1、公倍數(shù)與最小公倍數(shù)
公倍數(shù)：幾個整數(shù)公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù)；
最小公倍數(shù)：幾個整數(shù)公有的倍數(shù)中，最小的一個叫做它們的最小公倍數(shù)．
2、最小公倍數(shù)的求法
求兩個整數(shù)的最小公倍數(shù)，只要取它們所有公有的素因數(shù)，再取它們各自剩余的素因數(shù)，將這些數(shù)連乘，所得的積就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)；
如果兩個整數(shù)中某一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)，那么這個數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)；
如果兩個數(shù)互素，那么它們的乘積就是它們的最小公倍數(shù)．
3.兩數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系
已知數(shù)a和數(shù)b，兩數(shù)的最大公因數(shù)為m，最小公倍數(shù)為n，則：
4.三個數(shù)的最大公公因數(shù)與最小公倍數(shù)
1、三個數(shù)的最大公因數(shù)要找三個數(shù)的公有的素因數(shù)，如果其中的兩個商還有素因數(shù)，也不要往下除；
2、最小公倍數(shù)的計算要把三個數(shù)的公有素因數(shù)和獨有素因數(shù)都要找全，最后除到兩兩互素為止。
【考點剖析】
題型一：公倍數(shù)與最小公倍數(shù)
例1.求下列各組數(shù)的最小公倍數(shù)．
8和15；（2）9和45；（3）19和21．
【變式1】求下列各組數(shù)的最小公倍數(shù)
（1）36和60 （2）39和78 （3）15和4
【變式2】若，，則m、n的最小公倍數(shù)為___________．
例2.用短除法求10，12和15的最小公倍數(shù)．
【變式】（2021·上海市復(fù)旦初級中學(xué)期中）用短除法求54與144的最小公倍數(shù)．
題型二：最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)
例3.用短除法求24和36的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù).
【變式】用短除法求104和130的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù).
題型三：最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的應(yīng)用
例4.已知三個連續(xù)奇數(shù)的和是15，那么這三個奇數(shù)的最小公倍數(shù)是多少？
【變式1】兩個數(shù)的積是144，它們的最小公倍數(shù)是36，這兩個數(shù)各是多少？
【變式2】甲、乙兩戶人家相鄰而居，甲每6天去超市購物一次，乙每7天去同一家超市購物一次，元旦這一天兩戶人家都去這家超市購物，再經(jīng)過多少天他們又會在同一天都去超市？
【變式3】3月12日植樹節(jié)，六（2）班同學(xué)在400米跑道的一側(cè)每隔4米種一棵樹，當種好第31棵樹時，覺得樹與樹之間隔太密，于是改為每隔6米種一棵樹，那么有多少棵樹不需要移動呢？
【變式4】在長1．5千米的公路一邊，等距離種樹（兩端都種），開始每隔10米種一棵，后來改成每隔12米種一棵，不用改種的樹有多少棵？
例5.某工廠承包了學(xué)校的桌椅制作任務(wù)，一張桌子配一把椅子，某車間有甲、乙兩組，甲組人員做桌子，每人每天可以做6張桌子；乙組每人每天可以做9把椅子，為了使生產(chǎn)均衡，每天的桌子、椅子數(shù)量剛好配套．該車間至少安排多少人員？（不考慮其他因素）
【變式1】先求出8和10的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，并把最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)相乘，再把8和10相乘，你發(fā)現(xiàn)了什么？
請用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律接下面的問題：
（1）甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是3，最小公倍數(shù)是30，已知甲數(shù)是6，那么乙數(shù)是多少？
（2）甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是3，最小公倍數(shù)是90，已知甲數(shù)是18，那么乙數(shù)是多少？
【變式2】已知兩個數(shù)的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是144，求這兩個數(shù)的和是多少？
【變式3】兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是140，最大公因數(shù)是4，且小數(shù)不能整除大數(shù)，這兩個數(shù)分別是多少？
題型四：三個數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)
例6．求20、30和36的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)；
