(gè)數(shù)相乘的積，那么這兩個(gè)數(shù)就是18的因數(shù)。18=1×18,18=2×9,18=3×6，用乘法找一個(gè)數(shù)的因數(shù)時(shí)，一般要從自然數(shù)1開始一對(duì)一對(duì)地找，這樣不易遺漏。我們?cè)诹谐朔ㄋ闶秸乙粋€(gè)數(shù)的因數(shù)的時(shí)候，把這個(gè)數(shù)寫乘兩個(gè)整數(shù)相乘的形式，算式中的每個(gè)整數(shù)都是這個(gè)數(shù)的因數(shù)。
找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法（如找2的倍數(shù)的方法）
方法一:列除法算式找。根據(jù)倍數(shù)的意義，可以列除法算式找出2的倍數(shù)?？茨膫€(gè)數(shù)除以2，商是整數(shù)且沒(méi)有余數(shù)，這個(gè)數(shù)就是2的倍數(shù)，如2÷2=1,4÷2=2,6÷2=3，…那么2，4，6，…都是2的倍數(shù)。我們?cè)诹谐ㄋ闶?，找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的時(shí)候，就是看哪些非0自然數(shù)除以這個(gè)數(shù)商是整數(shù)且沒(méi)有余數(shù)，這些數(shù)就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。
方法二：列乘法算式找。2與非零自然數(shù)的積都是2的倍數(shù)。用2分別乘1,2,3，…。也就是2×1=2,2×2=4,2×3=6，…。那么2,4,6,…。都是2的倍數(shù)。我們?cè)诹谐朔ㄋ闶秸乙粋€(gè)數(shù)的倍數(shù)的時(shí)候，就是用這個(gè)數(shù)依次與非0自然數(shù)相乘，所得到的積就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。
【考點(diǎn)剖析】
一、因數(shù)和倍數(shù)的認(rèn)識(shí)
一、單選題
1．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）如果M能被15整除，那么M是（ ）
A．15B．30C．15的倍數(shù)D．15的因數(shù)
【答案】C
【分析】根據(jù)整除的概念即可解答．
【詳解】解：如果M能被15整除，則M是15的倍數(shù)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了整除的概念，熟練掌握整除的概念是解題的關(guān)鍵．
2．（2019秋·上海靜安·六年級(jí)校聯(lián)考期中）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．1是自然數(shù)，并且是最小的自然數(shù)B．1是任何正整數(shù)的因數(shù)
C．一個(gè)正整數(shù)至少有2個(gè)因數(shù)D．整數(shù)可以分為正整數(shù)和負(fù)整數(shù)兩類
【答案】B
【詳解】解：A.1是自然數(shù)，但最小的自然數(shù)是0，而不是1，故不正確；
B.1是任何正整數(shù)的因數(shù)，正確；
C.1有一個(gè)因數(shù)，故一個(gè)正整數(shù)至少有2個(gè)因數(shù)不正確；
D.整數(shù)可以分為正整數(shù)，0和負(fù)整數(shù)，不不正確；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了自然數(shù)，因數(shù)的定義，以及整數(shù)的分類，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）a÷b＝5（a，b都是非0自然數(shù)），a是b的（ ），b是a的（ ）．
①倍數(shù) ②因數(shù) ③積
A．①②B．②①C．③①
【答案】A
【分析】a÷b＝5，a、b、5三個(gè)數(shù)字都是非0自然數(shù)，所以被除數(shù)a是除數(shù)b的倍數(shù)，除數(shù)b是被除數(shù)a的因數(shù)，由此求解．
【詳解】解：因?yàn)閍÷b＝5，所以：a是b的倍數(shù)，b是a的因數(shù)．
故選A
【點(diǎn)睛】一個(gè)整數(shù)能夠被另一整數(shù)整除，被除數(shù)就是除數(shù)的倍數(shù)，除數(shù)就是被除數(shù)的因數(shù)．
4．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．任何正整數(shù)的因數(shù)至少有兩個(gè)B．1是所有正整數(shù)的因數(shù)
C．一個(gè)數(shù)的倍數(shù)總比它的因數(shù)大D．3的因數(shù)只有它本身
【答案】B
【分析】根據(jù)因數(shù)與倍數(shù)的概念直接進(jìn)行解答即可．
【詳解】A、任何正整數(shù)的因數(shù)至少有兩個(gè)是錯(cuò)誤的，例如：1的因數(shù)只有1；
B、1是所有正整數(shù)的因數(shù)，故正確；
C、一個(gè)數(shù)的倍數(shù)總比它的因數(shù)大是錯(cuò)誤的，例如：4的其中一個(gè)倍數(shù)是4，一個(gè)因數(shù)是4，這兩個(gè)相等；
D、3的因數(shù)有1和3，故錯(cuò)誤；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查因數(shù)與倍數(shù)，熟練掌握因數(shù)與倍數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．
5．（2020秋·六年級(jí)?？颊n時(shí)練習(xí)）下列語(yǔ)句中正確的是（ ）
A．非負(fù)整數(shù)就是自然數(shù)B．存在最小的自然數(shù)，也存在最大的自然數(shù)；
C．一個(gè)整數(shù)，不是正整數(shù)，就是負(fù)整數(shù)D．如果數(shù)a除以數(shù)b恰好除盡，并且商是整數(shù)，那么a一定能被b整除
【答案】A
【分析】對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷即可．
【詳解】A．非負(fù)整數(shù)就是自然數(shù)，故正確；
B．不存在最大自然數(shù)，故不正確；
C．0是整數(shù)，但既不是正整數(shù)也不是負(fù)整數(shù)，故不正確；
D．不符合整除條件，而整除的條件是：除數(shù)和被除數(shù)都是整數(shù)；被除數(shù)除以除數(shù)，商是整數(shù)而且余數(shù)為零，故不正確．
