1．綜合復(fù)習(xí)小學(xué)所學(xué)的多種類型的應(yīng)用題解法；
2．訓(xùn)練列方程解應(yīng)用題的熟練程度，提高速度和準(zhǔn)確度．
3．主要復(fù)習(xí)、拓展小學(xué)階段“行程問題”的解決方法；
4．嘗試用方程解決其他新類型的應(yīng)用題；
5．強(qiáng)化列方程解應(yīng)用題的思想．
案例1：小王原來的錢數(shù)是小李的3倍，他們各自買了80元的書之后，小王的錢數(shù)變成了小李的5倍，請(qǐng)問小王和小李原來各有多少錢？
教法說明：有些應(yīng)用題會(huì)出現(xiàn)前后變化的情況，例如“小王給小李5元，他們的錢就一樣多了”之類的條件，遇上這種情況，一定要分清“變化前”和“變化后”這兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)的不同，雖然是同一人，不同時(shí)間他有的錢數(shù)是不同的，也要分清倍數(shù)關(guān)系所對(duì)應(yīng)的時(shí)間。
理清關(guān)系，這個(gè)問題涉及了四個(gè)數(shù)量關(guān)系：“小王原來的錢”，“小王之后的錢”，“小李原來的錢”，“小李之后的錢”。它們之間的關(guān)系如下圖所示：
小王原來的錢
小王現(xiàn)在的錢
小李原來的錢
小李現(xiàn)在的錢
－80
－80
3倍
5倍
利用這個(gè)關(guān)系圖，可以比較方便地列出方程并求解。
參考答案：設(shè)小李原來的錢為x元，
3x－80＝5（x－80）
x＝160
3x＝480
答：小王和小李原來各有160元和480元。
總結(jié)：列方程解應(yīng)用題的一般步驟：
1．審題，迅速理解題意。
2．思考，找到題中的數(shù)量關(guān)系。
3．設(shè)x，將“1倍量”或“較小量”設(shè)為x，用x表示其他數(shù)量。
4．列式，根據(jù)等量關(guān)系列出方程。
5．求解，解方程、計(jì)算得到最終結(jié)果并作答。
案例2．一般來說，行程問題會(huì)牽涉到“速度”、“時(shí)間”、“路程”這三個(gè)數(shù)量，關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系為：
× =
速度×?xí)r間=路程
2．這個(gè)公式又可以演變?yōu)椋骸八俣群汀習(xí)r間＝ ”、“速度差×?xí)r間＝ ”
路程和， 路程差
3．相遇問題：相向而行同時(shí)出發(fā)到相遇時(shí)甲、乙兩人所用的時(shí)間相等。
基本公式：速度和×相遇時(shí)間＝相遇路程
4．追擊問題：同向而行同時(shí)出發(fā)到相遇（即追擊）時(shí)，甲、乙兩人所用的時(shí)間相等。
基本公式：速度差×追擊時(shí)間＝追擊路程
這部分如果學(xué)校進(jìn)度慢，學(xué)生沒有理解可以舉一些例子，通過畫圖讓學(xué)生理解基本公式的含義
本講重點(diǎn)復(fù)習(xí)應(yīng)用題中最難的一類——行程問題，并且在課內(nèi)的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展。同時(shí)，也提供了一些沒有見過的應(yīng)用題類型讓同學(xué)們進(jìn)行挑戰(zhàn)，掌握用方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵。
在解決行程問題時(shí)，往往通過“甲路程＋乙路程＝總路程”或是“甲路程－乙路程＝總路程”這類等量關(guān)系來解決問題。要找到這樣路程間的關(guān)系，輔助的路程線段圖就十分重要。除此之外，“甲路程”“乙路程”則更多是通過“甲路程＝甲速度×甲時(shí)間”這樣的關(guān)系來得到。分析清楚從開始到結(jié)果的整個(gè)過程，是解決行程問題的關(guān)鍵所在。
在分析行程問題時(shí)，還要注意“甲”“乙”的速度、時(shí)間之間的關(guān)系，往往設(shè)出其中一個(gè)后，其他都與其相關(guān)，能夠?qū)懬?。所以在設(shè)未知數(shù)時(shí)，往往是設(shè)某個(gè)人的“時(shí)間”或者“速度”作為x，較少會(huì)出現(xiàn)設(shè)路程為x的情況。
這部分關(guān)于行程問題的分析可以強(qiáng)調(diào)下，但學(xué)生可能感覺不大。在后面對(duì)例題的講解是可以反過來進(jìn)行強(qiáng)化。
除此之外，還有許多不屬于之前學(xué)過的類型的應(yīng)用題，同樣可以用方程來解決?！罢业疥P(guān)鍵量設(shè)x”、“用帶x的式子表示其他量”、“找到等量關(guān)系列方程”的順序來解決即可。當(dāng)然，這對(duì)于同學(xué)們來說會(huì)是一個(gè)挑戰(zhàn)。
【考點(diǎn)剖析】
例題1：有甲、乙、丙三所小學(xué)的同學(xué)來參加幼苗杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽，其中甲校參賽人數(shù)比乙校多5人，比丙校多7人．如果乙、丙兩校一共有40人參加比賽，那么三所學(xué)校各有多少人參加比賽？
例題2：養(yǎng)雞場(chǎng)有東、西兩院，西院雞的只數(shù)是東院的3倍．一天有10只雞從西院跑到東院，這時(shí)西院雞的數(shù)量是東院的2倍，那么現(xiàn)在東、西兩個(gè)院子各有多少只雞？
例題3：學(xué)校安排學(xué)生到會(huì)議室聽報(bào)告．如果每3人坐一條長(zhǎng)椅，就會(huì)剩下16人沒有座位；如果每5人坐一條長(zhǎng)椅，就會(huì)空出1條長(zhǎng)椅，還有一條長(zhǎng)椅上只坐了2個(gè)人．一共有多少個(gè)學(xué)生去聽報(bào)告？
例題4：青蛙和天鵝一塊玩游戲，青蛙比天鵝多12只，青蛙的總腿數(shù)比天鵝的總腿數(shù)多68條，那么青蛙和天鵝各有多少只？
例題5：甲、乙兩車同時(shí)從東、西兩地出發(fā)，相向而行．甲每小時(shí)行36千米，乙每小時(shí)行30千米，兩車在距離中點(diǎn)9千米處相遇，求東、西兩地間的距離．