【變式1】求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)；
（1）10、36和90； （2）24、15和36。
【變式2】已知三個連續(xù)偶數(shù)的最小公倍數(shù)是24，則這三個連續(xù)偶數(shù)分別是什么？
【過關(guān)檢測】
一．選擇題（共1小題）
1．（2022秋?寶山區(qū)校級月考）一個正整數(shù)的最大因數(shù)減去這個正整數(shù)的最小倍數(shù)，所得的差一定（ ）
A．小于零B．等于零C．大于零D．不等于零
二．填空題（共12小題）
2．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）已知A＝2×3×a×7，B＝3×5×7．如果A和B的最小公倍數(shù)是630，那么a＝ ．
3．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）如果兩個正整數(shù)的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是72，那么這兩個數(shù)是 ．
4．（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）12和30的最小公倍數(shù)是 ．
5．（2022秋?寶山區(qū)期中）正整數(shù)16的最小倍數(shù)減去它的最大因數(shù)，所得的差是 ．
6．（2022秋?普陀區(qū)期中）4和5的最小公倍數(shù)是 ．
7．（2022秋?松江區(qū)校級月考）若A＝2×3×3，B＝2×3×5，則A和B的最大公因數(shù)是 ，最小公倍數(shù) ．
8．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）已知A＝2×3×3×5×7，B＝2×2×5×5×7，則A與B的最小公倍數(shù)是 ．
9．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）一個數(shù)的最小倍數(shù)是24，這個數(shù)的素因數(shù)有 ．
10．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）已知x、y是正整數(shù)，且x÷y＝5，則x和y的最大公因數(shù)是 ，它們的最小公倍數(shù)是 ．
11．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）12和16的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的和是 ．
12．（2021秋?金山區(qū)期末）如果A＝2×3×3×a，B＝2×2×3×a，且A、B的最小公倍數(shù)是180，那么a＝ ．
13．（2021秋?青浦區(qū)校級期末）定義新運算“*”如下：對于兩個自然數(shù)a和b，它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的和記為a*b，例如：6*8＝2+24＝26，根據(jù)上面的定義運算，12*15＝ ．
三．解答題（共7小題）
14．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）用短除法求45與60的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．
15．（2022秋?青浦區(qū)期中）用短除法求90與84的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．
16．（2022秋?嘉定區(qū)期中）用短除法求出24與36的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．
17．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)：
（1）8和9；
（2）12和48；
（3）13和104；
（4）34和51．
18．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）有兩列公交車，寶山6路每30分鐘發(fā)一次車，寶山8路每25分鐘發(fā)一次車．請問：一位公交指揮員從早晨6點30分同時發(fā)車后，直到下午4點，這兩班車在哪些時刻同時發(fā)車？
19．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）從運動場的一端到另一端全長100米，從一端起到另一端止每隔4米插一面小紅旗．現(xiàn)在要改成每隔5米插一面小紅旗，有多少面小紅旗不用移動？
20．（2022秋?青浦區(qū)校級期中）一塊草坪長50cm，寬40cm，要用這樣相同大小的草坪鋪成一個正方形花園，鋪成的正方形花園的邊長至少為多少厘米？至少要多少塊這樣的草坪？
第06講公倍數(shù)與最小公倍數(shù)（4種題型）
【知識梳理】
1、公倍數(shù)與最小公倍數(shù)
公倍數(shù)：幾個整數(shù)公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù)；
最小公倍數(shù)：幾個整數(shù)公有的倍數(shù)中，最小的一個叫做它們的最小公倍數(shù)．
2、最小公倍數(shù)的求法
求兩個整數(shù)的最小公倍數(shù)，只要取它們所有公有的素因數(shù)，再取它們各自剩余的素因數(shù)，將這些數(shù)連乘，所得的積就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)；