故答案為：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了整數(shù)的分類，整除的條件，熟練掌握整數(shù)的分類時(shí)解題的關(guān)鍵．
二、填空題
6．（2022秋·六年級(jí)單元測(cè)試）是一個(gè)正整數(shù)，它的最小的因數(shù)是______，最大的因數(shù)是______，最小的倍數(shù)是______．
【答案】 1
【分析】根據(jù)“一個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，最大的約數(shù)是它本身，最小的約數(shù)是1；一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，最小倍數(shù)是它本身”進(jìn)行依次列舉即可．
【詳解】解：由分析知：一個(gè)數(shù)a的最小因數(shù)是1，最大因數(shù)是a，最小倍數(shù)是a；
故答案為：1，a，a．
【點(diǎn)睛】解答此題的應(yīng)根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義及特征進(jìn)行解答．
7．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）一個(gè)整數(shù)_____________最大的倍數(shù)（填“有”或“無(wú)”），而最小的倍數(shù)是___________ ．
【答案】 無(wú) 本身
【分析】根據(jù)倍數(shù)的概念填空即可．
【詳解】一個(gè)整數(shù)無(wú)最大的倍數(shù)，而最小的倍數(shù)是本身．
故答案為：無(wú)；本身．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整數(shù)的倍數(shù)問(wèn)題，熟練掌握倍數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．
8．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）一個(gè)數(shù)的因數(shù)中最小的是________________，最大的是__________________ ．
【答案】 1 它本身
【分析】根據(jù)一個(gè)數(shù)的因數(shù)的概念可直接得出．
【詳解】一個(gè)數(shù)的因數(shù)最小的是1，最大的是它本身．
故答案為：1；它本身．
【點(diǎn)睛】本題主要考查因數(shù)的概念，熟練掌握概念即可．
二、因數(shù)和倍數(shù)的求法
一、單選題
1．（2022秋·上海徐匯·六年級(jí)?？茧A段練習(xí)）A=2×5×7，A的因數(shù)有（ ）
A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．8個(gè)
【答案】D
【分析】把A算出來(lái)等于70，看70能被哪些整數(shù)整除．
【詳解】因?yàn)锳=2×5×7=70
而
因此A的因數(shù)就有1，70，2，35，5，14，7，10共8個(gè)．
故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因數(shù)的概念：兩個(gè)正整數(shù)相乘，那么這兩個(gè)數(shù)都叫做積的因數(shù)．注意一個(gè)數(shù)最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身．掌握因數(shù)的概念是解題關(guān)鍵．
2．（2022秋·上海奉賢·六年級(jí)?？计谥校┖褪堑模? ）．
A．因數(shù)B．素因數(shù)C．合數(shù)D．素?cái)?shù)
【答案】A
【分析】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義：如果數(shù)能被數(shù)整除（），就叫做的倍數(shù)，就叫做的因數(shù)．
【詳解】∵，
∴和是的因數(shù)，
故選A．
【點(diǎn)睛】此題考查的是因數(shù)和倍數(shù)的意義，應(yīng)根據(jù)其意義進(jìn)行解答．
二、多選題
3．（2022秋·上海·六年級(jí)?？茧A段練習(xí)），其中都是整數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．a(chǎn)是b的因數(shù)B．b是a的因數(shù)C．a(chǎn)能被b整除D．a(chǎn)能整除b
【答案】AD
【分析】根據(jù)因數(shù)、倍數(shù)和整除的意義∶如果數(shù)b能被a數(shù)整除()，b就叫做a的倍數(shù)，a就叫做b的因數(shù)；進(jìn)而進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解∶ ∵，其中都是整數(shù)，
∴a是b的因數(shù)，b是a的倍數(shù)，a能整除b，b能被a整除．
∴A、D正確，B、C錯(cuò)誤，
故答案為∶AD．
【點(diǎn)睛】本題考查了因數(shù)、倍數(shù)以及整除，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義進(jìn)行判斷．
三、填空題
4．（2022秋·上海靜安·六年級(jí)上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校?？计谥校┰?，12，，，，，中_________________既是的因數(shù)，又是3的倍數(shù)．
【答案】6，，
【分析】根據(jù)3的倍數(shù)必須所有數(shù)字和是3的倍數(shù)找出是3的倍數(shù)的數(shù)字，在用除以數(shù)字能被整除的就是的因數(shù)，即可得到答案；
【詳解】解：由題意可得，
6，12，，，，，中是3的倍數(shù)的是6，12，，，，，
其中：，，，，，，
∴既是的因數(shù)，又是3的倍數(shù)有：6，，，
故答案為：6，，．
【點(diǎn)睛】本題考查因數(shù)及倍數(shù)求取，解題的關(guān)鍵是掌握3的倍數(shù)必須所有數(shù)字和是3的倍數(shù)．
5．（2022秋·上?！ち昙?jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)整數(shù)的最小倍數(shù)是201，則這個(gè)數(shù)是________．
【答案】
【分析】一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)就是它本身，即可得到答案．