例題6：一輛公共汽車早上6點(diǎn)從A城出發(fā)，以每小時(shí)40千米的速度向B城駛?cè)ィ?小時(shí)后一輛小轎車以每小時(shí)75千米的速度也從A城出發(fā)到B城．當(dāng)小轎車到達(dá)B城后，公共汽車離B城還有160千米．問：公共汽車什么時(shí)刻到達(dá)B城？
之前接觸的絕大部分都是在直線上的行程問題，其實(shí)還有不少是在環(huán)形路線上進(jìn)行的行程問題。想一想，如果甲乙在400米的環(huán)形跑道上同時(shí)同方向出發(fā)，當(dāng)甲第一次追上乙時(shí)，比乙應(yīng)該多跑了多少路程呢？如果是背向而行呢？
乙乙
甲甲
例題7：甲、乙兩人在400米長(zhǎng)的環(huán)形跑道上跑步．甲以每分鐘300米的速度從起點(diǎn)跑出．1分鐘后，乙從起點(diǎn)同向跑出．又過了5分鐘，甲追上乙．請(qǐng)問：乙每分鐘跑多少米？
試一試：甲、乙兩人騎自行車從環(huán)形公路上同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，背向而行．這條公路長(zhǎng)2400米，甲騎一圈需要10分鐘．如果第一次相遇時(shí)甲騎了1440米．請(qǐng)問：乙騎一圈需要多少分鐘？
※例題8：一片牧場(chǎng)上原來就有一定量的草，而且草每天還在均勻地生長(zhǎng)．如果在牧場(chǎng)上放養(yǎng)24頭牛，那么6天就把草吃完了；如果只放養(yǎng)21頭牛，那么8天才把草吃完．請(qǐng)問：如果放養(yǎng)36頭牛，多少天可以把草吃完？（假設(shè)每頭牛每天吃10公斤草）
【過關(guān)檢測(cè)】
一、選擇題
1．（2023秋·五年級(jí)單元測(cè)試）某次數(shù)學(xué)考試共5道題，全班52人參加，共做對(duì)181題。已知每人至少做對(duì)1題；做對(duì)1道題的有7人，做對(duì)2道題的人和做對(duì)3道題的人一樣多，做對(duì)5道題的有6人，那么做對(duì)4道題的人數(shù)是（ ）。
A．29B．31C．33D．35
二、填空題
2．（2023春·上海奉賢·五年級(jí)校聯(lián)考期中）用一根長(zhǎng)72厘米的鐵絲做長(zhǎng)方體框架，已知長(zhǎng)是寬的3倍，寬是高的2倍，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是( )立方厘米。
3．（2023春·上海奉賢·五年級(jí)校聯(lián)考期中）一個(gè)小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位后比原數(shù)增加52.47，原數(shù)是( )。
4．（2023春·上海奉賢·五年級(jí)校聯(lián)考期中）三個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和是105，這3個(gè)自然數(shù)中，最小的是( )。
5．（2023春·五年級(jí)單元測(cè)試）當(dāng)爺爺?shù)哪挲g是爸爸年齡的2倍時(shí)，小明1歲；當(dāng)爸爸的年齡是小明年齡的8倍時(shí)，爺爺61歲。那么，爺爺比小明大_____歲；當(dāng)爺爺?shù)哪挲g是小明的20倍時(shí)，爸爸的年齡是_____歲。
6．（2021秋·五年級(jí)單元測(cè)試）某通訊員從A地到B地，需要5.5小時(shí)，每小時(shí)行18千米；從B地返回A地，他每小時(shí)行22千米，該通訊員往返兩地的平均速度是每小時(shí)行( )千米。
7．（2023春·五年級(jí)單元測(cè)試）六年級(jí)舉行速算比賽，答對(duì)一道題得10分，答錯(cuò)一道題扣2分，李紅共搶答了10道題，最后得分是64分。她答錯(cuò)了________道題。
三、文字題
8．（2021春·上海嘉定·五年級(jí)統(tǒng)考期末）用綜合算式或方程解答。
一個(gè)數(shù)的2.5倍減去2.4正好等于這個(gè)數(shù)，求這個(gè)數(shù)。
9．（2023春·上海徐匯·五年級(jí)?？计谀┝芯C合算式計(jì)算或方程解答。
7.5減去某數(shù)所得差的4倍比12.5除以2.5的商多13，求某數(shù)是多少？
四、解答題
10．（2021春·上海嘉定·五年級(jí)統(tǒng)考期末）列方程解決問題。
一輛轎車和一輛客車分別從相距800千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，轎車平均每小時(shí)行120千米，2.5小時(shí)后兩車還相距300千米，客車平均每小時(shí)行多少千米？
11．（2023春·上海徐匯·五年級(jí)?？计谀┮粋€(gè)正方形，如果邊長(zhǎng)增加5分米，面積就增加145平方分米。問：原來正方形長(zhǎng)是多少？
12．（2023春·上海徐匯·五年級(jí)?？计谀┬∏珊托喭瑫r(shí)從相距2400米的兩地出發(fā)相向而行，小巧平均每分鐘走86米，比小亞平均每分鐘多走12米。問：經(jīng)過幾分鐘后兩人在途中相遇？
13．（2022春·上海徐匯·五年級(jí)統(tǒng)考期末）筐里裝的蘋果數(shù)量是梨的2倍，每次取出5個(gè)蘋果和3個(gè)梨，取了若干次后，梨正好取完，蘋果還有20個(gè)。一共取了多少次？筐里原來有蘋果和梨各多少個(gè)？
14．（2023春·上海奉賢·五年級(jí)校聯(lián)考期中）甲和乙之間的公路全長(zhǎng)660千米，一輛客車和一輛貨車同時(shí)從兩地出發(fā)相向而行，途中貨車因讓道停了0.5小時(shí)，結(jié)果客車出發(fā)6小時(shí)后與貨車在途中相遇，已知客車的速度是66千米/時(shí)，求貨車的速度。
15．（2023春·五年級(jí)單元測(cè)試）小巧以65米/分的速度，步行從家里出發(fā)去少年宮。出發(fā)16分鐘后，媽媽發(fā)現(xiàn)小巧把垃圾分類資料忘了，于是騎車以195米/分的速度去追。已知小巧家與少年宮之間的路程是2100米，媽媽能在小巧到達(dá)少年宮之前追上她嗎？
16．（2023春·五年級(jí)單元測(cè)試）學(xué)校要粉刷教室的天花板和四面墻壁．已知教室的長(zhǎng)是8m，寬是6m，高是3m，門窗和黑板的面積是11.4m2．如果每平方米需要花7元涂料費(fèi)，粉刷這個(gè)教室需要花涂料費(fèi)多少元?