如果兩個整數(shù)中某一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)，那么這個數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)；
如果兩個數(shù)互素，那么它們的乘積就是它們的最小公倍數(shù)．
3.兩數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系
已知數(shù)a和數(shù)b，兩數(shù)的最大公因數(shù)為m，最小公倍數(shù)為n，則：
4.三個數(shù)的最大公公因數(shù)與最小公倍數(shù)
1、三個數(shù)的最大公因數(shù)要找三個數(shù)的公有的素因數(shù)，如果其中的兩個商還有素因數(shù)，也不要往下除；
2、最小公倍數(shù)的計算要把三個數(shù)的公有素因數(shù)和獨有素因數(shù)都要找全，最后除到兩兩互素為止。
【考點剖析】
題型一：公倍數(shù)與最小公倍數(shù)
例1.求下列各組數(shù)的最小公倍數(shù)．
8和15；（2）9和45；（3）19和21．
【答案】（1）8和15的最大公因數(shù)是1；8和15的最小公倍數(shù)是120；
（2）9和45的最大公因數(shù)是9；9和45的最小公倍數(shù)是45；
（3）19和21的最大公因數(shù)是1；19和21的最小公倍數(shù)是399．
【解析】（1）（3）互素的兩個數(shù)最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積；
成倍數(shù)關(guān)系的兩個數(shù)，最大公因數(shù)是較小數(shù)，最小公倍數(shù)是較大數(shù)；
【總結(jié)】本題考察了求兩個特殊關(guān)系的數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法．
【變式1】求下列各組數(shù)的最小公倍數(shù)
（1）36和60 （2）39和78 （3）15和4
【答案】（1）180；（2）78；（3）60
【分析】根據(jù)最小公倍數(shù)的定義即可求解．
【詳解】解：（1）36=2×2×3×3，60=2×2×3×5，36和60
最小公倍數(shù)：2×2×3×3×5=180
（2）如果兩個整數(shù)中某一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)，那么這個數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)，所以39和78最小公倍數(shù)78．
（3）如果兩數(shù)互素，那么它們的乘積就是它們的最小公倍數(shù)，15和4最小公倍數(shù)60．
【點睛】此題主要考查找最小公倍數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟知最小公倍數(shù)的定義．
【變式2】若，，則m、n的最小公倍數(shù)為___________．
【答案】1260
【解析】m、n的最小公倍數(shù)是：（2×3）×2×5×3×7=1260．
【總結(jié)】本題考察了用分解素因數(shù)法求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．
例2.用短除法求10，12和15的最小公倍數(shù)．
【答案】60
【解析】 2 10 12 15
3 5 6 15
5 5 2 5
1 2 1
∴10、12、15的最小公倍數(shù)是：2×3×5×1×2×1=60．
【總結(jié)】本題考察了求三個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法．
【變式】（2021·上海市復(fù)旦初級中學(xué)期中）用短除法求54與144的最小公倍數(shù)．
【答案】最小公倍數(shù)為432
【分析】用短除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)即可．
【詳解】解：短除法如下：

54和144的最小公倍數(shù)為．
【點睛】本題主要考查了求兩個數(shù)的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)，掌握“最大公約數(shù)，指兩個或多個整數(shù)共有約數(shù)中最大的一個；最小公倍數(shù)是幾個數(shù)共有的倍數(shù)叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中除0以外最小的一個公倍數(shù)”，運用短除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．
題型二：最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)
例3.用短除法求24和36的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù).
【答案】12; 72;
【解析】解：如下圖所示，24和36的最大公因數(shù)為2×2×3=12，24和36的最小公倍數(shù)為2×2×3×2×3=72.
【變式】用短除法求104和130的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù).
【答案】26；520；
【解析】解：短除法如下圖所示；因為104=2×2×2×13，130=2×5×13，所以104和130的最大公因數(shù)是2×13=26；104和130的最小公倍數(shù)是2×13×2×2×5=520.