【詳解】解：一個(gè)整數(shù)的最小倍數(shù)是，則這個(gè)數(shù)是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查倍數(shù)的概念及性質(zhì)，熟記一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)就是它本身是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
6．（2022秋·上海閔行·六年級(jí)?？茧A段練習(xí)），則的因數(shù)有_________個(gè)．
【答案】
【分析】根據(jù)因數(shù)的定義及求法即可直接得到答案．
【詳解】解：，
的因數(shù)有，共個(gè)因數(shù)，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查因數(shù)的定義及求法，熟記因數(shù)定義及求法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
7．（2022秋·上海徐匯·六年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)整數(shù)最小的因數(shù)是______，最小的倍數(shù)是______．
【答案】
【分析】根據(jù)因數(shù)的定義以及有理數(shù)的乘法即可得到結(jié)果
【詳解】∵任何數(shù)乘以都等于它本身，
∴整數(shù)最小的因數(shù)是，最小的倍數(shù)是，
故答案為：，
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法，因數(shù)和倍數(shù)的意義，掌握因數(shù)和倍數(shù)的定義并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵
8．（2022秋·上海浦東新·六年級(jí)校考期中）如果用表示a的全部因數(shù)的和，如，那么______．
【答案】
【分析】根據(jù)題意即可求得及的值，據(jù)此即可求得．
【詳解】解：，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算，理解題意，正確運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵．
9．（2022秋·上海長(zhǎng)寧·六年級(jí)上海市復(fù)旦初級(jí)中學(xué)?？计谥校┘仁堑谋稊?shù)又是的因數(shù)的數(shù)是_________．
【答案】
【分析】直接根據(jù)因數(shù)與倍數(shù)進(jìn)行求解即可．
【詳解】由是的倍數(shù)，的最大因數(shù)是，的最小倍數(shù)是，既是的倍數(shù)又是的因數(shù)的數(shù)是；
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查因數(shù)與倍數(shù)，熟練掌握因數(shù)與倍數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵．
10．（2022秋·上海楊浦·六年級(jí)統(tǒng)考期中）8的因數(shù)有_______．
【答案】1、2、4、8
【分析】先寫出8的因數(shù)：，，因此8的因數(shù)有1，2，4，8，解答即可．
【詳解】解：8的因數(shù)有：1、2、4、8．
故答案為：1、2、4、8
【點(diǎn)睛】本題考查因數(shù)倍數(shù)，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)所有能整除8的數(shù)．
11．（2022秋·上海寶山·六年級(jí)統(tǒng)考期中）在正整數(shù)、4、3中，______是______的倍數(shù)．
【答案】 3
【分析】根據(jù)題意將18分解因數(shù)即可求解．
【詳解】解：∵
∴是3的倍數(shù)．
故答案為：，3．
【點(diǎn)睛】本題考查了因數(shù)分解，將較大的數(shù)因數(shù)分解是解題的關(guān)鍵．
12．（2022秋·上海寶山·六年級(jí)統(tǒng)考期中）正整數(shù)16的最小倍數(shù)減去它的最大因數(shù)，所得的差是______．
【答案】0
【分析】找到16的最小倍數(shù)和最大因數(shù)，相減即可．
【詳解】解：正整數(shù)16的最小倍數(shù)是16，它的最大因數(shù)也是16，
，
故答案為：0．
【點(diǎn)睛】本題考查了因數(shù)與倍數(shù)，一個(gè)正整數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身．
13．（2022秋·上海閔行·六年級(jí)上海市閔行區(qū)莘松中學(xué)?？计谥校?6的所有因數(shù)的和是_________．
【答案】31
【分析】先寫出16的所有因數(shù)，再求和．
【詳解】解：16的因數(shù)有：1，2，4，8，16．
，
故答案為：31．
【點(diǎn)睛】本題考查求一個(gè)數(shù)的因數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握因數(shù)的求法，如相乘法、短除法、配對(duì)法等．
14．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）有一個(gè)數(shù)，它既是的倍數(shù)，又是的因數(shù)，這個(gè)數(shù)是__________．
【答案】a
【分析】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的定義解答即可．
【詳解】解：如果一個(gè)數(shù)既是a的倍數(shù)，又是a的因數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是a．
故答案為：a．
【點(diǎn)睛】此題考查了因數(shù)和倍數(shù)的意義，應(yīng)明確因數(shù)和倍數(shù)是相對(duì)而言，不能單獨(dú)存在是解答本題的關(guān)鍵．
15．（2022秋·六年級(jí)單元測(cè)試）在兩個(gè)數(shù)12和3中，________是________的因數(shù)，________是________的倍數(shù)．
【答案】 3 12 12 3
【分析】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義：如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除（b≠0），a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)；進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：因?yàn)椋?是12的因數(shù)，12是3的倍數(shù)，