17．（2023春·五年級(jí)單元測(cè)試）甲乙兩車從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿著同一公路追趕前面的一個(gè)騎車人。甲乙兩車分別用10分鐘、6分鐘追上騎車人。已知甲車速度是24千米/小時(shí)，乙車速度是30千米/小時(shí)，問兩車出發(fā)時(shí)與騎車人相距多少千米？
18．（2023春·五年級(jí)單元測(cè)試）正方體的表面積是120平方厘米，將它平均分成8個(gè)小正方體，每個(gè)正方體的表面積是多少平方厘米？
19．（2023春·五年級(jí)單元測(cè)試）一個(gè)棱長(zhǎng)為6厘米正方體木塊，把它的表面涂上紅色，然后把它鋸成棱長(zhǎng)1厘米的小正方體，問一面紅色的有多少塊，二面紅色的有多少塊，三面紅色的有多少塊，沒有紅色的有多少塊？
20．（2023春·五年級(jí)單元測(cè)試）把長(zhǎng)1.2米的長(zhǎng)方體木料鋸成3個(gè)小正方體，表面積增加64平方分米，求原來長(zhǎng)方體的表面積是多少？
21．（2020秋·上?！の迥昙?jí)期中）學(xué)校進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共20題，做對(duì)一題得5分，做錯(cuò)一題或沒做一題不得分并且扣2分，小明最后得了86分，他做對(duì)了幾題？（必須要有計(jì)算過程）
22．（2020秋·上?！の迥昙?jí)期末）甲乙兩車同時(shí)從相距840千米的兩地相向而行，5小時(shí)后兩車相距240千米，已知甲車每小時(shí)行75千米，求乙車每小時(shí)行多少千米？（用兩種方法解答）
23．（2023秋·五年級(jí)單元測(cè)試）甲、乙兩地相距3600千米，一架飛機(jī)往返于甲、乙兩地，從甲地飛到乙地，要飛行4.5小時(shí)；從乙地返回甲地，要飛行5.1小時(shí)。這架飛機(jī)往返甲、乙兩地平均每小時(shí)飛行多少千米？
24．（2023秋·五年級(jí)單元測(cè)試）工廠加工一批零件，25人做需要12天完成，如果每人每天加工140個(gè)零件，問這批零件共有多少個(gè)？現(xiàn)在每人每天多加工10個(gè)零件，且要求提前2天完成，則應(yīng)增加多少人？
25．（2020春·五年級(jí)課時(shí)練習(xí)）有兩袋大米，第二袋大米比第一袋大米多40千克，如果從第二袋中取出大米5千克倒入第一袋，這時(shí)第二袋大米的重量正好是第一袋的3倍，原來兩袋大米各重多少千克？
26．（2020春·五年級(jí)課時(shí)練習(xí)）五年級(jí)舉行競(jìng)賽，共12道題。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：做對(duì)一題得10分，做錯(cuò)一道扣3分，沒有做的題得0分。已知小紅得了64分，又知道她有3道題沒有做，問小紅做對(duì)了多少道題？
27．（2022春·五年級(jí)單元測(cè)試）甲、乙兩人同時(shí)從相距1340米的各自的家中出發(fā)相向而行，甲騎自行車，每分鐘行250米，乙步行，每分鐘行90米。3分鐘后，乙返回家中取忘帶的書，再經(jīng)過幾分鐘，甲追上乙？這時(shí)乙離家多少米？
28．（2023秋·五年級(jí)單元測(cè)試）甲、乙兩車從兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，4小時(shí)后在距離中點(diǎn)20千米處相遇，已知乙車平均每小時(shí)行78千米，問：甲車平均每小時(shí)多少千米？（列方程）
29．（2021秋·五年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)）由1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共有多少個(gè)？其中24135按從小到大排列是第幾個(gè)？將這些五位數(shù)從大到小排列，第50個(gè)數(shù)是多少？
上海市預(yù)初開學(xué)分班考專項(xiàng)復(fù)習(xí)03列方程解應(yīng)用題
【知識(shí)梳理】
1．綜合復(fù)習(xí)小學(xué)所學(xué)的多種類型的應(yīng)用題解法；
2．訓(xùn)練列方程解應(yīng)用題的熟練程度，提高速度和準(zhǔn)確度．
3．主要復(fù)習(xí)、拓展小學(xué)階段“行程問題”的解決方法；
4．嘗試用方程解決其他新類型的應(yīng)用題；
5．強(qiáng)化列方程解應(yīng)用題的思想．
案例1：小王原來的錢數(shù)是小李的3倍，他們各自買了80元的書之后，小王的錢數(shù)變成了小李的5倍，請(qǐng)問小王和小李原來各有多少錢？
教法說明：有些應(yīng)用題會(huì)出現(xiàn)前后變化的情況，例如“小王給小李5元，他們的錢就一樣多了”之類的條件，遇上這種情況，一定要分清“變化前”和“變化后”這兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)的不同，雖然是同一人，不同時(shí)間他有的錢數(shù)是不同的，也要分清倍數(shù)關(guān)系所對(duì)應(yīng)的時(shí)間。
理清關(guān)系，這個(gè)問題涉及了四個(gè)數(shù)量關(guān)系：“小王原來的錢”，“小王之后的錢”，“小李原來的錢”，“小李之后的錢”。它們之間的關(guān)系如下圖所示：
小王原來的錢
小王現(xiàn)在的錢
小李原來的錢
小李現(xiàn)在的錢
－80
－80
3倍
5倍
利用這個(gè)關(guān)系圖，可以比較方便地列出方程并求解。
參考答案：設(shè)小李原來的錢為x元，
3x－80＝5（x－80）
x＝160
3x＝480
答：小王和小李原來各有160元和480元。
總結(jié)：列方程解應(yīng)用題的一般步驟：
1．審題，迅速理解題意。
2．思考，找到題中的數(shù)量關(guān)系。
3．設(shè)x，將“1倍量”或“較小量”設(shè)為x，用x表示其他數(shù)量。
4．列式，根據(jù)等量關(guān)系列出方程。
5．求解，解方程、計(jì)算得到最終結(jié)果并作答。
案例2．一般來說，行程問題會(huì)牽涉到“速度”、“時(shí)間”、“路程”這三個(gè)數(shù)量，關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系為：
× =
速度×?xí)r間=路程
2．這個(gè)公式又可以演變?yōu)椋骸八俣群汀習(xí)r間＝ ”、“速度差×?xí)r間＝ ”
路程和， 路程差
3．相遇問題：相向而行同時(shí)出發(fā)到相遇時(shí)甲、乙兩人所用的時(shí)間相等。
基本公式：速度和×相遇時(shí)間＝相遇路程
4．追擊問題：同向而行同時(shí)出發(fā)到相遇（即追擊）時(shí)，甲、乙兩人所用的時(shí)間相等。
基本公式：速度差×追擊時(shí)間＝追擊路程
這部分如果學(xué)校進(jìn)度慢，學(xué)生沒有理解可以舉一些例子，通過畫圖讓學(xué)生理解基本公式的含義
本講重點(diǎn)復(fù)習(xí)應(yīng)用題中最難的一類——行程問題，并且在課內(nèi)的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展。同時(shí)，也提供了一些沒有見過的應(yīng)用題類型讓同學(xué)們進(jìn)行挑戰(zhàn)，掌握用方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵。
在解決行程問題時(shí)，往往通過“甲路程＋乙路程＝總路程”或是“甲路程－乙路程＝總路程”這類等量關(guān)系來解決問題。要找到這樣路程間的關(guān)系，輔助的路程線段圖就十分重要。除此之外，“甲路程”“乙路程”則更多是通過“甲路程＝甲速度×甲時(shí)間”這樣的關(guān)系來得到。分析清楚從開始到結(jié)果的整個(gè)過程，是解決行程問題的關(guān)鍵所在。