題型三：最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的應(yīng)用
例4.已知三個連續(xù)奇數(shù)的和是15，那么這三個奇數(shù)的最小公倍數(shù)是多少？
【答案】105
【解析】設(shè)三個數(shù)為．
則：
解得：，這三個數(shù)是：3，5，7．
∴3、5、7的最小公倍數(shù)是：3×5×7=105．
【總結(jié)】本題考察了求三個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法．
【變式1】兩個數(shù)的積是144，它們的最小公倍數(shù)是36，這兩個數(shù)各是多少？
【答案】4和36．
【解析】由已知得：這兩個數(shù)的最大公因數(shù)是4；
設(shè)這兩個數(shù)是4a，4b(a、b互素)，則．
所以．因為a、b互素，所以a=1×4=4，b=9×4=36．
即這兩個數(shù)是9、36．
【總結(jié)】本題考察了兩個數(shù)的最小公倍數(shù)、最大公倍數(shù)和它們乘積的關(guān)系：兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積．
【變式2】甲、乙兩戶人家相鄰而居，甲每6天去超市購物一次，乙每7天去同一家超市購物一次，元旦這一天兩戶人家都去這家超市購物，再經(jīng)過多少天他們又會在同一天都去超市？
【答案】42天
【解析】6與7的最小公倍數(shù)是42．
答：再經(jīng)過42天他們又會在同一天都去超市．
【總結(jié)】本題考察了兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的應(yīng)用．
【變式3】3月12日植樹節(jié)，六（2）班同學(xué)在400米跑道的一側(cè)每隔4米種一棵樹，當種好第31棵樹時，覺得樹與樹之間隔太密，于是改為每隔6米種一棵樹，那么有多少棵樹不需要移動呢？
【答案】11棵
【解析】4×(31-1)=120米，而4與6的最小公倍數(shù)是12，
120÷12+1=11棵．
答：有11棵樹不需要移動．
【總結(jié)】本題考察了兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的應(yīng)用．
【變式4】在長1．5千米的公路一邊，等距離種樹（兩端都種），開始每隔10米種一棵，后來改成每隔12米種一棵，不用改種的樹有多少棵？
【答案】26棵
【解析】1.5千米=1500米，
10與12的最小公倍數(shù)是60，
1500÷60+1=26棵．
答：有26棵樹不需要移動．
【總結(jié)】本題考察了兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的應(yīng)用．
例5.某工廠承包了學(xué)校的桌椅制作任務(wù)，一張桌子配一把椅子，某車間有甲、乙兩組，甲組人員做桌子，每人每天可以做6張桌子；乙組每人每天可以做9把椅子，為了使生產(chǎn)均衡，每天的桌子、椅子數(shù)量剛好配套．該車間至少安排多少人員？（不考慮其他因素）
【答案】5人
【解析】因為6與9的最小公倍數(shù)是18，所以18÷6+18÷9=5人．
答：該車間至少安排5個人．
【總結(jié)】本題考察了兩個數(shù)的最大公因數(shù)最小公倍數(shù)的應(yīng)用．
【變式1】先求出8和10的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，并把最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)相乘，再把8和10相乘，你發(fā)現(xiàn)了什么？
請用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律接下面的問題：
（1）甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是3，最小公倍數(shù)是30，已知甲數(shù)是6，那么乙數(shù)是多少？
（2）甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是3，最小公倍數(shù)是90，已知甲數(shù)是18，那么乙數(shù)是多少？
【答案】8，10的最大公因數(shù)是2，最小公倍數(shù)是40，而8×10=80；
規(guī)律：兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積．
（1）15； （2）15．
【解析】（1）設(shè)另一個數(shù)是x，則：6x=3×30
解得：x=15 答：乙數(shù)是15．
（2）設(shè)另一個數(shù)是x，則：18x=3×90
解得：x=15 答：乙數(shù)是15．
【總結(jié)】本題考察了兩個數(shù)的最小公倍數(shù)、最大公倍數(shù)和它們乘積的關(guān)系：兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積．
【變式2】已知兩個數(shù)的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是144，求這兩個數(shù)的和是多少？
【答案】120或66．
【解析】設(shè)這兩個數(shù)是6a，6b(a、b互素)，則：6ab=144
∴ab=24=1×24=3×8；
當a=1，b=24，這兩個數(shù)是6、144，和為：6+144=120；
當a=3，b=8，這兩個數(shù)是18、48，和為：18+48=66；
【總結(jié)】本題考察了兩個數(shù)的最小公倍數(shù)、最大公倍數(shù)的相關(guān)概念．
【變式3】兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是140，最大公因數(shù)是4，且小數(shù)不能整除大數(shù)，這兩個數(shù)分別是多少？