故答案為：3，12；12，3
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是因數(shù)和倍數(shù)的意義，應(yīng)該明確因數(shù)和倍數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．
16．（2022秋·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）規(guī)定一個(gè)新運(yùn)算：對(duì)于不小于3的正整數(shù)n，表示不是n的因數(shù)的最小正整數(shù)，如5的因數(shù)是1和5，所以；再如8的因數(shù)是1、2、4和8，所以等等，請(qǐng)你在理解這種新運(yùn)算的基礎(chǔ)上，求_______________．
【答案】9
【分析】根據(jù)題意可得，，然后求解即可．
【詳解】解：因?yàn)?的因數(shù)為1、2、3、6，故，因?yàn)?4的因數(shù)為1、2、3、4、6、8、12、24，故，故．
故答案為：9．
【點(diǎn)睛】本題主要考查因數(shù)與倍數(shù)，熟練掌握求一個(gè)數(shù)的因數(shù)是解題的關(guān)鍵．
四、解答題
17．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）某機(jī)床廠制造了一批機(jī)床，3天生產(chǎn)了21臺(tái)，結(jié)果再生產(chǎn)12天就完成了任務(wù)，這批機(jī)床共有多少臺(tái)？
【答案】105臺(tái)
【分析】先求出工作效率，進(jìn)而根據(jù)工作總量=工作效率工作時(shí)間即可得解．
【詳解】解：1天生產(chǎn)臺(tái)，機(jī)床總數(shù)：臺(tái)．
答：這批機(jī)床共有105臺(tái)．
【點(diǎn)睛】本題考查了工作總量=工作效率工作時(shí)間的應(yīng)用，熟練掌握工作總量、工作效率與工作時(shí)間之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
18.兩個(gè)2位數(shù)的積是216，這兩個(gè)數(shù)的和是多少？
【答案】30
【解析】∵，
∴這兩個(gè)數(shù)是12和18，和是30．
【總結(jié)】本題主要是對(duì)因數(shù)的概念的綜合運(yùn)用．
19.李明去兒童樂(lè)園玩，兒童樂(lè)園是1路車和13路車的始發(fā)站，1路車每5分鐘發(fā)車一次，13路車每6分鐘發(fā)車一次．現(xiàn)在這兩路車同時(shí)發(fā)車以后，至少再經(jīng)過(guò)多少分鐘又同時(shí)發(fā)車？
【答案】15分鐘
【解析】因?yàn)?的倍數(shù)有：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60……；
6的倍數(shù)有：6，12，18，24， 30，36，42，48，54， 60……；
所以至少再經(jīng)過(guò)30分鐘又同時(shí)發(fā)車．
【總結(jié)】本題主要是利用倍數(shù)的概念來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．
20.用16塊面積是1平方厘米的正方形，可以拼成多少種形狀不同的長(zhǎng)方形？它的長(zhǎng)和寬分別是多少厘米？
【答案】三種：（1）16，1；（2）8，2；（3）4，4．
【解析】；
答：可以拼成3種形狀不同的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)和寬分別是：16，1或8，2或4，4．
【總結(jié)】本題主要是利用因數(shù)的概念來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．
21.一筐蘋果，2個(gè)一拿或3個(gè)一拿或4個(gè)一拿或5個(gè)一拿都正好拿完沒(méi)有余數(shù)，問(wèn)這筐蘋果最少有多少個(gè)？
【解析】通過(guò)枚舉法會(huì)發(fā)現(xiàn)2、3、4、5的最小的倍數(shù)是60，
所以至少再經(jīng)過(guò)30分鐘又同時(shí)發(fā)車．
【總結(jié)】本題主要是利用倍數(shù)的概念來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．
22.我們知道，每個(gè)正整數(shù)都有因數(shù)，對(duì)于一個(gè)正整數(shù)，我們把小于的正的因數(shù)叫做的真因數(shù)．如10的正因數(shù)有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因數(shù)．把一個(gè)正整數(shù)的所有真因數(shù)的和除以，所得的商叫做的“完美指標(biāo)”．如10的“完美指標(biāo)”是．一個(gè)正整數(shù)的“完美指標(biāo)”越接近1，我們就說(shuō)這個(gè)數(shù)越“完美”．如8的“完美指標(biāo)”是，10的“完美指標(biāo)”是，因?yàn)楸雀咏?，所以我們說(shuō)8比10完美．
根據(jù)上述材料，回答下面問(wèn)題：
（1）5的“完美指標(biāo)”是____________；
（2）6的“完美指標(biāo)”是____________；
（3）9的“完美指標(biāo)”是____________．
（4）試找出比20大，比30小的正整數(shù)中，最“完美”的數(shù)．
【答案】 （4）28；
【解析】（1）5的“完美指標(biāo)”：； （2）6的“完美指標(biāo)”是：
（3）9的“完美指標(biāo)”是：；
（4）素?cái)?shù)的“完美指標(biāo)”為，不夠完美；
合數(shù)的真因數(shù)較小，完美指標(biāo)也會(huì)比較小，不夠完美；
所以驗(yàn)證24和28的完美指標(biāo)：
24的“完美指標(biāo)”是：；
28的“完美指標(biāo)”是；
∴28是比20大，比30小的正整數(shù)中，最“完美”的數(shù)．
【總結(jié)】本題主要是考查學(xué)生的理解能力，通過(guò)對(duì)題目中新的概念的理解，利用概念去解決新的問(wèn)題．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
一、單選題