在分析行程問題時(shí)，還要注意“甲”“乙”的速度、時(shí)間之間的關(guān)系，往往設(shè)出其中一個(gè)后，其他都與其相關(guān)，能夠?qū)懬濉Ｋ栽谠O(shè)未知數(shù)時(shí)，往往是設(shè)某個(gè)人的“時(shí)間”或者“速度”作為x，較少會(huì)出現(xiàn)設(shè)路程為x的情況。
這部分關(guān)于行程問題的分析可以強(qiáng)調(diào)下，但學(xué)生可能感覺不大。在后面對(duì)例題的講解是可以反過來進(jìn)行強(qiáng)化。
除此之外，還有許多不屬于之前學(xué)過的類型的應(yīng)用題，同樣可以用方程來解決?！罢业疥P(guān)鍵量設(shè)x”、“用帶x的式子表示其他量”、“找到等量關(guān)系列方程”的順序來解決即可。當(dāng)然，這對(duì)于同學(xué)們來說會(huì)是一個(gè)挑戰(zhàn)。
【考點(diǎn)剖析】
例題1：有甲、乙、丙三所小學(xué)的同學(xué)來參加幼苗杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽，其中甲校參賽人數(shù)比乙校多5人，比丙校多7人．如果乙、丙兩校一共有40人參加比賽，那么三所學(xué)校各有多少人參加比賽？
教法說明：先讓學(xué)生找出本題中的等量關(guān)系，再根據(jù)等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)。
參考答案：設(shè)甲校有x人，則乙校有（x－5）人，丙校（x－7）人，
x－5＋x－7＝40
x＝26
乙：x－5＝21（人），丙：x－7＝19（人）
答：甲、乙、丙三所小學(xué)的分別有26、21、19人參加比賽。
例題2：養(yǎng)雞場(chǎng)有東、西兩院，西院雞的只數(shù)是東院的3倍．一天有10只雞從西院跑到東院，這時(shí)西院雞的數(shù)量是東院的2倍，那么現(xiàn)在東、西兩個(gè)院子各有多少只雞？
教法說明：本題可以引導(dǎo)學(xué)生先試著自己列出四個(gè)數(shù)量，再寫出之間關(guān)系，進(jìn)一步進(jìn)行設(shè)列解。
先來看一下和差倍問題，可以通過語句中的關(guān)系找到我們所需要的1倍量。
參考答案：設(shè)東院有x只雞人，則西院有3x，
2（x＋10）＝3x－10
x＝30
西院：3x＝90（只）
答：東、西兩個(gè)院子各有30和90只雞。
例題3：學(xué)校安排學(xué)生到會(huì)議室聽報(bào)告．如果每3人坐一條長(zhǎng)椅，就會(huì)剩下16人沒有座位；如果每5人坐一條長(zhǎng)椅，就會(huì)空出1條長(zhǎng)椅，還有一條長(zhǎng)椅上只坐了2個(gè)人．一共有多少個(gè)學(xué)生去聽報(bào)告？
教法說明：不能機(jī)械地去套用之前的想法，而要分清最后缺少或者剩下的是“人”還是“長(zhǎng)椅”，再根據(jù)題意來列出方程。
參考答案：52人
例題4：青蛙和天鵝一塊玩游戲，青蛙比天鵝多12只，青蛙的總腿數(shù)比天鵝的總腿數(shù)多68條，那么青蛙和天鵝各有多少只？
教法說明：如果學(xué)生解決有問題的話，先提問引出有哪些“數(shù)量”，再找其中小的設(shè)為x，然后求解，每步后都可以讓學(xué)生思考，不行再進(jìn)行下一步提示。
參考答案：22只、10只
例題5：甲、乙兩車同時(shí)從東、西兩地出發(fā)，相向而行．甲每小時(shí)行36千米，乙每小時(shí)行30千米，兩車在距離中點(diǎn)9千米處相遇，求東、西兩地間的距離．
教法說明：通過線段圖，先嘗試找到一些隱含的條件，再利用這些條件來解決問題。
本題難度較低，如果學(xué)生有疑問可以將圖畫出，標(biāo)出甲路程、乙路程，讓學(xué)生比較大小。
參考答案：198千米
例題6：一輛公共汽車早上6點(diǎn)從A城出發(fā)，以每小時(shí)40千米的速度向B城駛?cè)ィ?小時(shí)后一輛小轎車以每小時(shí)75千米的速度也從A城出發(fā)到B城．當(dāng)小轎車到達(dá)B城后，公共汽車離B城還有160千米．問：公共汽車什么時(shí)刻到達(dá)B城？
教法說明：畫圖有一定難度，公共汽車的路程分三段：3小時(shí)；小轎車開的時(shí)間；160千米。小轎車就只有一整段。提示學(xué)生轎車的時(shí)間與汽車中間段時(shí)間相同。
參考答案：21點(diǎn)
之前接觸的絕大部分都是在直線上的行程問題，其實(shí)還有不少是在環(huán)形路線上進(jìn)行的行程問題。想一想，如果甲乙在400米的環(huán)形跑道上同時(shí)同方向出發(fā)，當(dāng)甲第一次追上乙時(shí)，比乙應(yīng)該多跑了多少路程呢？如果是背向而行呢？
乙乙
甲甲
例題7：甲、乙兩人在400米長(zhǎng)的環(huán)形跑道上跑步．甲以每分鐘300米的速度從起點(diǎn)跑出．1分鐘后，乙從起點(diǎn)同向跑出．又過了5分鐘，甲追上乙．請(qǐng)問：乙每分鐘跑多少米？
參考答案：280米/分鐘
試一試：甲、乙兩人騎自行車從環(huán)形公路上同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，背向而行．這條公路長(zhǎng)2400米，甲騎一圈需要10分鐘．如果第一次相遇時(shí)甲騎了1440米．請(qǐng)問：乙騎一圈需要多少分鐘？
參考答案：15分鐘
除了行程問題之外，還有不少別的類型。在遇到?jīng)]見過的類型時(shí)，同樣先找到問題中的關(guān)鍵量，求出它或者將它設(shè)為x，進(jìn)而求解。
※例題8：一片牧場(chǎng)上原來就有一定量的草，而且草每天還在均勻地生長(zhǎng)．如果在牧場(chǎng)上放養(yǎng)24頭牛，那么6天就把草吃完了；如果只放養(yǎng)21頭牛，那么8天才把草吃完．請(qǐng)問：如果放養(yǎng)36頭牛，多少天可以把草吃完？（假設(shè)每頭牛每天吃10公斤草）
教法說明：24頭牛，6天就把草吃完，說明6天長(zhǎng)的草＋原來的草＝24×6×10＝1440（千克）
21頭牛，8天就把草吃完，說明8天長(zhǎng)的草＋原來的草＝21×8×10＝1680（千克）
所以2天長(zhǎng)的草為1680－1440＝240（千克）即每天長(zhǎng)120千克；
這樣原來的草就為1440－6×120＝720（千克），那么草地每天長(zhǎng)的草夠12頭牛吃一天；
如果放養(yǎng)36頭牛，那么讓其中的12頭牛吃新長(zhǎng)出來的草；
還剩下36－12＝24頭牛，720÷24＝3
所以如果放養(yǎng)36頭牛，3天可以把草吃完。
【過關(guān)檢測(cè)】
一、選擇題
1．（2023秋·五年級(jí)單元測(cè)試）某次數(shù)學(xué)考試共5道題，全班52人參加，共做對(duì)181題。已知每人至少做對(duì)1題；做對(duì)1道題的有7人，做對(duì)2道題的人和做對(duì)3道題的人一樣多，做對(duì)5道題的有6人，那么做對(duì)4道題的人數(shù)是（ ）。
A．29B．31C．33D．35
【答案】B
【分析】根據(jù)題意知：答對(duì)2道、3道、4道的人數(shù)是：52－7－6＝39人，由此設(shè)答對(duì)2道和3道的人數(shù)為人，則做對(duì)4道的人數(shù)為39－2人，進(jìn)而列出方程，據(jù)此解答。
【詳解】解：設(shè)答對(duì)2道和3道的人數(shù)均為x人，則做對(duì)4道的人數(shù)為52－7－6－2x即做對(duì)4道的人數(shù)為39－2x人，根據(jù)題意可得方程：
1×7＋2x＋3x＋4×（39－2x）＋5×6＝181
7＋5x＋156－8x＋30＝181
193－3x＝181
3x＝12
x＝4
做對(duì)4道的人數(shù)為：39－2×4＝39－8＝31（人）
故答案為：B
【點(diǎn)睛】此題含有3個(gè)未知數(shù)，根據(jù)題意分別設(shè)出這三個(gè)未知數(shù)是解答本題的關(guān)鍵。
二、填空題