【答案】20和28
【解析】設(shè)這兩個數(shù)是4a，4b(a、b互素)，則：4ab=140．
∴ab=35=1×35=5×7，∵小數(shù)不能整除大數(shù)
∴a=5，b=7，這兩個數(shù)是20、28．
【總結(jié)】本題考察了兩個數(shù)的最小公倍數(shù)、最大公倍數(shù)的相關(guān)概念．
題型四：三個數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)
例6．求20、30和36的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)；
參考答案：
解法1：列舉法
20的因數(shù)有：1、2、4、5、10、20
30的因數(shù)有：1、2、3、5、6、10、15、30
36的因數(shù)有：1、2、3、4、6、9、12、18、36
所以最大公因數(shù)是2
20的倍數(shù)有：20、40、60、80……
30的倍數(shù)有：30、60、90、……
36的倍數(shù)有：36、72、……
所以最小公倍數(shù)是180 ；
解法2：分解素因數(shù)法
20＝2×2×5
30＝2×3×5
36＝2×2×3×3
所以最大公因數(shù)是2 ，最小公倍數(shù)是180 ；
解法3：短除法
所以最大公因數(shù)是2
所以最小公倍數(shù)是2×2×5×3×1×1×3＝180 ；
歸納總結(jié)：
1、三個數(shù)的最大公因數(shù)要找三個數(shù)的公有的素因數(shù)，如果其中的兩個商還有素因數(shù)，也不要往下除；
2、最小公倍數(shù)的計算要把三個數(shù)的公有素因數(shù)和獨有素因數(shù)都要找全，最后除到兩兩互素為止。
【變式1】求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)；
（1）10、36和90； （2）24、15和36。
參考答案：（1）最大公因數(shù)：2，最小公倍數(shù)180；（2）最大公因數(shù)：3，最小公倍數(shù)360；
【變式2】已知三個連續(xù)偶數(shù)的最小公倍數(shù)是24，則這三個連續(xù)偶數(shù)分別是什么？
【答案】4，6，8
【解析】設(shè)這三個數(shù)是； 2
若n為奇數(shù)，則 是偶數(shù)， 2
則：
解得：，這三個數(shù)是4，6，8．
若n為偶數(shù)，則 是相鄰奇數(shù)，
則：
此方程無解；
∴這三個數(shù)是4，6，8．
【總結(jié)】本題考察了三個數(shù)的最小公倍數(shù)的求法．
【過關(guān)檢測】
一．選擇題（共1小題）
1．（2022秋?寶山區(qū)校級月考）一個正整數(shù)的最大因數(shù)減去這個正整數(shù)的最小倍數(shù)，所得的差一定（ ）
A．小于零B．等于零C．大于零D．不等于零
【分析】一個正整數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是這個數(shù)本身，再求差即可得出答案，做出選擇．
【解答】解：根據(jù)最大因數(shù)的定義，可得這個正整數(shù)的最大因數(shù)是它本身；
根據(jù)最小倍數(shù)的定義，可得這個正整數(shù)的最小倍數(shù)都是它本身，
所以一個正整數(shù)的最大因數(shù)減去這個正整數(shù)的最小倍數(shù)，所得的差一定為0，
故選：B．
【點評】考查正整數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的意義，掌握一個正整數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是這個數(shù)本身，是解決問題的關(guān)鍵．
二．填空題（共12小題）
2．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）已知A＝2×3×a×7，B＝3×5×7．如果A和B的最小公倍數(shù)是630，那么a＝ 3 ．
【分析】根據(jù)最小公倍數(shù)的計算方法，結(jié)合題意，列方程并求解，即可得到答案．
【解答】解：∵A，B的最小公倍數(shù)是630，
∴2×3×5×a×7＝630，
∴m＝3，
∴故答案為：3．
【點評】本題考查了一元一次方程和最小公倍數(shù)的知識；求解的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程和最小公倍數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．
3．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）如果兩個正整數(shù)的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是72，那么這兩個數(shù)是 6，72或18，24 ．
【分析】設(shè)這兩個數(shù)分別為6a，6b（a，b為正整數(shù)，且a與b互質(zhì)，a＜b），根據(jù)題意得出ab＝12，得出a＝1，b＝12，或a＝3，b＝4，a＝2，b＝6（不符合題意舍去），然后代入依次計算即可．
【解答】解：依題意，設(shè)這兩個數(shù)分別為6a，6b（a，b為正整數(shù)，且a與b互質(zhì)，a＜b），則這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是6ab．
即6ab＝72，
從而ab＝12．
又12＝1×12＝2×6＝3×4，
則a＝1，b＝12，或a＝3，b＝4，a＝2，b＝6（不符合題意舍去）．
當a＝1，b＝12時，6a＝6，6b＝72；
當a＝3，b＝4時，6a＝18，6b＝24；
故這兩個數(shù)分別為6，72或18，24．
