一：同分母分數(shù)相加減
同分母分數(shù)相加減，分母不變，分子相加減．
已知分數(shù)、（，），則：
．
．
注意：一般地，分數(shù)運算的結(jié)果用最簡分數(shù)表示．
二：異分母分數(shù)相加減
1、異分母分數(shù)相加減
異分母分數(shù)相加減，先通分，然后按照同分母分數(shù)加減法的法則進行計算．
2、分數(shù)加減法的流程圖
三、帶分數(shù)加減法
帶分數(shù)的加減運算，可將它們的整數(shù)部分和真分數(shù)部分分別相加減，再將所得的結(jié)果合并起來．或者將帶分數(shù)化為假分數(shù)再進行加減運算．
【考點剖析】
題型一：同分母分數(shù)相加減
例1．=______．= ______．
=______．=______．
=______．=______．
例2．______．
例3．師徒兩人合作制作一批零件，一個星期后，徒弟完成了總量的，師傅完成了總量．求：師徒兩人一共完成了總量的幾分之幾？
例4．甲、乙兩人合作完成了一項工程，甲完成了這項工程的，求：
（1）乙完成的工作量占這項工程的幾分之幾？
（2）甲、乙完成的工作量之差占這項工程的幾分之幾？
題型二：異分母分數(shù)相加減
例1．計算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
例2．計算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
例3．在右邊的圈中填數(shù)：
輸入
輸出
輸入
輸入
輸入
輸入
輸出
輸入
輸入
輸入
（1）（2）
例4．計算：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
例5．計算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
例6．一次單元測驗，題型分為選擇題，填空題和解答題，測驗時間為1個小時．小智先用了小時做完了選擇題，再用了小時完成了填空題，那么小智做完選擇題和填空題總共用了多少小時？小智還剩多少小時可以用來做解答題？
例7．五一勞動節(jié)，放假3天，小明第一天完成了假期作業(yè)的，第二天完成了假期作業(yè)的．這兩天小明完成的作業(yè)哪一天多，多多少？這兩天，小明總共完成了作業(yè)的幾分之幾？
題型三：假分數(shù)與帶分數(shù)加減法
例1．計算：
（1）； （2）； （3）．
例2．計算：
（1）； （2）； （3）； （4）．
例3．計算：
（1）； （2）； （3）．
例4．計算：（1）； （2）．
例5．解方程：
（1）； （2）．
例6．一個數(shù)減去，再加上等于，求這個數(shù)．
例7．一次校園歌唱比賽，小明和小智都參加了比賽，小明歌唱的時間是分鐘，小智歌唱的時間是分鐘，問：
（1）兩人共唱了幾分鐘？
（2）小智比小明多唱了幾分鐘？
【過關(guān)檢測】
一．選擇題（共1小題）
1．（2021秋?嘉定區(qū)期中）分數(shù)加上它的得到的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
二．填空題（共7小題）
2．（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）計算：﹣＝ ．
3．（2021秋?青浦區(qū)校級期末）已知一個數(shù)的與的和是，則這個數(shù)是 ．
4．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）某數(shù)的減去是，則這個數(shù)是 ．
5．（2022秋?青浦區(qū)期中）計算：2＝ ．
6．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）計算：＝ ．
7．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）分子是1，分母是等于或大于2的自然數(shù)的分數(shù)叫做單位分數(shù)，記為．一個分數(shù)可以分拆為幾個不同的單位分數(shù)之和．
例如：，等．
請你把分拆為幾個不同的單位分數(shù)之和（寫出兩種不同的分拆結(jié)果）．那么＝ ＝ ．
8．（2022秋?寶山區(qū)期中）對于*運算：如果，，3*3＝，那么7*2的結(jié)果是 ．
三．解答題（共14小題）
9．（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）計算：3﹣+1．
10．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）計算：．
11．（2021秋?浦東新區(qū)期中）9﹣（2+4）
12．（2022秋?松江區(qū)期中）計算：．
13．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）．
14．（2022秋?楊浦區(qū)期中）計算：．
15．（2022秋?徐匯區(qū)期末）計算：．