2．（2023春·上海奉賢·五年級(jí)校聯(lián)考期中）用一根長(zhǎng)72厘米的鐵絲做長(zhǎng)方體框架，已知長(zhǎng)是寬的3倍，寬是高的2倍，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是( )立方厘米。
【答案】96
【分析】根據(jù)題意可知，長(zhǎng)是寬的3倍，寬是高的2倍，則可以設(shè)高為x厘米，寬為2x厘米，長(zhǎng)為（3×2x）厘米，根據(jù)長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)和＝（長(zhǎng)＋寬＋高）×4，列方程為（3×2x＋2x＋x）×4＝72，然后解出方程，進(jìn)而求出寬和長(zhǎng)，最后根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，代入數(shù)據(jù)解答。
【詳解】解：設(shè)高為x厘米，寬為2x厘米，長(zhǎng)為（3×2x）厘米。
（3×2x＋2x＋x）×4＝72
（6x＋2x＋x）×4＝72
9x×4＝72
36x＝72
36x÷36＝72÷36
x＝2
寬：2×2＝4（厘米）
長(zhǎng)：4×3＝12（厘米）
12×4×2＝96（立方厘米）
這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是96立方厘米。
【點(diǎn)睛】本題主要考查了長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)和公式、長(zhǎng)方體體積公式的靈活應(yīng)用，可列方程解決問題。
3．（2023春·上海奉賢·五年級(jí)校聯(lián)考期中）一個(gè)小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位后比原數(shù)增加52.47，原數(shù)是( )。
【答案】0.53
【分析】小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，小數(shù)擴(kuò)大到原來的100倍。將原數(shù)設(shè)為x，那么移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)是100x，利用“移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)－原數(shù)＝52.47”列出方程解題即可。
【詳解】解：設(shè)原數(shù)是x。
100x－x＝52.47
99x＝52.47
99x÷99＝52.47÷99
x＝0.53
所以，原數(shù)是0.53。
【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)易方程，解題關(guān)鍵是明確小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位是將原數(shù)擴(kuò)大到它的100倍。
4．（2023春·上海奉賢·五年級(jí)校聯(lián)考期中）三個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和是105，這3個(gè)自然數(shù)中，最小的是( )。
【答案】34
【分析】已知相鄰的兩個(gè)自然數(shù)相差1，據(jù)此設(shè)三個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，最小的數(shù)是x，中間的數(shù)是（x＋1），最大的數(shù)是（x＋2），列方程為x＋x＋1＋x＋2＝105，然后解出方程即可。
【詳解】解：設(shè)三個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，最小的數(shù)是x。
x＋x＋1＋x＋2＝105
3x＋3＝105
3x＋3－3＝105－3
3x＝102
3x÷3＝102÷3
x＝34
三個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，最小的數(shù)是34。
【點(diǎn)睛】本題可用列方程解決問題，注意相鄰的兩個(gè)自然數(shù)相差1。
5．（2023春·五年級(jí)單元測(cè)試）當(dāng)爺爺?shù)哪挲g是爸爸年齡的2倍時(shí)，小明1歲；當(dāng)爸爸的年齡是小明年齡的8倍時(shí)，爺爺61歲。那么，爺爺比小明大_____歲；當(dāng)爺爺?shù)哪挲g是小明的20倍時(shí)，爸爸的年齡是_____歲。
【答案】 57 31
【分析】設(shè)爺爺比小明大x歲，小明1歲時(shí)，爺爺（x＋1）歲，爸爸是（）歲；爺爺61歲時(shí)，小明是（61－x）歲，爸爸的年齡是8（61－x）歲，根據(jù)前后爺爺與爸爸的年齡差不變即可列出方程，求出爺爺與小明的年齡差，進(jìn)而可求出爸爸與小明的年齡差。
當(dāng)爺爺?shù)哪挲g是小明的20倍時(shí)，根據(jù)爺爺與小明年齡差除以他們對(duì)應(yīng)的倍數(shù)差，可求出小明此時(shí)的年齡，再加上爸爸與小明的年齡差即可求出此時(shí)爸爸的年齡。
【詳解】解：設(shè)爺爺比小明大x歲，
x＋1－＝61－8（61－x）
x＋1＝122－16（61－x）
x＋1＝122－976＋16x
x＝16x－855
15x＝855
x＝57
當(dāng)小明1歲時(shí)，爺爺?shù)哪挲g是：57＋1＝58（歲）
爸爸的年齡是：58÷2＝29（歲）
爸爸與小明的年齡差是：29－1＝28（歲）
當(dāng)爺爺?shù)哪挲g是小明的20倍時(shí)，小明的年齡是：
57÷（20－1）
＝57÷19
＝3（歲）
此時(shí)爸爸的年齡是：3＋28＝31（歲）
故答案為：57；31
【點(diǎn)睛】此題等量關(guān)系較復(fù)雜，爺爺、爸爸、小明每?jī)扇说哪挲g差不變是解決此題的關(guān)鍵。
6．（2021秋·五年級(jí)單元測(cè)試）某通訊員從A地到B地，需要5.5小時(shí)，每小時(shí)行18千米；從B地返回A地，他每小時(shí)行22千米，該通訊員往返兩地的平均速度是每小時(shí)行( )千米。
【答案】19.8
【分析】先根據(jù)“速度×?xí)r間＝路程”求出從A地到B地的路程，因?yàn)橥德烦滔嗟龋M(jìn)而根據(jù)“路程÷速度＝時(shí)間”求出返回的時(shí)間，繼而求出往返總時(shí)間，最后根據(jù)“往返總路程÷往返總時(shí)間＝往返平均速度”進(jìn)行解答即可。
【詳解】（5.5×18×2）÷（5.5＋5.5×18÷22）
＝198÷（5.5＋4.5）
＝198÷10
＝19.8（千米）
【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵：應(yīng)明確往返路程相等，進(jìn)而根據(jù)往返總路程、往返總時(shí)間和往返平均速度三者之間的關(guān)系進(jìn)行解答。
7．（2023春·五年級(jí)單元測(cè)試）六年級(jí)舉行速算比賽，答對(duì)一道題得10分，答錯(cuò)一道題扣2分，李紅共搶答了10道題，最后得分是64分。她答錯(cuò)了________道題。
【答案】3
【分析】設(shè)她答錯(cuò)x道題，則答對(duì)（10－x）道，用答對(duì)一道題的得分×答對(duì)的題數(shù)－答錯(cuò)一道題扣的分×答錯(cuò)的題數(shù)＝她的實(shí)際得分，據(jù)此列方程，然后應(yīng)用等式的性質(zhì)解方程，據(jù)此解答。
【詳解】解：設(shè)她答錯(cuò)x道題，則答對(duì)（10－x）道。
10×（10－x）－2x＝64
10×10－10x－2x＝64
100－12x＝64
12x＝100－64
12x＝36
12x÷12＝36÷12
x＝3
【點(diǎn)睛】此題考查了列方程解決實(shí)際問題，找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵。
三、文字題
