選擇性必修第一冊(cè)2.4 圓的方程精品導(dǎo)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1.通過(guò)將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程變形成一般方程，理解圓的一般方程與一般形式的二元二次方程之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
2.通過(guò)對(duì)圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，能正確理解圓的一般方程中系數(shù)所滿足的條件，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
3.通過(guò)具體例題的講解，能掌握求圓的一般方程以及與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單的軌跡方程問(wèn)題，提升學(xué)生邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng).
重點(diǎn)難點(diǎn)
1.重點(diǎn)：掌握?qǐng)A的一般方程及其特點(diǎn)并會(huì)求圓的一般方程.
2.難點(diǎn)：與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單的軌跡方程問(wèn)題.
課前預(yù)習(xí) 自主梳理
知識(shí)點(diǎn) 圓的一般方程
1．圓的一般方程
當(dāng)時(shí)，二元二次方程稱為圓的一般方程．
2．方程表示的圖形
思考：若二元二次方程表示圓, 需滿足什么條件?
提示 (1) ; (2) ; (3) .
自主檢測(cè)
1.判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”．
(1)圓的一般方程可以化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．( )
(2)二元二次方程一定是某個(gè)圓的方程．( )
(3)若方程表示圓，則有E≠0.( )
(4)任何一個(gè)圓的方程都能寫成一個(gè)二元二次方程．( )
【答案】(1)√ (2)× (3)√ (4)√
【詳解】(1)正確．將圓的一般方程配方，可以得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)錯(cuò)誤．當(dāng)滿足D2＋E2－4F>0時(shí)，此方程才表示圓的方程．
(3)正確．由圓的一般方程的定義可知．
(4)正確．由圓的一般方程在形式上的特點(diǎn)可知，任何一個(gè)圓的方程都能寫成一個(gè)二元二次方程．
2.圓的圓心為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定的圓的方程，直接求出圓心坐標(biāo)作答.
【詳解】圓，即，所以圓的圓心為.
故選：C
3.已知點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓的內(nèi)部，則，
解得.故選：D.
4.方程表示圓心在直線上的圓,則該圓的半徑為（）
A．B．2C．D．6
【答案】C
【分析】將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得到圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓心在直線上求得參數(shù)，然后可得圓的半徑．
【詳解】由題意得圓方程為，
∴圓心坐標(biāo)為，半徑為．
∵圓心在直線上，∴，解得：，
∴半徑．故選：C．
5.如果方程表示圓，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用，解不等式即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緢A，所以，解得，即的取值范圍是，故選B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程，屬于基礎(chǔ)題.
新課導(dǎo)學(xué)
學(xué)習(xí)探究
環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題
問(wèn)題1：我們知道，方程表示以為圓心，2為半徑的圓．可以將此方程變形為．
一般地，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以變形為
（2）
的形式．反過(guò)來(lái)，形如（2）的方程一定能通過(guò)恒等變形變?yōu)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？
師生活動(dòng)：（1）學(xué)生們熱烈討論，教師適當(dāng)引導(dǎo)提示.
（2）追問(wèn)1：方程表示什么圖形？
（3）學(xué)生自主對(duì)方程進(jìn)行配方得到，學(xué)生總結(jié)“該方程表示以（1，-2）為圓心，2為半徑的圓”.
（4）追問(wèn)2：方程表示什么圖形？
（5）學(xué)生通過(guò)配方得到，由于不存在這樣的使方程成立，所以該方程不能表示任何圖形.
環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念
例如，對(duì)于方程，對(duì)其進(jìn)行配方，得，因?yàn)槿我庖粋€(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個(gè)方程，所以這個(gè)方程不表示任何圖形．所以，形如（2）的方程不一定能通過(guò)恒等變形變?yōu)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程．這表明，形如（2）的方程不一定是圓的方程．
師生共同總結(jié)：這表明形如的方程不一定是圓的方程.
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)圓的一般方程與一般形式的二元二次方程之間的關(guān)系.
環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念
問(wèn)題2：方程中的，，滿足什么條件時(shí)，這個(gè)方程表示圓？
將方程（2）的左邊配方，并把常數(shù)項(xiàng)移到右邊，得
．
（1）當(dāng)時(shí)，比較方程①和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以看出方程（2）表示以為圓心，為半徑的圓；
（2）當(dāng)時(shí)，方程（2）只有實(shí)數(shù)解，，它表示一個(gè)點(diǎn)；
（3）當(dāng)時(shí)，方程（2）沒(méi)有實(shí)數(shù)解，它不表示任何圖形．
因此，當(dāng)時(shí)，方程（2）表示一個(gè)圓．我們把方程（2）叫做圓的一般方程(general equatin f circle)．
設(shè)計(jì)意圖：由特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生思考，總結(jié)，從而自然引出方法，得到結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，類比遷移能力；再由一般到特殊，檢驗(yàn)學(xué)生的掌握情況和應(yīng)用水平.