故答案為：6，72或18，24．
【點評】主要考查最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的問題，理解題意，列出式子計算是解題關(guān)鍵．
4．（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）12和30的最小公倍數(shù)是 60 ．
【分析】先把12和30進行分解質(zhì)因數(shù)，根據(jù)求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法：即求12和30這兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積；進行解答即可．
【解答】解：把12和30進行分解質(zhì)因數(shù)為：12＝2×2×3，30＝2×3×5，
根據(jù)最小公倍數(shù)的定義，可得12和30的最小公倍數(shù)是2×2×3×5＝60；
故答案為：60．
【點評】本題考查了最小公倍數(shù)，掌握最小公倍數(shù)的求法是解答本題的關(guān)鍵．
5．（2022秋?寶山區(qū)期中）正整數(shù)16的最小倍數(shù)減去它的最大因數(shù)，所得的差是 0 ．
【分析】根據(jù)“一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，最大的約數(shù)是它本身，最小的約數(shù)是1；一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，最小倍數(shù)是它本身”得出：一個數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)相等，即差是0；據(jù)此判斷．
【解答】解：正整數(shù)16的最小倍數(shù)是16，最大因數(shù)是16，
所以正整數(shù)16的最小倍數(shù)減去它的最大因數(shù)，所得的差是0．
故答案為：0．
【點評】本題考查了最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，解答此題應(yīng)明確：一個數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)相等．
6．（2022秋?普陀區(qū)期中）4和5的最小公倍數(shù)是 20 ．
【分析】直接把兩數(shù)相乘即可．
【解答】解：4×5＝20，
故4和5的最小公倍數(shù)是20．
故答案為：20．
【點評】本題考查的是公倍數(shù)和最小公倍數(shù)，熟知有理數(shù)乘法的法則是解題的關(guān)鍵．
7．（2022秋?松江區(qū)校級月考）若A＝2×3×3，B＝2×3×5，則A和B的最大公因數(shù)是 6 ，最小公倍數(shù) 90 ．
【分析】首先根據(jù)：A＝2×3×3，B＝2×3×5，可得：這兩個數(shù)的公共質(zhì)因數(shù)是2和3，據(jù)此求出A和B的最大公因數(shù)是多少；然后根據(jù)A獨有的質(zhì)因數(shù)是3，B獨有的質(zhì)因數(shù)是5，求出它們的最小公倍數(shù)是多少即可．
【解答】解：因為A＝2×3×3，B＝2×3×5，
所以這兩個數(shù)的公共質(zhì)因數(shù)是2和3，
根據(jù)最大公因數(shù)的定義，可得A和B的最大公因數(shù)是2×3＝6；
由A獨有的質(zhì)因數(shù)是3，B獨有的質(zhì)因數(shù)是5，
根據(jù)最小公倍數(shù)的定義，可得它們的最小公倍數(shù)是6×3×5＝90．
故答案為：6、90．
【點評】此題主要考查了最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的含義和求法，要熟練掌握．
8．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）已知A＝2×3×3×5×7，B＝2×2×5×5×7，則A與B的最小公倍數(shù)是 6300 ．
【分析】根據(jù)最小公倍數(shù)的求法列式計算即可．
【解答】解：因為A＝2×3×3×5×7，B＝2×2×5×5×7，
所以A與B的最小公倍數(shù)＝2×5×7×3×3×2×5＝6300，
故答案為：6300．
【點評】本題考查了最小公倍數(shù)，掌握兩個或多個整數(shù)公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù)，兩個或多個整數(shù)的公倍數(shù)里最小的那個叫做它們的最小公倍數(shù)是解題的關(guān)鍵．
9．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）一個數(shù)的最小倍數(shù)是24，這個數(shù)的素因數(shù)有 2，2，2，3 ．
【分析】利用分解質(zhì)因數(shù)的方法解答即可．
【解答】解：把24分解質(zhì)因數(shù)為：24＝2×2×2×3，
故這個數(shù)的素因數(shù)有：2，2，2，3．
故答案為：2，2，2，3．
【點評】本題主要考查了有最小公倍數(shù)，素因數(shù)，把這個數(shù)表示出素因數(shù)乘積的形式是解題的關(guān)鍵．
10．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）已知x、y是正整數(shù)，且x÷y＝5，則x和y的最大公因數(shù)是 y ，它們的最小公倍數(shù)是 x ．
【分析】x÷y＝5，x和y成倍數(shù)關(guān)系，兩個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，較大的那個數(shù)，是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，較小的那個數(shù)，是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)．
