注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．若直線經(jīng)過兩直線和的交點(diǎn)，則（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【解析】聯(lián)立，解得，
將點(diǎn)代入到直線，得，故.
故選：C.
2．已知兩直線和，若，則（ ）
A．B．8C．D．2
【答案】A
【解析】由題可知，
.
故選：A.
3．已知兩點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段AB（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
，而，
故直線的取值范圍為，
故選：A.
4．直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)榫€分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，
所以，所以，
由，可得圓的圓心為，半徑為，
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離為，
故到直線的距離的范圍為，
則.
故選：A.
5．直線始終平分圓，則的最小值為（ ）
A．B．20C．D．5
【答案】B
【解析】圓的圓心為，
由直線始終平分圓，得，則，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為20.
故選：B
6．唐代詩人李頎的詩古從軍行開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)椋魧④姀狞c(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)點(diǎn) 關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn) ，
則 的中點(diǎn)為 ， ，
故 ，解得 ，
要使從點(diǎn) 到軍營(yíng)總路程最短， 即為點(diǎn) 到軍營(yíng)最短的距離，
由點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值為點(diǎn)與圓心距離減去半徑知，
“將軍飲馬”的最短總路程為 ，
故選 ：B
7．方程表示的曲線是（ ）
A．兩個(gè)圓B．一個(gè)圓和一條直線
C．一個(gè)半圓D．兩個(gè)半圓
【答案】D
【解析】方程可化為，
因?yàn)椋?br>所以或，
若時(shí)，則方程為,是以為圓心，以1為半徑的左半圓；
若時(shí)，則方程為，是以為圓心，以1為半徑的右半圓;
總之，方程表示的曲線是以為圓心，以1為半徑的右半圓與以為圓心，以1為半徑的左半圓合起來的圖形.
故選：D
8．已知圓M：，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的切線切，，切點(diǎn)為A，B，則四邊形面積的最小值為（ ）
A．2B．C．2D．
【答案】B
【解析】圓M的方程可化為，
所以x軸與圓M相離.
又，且和均為直角三角形，
，為圓的半徑，且，
所以面積的最小值轉(zhuǎn)化為求最小，
當(dāng)垂直于x軸時(shí)，四邊形面積取得最小值，
此時(shí)，所以四邊形面積最小值為.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．若三條直線不能圍成一個(gè)三角形，則實(shí)數(shù)的值可以為（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】ACD
【解析】當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時(shí)不能圍成三角形：由，
解得和的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由在上可得，解得，
因?yàn)榕c的相交，所以當(dāng)三條直線有兩條直線平行時(shí)不能圍成三角形，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，解得，
顯然與不可能重合.
綜上，或或，這三條直線不能圍成三角形，
∴實(shí)數(shù)的取值可以是或或.
故答案為：ACD.
10．下列說法中，正確的有（ ）
A．直線在y軸上的截距是1
B．當(dāng)m變化時(shí)，圓恒過定點(diǎn)有且只有一個(gè)
C．過，兩點(diǎn)（，）的所有直線的方程為
D．直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是
【答案】CD
【解析】對(duì)A：直線中，令得，所以直線在軸上的截距為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：令得：或，所以當(dāng)變化時(shí)，圓恒過定點(diǎn)和，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：根據(jù)直線兩點(diǎn)式方程的概念知，C正確；
對(duì)D：設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則，
由點(diǎn)在直線上，得，故D正確.
故選：CD
11．已知圓與圓交于兩點(diǎn)，P是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．直線的方程是B．線段中垂線方程為
C．線段的長(zhǎng)度是D．點(diǎn)P到直線的距離的最大值為
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，由，
所以直線的方程是，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)橹本€的方程是，
所以線段中垂線方程可設(shè)為，圓化為標(biāo)準(zhǔn)式為，
所以由圓的對(duì)稱性可知線段中垂線過圓心，故，
所以線段中垂線方程為，故B正確；
對(duì)于C，圓心到直線的距離是，
又圓，故圓半徑為，
所以線段的長(zhǎng)度是，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，圓化為標(biāo)準(zhǔn)式得，
所以圓心，半徑為，
所以圓心到直線的距離是，
所以圓上的點(diǎn)P到到直線的距離的最大值為，故D正確.
故選：ABD.
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)， .
【答案】
【解析】設(shè)圓的圓心為，半徑為4，
如圖所示：當(dāng) 最小時(shí)，與圓M相切，連接，
則，，而，
由勾股定理得，
所以當(dāng)最小時(shí)，.
故答案為：.
13．是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，過向直線和軸分別作垂線，垂足分別為，則 .