1．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．任何正整數(shù)的因數(shù)至少有兩個(gè)B．3的因數(shù)只有它本身
C．一個(gè)數(shù)的倍數(shù)總比它的因數(shù)大D．1是所有正整數(shù)的因數(shù)
【答案】D
【分析】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的概念分別判斷即可．
【詳解】1只有一個(gè)因數(shù)，故A錯(cuò)誤；
3的因數(shù)有1和本身，故B錯(cuò)誤；
一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)是本身，故C錯(cuò)誤；
1是所有正整數(shù)的因數(shù)，故D正確．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因數(shù)和倍數(shù)的概念，熟練掌握倍數(shù)和因數(shù)的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·六年級(jí)單元測(cè)試）對(duì)18、4和6這三個(gè)數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．18能被4整除B．6能整除18C．4是18的因數(shù)D．6是4的倍數(shù)
【答案】B
【分析】若a÷b=c，a、b、c均是整數(shù)，且b≠0，則a能被b、c整除，或者說(shuō)b、c能整除a；根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義：如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除（b≠0），a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)；據(jù)此判斷即可．
【詳解】解：A、18不能被4整除，故A說(shuō)法錯(cuò)誤；
B、6能整除18，故B說(shuō)法正確；
C、4不是18的因數(shù)，故C說(shuō)法錯(cuò)誤；
D、6不是4的倍數(shù)，故D說(shuō)法錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了整除的性質(zhì)的應(yīng)用、因數(shù)與倍數(shù)的意義及其運(yùn)用．
3．（2022秋·上?！ち昙?jí)?？茧A段練習(xí)）有一個(gè)數(shù)，它既是16的倍數(shù)，又是16的因數(shù)，這個(gè)數(shù)是（ ）
A．16B．32C．8D．4
【答案】A
【分析】一個(gè)數(shù)是16的因數(shù)，說(shuō)明這個(gè)數(shù)≤16，又是16的倍數(shù)，說(shuō)明這個(gè)數(shù)≥16，因此這個(gè)數(shù)是16，由此解答即可．
【詳解】一個(gè)數(shù)既是16的因數(shù)又是16的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)是16．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了倍數(shù)和因數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握倍數(shù)和因數(shù)的概念．一個(gè)非0的自然數(shù)既是自己的倍數(shù)，也是自己的因數(shù)．
4．（2022秋·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．任何正整數(shù)的因數(shù)至少有兩個(gè)B．1是所有正整數(shù)的因數(shù)
C．一個(gè)數(shù)的倍數(shù)總比它的因數(shù)大D．3的因數(shù)只有它本身
【答案】B
【分析】根據(jù)因數(shù)與倍數(shù)的概念直接進(jìn)行解答即可．
【詳解】A、任何正整數(shù)的因數(shù)至少有兩個(gè)是錯(cuò)誤的，例如：1的因數(shù)只有1；
B、1是所有正整數(shù)的因數(shù)，故正確；
C、一個(gè)數(shù)的倍數(shù)總比它的因數(shù)大是錯(cuò)誤的，例如：4的其中一個(gè)倍數(shù)是4，一個(gè)因數(shù)是4，這兩個(gè)相等；
D、3的因數(shù)有1和3，故錯(cuò)誤；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查因數(shù)與倍數(shù)，熟練掌握因數(shù)與倍數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·六年級(jí)單元測(cè)試），A的因數(shù)有（ ）
A．2、3、5B．2、3、5、6、10
C．1、2、3、5、6、10、15D．1、2、3、5、6、10、15、30
【答案】D
【分析】根據(jù)因數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】因?yàn)锳=2×3×5，
所以A=1×30=2×15=3×10=5×6，
所以A的全部因數(shù)有：1，2，3，5，6，10，15，30．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了因數(shù)，掌握因數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
6．（2022秋·上海·六年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)正整數(shù)的最大因數(shù)減去這個(gè)正整數(shù)的最小倍數(shù)，所得的差一定（ ）
A．小于零B．等于零C．大于零D．不等于零
【答案】B
【分析】一個(gè)正整數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是這個(gè)數(shù)本身，再求差即可得出答案．
【詳解】∵一個(gè)正整數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是這個(gè)數(shù)本身，
∴差為0，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正整數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的含義，掌握一個(gè)正整數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是這個(gè)數(shù)本身是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