【解答】解：∵x÷y＝5，x、y是正整數(shù)，
∴x和y成倍數(shù)關(guān)系，
∴x和y的最大公因數(shù)是較小的數(shù)y，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)x．
故答案為：y；x．
【點評】本題主要考查最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法：兩個數(shù)為倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)為較小的數(shù)，較大的那個數(shù)，是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)；是互質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)即這兩個數(shù)的乘積．
11．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）12和16的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的和是 52 ．
【分析】求出12和16的最大公因數(shù)是4，最小公倍數(shù)是48，求和即可得出答案．
【解答】解：分別把12和16分解質(zhì)因數(shù)為：12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，
∴12和16的最大公因數(shù)是4，12和16的最小公倍數(shù)是48，
∴4+48＝52，
故答案為：52．
【點評】本題考查了有最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，掌握分解質(zhì)因數(shù)是解題的關(guān)鍵．
12．（2021秋?金山區(qū)期末）如果A＝2×3×3×a，B＝2×2×3×a，且A、B的最小公倍數(shù)是180，那么a＝ 5 ．
【分析】根據(jù)最小公倍數(shù)的性質(zhì)，完成求解．
【解答】解：由題意得2×3×3×a×2＝180，
解得：a＝5．
故答案為：5．
【點評】本題考查了最小公倍數(shù)的知識，掌握最小公倍數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．
13．（2021秋?青浦區(qū)校級期末）定義新運算“*”如下：對于兩個自然數(shù)a和b，它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的和記為a*b，例如：6*8＝2+24＝26，根據(jù)上面的定義運算，12*15＝ 63 ．
【分析】根據(jù)新運算知道，求12*15，就是求12和15的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和，由此即可解答．
【解答】解：∵12＝2×2×3，15＝3×5，
∴12和15的最大公約數(shù)是3，最小公倍數(shù)是2×3×2×5＝60，
所以12*15＝3+60＝63；
故答案為：63．
【點評】本題考查了最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)，解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)定義的新運算，找出運算方法，列式解答即可．
三．解答題（共7小題）
14．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）用短除法求45與60的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．
【分析】把各數(shù)分解質(zhì)因數(shù)即可得到最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．
【解答】解：∵45＝3×3×5，60＝2×2×3×5，
因此45與60的最大公因數(shù)為：3×5＝15，
45與60的最小公倍數(shù)為：3×5×3×4＝180．
答：45與60的最大公因數(shù)是15，最小公倍數(shù)是180．
【點評】本題主要考查求兩個數(shù)的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)，能夠熟練運用短除法是解題的關(guān)鍵．最大公約數(shù)，指兩個或多個整數(shù)共有約數(shù)中最大的一個；最小公倍數(shù)，指兩個或多個整數(shù)共有的倍數(shù)中，除0以外最小的一個．
15．（2022秋?青浦區(qū)期中）用短除法求90與84的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．
【分析】求最大公因數(shù)也就是這幾個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，最小公倍數(shù)是公有質(zhì)因數(shù)與獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積，對于兩個數(shù)來說：兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)連乘積是最大公因數(shù)，兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與每個數(shù)獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積是最小公倍數(shù)，由此依次解答即可．
【解答】解：如圖：
所以90與84的最大公因數(shù)是：2×3＝6；
最小公倍數(shù)是：2×3×15×14＝1260．