8．（2021春·上海嘉定·五年級(jí)統(tǒng)考期末）用綜合算式或方程解答。
一個(gè)數(shù)的2.5倍減去2.4正好等于這個(gè)數(shù)，求這個(gè)數(shù)。
【答案】1.6
【分析】設(shè)這個(gè)數(shù)為x，根據(jù)等量關(guān)系：這個(gè)數(shù)×2.5－2.4＝這個(gè)數(shù)，據(jù)此列方程為：2.5x－2.4＝x，解方程即可。
【詳解】解：設(shè)這個(gè)數(shù)為x。
2.5x－2.4＝x
2.5x－2.4＋2.4＝x＋2.4
2.5x＝x＋2.4
2.5x－x＝x＋2.4－x
1.5x ＝2.4
1.5x÷1.5 ＝2.4÷1.5
x＝1.6
9．（2023春·上海徐匯·五年級(jí)校考期末）列綜合算式計(jì)算或方程解答。
7.5減去某數(shù)所得差的4倍比12.5除以2.5的商多13，求某數(shù)是多少？
【答案】3
【分析】設(shè)這個(gè)數(shù)是x，根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程解答。
【詳解】解：設(shè)這個(gè)數(shù)是x。
4（7.5－x）－12.5÷2.5＝13
4（7.5－x）－5＝13
4（7.5－x）＝13＋5
4（7.5－x）＝18
7.5－x＝18÷4
7.5－x＝4.5
x＝7.5－4.5
x＝3
則某數(shù)是3。
四、解答題
10．（2021春·上海嘉定·五年級(jí)統(tǒng)考期末）列方程解決問題。
一輛轎車和一輛客車分別從相距800千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，轎車平均每小時(shí)行120千米，2.5小時(shí)后兩車還相距300千米，客車平均每小時(shí)行多少千米？
【答案】80千米
【分析】由題意知：兩車的速度和×2.5＋300千米＝800千米，可設(shè)客車每小時(shí)行x千米，列方程（120＋x）×2.5＋300＝800，解方程即求解。
【詳解】解：設(shè)客車每小時(shí)行x千米。
（120＋x）×2.5＋300＝800
（120＋x）×2.5＋300－300＝800－300
（120＋x）×2.5＝500
（120＋x）×2.5÷2.5＝500÷2.5
120＋x＝200
120＋x－120＝200－120
x＝80
答：客車平均每小時(shí)行80千米。
【點(diǎn)睛】根據(jù)時(shí)間、距離、速度之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程是解答的關(guān)鍵。
11．（2023春·上海徐匯·五年級(jí)?？计谀┮粋€(gè)正方形，如果邊長(zhǎng)增加5分米，面積就增加145平方分米。問：原來正方形長(zhǎng)是多少？
【答案】長(zhǎng)是12分米
【分析】根據(jù)題意，設(shè)原來正方形的邊長(zhǎng)為x分米，如圖：增加的面積分為三部分，即長(zhǎng)是5分米，寬是原來的邊長(zhǎng)的兩個(gè)長(zhǎng)方形，和一個(gè)邊長(zhǎng)是5分米的正方形，據(jù)此列方程求出原來的邊長(zhǎng)。
【詳解】解：設(shè)原來正方形的邊長(zhǎng)為x分米
5x＋5x＋5×5＝145
5x＋5x＋25＝145
10x＋25＝145
10x＋25－25＝145－25
10x＝120
10x÷10＝120÷10
x＝12
答：原來正方形長(zhǎng)是12分米。
【點(diǎn)睛】此題可以通過畫圖分析，列方程解答比較簡(jiǎn)便。
12．（2023春·上海徐匯·五年級(jí)校考期末）小巧和小亞同時(shí)從相距2400米的兩地出發(fā)相向而行，小巧平均每分鐘走86米，比小亞平均每分鐘多走12米。問：經(jīng)過幾分鐘后兩人在途中相遇？
【答案】15分鐘
【分析】已知小巧平均每分鐘走86米，比小亞平均每分鐘多走12米，則小亞平均每分鐘走86－12＝74（米）。設(shè)經(jīng)過x分鐘后兩人在途中相遇，根據(jù)兩人的速度和×相遇時(shí)間＝總路程，列方程即可解答。
【詳解】86－12＝74（米）
解：設(shè)經(jīng)過x分鐘后兩人在途中相遇。
（86＋74）x＝2400
160x＝2400
x＝2400÷160
x＝15
答：經(jīng)過15分鐘后兩人在途中相遇。
【點(diǎn)睛】本題考查相遇問題。掌握“速度和×相遇時(shí)間＝總路程”是列出方程的關(guān)鍵。
13．（2022春·上海徐匯·五年級(jí)統(tǒng)考期末）筐里裝的蘋果數(shù)量是梨的2倍，每次取出5個(gè)蘋果和3個(gè)梨，取了若干次后，梨正好取完，蘋果還有20個(gè)。一共取了多少次？筐里原來有蘋果和梨各多少個(gè)？
【答案】20次；原來有梨60個(gè)；蘋果有120個(gè)
【分析】根據(jù)題意可知，取的次數(shù)×每次取梨的個(gè)數(shù)＝梨的總個(gè)數(shù)，取的次數(shù)×每次取蘋果的個(gè)數(shù)＋20個(gè)＝蘋果的總個(gè)數(shù)，梨的總個(gè)數(shù)×2＝蘋果的總個(gè)數(shù)，據(jù)此設(shè)一共取了x次，列方程為3x×2＝5x＋20，然后解出方程即可，進(jìn)而求出梨和蘋果的個(gè)數(shù)。
【詳解】解：設(shè)一共取了x次。
3x×2＝5x＋20
6x＝5x＋20
6x－5x＝5x＋20－5x
x＝20
梨：20×3＝60（個(gè)）
蘋果：5×20＋20
＝100＋20
＝120（個(gè)）
答：一共取了20次；筐里原來有梨60個(gè)，蘋果有120個(gè)。
【點(diǎn)睛】本題可用列方程解決問題，找到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵。
14．（2023春·上海奉賢·五年級(jí)校聯(lián)考期中）甲和乙之間的公路全長(zhǎng)660千米，一輛客車和一輛貨車同時(shí)從兩地出發(fā)相向而行，途中貨車因讓道停了0.5小時(shí)，結(jié)果客車出發(fā)6小時(shí)后與貨車在途中相遇，已知客車的速度是66千米/時(shí)，求貨車的速度。
【答案】48千米/時(shí)
【分析】設(shè)貨車的速度為x千米/時(shí)；由于貨車途中讓道停了0.5小時(shí)，貨車用了（6－0.5）小時(shí)；（6－0.5）小時(shí)行駛（6－0.5）x千米；客車的速度是66千米/時(shí)，客車6小時(shí)行駛了66×6千米；貨車行駛的路程＋客車行駛的路程＝甲、乙之間的距離，列方程：（6－0.5）x＋66×6＝660，解方程，即可解答。
【詳解】解：設(shè)貨車的速度為x千米/時(shí)。
（6－0.5）x＋66×6＝660
5.5x＋396＝660
5.5x＝660－396
5.5x＝264
x＝264÷5.5
x＝48
答：貨車的速度為48千米/時(shí)。
【點(diǎn)睛】本題考查方程的實(shí)際應(yīng)用。利用速度、時(shí)間、路程三者的關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，找出相關(guān)的量，列方程，解方程，注意貨車行駛的時(shí)間是6小時(shí)減去0.5小時(shí)。
15．（2023春·五年級(jí)單元測(cè)試）小巧以65米/分的速度，步行從家里出發(fā)去少年宮。出發(fā)16分鐘后，媽媽發(fā)現(xiàn)小巧把垃圾分類資料忘了，于是騎車以195米/分的速度去追。已知小巧家與少年宮之間的路程是2100米，媽媽能在小巧到達(dá)少年宮之前追上她嗎？
【答案】能
【詳解】65×16÷（195﹣65）
＝1040÷30
＝8（分鐘）
65×（16＋8）
＝65×24
＝1560（米）
2100＞1560
答：媽媽能在小巧到達(dá)少年宮之前追上她。
16．（2023春·五年級(jí)單元測(cè)試）學(xué)校要粉刷教室的天花板和四面墻壁．已知教室的長(zhǎng)是8m，寬是6m，高是3m，門窗和黑板的面積是11.4m2．如果每平方米需要花7元涂料費(fèi)，粉刷這個(gè)教室需要花涂料費(fèi)多少元?
