學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.能用向量方法解決簡單夾角問題.
2.通過用空間向量解決夾角問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用．
重點難點
重點
用向量方法求平面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角；
難點
用空間向量解決立體幾何中的夾角問題與綜合問題.
課前預(yù)習(xí) 自主梳理
知識點 ：空間角的向量求法
思考：為什么求空間角的公式中都帶有絕對值？
提示 因為異面直線所成的角的范圍是 , 斜線與平面所成的角的范圍是 , 平面與平面的夾角的范圍是 , 而兩個向量的夾角的范圍是 , 因此計算時要加絕對值.
自主檢測
1.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．
(1)兩條異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等．( )
(2)直線與平面所成的角等于直線的方向向量與該平面法向量夾角的余角．( )
(3)平面與平面的夾角的取值范圍與二面角的取值范圍相同．( )
(4)兩個平面的夾角就是該二面角兩個面的法向量的夾角．( )
2.在正方體中，為線段上的動點，則與直線夾角為定值的直線為（ ）
A．B．C．D．
新課導(dǎo)學(xué)
學(xué)習(xí)探究
環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題
知識點1：求解直線與直線所成的角
導(dǎo)入問題：與距離一樣，角度是立體幾何中的另一類度量問題.本質(zhì)上，角度是對兩個方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度問題有其獨特的優(yōu)勢.本節(jié)我們用空間向量研究夾角問題，你認(rèn)為可以按怎樣的順序展開研究.
師生活動：學(xué)生獨立思考、小組交流后，通過全班討論達(dá)成對研究路徑的共識，即：直線與直線所成的角----直線與平面所成的角----平面與平面所成的角.
設(shè)計意圖:明確研究路徑,為具體研究提供思路.
環(huán)節(jié)二：觀察分析，感知概念
問題1：例7如圖1.4-19，在棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點，求直線AM和CN夾角的余弦值．
追問1:這個問題的已知條件是什么?根據(jù)以往的經(jīng)驗,你打算通過什么途徑將這個立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題?
用向量方法求解幾何問題時,首先要用向量表示問題中的幾何元素.對于本問題,如何用向量表示異面直線與?它們所成的角可以用向量之間的夾角表示嗎?
在此基礎(chǔ)上,將此問題推廣到一般,學(xué)生思考后作答,教師對學(xué)生的回答給予補(bǔ)充.梳理出將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題的途徑:
途徑1:通過建立一個基底,用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面等元素,從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;
途徑2:通過建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示問題中涉及的點、直線、平面等元素,從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.實際上,空間直角坐標(biāo)系也是基底,是“特殊”的基底.
進(jìn)行向量運算
追問2:請你通過向量運算,求出向量夾角的余弦值,進(jìn)而求出直線和夾角的余弦值.
思考
以上我們用量方法解決了異面直線AM和CN所成角的問題，你能用向量方法求直線AB與平面BCD所成的角嗎？
追問3:回顧問題1的求解過程,你能歸納出利用向量求空間直線與直線所成的角的一般方法嗎?
一般地，兩條異面直線所成的角，可以轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的方向向量的夾角來求得．也就是說，若異面直線，所成的角為，其方向向量分別是，，則
環(huán)節(jié)三：抽象概括，形成概念
知識點2：類比研究,求解直線與平面、平面與平面所成的角
問題2:你能用向量方法求問題1中直線與平面所成的角嗎?一般地,如何求直線與平面所成的角?
追問:這個問題的已知條件是什么?如何將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題?
類似地，直線與平面所成的角，可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角．
如圖1.4-20，直線與平面相交于點，設(shè)直線與平面所成的角為，直線的方向向量，平面的法向量為，則
環(huán)節(jié)四：辨析理解，深化概念
問題3:類比已有的直線、平面所成角的定義,你認(rèn)為應(yīng)如何合理定義兩個平面所成的角?進(jìn)一步地,如何求平面和平面的夾角?