【點評】此題主要考查求兩個數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的方法：兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)連乘積是最大公因數(shù)，兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與每個數(shù)獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積是最小公倍數(shù)；數(shù)字大的可以用短除解答．
16．（2022秋?嘉定區(qū)期中）用短除法求出24與36的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．
【分析】根據(jù)最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的定義解答即可．
【解答】解：，
根據(jù)最大公因數(shù)的定義，可得24與36的最大公因數(shù)為：2×2×3＝12；
根據(jù)最小公倍數(shù)的定義，可得24與36的最小公倍數(shù)為：2×2×3×3×2＝72．
【點評】本題主要考查了求幾個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法，熟知最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
17．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)：
（1）8和9；
（2）12和48；
（3）13和104；
（4）34和51．
【分析】（1）（2）（3）（4）直接利用最大公因式以及最小公倍數(shù)的定義分別得出答案．
【解答】解：（1）8和9是互質(zhì)數(shù)，互為質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)的最大公因數(shù)是1，故8和9的最大公因數(shù)是1，
互為質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是它們的乘積，故8和9的最小公倍數(shù)是：8×9＝72：
（2）12＝3×2×2和48＝2×2×2×2×3，
故12和48的最大公因數(shù)是：2×2×3＝12，12和48的最小公倍數(shù)是：3×2×2×2×2＝48；
（3）13和104＝13×8，
故13和104的最大公因數(shù)是13，13和104的最小公倍數(shù)是：13×8＝104：
（4）34＝17×2和51＝3×17，
故34和51的最大公因數(shù)是17，34和51的最小公倍數(shù)是：17×3×2＝102．
【點評】此題主要考查了最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
18．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）有兩列公交車，寶山6路每30分鐘發(fā)一次車，寶山8路每25分鐘發(fā)一次車．請問：一位公交指揮員從早晨6點30分同時發(fā)車后，直到下午4點，這兩班車在哪些時刻同時發(fā)車？
【分析】求出兩車發(fā)車的時間間隔的最小公倍數(shù)即可判斷同時發(fā)車的時間．
【解答】解：，根據(jù)題意可得：30和25的最小公倍數(shù)是150，150÷60＝2.5，即兩個半小時，
∴從早晨6點30分同時發(fā)車后，再同時發(fā)車時間為9點，11點半，14點，
∴兩班車在上午9點，11點半，下午2點同時發(fā)車．
【點評】本題考查了最小公倍數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵兩車同時發(fā)車的兩次時間間隔的最小公倍數(shù)，
19．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）從運動場的一端到另一端全長100米，從一端起到另一端止每隔4米插一面小紅旗．現(xiàn)在要改成每隔5米插一面小紅旗，有多少面小紅旗不用移動？
【分析】分析題意可得，不動的小旗地點應(yīng)該是4和5的公倍數(shù)所在的位置，找出100以內(nèi)有幾個4和5的公倍數(shù)，然后加上1即可．
【解答】解：5和4的最小公倍數(shù)是20，
∴100÷20+1＝5+1＝6（面）．
答：有6面小紅旗不用移動．
【點評】本題考查最小公倍數(shù)的應(yīng)用，明確不動的小旗即4和5的公倍數(shù)所在的位置，是解答此題的關(guān)鍵；應(yīng)注意，最后要加上第一面旗子．
20．（2022秋?青浦區(qū)校級期中）一塊草坪長50cm，寬40cm，要用這樣相同大小的草坪鋪成一個正方形花園，鋪成的正方形花園的邊長至少為多少厘米？至少要多少塊這樣的草坪？
【分析】把50和40分別分解質(zhì)因數(shù)，找到它們的最小公倍數(shù)，即為這個正方形地面的邊長；求需要多少塊這樣的方磚，先根據(jù)正方形的面積公式求出正方形教室的面積，根據(jù)長方形的面積計算公式求出長方形瓷磚的面積，然后用教室面積除以長方形磚的面積即可
【解答】解：50＝5×2×5，
40＝2×2×5×2，
50、40的最小公倍數(shù)2×2×2×5×5＝200，
即邊長是200厘米，
需要：（200×200）÷（50×40）
＝20（塊）；
答：鋪成的正方形花園的邊長至少為200厘米，至少要20塊這樣的草坪．
【點評】此題主要考查求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法，掌握求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵．

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