16．（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）計算：．
17．（2022秋?寶山區(qū)期中）計算：．
18．（2022秋?青浦區(qū)期中）計算：1﹣2+1
19．（2022秋?松江區(qū)期中）計算：．
20．（2022秋?松江區(qū)期中）一個數(shù)的減去的差是，求這個數(shù)．
21．（2022秋?楊浦區(qū)期中）從下面選擇合適的圖形編號填在等式內(nèi)，并照圖寫出相應(yīng)的分數(shù)加減算式．
（1）圖號和算式分別為 ， ．
（2）圖號和算式分別為 ， ．
（3）從下面選擇合適的圖形編號填在等式內(nèi)，在內(nèi)“+”或“﹣”，使等式成立．（本題填的圖形編號．“+”、“﹣”均不重復使用）
（所有供選擇的圖形如下）
22．（2021秋?嘉定區(qū)期中）三千多年前埃及人發(fā)明了一種書寫分數(shù)的方法，這些分數(shù)的分子為1，它們被稱為單位分數(shù)．對于分子不是1的分數(shù)，埃及人將它們轉(zhuǎn)化成分子是1的分數(shù)再計算，如何將一個分數(shù)分拆為幾個不同的單位分數(shù)之和是一個很有意義的問題．例如：，，
（1）請模仿上例將下列單位分數(shù)拆成2個不同的單位分數(shù)之和：
＝ ．
＝ ．
（2）請觀察：
，，．
根據(jù)觀察結(jié)果寫出＝ + （n為大于1的正整數(shù)）
（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，請計算：．
第10講 分數(shù)的加減（3種題型）
【知識梳理】
一：同分母分數(shù)相加減
同分母分數(shù)相加減，分母不變，分子相加減．
已知分數(shù)、（，），則：
．
．
注意：一般地，分數(shù)運算的結(jié)果用最簡分數(shù)表示．
二：異分母分數(shù)相加減
1、異分母分數(shù)相加減
異分母分數(shù)相加減，先通分，然后按照同分母分數(shù)加減法的法則進行計算．
2、分數(shù)加減法的流程圖
三、帶分數(shù)加減法
帶分數(shù)的加減運算，可將它們的整數(shù)部分和真分數(shù)部分分別相加減，再將所得的結(jié)果合并起來．或者將帶分數(shù)化為假分數(shù)再進行加減運算．
【考點剖析】
題型一：同分母分數(shù)相加減
例1．=______．= ______．
=______．=______．
=______．=______．
【答案】．
【解析】同分母分數(shù)相加減，分母不變，分子相加減．
=．=． = =
=．=．
【總結(jié)】本題考查了同分母分數(shù)的加減法，注意運算結(jié)果要約分化簡．
例2．______．
【答案】．
【解析】．
【總結(jié)】本題考查了同分母分數(shù)的加減法，注意運算結(jié)果要約分化簡．
例3．師徒兩人合作制作一批零件，一個星期后，徒弟完成了總量的，師傅完成了總量．求：師徒兩人一共完成了總量的幾分之幾？
【答案】．
【解析】．
【總結(jié)】本題考查了同分母分數(shù)的加減法的應(yīng)用，注意運算結(jié)果要約分化簡．
例4．甲、乙兩人合作完成了一項工程，甲完成了這項工程的，求：
（1）乙完成的工作量占這項工程的幾分之幾？
（2）甲、乙完成的工作量之差占這項工程的幾分之幾？
【答案】（1）． （2）．
【解析】（1）；（2）．
【總結(jié)】本題考查了同分母分數(shù)的加減法的應(yīng)用．
題型二：異分母分數(shù)相加減
例1．計算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）； （3）； （4）．
【解析】（1）； （2）；
（3）； （4）．
【總結(jié)】本題考查了異分母分數(shù)的加減法，先通分，然后按照同分母分數(shù)加減法的法則進行計算．
例2．計算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【難度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）；（2）；
（3）； （4）=．
【總結(jié)】本題考查了異分母分數(shù)的加減法．
例3．在右邊的圈中填數(shù)：
輸入
輸出
輸入
輸入
輸入
輸入
輸出
輸入
輸入
輸入
（1）（2）
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）； （2）；
； ；
． ．
【總結(jié)】本題考查了異分母分數(shù)的加減法．
例4．計算：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【答案】（1）； （2）； （3） （4）．
【解析】（1）； （2）；
（3）； （4）．
【總結(jié)】本題考查了異分母分數(shù)的加減法．