7．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）寫出30以內(nèi)的正整數(shù)中，7所有的倍數(shù)_____________.
【答案】7，14，21，28
【分析】從7的1倍開始，依次列出7的倍數(shù)，直到倍數(shù)剛好大于30為止，再把這些倍數(shù)寫出來(lái).
【詳解】解： ， ， ， ， ，所以30以內(nèi)的正整數(shù)中，7所有的倍數(shù)為7，14，21，28.
故答案為：7，14，21，28.
【點(diǎn)睛】本題考查了倍數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.
8．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）既是30的因數(shù)，又是3的倍數(shù)的數(shù)有________________________________．
【答案】3，6，15，30
【分析】首先列出30的因數(shù)，再結(jié)合3的倍數(shù)逐個(gè)篩選，從而得到答案．
【詳解】30的因數(shù)為：1，30，2，15，3，10，5，6；
同時(shí)是3的倍數(shù)的是：3，6，15，30；
故答案為：3，6，15，30．
【點(diǎn)睛】本題考查了倍數(shù)和因數(shù)的知識(shí)；求解的關(guān)鍵是準(zhǔn)確掌握倍數(shù)和因數(shù)的定義，即可求得答案．
9．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）a能被 b整除，a就叫做b的____________，b就叫做a的_____________．
【答案】 倍數(shù) 因數(shù)
【分析】根據(jù)因數(shù)倍數(shù)的概念可直接得答案．
【詳解】因數(shù)和倍數(shù)是互相依存的；
故答案為：倍數(shù)；因數(shù)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查因數(shù)與倍數(shù)的概念，關(guān)鍵是根據(jù)題意及概念得出答案．
10．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）一個(gè)整數(shù)的最大因數(shù)和它的最小倍數(shù)比差，結(jié)果是______________
【答案】0
【分析】根據(jù)一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：一個(gè)整數(shù)，它最大的因數(shù)和最小的倍數(shù)都是它本身，差為0；
故答案為：0．
【點(diǎn)睛】此題主要考查因數(shù)與倍數(shù)的意義，利用一個(gè)數(shù)的倍數(shù)最小是它的本身，一個(gè)數(shù)的因數(shù)最大是它本身，解決問(wèn)題．
11．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）如果一個(gè)數(shù)既是19的因數(shù)，又是19的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是____________________．
【答案】19
【分析】一個(gè)數(shù)既是它本身的因數(shù)，也是它本身的倍數(shù)，可根據(jù)此來(lái)求解．
【詳解】∵ａ既是ａ的因數(shù)，又是ａ的倍數(shù)，
∴如果一個(gè)數(shù)既是19的因數(shù)，又是19的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是19．
故答案為：19．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因數(shù)和倍數(shù)，熟練掌握因數(shù)和倍數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵．
12．（2021秋·上海黃浦·六年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)是25，則這個(gè)數(shù)的因數(shù)分別是_______．
【答案】1,5,25
【分析】根據(jù)一個(gè)數(shù)最大的因數(shù)是它本身，確定這個(gè)是25，由此得到答案
【詳解】解：∵一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)是25，而一個(gè)數(shù)最大的因數(shù)是它本身，
∴這個(gè)數(shù)是25，
∴它的因數(shù)分別是1,5,25，
故答案為：1,5,25．
【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)的因數(shù)，正確確定一個(gè)數(shù)的因數(shù)是解題的關(guān)鍵．
13．（2020秋·上海徐匯·六年級(jí)上海市民辦華育中學(xué)?？计谥校┮粋€(gè)長(zhǎng)方形的面積是24平方厘米，它的長(zhǎng)和寬都是整厘米數(shù)，這樣的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為______厘米．
【答案】20或22或28或50
【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式為：長(zhǎng)乘以寬，將24寫成兩個(gè)整數(shù)的積為24，找出所有滿足乘積為24的兩個(gè)整數(shù)，即可．
【詳解】∵長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，長(zhǎng)和寬都是整厘米數(shù)
∴滿足條件的長(zhǎng)方形有：；；；
∵周長(zhǎng)=（長(zhǎng)＋寬）×2
∴滿足條件的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為：、、、．
故答案為：20或22或28或50．
【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握長(zhǎng)方形的面積公式，周長(zhǎng)公式，24的因數(shù)．
14．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）36的因數(shù)：___________________，50以內(nèi)9的倍數(shù)：____________.