【答案】844.2元
【詳解】8×6+8×3×2+6×3×2-11.4=120.6（m2）
120.6×7=844.2（元）
答：粉刷這個(gè)教室需要花涂料費(fèi)844.2元．
17．（2023春·五年級(jí)單元測(cè)試）甲乙兩車從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿著同一公路追趕前面的一個(gè)騎車人。甲乙兩車分別用10分鐘、6分鐘追上騎車人。已知甲車速度是24千米/小時(shí)，乙車速度是30千米/小時(shí)，問兩車出發(fā)時(shí)與騎車人相距多少千米？
【答案】1.5千米
【分析】根據(jù)題意，甲乙兩車分別用10分鐘、6分鐘追上騎車人，設(shè)騎車人的速度為x千米/小時(shí)，則根據(jù)出發(fā)時(shí)他們距離騎車人的距離相等，可列出等量關(guān)系：甲騎車10分鐘所走的路程－騎車人10分鐘所走的路程=乙騎車6分鐘所走的路程－騎車人6分鐘所走的路程，由此列出方程即可，注意速度的單位應(yīng)該化統(tǒng)一。
【詳解】解：設(shè)騎車人的速度為x千米/小時(shí)。
30×6÷60－x×6÷60＝24×10÷60－x×10÷60
3－6x÷60＝4－10x÷60
x＝15
30×6÷60－15×6÷60＝1.5（千米）
答：兩車出發(fā)時(shí)與騎車人相距1.5千米。
【點(diǎn)睛】本題考查行程問題中的追及問題，理清題目中的數(shù)量關(guān)系，用含有x的數(shù)字表示出來，是解答此題的關(guān)鍵，解答時(shí)可以通過畫線段圖來幫助我們理解題意。
18．（2023春·五年級(jí)單元測(cè)試）正方體的表面積是120平方厘米，將它平均分成8個(gè)小正方體，每個(gè)正方體的表面積是多少平方厘米？
【答案】30平方厘米
【分析】觀察圖形可知，把一個(gè)大正方體切成8個(gè)一樣大小的小正方體，需要切3刀，每切一刀就增加2個(gè)原正方體的面，由此即可求出切割后的8個(gè)小正方體的表面積之和是：原正方體的表面積+增加的6個(gè)原正方體的面的面積，即等于原正方體的表面積的2倍，是120×2=240平方厘米，再除以8，就是1個(gè)小正方體的表面積。
【詳解】120×2÷8=30（平方厘米）
【點(diǎn)睛】根據(jù)大正方體切割8個(gè)小正方體的方法，得出切割后的8個(gè)小正方體的表面積之和，再除以8即可解答。
19．（2023春·五年級(jí)單元測(cè)試）一個(gè)棱長(zhǎng)為6厘米正方體木塊，把它的表面涂上紅色，然后把它鋸成棱長(zhǎng)1厘米的小正方體，問一面紅色的有多少塊，二面紅色的有多少塊，三面紅色的有多少塊，沒有紅色的有多少塊？
【答案】96塊；48塊；8塊； 64塊
【分析】因?yàn)?÷1=6，所以大正方體每條棱長(zhǎng)上面都有6個(gè)小正方體；根據(jù)立體圖形的知識(shí)可知：三個(gè)面均為紅色的是各頂點(diǎn)處的小正方體，在各棱處，除去頂點(diǎn)處的正方體的有兩面紅色，在每個(gè)面上，除去棱上的正方體都是一面紅色，所有的小正方體的個(gè)數(shù)減去有紅色的小正方體的個(gè)數(shù)即是沒有涂色的小正方體，根據(jù)上面的結(jié)論，即可解答。
【詳解】（1）因?yàn)?÷1=6，所以大正方體每條棱長(zhǎng)上面都有6塊小正方體；
所以一面涂色的有：
（6-2）×（6-2）×6
=4×4×6
=96（塊）
兩面涂色的有：
（6-2）×12
=4×12
=48（塊）
三面涂色的都在頂點(diǎn)處，所以一共有8塊，
沒有涂色的有：
6×6×6-96-48-8
=216-152
=64（塊）
答：一面涂色的小正方體有96塊；兩面涂色的小正方體有48塊；三面涂色的小正方體有8塊；沒有涂色的小正方體有64塊。
【點(diǎn)睛】此題考查了立方體的知識(shí)，注意數(shù)形結(jié)合與正方體表面涂色的特點(diǎn)的應(yīng)用。
20．（2023春·五年級(jí)單元測(cè)試）把長(zhǎng)1.2米的長(zhǎng)方體木料鋸成3個(gè)小正方體，表面積增加64平方分米，求原來長(zhǎng)方體的表面積是多少？
【答案】224平方分米
【分析】如圖：把長(zhǎng)方體平均分成3個(gè)小正方體，表面積比原來增加了正方體的4個(gè)面的面積，由此可求出小正方體一個(gè)面的面積是64÷4＝16平方分米，根據(jù)切割特點(diǎn)可知，原長(zhǎng)方體的表面積是由14個(gè)小正方體的面組成的，再乘14即可得出原長(zhǎng)方體的表面積。
【詳解】如圖示為切割示意圖：
每個(gè)小面的面積為64÷4＝16（平方分米）
整個(gè)長(zhǎng)方體表面有14個(gè)這樣的小面，總的表面積為14×16＝224（平方分米）
答：原來長(zhǎng)方體的表面積是224平方分米。
【點(diǎn)睛】抓住長(zhǎng)方體切割成3個(gè)正方體的特點(diǎn)，得出長(zhǎng)方體的表面積是由14個(gè)小正方體的面組成的，由此即可解答。
21．（2020秋·上海·五年級(jí)期中）學(xué)校進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共20題，做對(duì)一題得5分，做錯(cuò)一題或沒做一題不得分并且扣2分，小明最后得了86分，他做對(duì)了幾題？（必須要有計(jì)算過程）
【答案】18題
【分析】假設(shè)20題全部做對(duì)，與實(shí)際得分相比多了14分，多的這14分是因?yàn)榘炎鲥e(cuò)或不答的題目看作做對(duì)的題目，把一道做錯(cuò)或不答的題看作答對(duì)的多7分，則可求出做錯(cuò)或不答有2道，再求出答對(duì)幾題即可。
【詳解】做錯(cuò)或不答：
（5×20－86）÷（2＋5）
＝14÷7
＝2（道）
20－2＝18（道）
答：他做對(duì)了18題。
【點(diǎn)睛】本題考查雞兔同籠問題，解答本題的關(guān)鍵是掌握利用假設(shè)法解決問題。
22．（2020秋·上?！の迥昙?jí)期末）甲乙兩車同時(shí)從相距840千米的兩地相向而行，5小時(shí)后兩車相距240千米，已知甲車每小時(shí)行75千米，求乙車每小時(shí)行多少千米？（用兩種方法解答）
【答案】45千米或141千米
【分析】本題可以結(jié)合公式路程和=速度和×?xí)r間，求出速度和，減去甲車的速度即可求出乙車的速度；或者將乙車的速度設(shè)為未知數(shù)，列方程求解。注意：要分類討論是相遇前相距240米或相遇后相距240米。
【詳解】法一：
相遇前：
相遇后：
法二：
解：設(shè)乙車每小時(shí)行x千米。
或
答：乙車每小時(shí)行45千米或141千米。
【點(diǎn)睛】本題主要是相遇問題。掌握相遇問題的公式：路程和=速度和×?xí)r間；除此外，此類題目涉及到分類討論，要考慮全面。
23．（2023秋·五年級(jí)單元測(cè)試）甲、乙兩地相距3600千米，一架飛機(jī)往返于甲、乙兩地，從甲地飛到乙地，要飛行4.5小時(shí)；從乙地返回甲地，要飛行5.1小時(shí)。這架飛機(jī)往返甲、乙兩地平均每小時(shí)飛行多少千米？
【答案】750千米
【分析】用總路程÷總時(shí)間＝平均速度，據(jù)此解答即可。
【詳解】3600×2÷（4.5＋5.1）
＝7200÷9.6
＝750（千米）
答：這架飛機(jī)往返甲、乙兩地平均每小時(shí)飛行750千米。
【點(diǎn)睛】本題考查行程問題、平均數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是掌握平均數(shù)的計(jì)算方法。
24．（2023秋·五年級(jí)單元測(cè)試）工廠加工一批零件，25人做需要12天完成，如果每人每天加工140個(gè)零件，問這批零件共有多少個(gè)？現(xiàn)在每人每天多加工10個(gè)零件，且要求提前2天完成，則應(yīng)增加多少人？
【答案】42000個(gè)；3人