例5．計算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）； （2）； （3）； （4）．
【解析】（1）；（2）；
（3）； （4）．
【總結(jié)】本題考查了異分母分數(shù)的加減混合運算，注意準確運用運算法則．
例6．一次單元測驗，題型分為選擇題，填空題和解答題，測驗時間為1個小時．小智先用了小時做完了選擇題，再用了小時完成了填空題，那么小智做完選擇題和填空題總共用了多少小時？小智還剩多少小時可以用來做解答題？
【答案】（1）． （2）．
【解析】（1）．
（2）．
【總結(jié)】本題考查了異分母分數(shù)加減法的應(yīng)用．
例7．五一勞動節(jié)，放假3天，小明第一天完成了假期作業(yè)的，第二天完成了假期作業(yè)的．這兩天小明完成的作業(yè)哪一天多，多多少？這兩天，小明總共完成了作業(yè)的幾分之幾？
【答案】（1）第二天多，多； （2）．
【解析】（1）．故，第二天多；，多；
（2）．
【總結(jié)】本題考查了異分母分數(shù)加減法的應(yīng)用以及分數(shù)的大小比較．
題型三：假分數(shù)與帶分數(shù)加減法
例1．計算：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）； （2）； （3）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）．
【總結(jié)】本題考查了假分數(shù)的加減法及假分數(shù)和帶分數(shù)的轉(zhuǎn)化．
例2．計算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）； （2）； （3）； （4）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【總結(jié)】本題考查了帶分數(shù)的加減運算，注意準確運用運算法則．
例3．計算：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）； （2）； （3）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）．
【總結(jié)】本題考查了帶分數(shù)的加減運算，注意準確運用運算法則．
例4．計算：
（1）；（2）．
【答案】（1）1； （2）．
【解析】（1）；
（2）．
【總結(jié)】本題考查了分數(shù)混合運算，注意（2）可以巧算．
例5．解方程：
（1）；（2）．
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）；
（2）．
【總結(jié)】本題主要考查了異分母分數(shù)的加減運算在解方程中的運用．
例6．一個數(shù)減去，再加上等于，求這個數(shù)．
【答案】．
【解析】=．
【總結(jié)】本題考查了帶分數(shù)加減法的應(yīng)用．
例7．一次校園歌唱比賽，小明和小智都參加了比賽，小明歌唱的時間是分鐘，小智歌唱的時間是分鐘，問：
（1）兩人共唱了幾分鐘？
（2）小智比小明多唱了幾分鐘？
【難度】★★
【答案】（1）分鐘； （2）分鐘．
【解析】（1）；
（2）．
【總結(jié)】本題考查了帶分數(shù)的加減運算在實際問題中的運用．
【過關(guān)檢測】
一．選擇題（共1小題）
1．（2021秋?嘉定區(qū)期中）分數(shù)加上它的得到的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用分數(shù)的加減計算即可．
【解答】解：+×
＝+
＝+
＝1．
故選：B．
【點評】本題考查了分數(shù)加減運算，解題的關(guān)鍵是掌握分數(shù)的性質(zhì)．
二．填空題（共7小題）
2．（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）計算：﹣＝ ．
【分析】先通分，再把分子相減即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝．
故答案為：．
【點評】本題考查異分母分數(shù)的加減混合運算，解題的關(guān)鍵是通過通分將異分母分數(shù)轉(zhuǎn)化為同分母分數(shù)．
3．（2021秋?青浦區(qū)校級期末）已知一個數(shù)的與的和是，則這個數(shù)是 ．
【分析】根據(jù)題意列出計算式，然后根據(jù)分數(shù)加減法的法則計算即可．
【解答】解：由題意得：這個數(shù)為：
＝（）×＝＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了分數(shù)的加減法，解題的關(guān)鍵掌握分數(shù)加減法的運算法則．
4．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）某數(shù)的減去是，則這個數(shù)是 3 ．