【答案】
【解析】設(shè)，，則，即，解得，
所以，，則，，
所以．
故答案為：
14．若圓與圓相交，我們把經(jīng)過圓和圓交點(diǎn)的圓稱為圓、圓的圓系方程，其方程可設(shè)為．根據(jù)以上信息，解決如下問題：已知圓與交于兩點(diǎn)，則以為直徑的圓的一般方程為 ．
【答案】
【解析】由題意可設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的圓的方程為，
整理得，則圓心為．
圓①，圓②，
由①-②得，，即直線的方程為．
因?yàn)闉橹睆剑瑘A心在直線上，所以，解得，
故以為直徑的圓的方程為．
故答案為：．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15．（13分）
已知直線：及圓：.
(1)若直線與圓相切，求的值；
(2)若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為，求的值.
【解析】（1）圓心，半徑為，
由題意得：，解得或.
（2）如圖：
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，利用勾股定理得：，
同時(shí)利用圓心到直線的距離：，解得.
16．（15分）
已知直線.
(1)直線經(jīng)過定點(diǎn)嗎？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，說明理由；
(2)求原點(diǎn)到直線距離的最大值；
(3)若直線分別與軸正半軸、軸正半軸交于兩點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，求對(duì)應(yīng)的直線的方程.
【解析】（1）直線可化為，
令，解得，，即直線恒過定點(diǎn)；
（2）當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大，此時(shí)最大值；
（3）設(shè)直線的方程為，，
因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，所以，
由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，得，
故面積，即面積的最小值為4，
此時(shí)直線方程為，即．
17．（15分）
已知圓C：，直線l：是圓E與圓C的公共弦AB所在直線方程，且圓E的圓心在直線上．
(1)求公共弦AB的長(zhǎng)度；
(2)求圓E的方程；
(3)過點(diǎn)分別作直線MN，RS，交圓E于M，N，R，S四點(diǎn)，且，求四邊形MRNS面積的最大值與最小值．
【解析】（1）圓，所以圓的圓心坐標(biāo)，半徑，
圓心到直線的距離，
公共弦；
（2）圓的圓心在直線上，設(shè)圓心，
由題意得，，即，到的距離，
所以的半徑，
所以圓的方程：；
（3）
當(dāng)過點(diǎn)的互相垂直的直線，為軸，垂直于軸時(shí)，，這時(shí)直線的方程為，代入到圓中，，
所以，四邊形的面積；
當(dāng)過點(diǎn)的互相垂直的直線，不垂直于軸時(shí)，
設(shè)直線為：，
則直線為：，
所以圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，
，，
設(shè)，
當(dāng)或1時(shí)，正好是軸及垂直軸，
面積，
當(dāng)時(shí)，最大且，或1時(shí)，最小，
四邊形面積的最大值17，最小值．
18．（17分）
已知圓經(jīng)過點(diǎn)，從下列3個(gè)條件選取一個(gè)________
①過點(diǎn)；
②圓恒被直線平分；
③與軸相切.
(1)求圓的為程；
(2)已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．
【解析】（1）選條件①．設(shè)圓的方程為，
將，代入可得
，解得，
則圓的方程為．
選條件②．
直線恒過點(diǎn)．
因?yàn)閳A恒被直線平分，所以恒過圓心，
所以圓心坐標(biāo)為，
又圓經(jīng)過點(diǎn)，所以圓的半徑，
所以圓的方程為，即．
選條件③．
設(shè)圓的方程為，
由題意可得，解得，
則圓的方程為，即．
（2）設(shè)，，
因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以，
所以的軌跡方程為．
19．（17分）
蝴蝶定理因其美妙的構(gòu)圖，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代數(shù)學(xué)名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來．如圖，已知圓的方程為，直線與圓M交于，，直線與圓交于，．原點(diǎn)在圓內(nèi)．設(shè)交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
(1)當(dāng)，，，時(shí)，分別求線段和的長(zhǎng)度；
(2)①求證：．
②猜想OP和OQ的大小關(guān)系，并證明．
【解析】（1）當(dāng)，，，時(shí)，
圓：，
直線：，由或，故，；
直線：，由或，故，.
所以直線:，令得，即；
直線:，令得，即.
所以：.
（2）①由題意：.
由，
則，是該方程的兩個(gè)解，由韋達(dá)定理得：，
所以.
同理可得：，所以.
②猜測(cè)，證明如下：
設(shè)點(diǎn)，.
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以：，
又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以；點(diǎn)在直線上，所以.
所以；
同理因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得：.
由①可知：，
所以.
即，所以成立.

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