【答案】 1、2、3、4、6、9、12、18、36； 9、18、27、36、45
【分析】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的概念求解即可．
【詳解】解：36的因數(shù)有：1、2、3、4、6、9、12、18、36； 50以內(nèi)9的倍數(shù)有：9、18、27、36、45，
故答案為：1、2、3、4、6、9、12、18、36；9、18、27、36、45．
【點(diǎn)睛】本題考查因數(shù)和倍數(shù)，一個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是有限的，倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的．
15．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）能被15整除的數(shù)，至少有__________個(gè)因數(shù)．
【答案】4
【分析】得到能被15整除的數(shù)中最小的數(shù)為15，即可求解．
【詳解】能被15整除的數(shù)中最小的數(shù)為15，
∵，
∴15有4個(gè)因數(shù)，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因數(shù)的知識(shí)，得到能被15整除的數(shù)中最小的數(shù)為15，是解答本題的關(guān)鍵．
16．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）如果一個(gè)正整數(shù)恰好有8個(gè)因數(shù)，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的數(shù)：____________．
【答案】30（答案不唯一）
【分析】由題意可知該數(shù)由三個(gè)不同的質(zhì)數(shù)相乘得到．
【詳解】解：由題意可知該數(shù)由三個(gè)不同的質(zhì)數(shù)相乘得到，
比如2×3×5＝30，
故答案為：30．（答案不唯一）
【點(diǎn)睛】本題考查因數(shù)的概念．掌握其定義是解答本題的關(guān)鍵．
17．（2022秋·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）在5、10、15、20、25中，______是100的因數(shù)．
【答案】5；10；20；25
【詳解】，，，，
故答案為：5；10；20；25
【點(diǎn)睛】本題考查了因數(shù)，理解因數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．兩個(gè)正整數(shù)相乘，那么這兩個(gè)數(shù)都叫做積的因數(shù)．
18．（2021秋·上海長(zhǎng)寧·六年級(jí)上海市復(fù)旦初級(jí)中學(xué)統(tǒng)考期中）一個(gè)正整數(shù)n，若它的所有因數(shù)中最小的兩個(gè)因數(shù)的和是4，最大的兩個(gè)因數(shù)的和是100，則n的值為_____．
【答案】75
【分析】最小的兩個(gè)約數(shù)中一定有一個(gè)是1，因此另一個(gè)是3，說(shuō)明最大的約數(shù)是第二大的約數(shù)的3倍，而最大的兩個(gè)約數(shù)之和為100，100÷(3+1)=25，所以最大的兩個(gè)約數(shù)是25和75，這個(gè)正整數(shù)就是75．
【詳解】最小的兩個(gè)約數(shù)中一定有一個(gè)是1，因此另一個(gè)是3，最大的兩個(gè)約數(shù)是：
100÷(3+1)=25，
100-25=75，
所以最大的兩個(gè)約數(shù)是25和75，
答：這個(gè)正整數(shù)就是75．
故答案為：75．
【點(diǎn)睛】本題考查了求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法，此題解答的關(guān)鍵是先求出最小的兩個(gè)約數(shù)，根據(jù)最大的約數(shù)是第二大的約數(shù)的3倍，求出最大的兩個(gè)約數(shù)，進(jìn)而得出這個(gè)正整數(shù)．
三、解答題
19．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）按要求把下列各數(shù)填入圈中：1、2、3、4、6、8、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36．
【答案】1、2、3、4、6、8、9、18、24、36；3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36
【分析】根據(jù)題意及因數(shù)的求法可把1、2、3、4、6、8、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36依次填入圈內(nèi)．
【詳解】第一個(gè)圈：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36
第二個(gè)圈：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36．
故答案為：1、2、3、4、6、8、9、18、24、36；3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36．