【分析】利用已知條件列出方程運算即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)某數(shù)為x，由題意得：
x﹣，
∴x＝，
∴＝，
∴x＝3．
故答案為：3．
【點評】本題主要考查了分數(shù)的加減法，利用已知條件列出方程運算是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋?青浦區(qū)期中）計算：2＝ ．
【分析】先把帶分數(shù)化為假分數(shù)，分母不變，把分子相減，然后約分即可．
【解答】解：2﹣
＝﹣
＝
＝
＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了分數(shù)的加減法：同分母的分數(shù)的加減運算是分母不變，分子相加減；異分母的分數(shù)的加減運算，利用通分轉(zhuǎn)化為同分母的加減運算．
6．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）計算：＝ ．
【分析】原式通分后進行計算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
故答案為：
【點評】本題主要考查了異分母分數(shù)的減法，正確通分是解答本題的關(guān)鍵．
7．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）分子是1，分母是等于或大于2的自然數(shù)的分數(shù)叫做單位分數(shù)，記為．一個分數(shù)可以分拆為幾個不同的單位分數(shù)之和．
例如：，等．
請你把分拆為幾個不同的單位分數(shù)之和（寫出兩種不同的分拆結(jié)果）．那么＝ ＝ ．
【分析】根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)把變?yōu)?，把分?拆分為1+3，再約分即可拆為和之和；也可以把分子4拆分為2+2，再約分即可拆為和之和，再將其中一個拆分為，即可得出第二種分拆結(jié)果．
【解答】解：，．
故答案為：，．
【點評】本題考查分數(shù)的分拆，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分數(shù)的基本性質(zhì)．
8．（2022秋?寶山區(qū)期中）對于*運算：如果，，3*3＝，那么7*2的結(jié)果是 ．
【分析】認真讀懂題意按照新定義計算即可．
【解答】解：7*2＝+＝+＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了分數(shù)計算的新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂新定義，掌握新定義，利用新定義計算．
三．解答題（共14小題）
9．（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）計算：3﹣+1．
【分析】先將代分數(shù)轉(zhuǎn)化成假分數(shù)，再通分計算．
【解答】解：原式＝﹣+
＝﹣+
＝
＝
＝
＝2．
【點評】本題考查異分母分數(shù)的加減混合運算，解題的關(guān)鍵是通過通分將異分母分數(shù)轉(zhuǎn)化為同分母分數(shù)．
10．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）計算：．
【分析】先將代分數(shù)轉(zhuǎn)化成假分數(shù)，再通分計算．
【解答】解：
＝
＝
＝．
【點評】本題考查異分母分數(shù)的加減混合運算，解題的關(guān)鍵是通過通分將異分母分數(shù)轉(zhuǎn)化為同分母分數(shù)．
11．（2021秋?浦東新區(qū)期中）9﹣（2+4）
【分析】減去兩個數(shù)的和等于連減這兩個數(shù)，去括號后交換兩個減數(shù)的位置可以使計算變得簡單．
【解答】解：原式＝9﹣2﹣4，
＝，
＝，
＝．
【點評】本題主要考查分數(shù)的加減混合運算，熟練掌握有理數(shù)的加法法則和運算律以簡便計算是解題的關(guān)鍵．
12．（2022秋?松江區(qū)期中）計算：．
【分析】利用分數(shù)的性質(zhì)通分后相加減．
【解答】解：
＝﹣+
＝．
【點評】本題考查了分數(shù)的加減運算，解題的關(guān)鍵是掌握分數(shù)的性質(zhì)．
13．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）．
【分析】利用去括號的法則去掉括號后，再利用加法的運算律解答即可．
【解答】解：原式＝
＝（）﹣
＝2﹣
＝1．
【點評】本題主要考查了分數(shù)的加減法，利用去括號的法則去掉括號是解題的關(guān)鍵．
14．（2022秋?楊浦區(qū)期中）計算：．
【分析】利用異分母分數(shù)的運算法則，先通分，再運算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