環(huán)節(jié)四辨析理解,深化概念
問(wèn)題3：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程各有什么特點(diǎn)？
例4求過(guò)三點(diǎn)，，的圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑．
分析：將，，點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入圓的一般方程，可得一個(gè)三元一次方程組，解方程組即可求出圓的方程．
解：設(shè)圓的方程是
． ①
因?yàn)椋?，三點(diǎn)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都是方程①的解．把它們的坐標(biāo)依次代入方程①，得到關(guān)于，，的一個(gè)三元一次方程組
解這個(gè)方程組，得
所以，所求圓的方程是．
由前面的討論可知，所求圓的圓心坐標(biāo)是，半徑．
與例2的方法比較，你有什么體會(huì)？
師生活動(dòng)：（1）教師引導(dǎo)學(xué)生觀察和思考，根據(jù)兩個(gè)方程的形式特點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生得出結(jié)論.
（2）學(xué)生回答：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確給出了圓心坐標(biāo)和半徑（重“形”）,而圓的一般方程則明確表明其形式是一種特殊的二元二次方程,方程的代數(shù)特征非常明顯（重“數(shù)”）.
（3）求過(guò)三點(diǎn)的圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑
求圓的方程常用待定系數(shù)法，其大致步驟是：
（1）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；
（2）根據(jù)條件列出關(guān)于，，或，，的方程組；
（3）解出，，或，，，得到標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力，總結(jié)歸納的能力.通過(guò)歸納總結(jié)使學(xué)生明白兩個(gè)方程的區(qū)別并促進(jìn)學(xué)生思考在不同的情境下使用不同的方程.
問(wèn)題4：與課本P83例2的方法比較，有什么體會(huì)呢？
師生活動(dòng)：（1）教師引導(dǎo)學(xué)生觀察比較兩種運(yùn)算量的區(qū)別，啟發(fā)學(xué)生思考哪種運(yùn)算更簡(jiǎn)潔.
（2）學(xué)生自主討論得出結(jié)論：例4的解答過(guò)程中，教科書選擇了先求圓的一般方程，再求出圓心坐標(biāo)和半徑，用的仍然是待定系數(shù)法來(lái)解.這里選用圓的一般方程，與例2中選用標(biāo)準(zhǔn)方程的方法相比，運(yùn)算就顯得容易一些.容易的原因是得到的方程沒(méi)有二次項(xiàng)，是一個(gè)三元一次方程組.而用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的話，得到的是三元二次方程組，需要消去二次項(xiàng).一般來(lái)說(shuō)，解一次方程比解二次方程容易.
（3）追問(wèn)1：請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)用待定系數(shù)法求圓的方程的大致步驟:
①根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；
②根據(jù)條件列出關(guān)于或的方程組；
③解出或，得到標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)比兩種解題方法，加深學(xué)生思考，優(yōu)化解題步驟，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和反思總結(jié)的能力
環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化
問(wèn)題5：請(qǐng)同學(xué)們做課本例5，思考探究如何求與圓相關(guān)的軌跡方程問(wèn)題？
師生活動(dòng)：（1）已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程
例5已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn) 的軌跡方程．
點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是指點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式．軌跡是指點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中形成的圖形．在解析幾何中，我們常常把圖形看作點(diǎn)的軌跡（集合）．
分析：如圖2.4-4，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)在已知圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程．建立點(diǎn)與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以利用點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式得到點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，求出點(diǎn)的軌跡方程．
解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是．由于點(diǎn)的坐標(biāo)是，且是線段的中點(diǎn)，所以
，
于是有
，． ①
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程，即
． ②
把①代入②得
．
整理，得
．
這就是點(diǎn)的軌跡方程，它表示以為圓心，半徑為1的圓．
根據(jù)上述例題，大家可以總結(jié)求解軌跡方程的一般步驟嗎？
師生總結(jié)：相關(guān)點(diǎn)法：利用所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，找到關(guān)系式，列式求出.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)分析解題思路，給出解答示范，提升學(xué)生推理論證的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng).
環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升
圓的一般方程：1.圓的一般方程滿足的特點(diǎn).
圓的一般方程中D、E、F滿足的條件.
與圓有關(guān)的軌跡方程的求法.
環(huán)節(jié)七目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置
完成教材：頁(yè)習(xí)題2.4第7、8、9題.
備用練習(xí)1. 已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圓，則k的取值范圍是（）
A．(－∞，－1)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．
【答案】A
【分析】把圓的方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0化為標(biāo)準(zhǔn)型，利用，解出k的取值范圍.
【詳解】方程可化為(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1時(shí)才能表示圓．
故選：A.
2.圓的方程為，則圓心坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圓的一般方程可求出結(jié)果.
【詳解】由可知，，
所以，，所以圓心為.故選：D.
3.已知圓：的圓心坐標(biāo)是，則半徑為
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓心和半徑，再根據(jù)圓心坐標(biāo)為，求得D、E，可得半徑的值．
【詳解】圓：，即，表示以為圓心，半徑為的圓．
再根據(jù)它的圓心坐標(biāo)是，，∴ ，半徑為，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．
4.若當(dāng)方程所表示的圓取得最大面積時(shí)，則直線的傾斜角（）．
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】試題分析：，當(dāng)有最大半徑時(shí)有最大面積，此時(shí)，，∴直線方程為，設(shè)傾斜角為，則由且得．故選．
5.已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則原點(diǎn)到直線的距離為（）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圓關(guān)于直線對(duì)稱求出，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可求得結(jié)果.
【詳解】由圓，可得圓心，
因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱，
所以圓心在直線上，
所以，得，所以直線，
所以原點(diǎn)到直線的距離為.故選：C
條件
圖形
不表示任何圖形
表示一個(gè)點(diǎn)
表示以為圓心，以為半徑的圓

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