【點(diǎn)睛】本題主要考查因數(shù)與倍數(shù)的求法，關(guān)鍵是結(jié)合題意及方法得出即可．
20．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）36名學(xué)生參加科技活動(dòng)，若他們想分成人數(shù)相等的幾個(gè)小組，你認(rèn)為可以怎樣分？
【答案】可以分為2，3，4，6，9，12，18，36
【分析】根據(jù)題意可知此題是求解36的因數(shù)，故直接可得出答案．
【詳解】因?yàn)橐?6名學(xué)生分成若干組，所以只要找36的因數(shù)（1除外）即可，故36的因數(shù)有2,3,4,6,9,12,18,36．
故答案為：可以分為2，3，4，6，9，12，18，36．
【點(diǎn)睛】本題主要考查因數(shù)的求法，熟練掌握方法是解題的關(guān)鍵．
21．（2022秋·六年級(jí)單元測(cè)試）寫出下列各數(shù)所有的因數(shù)．
（1）11
（2）102
【答案】（1）11的因數(shù)有1和11；（2）102的因數(shù)有1、2、3、6、17、34、51和102
【分析】（1）根據(jù)求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法，進(jìn)行列舉即可；
（2）由題意根據(jù)求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法，進(jìn)行列舉即可．
【詳解】解：（1）11的因數(shù)有1和11；
（2）102的因數(shù)有1、2、3、6、17、34、51和102．
【點(diǎn)睛】本題考查的是求一個(gè)數(shù)因數(shù)的方法，注意掌握有順序的寫，做到不重復(fù)，不遺漏．
22．（2022秋·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）把下列各數(shù)填入指定的圈內(nèi)（每個(gè)數(shù)只能使用一次）．
1，2，4，5，12，24，30，40，52，60，100
【答案】左圈（部分4的倍數(shù)）：24，40，52，100；
中圈（既是4的倍數(shù)又是60的因數(shù)）：4，12，60；
右圈（部分60的因數(shù)）：1，2，5，30．
【分析】整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)（也稱為約數(shù)），因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的，據(jù)此解答即可．
【詳解】解：因?yàn)樵谏鲜鰯?shù)中，其中
4的倍數(shù)有：4，12，24，40，52，60，100；
60的因數(shù)有：1，2，4，5，12，30，60；
既是4的倍數(shù)又是60的因數(shù)有：4，12，60；
因?yàn)槊總€(gè)數(shù)只能使用一次，
故三個(gè)指定的圈內(nèi)填寫的數(shù)為：
左圈（部分4的倍數(shù)）：24，40，52，100；
中圈（既是4的倍數(shù)又是60的因數(shù)）：4，12，60；
右圈（部分60的因數(shù)）：1，2，5，30．
【點(diǎn)睛】此題考查了倍數(shù)和因數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握倍數(shù)和因數(shù)的定義．
23.下列各數(shù)中是否含有相同的因數(shù)，若含有請(qǐng)指出．
（1）6和9；（2）27和51．
【答案】（1）含有相同的因數(shù)：1和3；（2）含有相同的因數(shù)：1和3．
【解析】（1）∵，；∴6和9含有相同的因數(shù)：1和3；
（2）∵，；∴27和51含有相同的因數(shù)：1和3；
【總結(jié)】本題主要考查如何求出兩個(gè)不相等的正整數(shù)所含有的相同的因數(shù)．
24.從小到大依次寫出10個(gè)2的倍數(shù)：_____________________________________；
從小到大依次寫出10個(gè)3的倍數(shù)：_____________________________________；
其中__________________________既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)．
【答案】2，4，6，8，10，12，14，16，18，20；
3，6，9，12，15，18，21，24，27，30；
12，18，24，30；
25.已知：，，則和相同的因數(shù)有哪些？
【答案】1，3，5，15．
【解析】∵，∴A的因數(shù)有：1，2，3，5，6，10，15，30；
∵，∴B的因數(shù)有：1，3，5，9，15，45．
∴和相同的因數(shù)有：1，3，5，15．
【總結(jié)】本題主要考查如何求兩個(gè)不相等的正整數(shù)所含有的相同因數(shù)．
26.一個(gè)正整數(shù)只有2個(gè)因數(shù)而且這個(gè)數(shù)比10小，這個(gè)數(shù)可以是多少？
【答案】2，3，5，7
【解析】只有兩個(gè)因數(shù)，說(shuō)明這個(gè)數(shù)只能分解成1乘以本身，這樣的數(shù)有2，3，5，7；
【總結(jié)】本題主要考查因數(shù)的概念．

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