【分析】根據(jù)工作效率×工作時(shí)間＝工作量，先求出一人12天加工多少個(gè)，再求出這批零件共有多少個(gè)；現(xiàn)在每人每天多加工10個(gè)零件，也就是現(xiàn)在每人每天加工（140＋10）個(gè)，且要求提前2天完成，也就是用（12－2） 天完成任務(wù)，根據(jù)工作效率＝工作量÷工作時(shí)間，用工作量除以現(xiàn)在用的天數(shù)求出每天做多少個(gè)，再除以現(xiàn)在每人每天做的個(gè)數(shù)即可求出現(xiàn)在需要多少人完成任務(wù)，然后用現(xiàn)在用的人數(shù)減去原來的人數(shù)即可。
【詳解】140×12×25
＝1680×25
＝42000（個(gè)）
42000÷ （12－2） ÷（140＋10） －25
＝42000÷10÷150－25
＝4200÷150－25
＝28－25
＝3（人）
答：這批零件共有42000個(gè)，應(yīng)增加3人。
【點(diǎn)睛】此題主要考查工作時(shí)間、工作效率、工作總量三者之間的數(shù)量關(guān)系，解答時(shí)要注意從問題出發(fā)，找出已知條件與所求問題之間的關(guān)系，再已知條件回到問題即可解決問題。
25．（2020春·五年級(jí)課時(shí)練習(xí)）有兩袋大米，第二袋大米比第一袋大米多40千克，如果從第二袋中取出大米5千克倒入第一袋，這時(shí)第二袋大米的重量正好是第一袋的3倍，原來兩袋大米各重多少千克？
【答案】第一袋10千克，第二袋50千克
【分析】根據(jù)題意，可設(shè)原來第一袋有大米x千克，第二袋大米比第一袋大米多40千克，即第二袋有（x＋40）千克，等量關(guān)系式是：第二袋大米的重量－5＝（第一袋大米的重量＋5）×3，據(jù)此列方程求解即可。
【詳解】解：設(shè)原來第一袋有大米x千克，則第二袋有（x＋40）千克，根據(jù)題意列方程：
x＋40－5＝（x＋5）×3
x＋35＝3x＋15
2x＝20
x＝10
x＋40＝10＋40＝50
答：原來第一袋有大米10千克，第二袋有50千克。
【點(diǎn)睛】找清兩袋大米重量之間的等量關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵。
26．（2020春·五年級(jí)課時(shí)練習(xí)）五年級(jí)舉行競(jìng)賽，共12道題。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：做對(duì)一題得10分，做錯(cuò)一道扣3分，沒有做的題得0分。已知小紅得了64分，又知道她有3道題沒有做，問小紅做對(duì)了多少道題？
【答案】7道
【分析】根據(jù)題意，可設(shè)小紅做對(duì)了x道，題目已經(jīng)告知，她有3道沒做，那么做錯(cuò)了12－3－x＝9－x道，本題等量關(guān)系式是：做對(duì)x道得的分?jǐn)?shù)－做錯(cuò)（9－x）道扣的分?jǐn)?shù)＝64，列方程求解即可。
【詳解】解：設(shè)小紅做對(duì)了x道，那么做錯(cuò)了12－3－x道，根據(jù)題意列方程：
10x－3×（12－3－x）＝64
10x－36＋9＋3x＝64
13x＝91
x＝7
答：小紅做對(duì)了7道。
【點(diǎn)睛】列方程解應(yīng)用題，首先要弄清題意，設(shè)未知數(shù)，找出應(yīng)用題中的等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵。
27．（2022春·五年級(jí)單元測(cè)試）甲、乙兩人同時(shí)從相距1340米的各自的家中出發(fā)相向而行，甲騎自行車，每分鐘行250米，乙步行，每分鐘行90米。3分鐘后，乙返回家中取忘帶的書，再經(jīng)過幾分鐘，甲追上乙？這時(shí)乙離家多少米？
【答案】2分鐘；90米
【分析】設(shè)經(jīng)過x分鐘甲追上乙，此時(shí)乙離家的距離為（90×3－90x）米，甲行駛的距離為250（x＋3）米，兩者相加就是1340米，據(jù)此解答。
【詳解】解：設(shè)經(jīng)過x分鐘甲追上乙。根據(jù)題目信息可得：
250（x＋3）＋90×3－90x＝1340
250x＋750＋270－90x＝1340
160x＋1020＝1340
160x＝320
x＝2
90×3－90×2
＝270－180
＝90（米）
答：再設(shè)經(jīng)過2分鐘甲追上乙，這時(shí)乙離家90米。
【點(diǎn)睛】此題可以通過畫圖找到等量關(guān)系式，學(xué)生應(yīng)掌握。
28．（2023秋·五年級(jí)單元測(cè)試）甲、乙兩車從兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，4小時(shí)后在距離中點(diǎn)20千米處相遇，已知乙車平均每小時(shí)行78千米，問：甲車平均每小時(shí)多少千米？（列方程）
【答案】88千米或68千米
【分析】由于距離中點(diǎn)20千米處相遇，說明快車比慢車多走20×2＝40（千米），可以設(shè)甲車平均每小時(shí)x千米，由于不知道是甲車速度快還是乙車速度快，則有兩種情況，當(dāng)甲車速度快時(shí)，甲車路程－乙車路程＝40；當(dāng)乙車速度快時(shí)，乙車路程－甲車路程＝40，據(jù)此即可列方程。
【詳解】解：設(shè)甲車平均每小時(shí)行x千米。
4x－78×4＝40
4x－312＝40
4x－312＋312＝40＋312
4x＝352
4x÷4＝352÷4
x＝88
78×4－4x＝40
312－4x＝40
4x＝312－40
4x＝272
4x÷4＝272÷4
x＝68
答：甲車平均每小時(shí)行88千米；或甲車平均每小時(shí)行68千米。
【點(diǎn)睛】本題主要考查列方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵要清楚甲的速度可能比乙快，甲的速度也可能比乙慢。
29．（2021秋·五年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)）由1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共有多少個(gè)？其中24135按從小到大排列是第幾個(gè)？將這些五位數(shù)從大到小排列，第50個(gè)數(shù)是多少？
【答案】120個(gè)；37；35412
【分析】第一問：由題意可知，萬位上的數(shù)字有五種選擇，千位上的數(shù)字有四種選擇，百位上的數(shù)字有三種選擇，十位的數(shù)字有兩種選擇，個(gè)位數(shù)上的數(shù)字只有一種選擇，所以五乘四乘三乘二乘二就是一共有多少個(gè)無重復(fù)的五位數(shù)。
第二問：由前一問可知，一共有120個(gè)不重復(fù)的五位數(shù).其中以5開頭的有24個(gè)，以4開頭的有24個(gè)，以3開頭的有24個(gè)，以2開頭的有24個(gè)，以1開頭的有24個(gè)，.以25開頭的五位數(shù)有6個(gè)，.以24開頭的五位數(shù)有6個(gè)，所以24123就是第37個(gè)數(shù)。
第三問：根據(jù)上一題的分析可知，以5開頭的有24個(gè)，以4開頭的有24個(gè)，那么第49個(gè)數(shù)字就是35421，第50個(gè)數(shù)字就是35412。
【詳解】5×4×3×2×1＝120 （個(gè)）
24135排在第37個(gè)
第50個(gè)數(shù)是35412
答：無重復(fù)的五位數(shù)共有120個(gè)，24135排在第37個(gè)，第50個(gè)數(shù)是35412。
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的排列組合問題，作答此類題目的關(guān)鍵是通過審題分析得出每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字有幾種可能。

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