在學(xué)生討論、交流的基礎(chǔ)上,教師小結(jié)如下:
如圖1.4-21，平面與平面相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面與平面的夾角．
類似于兩條異面直線所成的角，若平面，的法向量分別是和，則平面與平面的夾角即為向量和的夾角或其補(bǔ)角．設(shè)平面與平面的夾角為，則
追問1:如何求平面的法向量?
追問2:你能說說平面與平面的夾角與二面角的區(qū)別和聯(lián)系嗎?
二面角的大小是指其兩個半平面的張開程度,可以用其平面角的大小來定義,它的取值范圍是;而平面與平面的夾角是指平面與平面相交,形成的四個二面角中不大于的二面角.
環(huán)節(jié)五：課堂練習(xí)，鞏固運用
鞏固應(yīng)用,解決立體幾何中的角度問題
例8 如圖1.4-22，在直三棱柱中， ，，，為的中點，點，分別在棱，上，，．求平面與平面夾角的余弦值．
分析：
例9 圖1.4-23為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°，已知禮物的質(zhì)量為1 kg，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精確到0.01 N)．
師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生思考下列問題:
(1)降落傘勻速下落,下落過程中,8根繩子拉力的合力大小與禮物重力大小有什么關(guān)系?
(2)每根繩子的拉力和合力有什么關(guān)系?
(3)如何用向量方法解決這個問題?
分析：
例10 如圖1.4-25， 在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點，作交于點．
（1）求證：平面；
（2）求證： 平面；
（3）求平面與平面的夾角的大小．
你能找到解決問題的方法嗎?
分析：
追問2:直線和平面是由哪些要素確定的?直線和平面的平行關(guān)系是用這些要素之間怎樣的關(guān)系來刻畫的?你能用這些要素之間的關(guān)系證明平面嗎?
追問3:直線和平面的垂直關(guān)系是用確定直線和平面的要素之間怎樣的關(guān)系來刻畫的?你能證明平面嗎?
追問4:如何根據(jù)平面與平面的夾角與兩個平面的法向量的關(guān)系求出平面與平面的夾角?
例8如圖1.4-22，在直三棱柱中，，，，為的中點，點，分別在棱，上，，．求平面與平面夾角的余弦值．
分析：
環(huán)節(jié)六：歸納總結(jié),反思提升
教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答以下問題:
（1）向量方法解決立體幾何問題的基本步驟是什么?你能用一個框圖表示嗎?
（2）通過本節(jié)的學(xué)習(xí),你對立體幾何中的向量方法是否有了一定的認(rèn)識?請結(jié)合例題和上面的框圖談?wù)勼w會.
（3）解決立體幾何中的問題,可用三種方法:綜合法、向量法、坐標(biāo)法.你能說出它們各自的特點嗎?
師生共同梳理總結(jié)本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容,引導(dǎo)學(xué)生畫出用向量法解決立體幾何問題的一般步驟的“三步曲”的框圖,具體如下:
環(huán)節(jié)七：目標(biāo)檢測，作業(yè)布置
布置作業(yè)
教科書習(xí)題1.4第14,15題.
備用練習(xí)
1.在由三棱柱截得的幾何體中，平面點分別是棱的中點.若直線與所成角的余弦值為，則（ ）
A．B．C．D．
2.已知二面角的大小為，點B、C在棱l上，，，，，則AD的長為（ ）
A．B．C．D．
3.若的二面角的棱l上有A，B兩點，AC，BD分別在半平面α，β內(nèi)，，，且，則CD的長等于（ ）
A．B．2C．D．
空間角
向量求法
空間角的范圍
異面直線
所成的角
若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是則
直線與
平面所
成的角
直線AB與平面α相交于點B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為，平面α的法向量為，則
兩個平面
的夾角
若平面α，β的法向量分別是，則平面α與平面β的夾角即為向量和的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面α與平面β的夾夾角為θ，則

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