【點評】本題主要考查了分數(shù)的加減法，先通分是解題的關(guān)鍵．
15．（2022秋?徐匯區(qū)期末）計算：．
【分析】直接利用分數(shù)的加減運算法則計算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣（+）
＝﹣
＝﹣
＝．
【點評】此題主要考查了分數(shù)的加減運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．
16．（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）計算：．
【分析】利用加法法則計算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝．
【點評】本題考查了分數(shù)的加減法，熟知加減法法則是解題的關(guān)鍵．
17．（2022秋?寶山區(qū)期中）計算：．
【分析】化成同分母的分數(shù)，然后計算．
【解答】解：原式＝++
＝+
＝+
＝．
【點評】本題考查了分數(shù)的加減法，熟知加減法的法則是解題的關(guān)鍵．
18．（2022秋?青浦區(qū)期中）計算：1﹣2+1
【分析】先同分母的相加減，再利用分數(shù)的性質(zhì)通分相加減．
【解答】解：1﹣2+1
＝1+1﹣2
＝3﹣2
＝2﹣2
＝．
【點評】本題考查了分數(shù)的加減，解題的關(guān)鍵是掌握同分母分數(shù)加減運算和通分．
19．（2022秋?松江區(qū)期中）計算：．
【分析】利用分數(shù)的加減運算，先算同分母的，再通分計算異分母分數(shù)．
【解答】解：
＝4﹣1+
＝4+﹣1
＝5﹣1
＝3．
【點評】本題考查了分數(shù)的加減運算，解題的關(guān)鍵是掌握分數(shù)加減運算．
20．（2022秋?松江區(qū)期中）一個數(shù)的減去的差是，求這個數(shù)．
【分析】設(shè)未知數(shù)，根據(jù)題意列方程計算．
【解答】解：設(shè)這個數(shù)為x，
根據(jù)題意得：x﹣1＝，
解得：x＝，
答：這個數(shù)是．
【點評】本題考查了分數(shù)的加減混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握分數(shù)的性質(zhì)．
21．（2022秋?楊浦區(qū)期中）從下面選擇合適的圖形編號填在等式內(nèi)，并照圖寫出相應(yīng)的分數(shù)加減算式．
（1）圖號和算式分別為 ④ ， ．
（2）圖號和算式分別為 ① ， ＝ ．
（3）從下面選擇合適的圖形編號填在等式內(nèi)，在內(nèi)“+”或“﹣”，使等式成立．（本題填的圖形編號．“+”、“﹣”均不重復使用）
（所有供選擇的圖形如下）
【分析】（1）依據(jù)圖形的面積列出算式運算即可，再利用運算結(jié)果選擇圖形；
（2）依據(jù)圖形的面積列出算式運算即可，再利用運算結(jié)果選擇圖形；
（3）依據(jù)題干要求，列出結(jié)果為的算式，最后依據(jù)算式中的分數(shù)選擇圖形即可．
【解答】解：（1）∵，
∴圖號和算式分別為④，；
故答案為：④，；
（2）∵，
∴圖號和算式分別為①，；
故答案為：①，；
（3）∵算式的結(jié)論為，
又∵，
∴圖形的編號與運算符號為：③+⑥﹣⑤＝②．
【點評】本題主要考查了分數(shù)的加減法，正確得每個圖形的面積對應(yīng)的分數(shù)是解題的關(guān)鍵．
22．（2021秋?嘉定區(qū)期中）三千多年前埃及人發(fā)明了一種書寫分數(shù)的方法，這些分數(shù)的分子為1，它們被稱為單位分數(shù)．對于分子不是1的分數(shù)，埃及人將它們轉(zhuǎn)化成分子是1的分數(shù)再計算，如何將一個分數(shù)分拆為幾個不同的單位分數(shù)之和是一個很有意義的問題．例如：，，
（1）請模仿上例將下列單位分數(shù)拆成2個不同的單位分數(shù)之和：
＝ + ．
＝ + ．
（2）請觀察：
，，．
根據(jù)觀察結(jié)果寫出＝ + （n為大于1的正整數(shù)）
（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，請計算：．
【分析】（1）認真讀懂題意，利用新定義計算，解答；
（2）認真觀察，得出結(jié)論；
（3）利用（2）的結(jié)論計算．
【解答】解：（1）＝＝＝+，
＝＝＝+，
故答案為：+，+；
（2）根據(jù)題意得：＝+，
故答案為：，；
（3）由（2）得：＝+，
∴＝﹣，
∴
＝﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣
＝﹣
＝﹣
＝．
【點評】本題考查了分數(shù)的加減運算的新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂新定義，掌握新定義，利用新定義計算．

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